ریاضی , علوم پایه 1349 بازدید

قانون سینوس‌ها، رابطه‌ای است که کاربرد بسیاری در محاسبات مربوط به مثلث‌ها دارد. البته جهت تحلیل زوایا و اندازه اضلاع یک مثلث می‌توان از قانون کسینوس‌ها نیز بهره برد. جهت بیان این قانون، در ابتدا مثلث زیر را در نظر بگیرید.

Law of sines

همان‌طور که در مثلث فوق نشان داده شده، حروف کوچک بیان‌کننده اضلاع و حروف بزرگ بیان‌کننده زوایای مثلث هستند. قانون سینوس‌ها، رابطه زیر را بین طول اضلاع و زوایا، به شکل زیر بیان می‌کند:

در حقیقت رابطه بالا بیان می‌کند که حاصل تقسیم یک ضلع مثلث به سینوس زاویه مقابلش، برای تمامی اضلاع آن، مقداری ثابت است. جهت آزمایش این رابطه، مثلثی مطابق با تصویر زیر با زوایا و طول‌های مشخصی رسم شده است.

sine-law-2

حاصل تقسیم هر ضلع به سینوس زاویه مقابلش برابر است با:

law of sines

همان‌طور که در بالا نیز محاسبه شد، حاصل عبارات بدست آمده، تقریبا با یکدیگر برابر هستند.

بکارگیری این قانون

این قانون در تحلیل هندسی مسائل بسیار کاربرد دارد. در حقیقت می‌توان با استفاده از آن اضلاع و یا زوایای مجهول را در یک مثلث یافت. جهت نحوه استفاده از این قانون، به نمونه‌هایی که در ادامه آمده، توجه فرمایید. در ابتدا مثلثی را مطابق با شکل زیر در نظر بگیرید.

پیدا کردن اندازه ضلع

Sine

به نظر شما اندازه ضلع c چقدر است؟‌ جهت پاسخ به این سوال، قانون سینو‌س‌ها را به شکل زیر می‌نویسیم.

sine-law-3

با برابر قرار دادن عبارت دوم و سوم رابطه بالا، داریم:

law of sines

پس از جایگذاری مقادیر معلوم در رابطه بالا:

laws of sines

با حل معادله خطی بالا داریم:

law of sines

پیدا کردن زاویه مجهول

در مثال بالا، اندازه ضلع مجهول یافت شد. حال مطابق با شکل زیر مثلثی را در نظر بگیرید که در آن دو زاویه مجهول (A و B) وجود دارد. فرض کنید هدف ما محاسبه زاویه B باشد.

law of sines

به ترتیب زیر می‌توان زاویه B را بدست آورد:

law of sines

دو پاسخ برای قانون سینوس‌ها

در برخی از مواقع، با نوشتن قانون سینوس‌ها،‌ به دو پاسخ برای اضلاع و یا زاویه‌ها می‌رسیم. برای نمونه مطابق با شکل زیر،‌ مثلثی را با زاویه A و طول اضلاع a و b تصور کنید.

law of sines

می‌توان با ثابت نگه داشتن زاویه A و ضلع b،‌ ظلع a را دوران داده به به مثلثی با همین مشخصات دست یافت. همان‌گونه که در شکل زیر می‌بینید ظلع a دوران یافته و مثلث مشابهی را به‌وجود آورده که در آن مقادیر A ،a ،b برابر با مثلث بالا است.

law of sines

در حالتی این اتفاق می‌افتد که دو ضلع و زاویه خارج از آن‌ها معلوم باشد. اگر زاویه معلوم، بین دو ضلع باشد،‌ در این صورت تنها یک مثلث وجود خواهد داشت. برای درک بهتر به مثال زیر توجه کنید.

زاویه R را در مثلث زیر بیابید.

قانون سینوس‌ها

با توجه به مشخصات ارائه شده در شکل بالا، قانون سینوس‌ها را می‌توان به‌ترتیب زیر بیان کرد:

law of sines

به نظر شما ابهام در پاسخ بالا در کدام عبارت نهفته است. در حقیقت با تفکر در روش بالا متوجه می‌شویم که (R = sin-1 (0.9215 دارای دو پاسخ است. در حقیقت زاویه‌ای دیگر به جز ۶۷.1 درجه وجود دارد که سینوس آن نیز برابر با ۰.۹21۵ است. این زاویه برابر با مقدار زیر است:

law of sines

بنابراین با ثوابت مطرح شده در صورت سوال، دو مثلث زیر را می‌توان رسم کرد:

sin-law

در هر دو مثلث بالا زاویه 3۹ درجه و دو ظلع با طول‌های 41 و 2۸ وجود دارد! به‌یاد داشته باشید که همواره بایستی پاسخ دوم را از نظر منطقی چک کرد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 2 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

یک نظر ثبت شده در “قانون سینوس‌ ها (Law of Sines) — به زبان ساده

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *