در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس، مفاهیم مربوط به بردارها را مطرح کردیم. هم‌چنین در مطلبی مجزا، نحوه بدست آوردن ضرب داخلی دو بردار را توضیح دادیم. در این قسمت قصد داریم تا نوع دیگری از ضرب دو بردار را بررسی کنیم.

تعریف ضرب خارجی

ضرب خارجی، به عملیاتی در ریاضیات گفته می‌شود که با استفاده از آن می‌توان دو بردار را در فضایی دو یا چند بعدی در هم ضرب کرد. بر خلاف ضرب داخلی، حاصل این نوع ضرب، کمیتی برداری خواهد بود. ضرب خارجی دو بردار a و b را به صورت زیر نشان می‌دهند.

a×b = ضرب خارجی دو بردار a و b

cross-product

مطابق شکل بالا حاصل‌ضرب خارجی دو بردار a و b در یکدیگر، بر هر دوی آن‌ها عمود شده است.

محاسبه ضرب خارجی

همانند شکل زیر دو بردار a و b را تصور کنید.

vectors

 

حاصلضرب خارجی این دو بردار برابر با مقدار زیر است.

cross-product

در این معادله |a| و |b| به ترتیب برابر با اندازه‌های بردار a و b هستند. همچنین $$\theta$$، زاویه بین این دو بردار است. بایستی توجه داشته باشید که n، بردار واحد است که بر هر دو بردار اولیه (a و b) عمود شده. بنابراین جهت این بردار در راستای n و اندازه آن برابر با حاصلضرب اندازه a در b در سینوس زاویه بین آن‌ها است.

اگر بردارهای a و b در دستگاه مختصات کارتزینی و به صورت $$a=(a_x,a_y,a_z)$$ و $$b=(b_x,b_y,b_z)$$ بیان شوند، حاصل‌ضرب خارجی را می‌توان به شکل محاسبه کرد.

cross-product

معادلات بالا در حقیقت دترمینان یک ماتریس هستند. به منظور درک بهتر، دو بردار $$a=(a_1,a_2,a_3)$$ و $$b=(b_1,b_2,b_3)$$ را در نظر بگیرید. همان‌طور که در بالا نیز بیان شد حاصل‌ضرب خارجی دو بردار، کمیتی برداری است؛ برای محاسبه حاصل‌ضرب خارجی این دو بردار می‌توان از دترمینان ماتریس زیر استفاده کرد.

$$\begin{aligned}
\overrightarrow{\mathbf{c}} &=\overrightarrow{\mathbf{a}} \times \overrightarrow{\mathbf{b}}=\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_{1} & a_{2} & a_{3} \\
b_{1} & b_{2} & b_{3}
\end{array}\right|=\\
&=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\left(a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}\right) \overrightarrow{\mathbf{j}}+\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \overrightarrow{\mathbf{k}}
\end{aligned}$$

توجه داشته باشید که سطر اول این ماتریس حاوی بردارهای واحد در سه جهت مختصاتی است $$({\overrightarrow i},{\overrightarrow j},{\overrightarrow k})$$.

برای آشنایی با مباحث ریاضیات دبیرستان، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

  • برای مشاهده مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

مثال

حاصلضرب خارجی دو بردار (۲,۳,۴)=a و (5,6,7)=b را بیابید. با توجه به فرمول بالا می‌توان گفت:

ضرب خارجی

بنابراین با محاسبه عبارات بالا، پاسخ مد نظر برابر با مقدار زیر است.

$$ \large a×b=(-3,6,-3) $$

جهت بردار حاصل از یک ضرب خارجی

برای تعیین جهت پاسخ ضرب خارجی یک بردار می‌توان مطابق با شکل زیر از قانون دست‌ راست استفاده کرد. در حقیت در این روش انگشتان دست راست را در راستای بردار a قرار داده و سپس انگشت وسط را به سمت بردار b می‌چرخانیم. در این حالت جهت شست دست، بردار a×b را نشان می‌دهد. در شکل زیر این قانون تشریح شده.

right-hand
قانون دست راست

معرفی فیلم آموزش جبر خطی (مرور و حل مساله) فرادرس

آموزش جبر خطی

برای آشنایی بیشتر با مفاهیم اسپن، زیرفضا و پایه در فضای برداری، پیشنهاد می‌کنیم به فیلم آموزش جبر خطی (مرور و حل مساله) مراجعه کنید که توسط فرادرس تهیه و تدوین شده است. این ویدیوی آموزشی که در ۱۶ ساعت و ۳۰ دقیقه تدوین شده است، همه مباحث جبر خطی را به طور کامل و جامع پوشش داده و علاوه بر بیان مفاهیم، مثال‌های متنوعی را همراه با جواب‌های تشریحی به علاقه‌مندان می‌آموزد.

درس‌های اول و دوم این فیلم آموزشی درباره دستگاه معادلات خطی است. جبر ماتریس‌‌ها و دترمینان در درس‌های سوم تا پنجم معرفی شده‌اند. موضوع درس‌های ششم و هفتم این ویدیوی آموزشی فضاهای برداری است. همچنین، در درس‌های هشتم و نهم به مفاهیم نُرم، ضرب داخلی و تعامد پرداخته شده است. در نهایت، در درس‌های دهم تا دوازدهم، مقادیر ویژه و بردارهای ویژه به طور کامل معرفی شده‌اند.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات، می‌توانید از آموزش‌های زیر بهره‌مند شوید:

^^

بر اساس رای ۲۰۳ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

27 نظر در “ضرب خارجی بردارها — به زبان ساده

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *