ضرب خارجی بردارها – به زبان ساده

۷۵۲۱۲ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۷ شهریور ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۲ دقیقه
دانلود PDF مقاله
ضرب خارجی بردارها – به زبان سادهضرب خارجی بردارها – به زبان ساده

در مطالب گذشته مجله فرادرس، مفاهیم مربوط به بردارها را مطرح کردیم. هم‌چنین در مطلبی مجزا، نحوه بدست آوردن ضرب داخلی دو بردار را توضیح دادیم. در این قسمت قصد داریم تا نوع دیگری از ضرب دو بردار را بررسی کنیم.

997696

تعریف ضرب خارجی

ضرب خارجی، به عملیاتی در ریاضیات گفته می‌شود که با استفاده از آن می‌توان دو بردار را در فضایی دو یا چند بعدی در هم ضرب کرد. بر خلاف ضرب داخلی، حاصل این نوع ضرب، کمیتی برداری خواهد بود.

ضرب خارجی دو بردار a و b را به صورت زیر نشان می‌دهند.

a×b = ضرب خارجی دو بردار a و b

cross-product

مطابق شکل بالا حاصل‌ضرب خارجی دو بردار a و b در یکدیگر، بر هر دوی آن‌ها عمود شده است.

محاسبه ضرب خارجی

همانند شکل زیر دو بردار a و b را تصور کنید.

vectors

حاصلضرب خارجی این دو بردار برابر با مقدار زیر است.

cross-product

در این معادله |a| و |b| به ترتیب برابر با اندازه‌های بردار a و b هستند. همچنین θ\theta، زاویه بین این دو بردار است. بایستی توجه داشته باشید که n، بردار واحد است که بر هر دو بردار اولیه (a و b) عمود شده. بنابراین جهت این بردار در راستای n و اندازه آن برابر با حاصلضرب اندازه a در b در سینوس زاویه بین آن‌ها است.

اگر بردارهای a و b در دستگاه مختصات کارتزینی و به صورت a=(ax,ay,az)a=(a_x,a_y,a_z) و b=(bx,by,bz)b=(b_x,b_y,b_z) بیان شوند، حاصل‌ضرب خارجی را می‌توان به شکل محاسبه کرد.

cross-product

معادلات بالا در حقیقت دترمینان یک ماتریس هستند. به منظور درک بهتر، دو بردار a=(a1,a2,a3)a=(a_1,a_2,a_3) و b=(b1,b2,b3)b=(b_1,b_2,b_3) را در نظر بگیرید. همان‌طور که در بالا نیز بیان شد حاصل‌ضرب خارجی دو بردار، کمیتی برداری است؛ برای محاسبه حاصل‌ضرب خارجی این دو بردار می‌توان از دترمینان ماتریس زیر استفاده کرد.

c=a×b=ijka1a2a3b1b2b3==(a2b3a3b2)i+(a3b1a1b3)j+(a1b2a2b1)k\begin{aligned} \overrightarrow{\mathbf{c}} &=\overrightarrow{\mathbf{a}} \times \overrightarrow{\mathbf{b}}=\left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|=\\ &=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\left(a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}\right) \overrightarrow{\mathbf{j}}+\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \overrightarrow{\mathbf{k}} \end{aligned}

توجه داشته باشید که سطر اول این ماتریس حاوی بردارهای واحد در سه جهت مختصاتی است (i,j,k)({\overrightarrow i},{\overrightarrow j},{\overrightarrow k}).

مثال

حاصلضرب خارجی دو بردار (۲,۳,۴)=a و (5,6,7)=b را بیابید. با توجه به فرمول بالا می‌توان گفت:

ضرب خارجی

بنابراین با محاسبه عبارات بالا، پاسخ مد نظر برابر با مقدار زیر است.

a×b=(3,6,3)\large a×b=(-3,6,-3)

جهت بردار حاصل از یک ضرب خارجی

برای تعیین جهت پاسخ ضرب خارجی یک بردار می‌توان مطابق با شکل زیر از قانون دست‌ راست استفاده کرد. در حقیت در این روش انگشتان دست راست را در راستای بردار a قرار داده و سپس انگشت وسط را به سمت بردار b می‌چرخانیم. در این حالت جهت شست دست، بردار a×b را نشان می‌دهد. در شکل زیر این قانون تشریح شده.

right-hand
قانون دست راست
بر اساس رای ۳۷۹ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Mathisfun
دانلود PDF مقاله
۳۶ دیدگاه برای «ضرب خارجی بردارها – به زبان ساده»

سلام تشکر ،چرا بردار حاصل ضرب عمود بر دو بردار میشه؟

با سلام و وقت بخیر؛

فرض کنید می‌خواهیم سطح یک متوازی‌الاضلاع را در فضای سه‌بعدی تعریف کنیم. این کار با تعیین دو نقطه یا دو بردار (بردارهای منطبق بر اضلاع غیرمجاور متوازی‌الاضلاع) انجام می‌شود. به دلیل مشخص بودن سطح، بردار عمود بر آن یا همان بردار نرمال را نیز خواهیم داشت. بر اساس تعریف، این بردار هم بر سطح و هم بر بردارهای معرف سطح عمود است.

می‌دانیم که متوازی‌الاضلاع مورد نظر ما، یک مساحت مشخص دارد. این مساحت، برابر با حاصل‌ضرب بردارهای معرف آن (حاصل‌ضرب بردارهای منطبق بر اضلاع غیرمجاور) است. با استفاده از این مفهوم، می‌توانیم متوازی‌الاضلاع را تنها با یک بردار تعریف کنیم. این بردار، در راستای بردار نرمال و هم‌اندازه حاصل‌ضرب بردارهای معرف است.

هدف از ضرب برداری نیز همین است. سطح محدود به دو بردار، یک متوازی‌الاضلاع را تشکیل می‌دهد. ضرب این دو بردار، باید هم‌جهت با بردار نرمال متوازی‌الاضلاع و هم‌اندازه مساحت متوازی‌الاضلاع باشد. از آنجایی که بردار نرمال، هم بر سطح و هم بر بردارهای معرف آن عمود است، بردار حاصل‌ضرب نیز عمود بر دو بردار خواهد بود.

از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.

با سلام و وقت بخیر
ضرب خارجی دو بردار در مختصات کروی به چه صورت خواهد بود؟

با سلام،
برای به‌دست آوردن ضرب خارجی دو بردار در مختصات کروی باید ابتدا ضرب خارجی بردارهای پایه در مختصات کروی را به‌دست آوریم:
ϕ^×r^=θ^θ^×ϕ^=r^r^×θ^=ϕ^\widehat{ \phi } \times \widehat{ r } = \widehat{ \theta } \\ \widehat{ \theta } \times \widehat{ \phi } = \widehat{ r } \\ \widehat{ r } \times \widehat{ \theta } = \widehat{ \phi }
با توجه به ضرب‌های خارجی فوق، ضرب خارجی دو بردار در مختصات کروی به صورت زیر نوشته می‌شود:
A×B=det([r^θ^ϕ^ArAθAϕBrBθBϕ])\overrightarrow{A }\times \overrightarrow{B} = det (\begin{bmatrix}\widehat{r} & \widehat{\theta} & \widehat{\phi} \\ A_r & A_ { \theta} & A_ { \phi} \\ B_r & B_ { \theta} & B _ { \phi} \end{bmatrix})
با تشکر از همراهی شما با کجله فرادرس

سلام ، یکی از دوستان در مورد کاربرد ضرب خارجی سوال کردن ، این سوالی بود که در زمان تحصیلم برام پیش میومد و از دبیر میپرسیدم و ایشون میگفتن برای موشک هوا کردن استفاده میشه 🙂 این گذشت … و وقتی وارد کار برنامه نویسی شدم متوجه شدم که این بردار ها و کلا ریاضی خیلی کاربرد ها داره ، فرض کنید بخوایید با حرکت موس چشم های یک کاراکتر رو به چپ و راست هدایت کنید. این کار با حاصلضرب خارجی بردار مکان موس در بردار مکان چشم های شخصیتی که در صحنه دارید امکان پذیر هست.
چون حاصلضربش میشه یه بردار عمود . حالا اگر این بردار رو به بالا باشه مثبت هست و اگر رو به پایین باشه منفی میشه . بنابراین وقتی موس در سمت چپ صورت باشه زاویه این بردار مثبت هست و چشم ها رو به چپ هدایت میکنیم و وقتی که مکان موس در سمت راست صورت کاراکتر باشه، زاویه این بردار منفی هست و میفهمیم که باید چشم ها رو به سمت راست هدایت کنیم. اینطوری منطق حرکت چشم ها رو میشه پیاده سازی کرد.

بسیار عالی بله برای زمینه های بازی سازی و کارهای گرافیکی و برنامه نویسی توی زمینه گرافیک بسیار کاربردی هست

سلام
a=i-3j
b=-2i+4j
c=2i+j

جواب این a. (b×c) چی میشه؟

سلام و عرض خسته نباشید خدمت شما
واقعا ممنونم بابت تدریس عالی در مدت زمان کم. محشر بود
ولی یه مشکلی داشت اون دترمینان دومی پشت پرانتزش باید منفی باشه(j)
مرسی از پیگیریتون

بله
باید (a1b3 – a3b1) باشه که بر عکس نوشته شده

با سلام؛

علامت منفی در داخل عبارت‌های پرانتز ضرب شده و علامت مثبت، پشت پرانتز قرار دارد. به همین دلیل، عبارت نوشته شده در مطلب، صحیح است.

با تشکر از همراهی شما با مجله فرادرس

سلام.
آنچه در متن نوشته شده، صحیح است.
سپاس از همراهی‌تان با مجله فرادرس.

سلام وقت بخیر میشه بگید این چجوری حل میشه i.i
i.j

سلام و روز شما به خیر؛

ضرب داخلی دو بردار موازی با یکدیگر یعنی دو بردار بر هم منطبق هستند و زوایه بین آن‌ها صفر و cos زاویه صفر درجه نیز ۱ است، این اتفاقی است که در i.i رخ می‌دهد و حاصلضرب این دو بردار چون طول هر یک از آن‌ها ۱ است، برابر با ۱ خواهد بود. اما در مورد i.j چون دو بردار بر هم عمود هستند و cos زاویه ۹۰ درجه صفر است، پس نتیجه حاصلضرب i.j صفر می‌شود. برای آشنایی بیشتر با مفهوم ضرب داخلی مطلب ضرب داخلی بردارها — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام) را مطالعه کنید.

از اینکه با فرادرس همراه هستید خرسندیم.

باسلام ممنون از اموزشتون البته اونجایی که دترمینان میگیرین باید علامت بردار j رو منفی بگذارید لطفا اصلاح کنین تا بقیه اشتباه نکنن ممنون

اون درصورتیه که قطر اصلی رو اول و قطر فرعی رو دون بنویسیم. اینجا اول قطر فرعی رو نوشته و قطر اصلی رو ازش کم کرده، درواقع منفی رو توی پرانتز تاثیر داده.

سلام.
متن بررسی شد. علامت بردارها صحیح است.
سپاس از همراهی‌تان.

سلام ضرب داخلی و خارجی و خارجی اینچی میشه
7a+2a+3a
کمکم کنید ممنون

سلام هرسه جواب منفی میشه 6 رو مثبت زدید که اشتباهه

اگر تو a x b مولفه ها فقط ای حد و جی حد باشد و زد نباشد چجوری ضرب می کنیم ؟

سلام. متن مجدداً بررسی شد و محاسبات کاملاً صحیح است.
از همراهی شما با مجله فرادرس، خوشحالیم.

نه حتما برابر نیست چون ممکن یکی اندازش فرق داشته باشه ولی سینوس زاویه بینشون بیشتر باشه یا بالعکس

با سلام
بسیار عالی

نه ببخشید مثل اینکه منفی رو داخل پرانتر وارد کردین. ✋✋

سلام ، ممنون کمک کردین . یه مشکل هست به نظرم ، تو قسمتی که دترمینان رو محاسبه کردید پشت j باید منفی گذاشت . اگه دترمینان رو با ساروس
حل کنید مشخص میشه.
اگه اشتباه میکنم بگید لطفا

سلام خسته نباشید
من یه سری کابرد می خواستم از ضرب داخلی و خارجی. مثلا تو چه مسئله های فیزیکی ازش استفاده می شه

سلام
اگر a=(1,2,3) و
b=(t,0,2) و
C=(0,3,0) باشد .
مقدار tرا چنان بیابید که مثلث A,B,C در راس Aقائمه باشد.
ممنون میشم این رو هم با توضیحات کامل حل کنید

سلام از ضرب داخلی در مبحث کار(رابطه اصلی کار از طریق ضرب داخلی بدست میاد)استفاده می شود.

مساحت متوازی الاضلاع تولید شده توسط بردار a,b

با عرض سلام و احترام به تمامی دوستان گرامی. من در این سوال به مشکل برخورده ام و از شما دوستان نهایت محترم خواهش دارم که اگر می توانید
ای سوال را حل کنید. ممنون
سوال:اگر a,bوc سه بردار غیر صفر باشند
با مثال واضیح سازید که اگر
a*b=a*c باشد
لزومی ندارد که b=c باشد
؟

بابا ضرب خارجی یعنی اینکه یه بردار عمود بر دو بردار مثل اینکه بگه اگه دو تا ضلع مثلث هم اندازه باشه صلع دیگه شون هم اندازه باشه یادت نره زاویه بینشون هم مهمه

اگر منظورتون طول این بردار ها می باشد فکر کنم باید این رابطه حتما برقرار باشد

بی نظر دست گلتون درد نکنه مختصر مفید قابل فهم

عااالی بود

من اگه پاس شم ریاضی یک رو کل آموزشا رو میگیرم مختصر و مفید بود

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *