فرادرسحجم مخروط و محاسبه آن | به زبان ساده
در مطالب قبلی مجله فرادرس، با روش محاسبه حجم برخی از احجام هندسی از قبیل کره آشنا شدیم. در این آموزش، فرمول محاسبه حجم مخروط را همراه با اثبات آن و حل چند مثال بیان خواهیم کرد.
مخروط چیست؟
«مخروط» (Cone) یک شکل هندسی سه‌بعدی و نوعی هرم است که قاعده آن دایره‌ای بوده و به یک نوک تیز ختم می‌شود که رأس نامیده می‌شود. شکل زیر رأس، ارتفاع، یال، قاعده و شعاع قاعده مخروط را نشان می‌دهد.
فرمول حجم مخروط قائم
برای به دست آوردن حجم مخروط کافی است شعاع قاعده و ارتفاع آن را داشته باشیم.
شکل زیر یک مخروط قائم را با شعاع قاعده $$r$$ و ارتفاع $$h$$ نشان می‌دهد. مخروط قائم مخروطی است که اگر خطی عمود از رأس آن رسم کنیم، به مرکز قاعده می‌رسد.
فرمول محاسبه حجم مخروط به صورت زیر است:
$$ \large \boxed { V = \dfrac { 1 } { 3 } \pi r ^ 2 h } $$
جالب است بدانید حجم استوانه‌ای با شعاع قاعده و ارتفاع مشخص، سه برابر مخروطی با همان شعاع قاعده و ارتفاع است.
فرمول حجم مخروط مایل
مخروط مایل مخروطی است که رأس آن بر خط عمود بر مرکز قاعده‌اش منطبق نیست. شکل زیر یک مخروط مایل را نشان می‌دهد.
حجم یک مخروط مایل با ارتفاع $$ h$$ و شعاع قاعده $$r$$ با فرمول زیر به دست می‌آید و تفاوتی با مخروط قائم ندارد:
$$ \large V = \dfrac { 1 } { 3 } \pi r ^ 2 h $$
فرمول حجم مخروط ناقص
مخروط ناقص اصطلاحاً به مخروطی می‌گویند که از بالا بریده شده باشد.
شکل زیر یک مخروط ناقص را نشان می‌دهد.
حجم یک مخروط ناقص با شعاع قاعده کوچک $$r_1$$ و شعاع قاعده بزرگ $$r_2$$ و ارتفاع $$h$$ با فرمول زیر به دست می‌آید:
$$ \large V = \frac 13 \times \pi \times h \times (r_1^2 +r_1r_2+r_2^2) $$
اثبات فرمول حجم مخروط
فرمول حجم مخروط را می‌توان با مفهوم حجم حاصل از دوران اثبات کرد.
شکل زیر را در نظر بگیرید:
ارتفاع مخروط بالا $$h$$ و شعاع قاعده آن $$r$$ است. معادله خطی که یال بالایی مخروط را در شکل نشان می‌دهد، $$y=\dfrac{r}{h}x$$ است. در نتیجه، حجم مخروط به صورت زیر به دست خواهد آمد:
$$ \large \begin {aligned} S & = \int _ 0 ^ h \pi y ^ 2 d x \\ & = \pi \int _ 0 ^ h \left ( \dfrac { r } { h } x \right ) ^ 2 dx \\ & = \dfrac { \pi r ^ 2 } { h ^ 2 } \int _ 0 ^ h x ^ 2 d x \\ & = \left . \dfrac { \pi r ^ 2 } { h ^ 2 } \cdot \dfrac { x ^ 3 }{ 3 } \right | ^ h _ 0 \\ & = \dfrac { \pi r ^ 2 } { h ^ 2 } \cdot \dfrac { h ^ 3 }{ 3 } \\ & = \dfrac { 1 } { 3 } \pi r ^ 2 h . \end {aligned} $$
البته می‌توانیم از فرمول دیسک نیز برای اثبات فرمول حجم مخروط استفاده کنیم. مخروط شکل زیر را در نظر بگیرید.
همان‌طور که در شکل بالا نشان داده شده است، دیسکی را به شعاع $$R$$ و ارتفاع $$\Delta y $$ در نظر می‌گیریم. ارتفاع دیسک از قاعده مخروط برابر با $$ y$$ است. حجم دیسک برابر با $$ V _ \text {disk} = \pi R ^ 2 \Delta y $$ است.
باید $$R$$ را برحسب $$y$$ داشته باشیم. بنابراین، باید رابطه بین $$R$$ و $$y$$ را که به صورت $$R(h)$$ است، پیدا کنیم.
همان‌گونه که شکل بالا نشان می‌دهد، $$R$$ تابعی خطی از $$y$$ و به صورت $$ R ( y) = m y + b $$ است. می‌دانیم که $$R ( 0 ) = r $$ و $$ R ( h ) = 0 $$ است. بنابراین، شیب $$ m = \dfrac { \Delta R } { \Delta y } = \dfrac { r - 0 } { 0 - h } = - \dfrac { r } { h } $$ را خواهیم داشت. در نتیجه، تابع مورد نظر $$ R ( y ) = - \dfrac { r } { h } y + r $$ خواهد بود.
بنابراین، حجم مخروط به صورت زیر به دست می‌آید:
$$ \large \begin {aligned} V & = \pi \int _ 0 ^ h R ^ 2 ( y ) d y \\ & = \pi \int _ 0 ^ h \left ( - \dfrac { r } { h } y + r \right ) ^ 2 d y \\ & = \pi \int _ 0 ^ h \left ( \dfrac { r ^ 2 } { h ^ 2 } y ^ 2 -\dfrac { 2 r ^ 2 } { h } y + r ^ 2 \right ) d y \\ & = \left . \pi \left ( \dfrac { r ^ 2 } { 3 h ^ 2 } y ^ 3 - \dfrac { r ^ 2 }{ h } y ^ 2 + r ^ 2 y \right ) \right | ^ h _ 0 \\ & = \dfrac { 1 } { 3 } \pi r ^ 2 h . \end {aligned} $$
مثال‌های محاسبه حجم مخروط
در این بخش، چند مثال را از محاسبه حجم مخروط حل می‌کنیم.
مثال اول محاسبه حجم مخروط
حجم یک مخروط قائم برابر با $$200 \pi$$ و ارتفاع آن $$6$$ است. شعاع قاعده مخروط را به دست آورید.
حل: از فرمول محاسبه حجم مخروط استفاده می‌کنیم که در آن، $$ r $$ اندازه شعاع قاعده است. بنابراین، خواهیم داشت:
$$ \large \dfrac { 1 } { 3 } \pi r ^ 2 \times 6 = 2 0 0 \pi \implies r ^ 2 = 1 0 0 \implies r = 1 0 . $$
مثال دوم محاسبه حجم مخروط
حجم مخروطی را به دست آورید که اندازه یال آن $$25$$ و شعاع قاعده‌اش برابر با $$24$$ است.
حل: $$h$$ و $$l$$ را به ترتیب به عنوان ارتفاع و یال مخروط در نظر می‌گیریم. برای محاسبه حجم مخروط باید شعاع قاعده $$r$$ و ارتفاع $$h$$ را داشته باشییم. ارتفاع را با استفاده از یال محاسبه می‌کنیم. در نتیجه، ارتفاع $$h$$ با کمک قضیه فیثاغورس به صورت زیر به دست خواهد آمد:
$$ \large \begin {aligned} l & =\sqrt { h ^ 2 + r ^ 2 } \\ 2 5 ^ 2 & = \sqrt { h ^ 2 + 2 4 ^ 2 } \\ h ^ 2 & = 4 9 \\ h & = 7 . \end {aligned} $$
بنابراین، حجم مخروط به صورت زیر به دست خواهد آمد:
$$ \large \frac { 1 } { 3 } \pi \times 2 4 ^ 2 \times 7 = 1 3 4 4 \pi . $$
مثال سوم محاسبه حجم مخروط
ساعت شنی زیر را در نظر بگیرید. قبل از خالی شدن شنِ مخروط بالایی در مخروط پایینی، شخصی باید به سؤال‌هایی که مطرح می‌شود پاسخ دهد. سرعت ریزش شن $$50$$ میلی‌متر مکعب بر ثانیه است. مدت زمان پاسخ به سؤالات را بر حسب ثانیه به دست آورید.
حل: ابتدا حجم شن در مخروط بالایی را به دست می‌آوریم:
$$ \large V = \dfrac { 1 } { 3 } \pi r ^ 2 h = \dfrac { 1 }{ 3 } \pi \cdot 1 0 ^ 2 \cdot 2 4 = 8 0 0 \pi . $$
بنابراین، حجم شن موجود در مخروط $$800 \pi$$ میلی‌متر مکعب است. برای یافتن زمانی که باید به سؤال پاسخ داده شود، باید حجم را بر سرعت ریزش تقسیم کنیم:
$$ \large 800 \pi\times\dfrac{1}{50}=16\pi\approx 50.265\text{ (seconds)}. $$
مثال چهارم محاسبه حجم مخروط
حجم بستنی موجود در شکل زیر را به دست آورید (از حجم قیف صرف‌نظر کنید).
حل: همان‌گونه که از شکل مشخص است، حجم بستنی به دو قسمت تقسیم می‌شود: یک نیم‌کره و یک مخروط. شعاع نیم‌کره برابر با $$5$$ سانتی‌متر است. ارتفاع مخروط نیز برابر با $$10-5=5\, \text{cm}$$ است. برای محاسبه حجم بستنی، حجم مخروط و نیم‌کره را به دست آورده و سپس آن‌ها را با هم جمع می‌کنیم.
حجم نیم‌کره برابر است با:
$$ \large \frac 23 \pi r ^ 3 = \frac 23 \times 3.14 \times 5 ^ 3 = 261.90\; \text{cm}^3$$
حجم مخروط نیز به صورت زیر به دست می‌آید:
$$ \large \frac 13 \pi r^2 h = \frac 13 \times 3.14\times 5 ^5 \times 5 = 130.95 \; \text{cm}^3 $$
بنابراین، حجم بستنی به صورت زیر خواهد بود:
$$ \large = 261.90+130.95= 392.85\; \text{cm}^3 $$
مثال پنجم محاسبه حجم مخروط
مخروط ناقص زیر را با مشخصات $$R=5$$، $$r=4$$ و $$h = 10$$ داده شده است.
حجم این مخروط را به دست آورید.
حل: با استفاده از فرمولی که برای مخروط ناقص بیان کردیم، به راحتی می‌توان حجم را به دست آورد:
$$ \large \begin {align*}
V & = \frac 13 \pi h (R^2 +Rr+r^2)\\
& = \frac 13 \pi 10(5^2+5\times4+4^2)
\\& = \frac 13 \pi (10)(61) \approx 638.79
\end {align*} $$
