ریاضی , علوم پایه 33300 بازدید

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس، مفاهیم مربوط به بردارها را مطرح کردیم. هم‌چنین در مطلبی مجزا، نحوه بدست آوردن ضرب داخلی دو بردار را توضیح دادیم. در این قسمت قصد داریم تا نوع دیگری از ضرب دو بردار را بررسی کنیم.

دانلود ویدیو

تعریف ضرب خارجی

ضرب خارجی، به عملیاتی در ریاضیات گفته می‌شود که با استفاده از آن می‌توان دو بردار را در فضایی دو یا چند بعدی در هم ضرب کرد. بر خلاف ضرب داخلی، حاصل این نوع ضرب، کمیتی برداری خواهد بود. ضرب خارجی دو بردار a و b را به صورت زیر نشان می‌دهند.

a×b = ضرب خارجی دو بردار a و b

cross-product

مطابق شکل بالا حاصل‌ضرب خارجی دو بردار a و b در یکدیگر، بر هر دوی آن‌ها عمود شده است.

محاسبه ضرب خارجی

همانند شکل زیر دو بردار a و b را تصور کنید.

vectors

 

حاصلضرب خارجی این دو بردار برابر با مقدار زیر است.

cross-product

در این معادله |a| و |b| به ترتیب برابر با اندازه‌های بردار a و b هستند. همچنین $$\theta$$، زاویه بین این دو بردار است. بایستی توجه داشته باشید که n، بردار واحد است که بر هر دو بردار اولیه (a و b) عمود شده. بنابراین جهت این بردار در راستای n و اندازه آن برابر با حاصلضرب اندازه a در b در سینوس زاویه بین آن‌ها است.

اگر بردارهای a و b در دستگاه مختصات کارتزینی و به صورت $$a=(a_x,a_y,a_z)$$ و $$b=(b_x,b_y,b_z)$$ بیان شوند، حاصل‌ضرب خارجی را می‌توان به شکل محاسبه کرد.

cross-product

معادلات بالا در حقیقت دترمینان یک ماتریس هستند. به منظور درک بهتر، دو بردار $$a=(a_1,a_2,a_3)$$ و $$b=(b_1,b_2,b_3)$$ را در نظر بگیرید. همان‌طور که در بالا نیز بیان شد حاصل‌ضرب خارجی دو بردار، کمیتی برداری است؛ برای محاسبه حاصل‌ضرب خارجی این دو بردار می‌توان از دترمینان ماتریس زیر استفاده کرد.

cross-matrix

توجه داشته باشید که سطر اول این ماتریس حاوی بردارهای واحد در سه جهت مختصاتی است $$({\overrightarrow i},{\overrightarrow j},{\overrightarrow k})$$.

مثال

حاصلضرب خارجی دو بردار (۲,۳,۴)=a و (۵,۶,۷)=b را بیابید. با توجه به فرمول بالا می‌توان گفت:

ضرب خارجی

بنابراین با محاسبه عبارات بالا، پاسخ مد نظر برابر با مقدار زیر است.

$$ \large a×b=(-3,6,-3) $$

جهت بردار حاصل از یک ضرب خارجی

برای تعیین جهت پاسخ ضرب خارجی یک بردار می‌توان مطابق با شکل زیر از قانون دست‌ راست استفاده کرد. در حقیت در این روش انگشتان دست راست را در راستای بردار a قرار داده و سپس انگشت وسط را به سمت بردار b می‌چرخانیم. در این حالت جهت شست دست، بردار a×b را نشان می‌دهد. در شکل زیر این قانون تشریح شده.

right-hand
قانون دست راست

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات، می‌توانید از آموزش‌های زیر بهره‌مند شوید:

^^

telegram
twitter

مجید عوض زاده

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

بر اساس رای ۴ نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

10 نظر در “ضرب خارجی بردارها — به زبان ساده

  1. با عرض سلام و احترام به تمامی دوستان گرامی. من در این سوال به مشکل برخورده ام و از شما دوستان نهایت محترم خواهش دارم که اگر می توانید
    ای سوال را حل کنید. ممنون
    سوال:اگر a,bوc سه بردار غیر صفر باشند
    با مثال واضیح سازید که اگر
    a*b=a*c باشد
    لزومی ندارد که b=c باشد
    ؟

  2. سلام خسته نباشید
    من یه سری کابرد می خواستم از ضرب داخلی و خارجی. مثلا تو چه مسئله های فیزیکی ازش استفاده می شه

  3. سلام ، ممنون کمک کردین . یه مشکل هست به نظرم ، تو قسمتی که دترمینان رو محاسبه کردید پشت j باید منفی گذاشت . اگه دترمینان رو با ساروس
    حل کنید مشخص میشه.
    اگه اشتباه میکنم بگید لطفا

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *