نسبت های مثلثاتی به زبان ساده + مثال و تمرین

نسبت های مثلثاتی چه هستند ؟

برای تعریف این نسبت‌ها، مثلث قائم‌الزاویه زیر را در نظر بگیرید.

سینوس

یکی از مهم‌ترین توابع مثلثاتی، تابع سینوس (Sine) است. بر اساس زاویه مورد نظر (زاویه غیرقائمه θ) در مثلث قائم‌الزاویه، این تابع به صورت نسبت ضلع مقابل به وتر تعریف می‌شود:

وتر ÷ ضلع مقابل زاویه θ = سینوس زاویه θ

$$\sin { \theta } = \frac { O }{ H }$$

• $$\sin { \theta }$$: سینوس زاویه θ
• O: ضلع مقابل زاویه θ
• H: وتر مثلث قائم‌الزاویه

کسینوس

دومین تابع مثلثاتی اصلی، کسینوس (Cosine) است. کسینوس زاویه θ در مثلث قائم‌الزاویه، از تقسیم ضلع مجاور θ به وتر به دست می‌آید:

وتر ÷ ضلع مجاور زاویه θ = کسینوس زاویه θ

$$\cos { \theta } = \frac { A }{ H }$$

• $$\cos { \theta }$$: کسینوس زاویه θ
• A: ضلع مجاور زاویه θ
• H: وتر مثلث قائم‌الزاویه

تانژانت

تانژانت (Tangent)، یکی از دیگر توابع مثلثاتی اصلی و شناخته شده است. این تابع، نسبت ضلع مقابل به مجاور زاویه θ در مثلث قائم‌الزاویه را نمایش می‌دهد:

ضلع مجاور زاویه θ ÷ ضلع مقابل زاویه θ = تانژانت زاویه θ

$$\tan { \theta } = \frac { O }{ A }$$

• $$\tan { \theta }$$: تانژانت زاویه θ
• O: ضلع مقابل زاویه θ
• A: ضلع مجاور زاویه θ

تانژانت زاویه θ، از تقسیم سینوس θ بر کسینوس θ به دست می‌آید. با تقسیم عبارت‌های این نسبت های مثلثاتی می‌توانید فرمول بالا را اثبات کنید.

سینوس، کسینوس و تانژانت، نسبت های مثلثاتی اصلی هستند. علاوه بر این توابع، نسبت‌های دیگری وجود دارند که در ادامه به معرفی آن‌ها می‌پردازیم.

کتانژانت

کتانژانت (Cotangent)، نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل زاویه θ در مثلث قائم‌الزاویه را نمایش می‌دهد. این تابع، نسبت کسینوس به سینوس است. فرمول کتانژانت زاویه θ به صورت زیر نوشته می‌شود:

ضلع مقابل زاویه θ ÷ ضلع مجاور زاویه θ = تانژانت زاویه θ

$$\cot { \theta } = \frac { A }{ O }$$

• $$\cot { \theta }$$: کتانژانت زاویه θ
• A: ضلع مجاور زاویه θ
• O: ضلع مقابل زاویه θ

بسیاری، تابع کتانژانت را به عنوان یکی از نسبت های مثلثاتی اصلی در نظر می‌گیرند. این تابع، عکس تابع تانژانت است. به همین دلیل، با محاسبه تانژانت، محاسبه کتانژانت نیز به سادگی انجام می‌شود.

کسکانت

کسکانت (Cosecant)، یکی دیگر از نسبت های مثلثاتی است که نسبت وتر به ضلع مقابل زاویه θ در مثلث قائم‌الزاویه را نمایش می‌دهد. این تابع به صورت زیر تعریف می‌شود:

ضلع مقابل زاویه θ ÷ وتر = کسکانت زاویه θ

$$\csc { \theta } = \frac { H }{ O }$$

• $$\csc { \theta }$$: کسکانت زاویه θ
• H: وتر مثلث قائم‌الزاویه
• O: ضلع مقابل زاویه θ

بر اساس تعریف کسکانت، این تابع را می‌توان عکس سینوس در نظر گرفت.

سکانت

سکانت (Secant)، نسبت وتر به ضلع مجاور زاویه θ در مثلث قائم‌الزاویه است. این نسبت مثلثاتی، با عکس کسینوس زاویه θ برابری می‌کند. ساکانت θ از رابطه زیر به دست می‌آید:

ضلع مجاور زاویه θ ÷ وتر = کسکانت زاویه θ

$$\sec { \theta } = \frac { H }{ A }$$

• $$\sec { \theta }$$: کسکانت زاویه θ
• H: وتر مثلث قائم‌الزاویه
• A: ضلع مجاور زاویه θ

برخی از روابط بین توابع مثلثاتی

فرمول‌های زیادی برای نمایش رابطه بین توابع مثلثاتی مختلف وجود دارند. به عنوان مثال، یکی از معروف‌ترین و مهم‌ترین فرمول‌های مثلثاتی عبارت است از:

$$\sin ^ ۲ \theta + \cos ^ ۲ \theta = ۱$$

این فرمول، با عنوان قضیه فیثاغورس در مثلثات شناخته می‌شود و رابطه بین مربع سینوس و مربع کسینوس یک زاویه را نمایش می‌دهد. از دیگر روابط مهم بین توابع مثلثاتی می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

$$۱ + \tan ^ ۲ \theta = \sec ^ ۲$$

$$۱ + \cot ^ ۲ \theta = \csc ^ ۲$$

در بخش‌های بعدی، به معرفی روابط بیشتری خواهیم پرداخت.

جدول رابطه بین نسبت های مثلثاتی

در بخش‌های قبلی دیدیم که نسبت های مثلثاتی، با یکدیگر رابطه دارند. به عبارت دیگر، نسبت های مثلثاتی را می‌توان بر حسب یکدیگر بازنویسی کرد.

فیلم آموزش ریاضی ۲ پایه یازدهم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

جدول زیر، رابطه بین سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت را نمایش می‌دهد.

جدول مقادیر نسبت های مثلثاتی زوایای خاص

در مثلثات، زاویه‌های ۰، ۳۰، ۴۵، ۶۰ و ۹۰ درجه، به عنوان زوایه‌های خاص شناخته می‌شوند. جدول زیر، مقادیر نسبت‌های مثلثاتی برای این زاویه‌ها را نمایش می‌دهد.

تعیین علامت نسبت های مثلثاتی در دایره مثلثاتی

این دایره، معمولا به چهار قسمت مساوی یا تقسیم می‌شوند. سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت در هر یک از این ربع‌ها، دارای علامت مشخصی هستند.

در بخش قبلی، به معرفی مقدار عددی نسبت‌های مثلثاتی برخی از زاویه‌ها پرداختیم. این زاویه‌ها، بین ۰ تا ۹۰ درجه یا اصطلاحا در ربع اول دایره مثلثاتی قرار داشتند. تمام نسبت‌های مثلثاتی، در ربع اول دارای علامت مثبت هستند. اما این مسئله برای ربع‌های دیگر صادق نیست. علامت نسبت های مثلثاتی در چهار ربع دایره واحد به صورت زیر تعیین می‌شود:

• ربع اول: در بازه ۰ تا ۹۰ درجه یا ۰ تا π/۲، علامت همه نسبت‌های مثلثاتی مثبت است.
• ربع دوم: در بازه ۹۰ تا ۱۸۰ درجه یا ۰ تا π، علامت سینوس مثبت و علامت بقیه منفی نسبت‌های مثلثاتی منفی است.
• ربع سوم: در بازه ۱۸۰ تا ۲۷۰ درجه یا π- تا π/۲-، علامت تانژانت و کتانژانت مثبت، علامت سینوس و کسینوس منفی است.
• ربع چهارم: در بازه ۲۷۰ تا ۳۶۰ درجه یا π/۲- تا ۰، علامت کسینوس مثبت و علامت بقیه نسبت‌های مثلثاتی منفی است.

جدول زیر، تعیین علامت نسبت‌های مثلثاتی را در بازه‌های مختلف نمایش می‌دهد.

نسبت های مثلثاتی معکوس

$$\sin { \theta } = \frac { O }{ H }$$

در این تابع، با قرار دادن مقدار زاویه θ، نسبت ضلع مقابل به وتر به دست می‌آید. اکنون، اگر تابعی داشته باشیم که با قرار دادن مقدار نسبت ضلع مقابل به وتر، به مقدار زاویه θ برسیم، به آن، معکوس تابع سینوس می‌گوییم و آن را با $$\sin ^ { - ۱ }$$ نمایش می‌دهیم:

$$\sin ^ { - ۱ } { ( \frac { O }{ H } ) } = \theta$$

معکوس دیگر نسبت های مثلثاتی نیز به همین صوت تعریف می‌شود. به این ترتیب داریم:

$$\cos ^ { - ۱ } { ( \frac { A }{ H } ) } = \theta$$

$$\tan ^ { - ۱ } { ( \frac { O }{ A } ) } = \theta$$

$$\cot ^ { - ۱ } { ( \frac { A }{ O } ) } = \theta$$

معکوس توابع مثلثاتی با پیشوند «آرک» (Arc) نیز بیان می‌شوند:

• معکوس سینوس: آرک سینوس (Arcsine)
• معکوس کسینوس: آرک کسینوس (Arccosine)
• معکوس تانژانت: آرک تانژانت (Arctangent)
• معکوس تانژانت: آرک کتانژانت (Arccotangent)

مثال ۱: محاسبه زاویه با استفاده از معکوس سینوس

اندازه ضلع مقابل به زاویه حاده α در یک مثلث قائم‌الزاویه برابر با x و اندازه وتر مثلث برابر با ۲x است. مقدار زاویه θ را به دست بیاورید.

در این مثال، می‌خواهیم از طول ضلع‌ها به اندازه زاویه برسیم. برای این کار، به روابط معکوس توابع مثلثاتی نیاز داریم. به دلیل مشخص بودن اندازه وتر و ضلع مقابل به زاویه مورد نظر، فرمول معکوس تابع سینوس را می‌نویسیم:

$$\sin ^ { - ۱ } { ( \frac { O }{ H } ) } = \theta$$

• $$\sin ^ { - ۱ }$$: معکوس سینوس
• H: وتر مثلث قائم‌الزاویه برابر با ۲x
• O: ضلع مقابل زاویه θ برابر با x

پارامترهای داده شده در صورت سوال را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم:

$$\sin ^ { - ۱ } { ( \frac { x }{ ۲x } ) } = \theta$$

$$\sin ^ { - ۱ } { ( \frac { ۱ }{ ۲ } ) } = \theta$$

با توجه به رابطه به دست آمده، مقدار زاویه θ، برابر با معکوس تابع سینوس در نقطه یک‌دوم است. به این ترتیب، باید ببینیم سینوس کدام زاویه برابر با یک‌دوم می‌شود. سینوس زاویه ۳۰ درجه برابر با یک‌دوم است:

$$\sin { ۳۰ ^ { \circ } } = \frac { ۱ }{ ۲ }$$

بنابراین:

$$\sin ^ { - ۱ } { ( \frac { ۱ }{ ۲ } ) } = ۳۰ ^ { \circ }$$

$$\sin ^ { - ۱ } { ( \frac { ۱ }{ ۲ } ) } = \frac { \pi }{ ۶ }$$

در نتیجه، مقدار زاویه θ برابر با ۳۰ درجه است.

نسبت های مثلثاتی قرینه زاویه

فیلم آموزش ریاضی ۲ پایه یازدهم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

برخی از این روابط عبارت هستند از:

$$\sin ( { - \theta } ) = - \sin { \theta }$$

$$\cos ( { - \theta } ) = \cos { \theta }$$

$$\tan ( { - \theta } ) = - \tan { \theta }$$

$$\cot ( { - \theta } ) = - \cot { \theta }$$

$$\sec ( { - \theta } ) = \sec { \theta }$$

$$\csc ( { - \theta } ) = - \csc { \theta }$$

مثال ۲: محاسبه کسینوس زاویه منفی

کسینوس زاویه ۴۵- درجه را به دست بیاورید.

بر اساس روابط ارائه شده برای نسبت های مثلثاتی قرینه یک زاویه، داریم:

$$\cos ( { - \theta } ) = \cos { \theta }$$

این رابطه را با توجه به زاویه مورد سوال بازنویسی می‌کنیم:

$$\cos ( { - ۴۵ ^ { \circ } } ) = \cos { ۴۵ ^ { \circ } }$$

کسینوس ۴۵ برابر است با:

$$\cos { ۴۵ ^ { \circ } } = \frac { \sqrt { ۲ } }{ ۲ }$$

بنابراین، کسینوس ۴۵- درجه برابر خواهد بود با:

$$\cos ( { - ۴۵ ^ { \circ } } ) = \frac { \sqrt { ۲ } }{ ۲ }$$

نسبت های مثلثاتی زوایای متمم

یک زاویه فرضی مانند θ را در نظر بگیرید. متمم این زاویه برابر است با:

۹۰° = متمم زاویه θ + زاویه θ

$$۹۰ ^ { \circ } - \theta$$ = متمم زاویه θ

روابط مثلثاتی متمم زاویه θ به صورت زیر نوشته می‌شوند:

$$\sin { ( ۹۰ ^ { \circ } - \theta ) } = \cos { \theta }$$

$$\cos { ( ۹۰ ^ { \circ } - \theta ) } = \sin { \theta }$$

$$\tan { ( ۹۰ ^ { \circ } - \theta ) } = \cot { \theta }$$

$$\cot { ( ۹۰ ^ { \circ } - \theta ) } = \tan { \theta }$$

$$\csc { ( ۹۰ ^ { \circ } - \theta ) } = \sec { \theta }$$

$$\sec { ( ۹۰ ^ { \circ } - \theta ) } = \csc { \theta }$$

رابطه بین α و β در مثلث ABC‌ عبارت است از:

$$\alpha + \beta = ۹۰ ^ { \circ }$$

$$\beta = ۹۰ ^ { \circ } - \alpha$$

$$\alpha = ۹۰ ^ { \circ } - \beta$$

بنابراین، با داشتن هر یک از زوایای متمم α یا β، می‌توانیم مقدار نسبت‌های مثلثاتی زاویه دیگر را به دست بیاوریم. به عبارت دیگر:

$$\sin { \beta } = \cos { \alpha}$$

$$\cos { \beta } = \sin { \alpha}$$

$$\tan { \beta } = \cot { \alpha}$$

$$\cot { \beta } = \tan { \alpha}$$

$$\csc { \beta } = \sec { \alpha}$$

$$\sec { \beta } = \csc { \alpha}$$

در بسیاری از منابع مرتبط با مبحث مثلثات، زاویه‌ها بر حسب رادیان بیان می‌شوند. بنابراین، معمولا نمایش متمم یک زاویه مشابه عبارت $$\frac { \pi }{ ۲ } - \theta$$ خواهد بود.

 مثال ۳: محاسبه تانژانت متمم یک زاویه

دو زاویه α و β، متمم یکدیگرند. اگر مقدار زاویه α برابر با ۶۰ درجه باشد، تانژانت زاویه β چقدر است؟

برای به دست آوردن تانژانت β، دو روش داریم.

روش اول

از آنجایی که α و β، متمم هستند، جمع آن‌ها برابر با ۹۰ درجه می‌شود:

$$\alpha + \beta = ۹۰ ^ { \circ }$$

زاویه α برابر با ۶۰ درجه است. بنابراین:

$$۶۰ ^ { \circ } + \beta = ۹۰ ^ { \circ }$$

$$\beta = ۹۰ ^ { \circ } - ۶۰ ^ { \circ }$$

$$\beta = ۳۰ ^ { \circ }$$

زاویه β برابر با ۳۰ درجه است. اکنون می‌توانیم تانژانت زاویه ۳۰ درجه را محاسبه کنیم.

روش دوم

α و β، متمم هستند. بنابراین، تانژانت β، برابر با کتانژانت α می‌شود:

$$\tan { \beta } = \cot { \alpha}$$

$$\tan { \beta } = \cot { ۶۰ ^ { \circ } }$$

کتانژانت زاویه ۶۰ درجه از تقسیم کسینوس زاویه ۶۰ درجه بر سینوس زاویه ۶۰ درجه به دست می‌آید:

$$\cot { ۶۰ ^ { \circ } } = \frac { \cos ۶۰ ^ { \circ } }{ \sin ۶۰ ^ { \circ } }$$

با توجه به جدول نسبت های مثلثاتی برای زوایای خاص، داریم:

$$\cos ۶۰ ^ { \circ } = \frac { ۱ }{ ۲ }$$

$$\sin ۶۰ ^ { \circ } = \frac { \sqrt { ۳ } }{ ۲ }$$

این مقادیر را درون رابطه تانژانت قرار می‌دهیم:

$$\cot { ۶۰ ^ { \circ } } = \frac { \frac { ۱ }{ ۲ } }{ \frac { \sqrt { ۳ } }{ ۲ } }$$

$$\cot { ۶۰ ^ { \circ } } = \frac { ۱ }{ \sqrt { ۳ } }$$

بنابراین، تانژانت زاویه β (تانژانت زاویه ۳۰ درجه) برابر با $$\sqrt { ۳ }$$ است.

مثال ۴: محاسبه تانژانت جمع یک زاویه با زاویه قائمه

تانژانت جمع زاویه α با $$\frac { \pi }{ ۲ }$$ را به دست بیاورید.

صورت سوال، حاصل عبارت زیر را از ما می‌خواهد:

$$\tan { ( \frac { \pi }{ ۲ } + \alpha ) }$$

$$\frac { \pi }{ ۲ }$$، همان زاویه ۹۰ درجه است. بنابراین می‌توانیم رابطه بالا را به صورت زیر بنویسیم:

$$\tan { ( ۹۰ ^ { \circ } + \alpha ) }$$

در این بخش با فرمول کلی رابطه نسبت‌های مثلثاتی زوایای متمم آشنا شدیم. اکنون، رابطه بالا را به شکل این فرمول درمی‌آوریم:

$$\tan { [ ۹۰ ^ { \circ } - ( - \alpha) ] }$$

می‌دانیم که رابطه تانژانت زاویه متمم عبارت است از:

$$\tan { ( ۹۰ ^ { \circ } - \theta ) } = \cot { \theta }$$

به جای θ، عبارت α- را قرار می‌دهیم:

$$\tan { [ ۹۰ ^ { \circ } - (- \alpha )] } = \cot { ( - \alpha ) }$$

بنابراین:

$$\tan { ( ۹۰ ^ { \circ } + \alpha )} = \cot { ( - \alpha ) }$$

از بخش نسبت های مثلثاتی قرینه زاویه می‌دانیم:

$$\cot ( { - \theta } ) = - \cot { \theta }$$

در نتیجه:

$$\tan { ( ۹۰ ^ { \circ } + \alpha )} = \cot { ( - \alpha ) } = - \cot { \theta }$$

$$\tan { ( ۹۰ ^ { \circ } + \alpha )}= - \cot { \theta }$$

$$\tan { ( \frac { \pi }{ ۲ } + \alpha )}= - \cot { \theta }$$

تانژانت جمع زاویه α با $$\frac { \pi }{ ۲ }$$ برابر با منفی کتانژانت زاویه α است.

نسبت های مثلثاتی زوایای مکمل

فیلم آموزش ریاضی ۲ پایه یازدهم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

به عنوان مثال، در صورت داشتن زاویه θ، نسبت‌های مثلثاتی مکمل آن با استفاده از روابط زیر به دست می‌آیند:

$$\sin { ( ۱۸۰ ^ { \circ } - \theta ) } = \sin{ \theta }$$

$$\cos { ( ۱۸۰ ^ { \circ } - \theta ) } = - \cos{ \theta }$$

$$\tan { ( ۱۸۰ ^ { \circ } - \theta ) } = - \tan { \theta }$$

$$\cot { ( ۱۸۰ ^ { \circ } - \theta ) } = - \cot { \theta }$$

$$\csc { ( ۱۸۰ ^ { \circ } - \theta ) } = \csc{ \theta }$$

$$\sec { ( ۱۸۰ ^ { \circ } - \theta ) } = - \sec{ \theta }$$

دو زاویه α و β را در نظر بگیرید. با فرض مکمل بودن این زوایا، خواهیم داشت:

$$\alpha + \beta = ۱۸۰ ^ { \circ }$$

$$\alpha = ۱۸۰ ^ { \circ } - \beta$$

$$\beta = ۱۸۰ ^ { \circ } - \alpha$$

به این ترتیب، رابطه بین نسبت های مثلثاتی این دو زاویه به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\sin { \beta } = \sin{ \alpha }$$

$$\cos { \beta } = - \cos{ \alpha }$$

$$\tan { \beta } = - \tan { \alpha }$$

$$\cot { \beta } = - \cot { \alpha }$$

$$\csc { \beta } = \csc{ \alpha }$$

$$\sec { \beta } = - \sec{ \alpha }$$

معمولا نمایش مکمل یک زاویه در مسائل مثلثات، مشابه عبارت $$\pi - \theta$$ خواهد بود. همانطور که مشاهده می‌کنید، نسبت‌های مثلثاتی مکمل یک زاویه، با نسبت‌های مثلثاتی همان زاویه تفاوتی ندارد و فقط در برخی از روابط، علامت آن‌ها با یکدیگر فرق می‌کند.

مثال ۵: محاسبه کسکانت مکمل یک زاویه

کسکانت زاویه ۷۵ درجه برابر با ۱/۰۴ است. با در نظر داشتن این مقدار، کسکانت زاویه ۱۰۵ درجه را به دست بیاورید.

مجموع زوایای ۷۵ و ۱۰۵ درجه، برابر با ۱۸۰ درجه می‌شود. از این‌رو، این دو زاویه، مکمل یکدیگرند. بین کسکانت دو زاویه مکمل، رابطه زیر برقرار است:

$$\csc { \beta } = \csc{ \alpha }$$

بنابراین:

$$\csc { ۱۰۵ ^ { \circ } } = \csc{ ۷۵ ^ { \circ } }$$

$$\csc { ۱۰۵ ^ { \circ } } = ۱/۰۴$$

در نتیجه، کسکانت زاویه ۱۰۵ درجه نیز برابر با ۱/۰۴ است.

نسبت های مثلثاتی زوایای انتقال یافته

اگر زاویه‌ای مانند θ را به اندازه یک دوره تناوب، نصف دوره تناوب یا ربع دوره تناوب نسبت‌های مثلثاتی جابجا کنیم، امکان نوشتن روابط مثلثاتی زاویه جدید بر حسب θ فراهم می‌شود. در بخش‌های قبلی (نسبت‌های مثلثاتی زوایای متمم و مکمل)، با برخی از این روابط آشنا شدیم. جدول زیر، برخی دیگر از روابط نسبت های مثلثاتی زوایای دوران یافته را نمایش می‌دهد.

مثال ۶: محاسبه کتانژانت زاویه دوران یافته

کتانژانت زاویه‌ای برابر با ۰/۵۱ است. اگر این زاویه را به اندازه ۴۵ درجه در جهت حرکت عقربه‌های ساعت دوران دهیم، مقدار کتانژانت چقدر می‌شود.

۴۵ درجه، برابر با ربع یا یک‌چهارم دایره مثلثاتی است. کتانژانت زاویه دوران‌یافته به اندازه ۴۵ درجه از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$\cot { ( \theta \pm \frac { \pi }{ ۴ } ) } = \frac { \cot \theta \mp ۱ }{ ۱ \pm \cot \theta }$$

عبارت معرف زاویه در سمت چپ رابطه بالا، دارای علامت مثبت-منفی است. تعیین این علامت، به جهت جابجایی زاویه (جابجایی ساعتگرد یا پادساعتگرد) بستگی دارد. در دایره مثلثاتی، حرکت پادساعتگرد (خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت)، یک جابجایی مثبت و حرکت ساعتگرد (جهت حرکت عقربه‌های ساعت)، یک جابجایی منفی در نظر گرفته می‌شود. بنابراین، مطابق با صورت سوال، باید رابطه دارای علامت منفی را مورد استفاده قرار دهیم. این رابطه عبارت است از:

$$\cot { ( \theta - \frac { \pi }{ ۴ } ) } = \frac { \cot \theta + ۱ }{ ۱ - \cot \theta }$$

زاویه درون تابع کتانژانت در سمت چپ رابطه، جابجایی ۴۵ درجه‌ای زاویه θ در جهت ساعتگرد را نمایش می‌دهد. با توجه به عبارت‌های سمت راست رابطه، برای محاسبه این $$\cot { ( \theta - \frac { \pi }{ ۴ } ) }$$، به مقدار $$\cot { \theta }$$ نیاز داریم. کتانژانت θ برابر با ۰/۵۱ است. این مقدار را درون رابطه اصلی قرار می‌دهیم:

$$\cot { ( \theta - \frac { \pi }{ ۴ } ) } = \frac { ۰/۵۱ + ۱ }{ ۱ - ۰/۵۱ } = ۳/۰۸$$

در نتیجه، کتانژانت زاویه مورد نظر، در صورت جابجایی ۴۵ درجه‌ای در جهت حرکت عقربه‌های ساعت، برابر با ۳/۰۸۱ می‌شود.

نسبت های مثلثاتی جمع و تفریق دو زاویه

دو زاویه مانند α و β را در نظر بگیرید. اگر بخواهیم نسبت‌های مثلثاتی جمع این دو زاویه را به دست بیاوریم، از روابط زیر استفاده می‌کنیم:

$$\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta − \sin \alpha \sin \beta$$

$$\tan ( \alpha + \beta ) = \frac { \tan { \alpha } + \tan { \beta } } { ۱ - \tan { \alpha } \tan { \beta }}$$

$$\cot ( \alpha + \beta ) = \frac { \cot { \alpha } \cot { \beta } - ۱ } { \cot { \alpha } + \cot { \beta } }$$

با توجه به روابط بالا می‌توانیم نسبت‌های مثلثاتی تفریق دو زاویه را به دست بیاوریم. به این منظور، کافی است عبارت تفریقی $$\alpha - \beta$$ را به صورت عبارت جمعی $$\alpha + ( - \beta )$$ بازنویسی کرده و از روابط معرفی شده در بخش نسبت های مثلثاتی قرینه زاویه (زاویه منفی) استفاده کنیم. با این کار، به روابط زیر خواهیم رسید:

$$\sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

$$\tan ( \alpha - \beta ) = \frac { \tan { \alpha } - \tan { \beta } } { ۱ + \tan { \alpha } \tan { \beta }}$$

$$\cot ( \alpha - \beta ) = \frac { \cot { \alpha } \cot { \beta } + ۱ } { \cot { \alpha } - \cot { \beta } }$$

مثال ۷: محاسبه سینوس جمع دو زاویه

سینوس زاویه ۱۲۰ درجه را با استفاده از فرمول نسبت های مثلثاتی جمع دو زاویه به دست بیاورید.

سینوس زاویه ۱۲۰ درجه، تقریبا برابر با ۰/۸۷ است. می‌خواهیم با استفاده از نسبت‌های مثلثاتی جمع دو زاویه، به این مقدار برسیم. به این منظور، دو زاویه α و β را در نظر بگیرد. اگر α برابر با ۳۰ درجه و β برابر با ۶۰ درجه باشد، جمع آن‌ها برابر با ۱۲۰ درجه می‌شود. رابطه سینوس جمع این دو زاویه عبارت است از:

$$\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

مقدار زاویه‌ها را درون رابطه بالا قرار می‌دهیم:

$$\sin ( ۳۰ ^ { \circ } + ۶۰ ^ { \circ } ) = \sin ۳۰ ^ { \circ } \cos ۶۰ ^ { \circ } + \cos ۳۰ ^ { \circ } \sin ۶۰ ^ { \circ }$$

$$\sin ( ۱۲۰ ^ { \circ } ) = \sin ۳۰ ^ { \circ } \cos ۶۰ ^ { \circ } + \cos ۳۰ ^ { \circ } \sin ۶۰ ^ { \circ }$$

سینوس ۳۰ درجه برابر با $$\frac { ۱ } { ۲ }$$، سینوس ۶۰ درجه برابر با $$\frac { \sqrt { ۳ } } { ۲ }$$، کسینوس ۳۰ درجه برابر با  $$\frac { \sqrt { ۳ } } { ۲ }$$ و سینوس ۶۰ درجه برابر با $$\frac { ۱ } { ۲ }$$ است. این مقادیر را درون رابطه بالا قرار می‌دهیم:

$$\sin ( ۱۲۰ ^ { \circ } ) = ( \frac { ۱ } { ۲ } \times \frac { \sqrt { ۳ } } { ۲ } ) + ( \frac { \sqrt { ۳ } } { ۲ } \times \frac { ۱ } { ۲ } )$$

$$\sin ( ۱۲۰ ^ { \circ } ) = \frac { \sqrt { ۳ } } { ۴ } + \frac { \sqrt { ۳ } } { ۴ }$$

$$\sin ( ۱۲۰ ^ { \circ } ) = \frac { ۲ \sqrt { ۳ } } { ۴ }$$

$$\sin ( ۱۲۰ ^ { \circ } ) = \frac { \sqrt { ۳ } } { ۲ }$$

$$\sin ( ۱۲۰ ^ { \circ } ) = \frac { ۱/۷۳} { ۲ }$$

$$\sin ( ۱۲۰ ^ { \circ } ) \approx ۰/۸۷$$

به این ترتیب، با استفاده از فرمول سینوس جمع دو زاویه نیز به مقدار ۰/۸۷ برای سینوس زاویه ۱۲۰ درجه رسیدیم. همانطور که مشاهده می‌کنید، سینوس زاویه ۱۲۰ درجه با کسینوس زاویه ۳۰ درجه برابر است. در بخش نسبت‌های مثلثاتی انتقال یافته، فرمول زیر را معرفی کردیم:

$$\cos { ( \theta \pm ۹۰ ^ { \circ } ) } = \mp \sin \theta$$

رابطه بین سینوس زاویه ۱۲۰ درجه با کسینوس زاویه ۳۰ درجه، در این فرمول قابل مشاهده است:

$$\cos { ( ۱۲۰ ^ { \circ } - ۹۰ ^ { \circ } ) } = + \sin ۱۲۰ ^ { \circ }$$

$$\cos { ۳۰ ^ { \circ } } = \sin ۱۲۰ ^ { \circ }$$

نسبت های مثلثاتی دو برابر یک زاویه

زاویه θ را در نظر بگیرید. نسبت‌های مثلثاتی دو برابر زاویه θ زاویه (۲θ) با استفاده از روابط زیر به دست می‌‌آید:

$$\sin ( ۲ \theta ) = ۲ \sin \theta \cos \theta$$

$$\cos ( ۲ \theta ) = \cos ^ ۲ \theta - \sin ^ ۲ \theta$$

$$\tan ( ۲ \theta ) = \frac { ۲ \tan \theta } { ۱ - \tan ^ ۲ \theta }$$

$$\cot ( ۲ \theta ) = \frac { \cot ^ ۲ \theta - ۱ } { ۲ \cot \theta }$$

زاویه مضاعف را می‌توان به صورت جمع دو زاویه برابر نوشت:

$$۲ \theta = \theta + \theta$$

بنابراین، با استفاده از روابط مثلثاتی جمع دو زاویه، روابط مثلثاتی زیر برای سینوس و کسینوس زاویه مضاعف به دست می‌آیند:

$$\sin ( ۲ \theta ) = = \frac { ۲ \tan \theta } { ۱ + \tan ^ ۲ \theta }$$

$$\cos ( ۲ \theta ) = \frac { ۱ - \tan \theta }{ ۱ + \tan ^ ۲ \theta }$$

کسینوس زاویه مضاعف، فرمول‌های دیگری نیز دارد که در ادامه، دو مورد از آن‌ها آورده شده‌اند:

$$\cos ( ۲ \theta ) = ۲ \cos ^ ۲ \theta - ۱$$

$$\cos ( ۲ \theta ) = ۱ - ۲ \sin ^ ۲ \theta$$

مثال ۸: اثبات فرمول های کسینوس زاویه مضاعف

فرمول کسینوس زاویه ۲θ را اثبات کنید.

فرمول کسینوس زاویه ۲θ عبارت است از:

$$\cos ( ۲ \theta ) = \cos ^ ۲ \theta - \sin ^ ۲ \theta$$

برای اثبات این فرمول، زاویه ۲θ را به صورت حاصل جمع دو زاویه θ می‌نویسیم:

$$\cos ( \theta + \theta ) = \cos ^ ۲ \theta - \sin ^ ۲ \theta$$

بر اساس رابطه کسینوس جمع دو زاویه، داریم:

$$\cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta − \sin \alpha \sin \beta$$

به جای α و β در این رابطه، θ را قرار می‌دهیم:

$$\cos ( \theta + \theta ) = \cos \theta \cos \theta − \sin \theta \sin \theta$$

$$\cos ( \theta + \theta ) = \cos ^ ۲ \theta− \sin ^ ۲ \theta$$

$$\cos ( ۲ \theta ) = \cos ^ ۲ \theta− \sin ^ ۲ \theta$$

به این ترتیب، فرمول کسینوس زاویه ۲θ اثبات می‌شود.

نسبت های مثلثاتی نصف یک زاویه

اگر یک زاویه را نصف کنیم، نسبت‌های مثلثاتی آن با استفاده از روابط زیر به دست می‌آید:

$$\sin ( \frac { \theta } { ۲ } ) = \pm \sqrt { \frac { ۱ - \cos \theta } { ۲ } }$$

$$\cos ( \frac { \theta } { ۲ } ) = \pm \sqrt { \frac { ۱ + \cos \theta } { ۲ } }$$

$$\tan ( \frac { \theta } { ۲ } ) = \pm \sqrt { \frac { ۱ - \cos \theta } { ۱ + \cos \theta } }$$

$$\cot ( \frac { \theta } { ۲ } ) = \pm \sqrt { \frac { ۱ + \cos \theta } { ۱ - \cos \theta } }$$

برای تانژانت نصف یک زاویه، رابطه دیگری نیز وجود دارد که در ادامه به اثبات آن می‌پردازیم. به این منظور، ابتدا صورت و مخرج کسر زیر رادیکال را در عبارت $$( ۱ - \cos \theta )$$ ضرب می‌کنیم:

$$\tan ( \frac { \theta } { ۲ } ) = \sqrt { \frac { ( ۱ - \cos \theta ) ( ۱ - \cos \theta ) } { ( ۱ + \cos \theta ) ( ۱ - \cos \theta ) }}$$

با ضرب و ساده‌سازی عبارت‌ها، صورت و مخرج کسر به شکل زیر درمی‌آیند:

$$\tan ( \frac { \theta } { ۲ } ) = \sqrt { \frac { ( ۱ - \cos \theta )^ { ۲ } } { ۱ - \cos ^ { ۲ } \theta } }$$

بر اساس رابطه $$\sin ^ ۲ \theta + \cos ^ ۲ \theta = ۱$$، مخرج کسر برابر با $$\sin ^ ۲ \theta$$ است:

$$\tan ( \frac { \theta } { ۲ } ) = \sqrt { \frac { ( ۱ - \cos \theta )^ { ۲ } } { \sin ^ { ۲ } \theta } }$$

اکنون می‌توانیم صورت و مخرج را از زیر رادیکال خارج کنیم:

$$\tan ( \frac { \theta } { ۲ } ) = \frac { ۱ - \cos \theta } { \sin \theta }$$

به این ترتیب، به رابطه دیگری برای تانژانت نصف یک زاویه می‌رسیم.

نسبت های مثلثاتی تبدیل جمع به ضرب و ضرب به جمع

از معروف‌ترین و پرکاربردترین روابط مثلثاتی، می‌توان به فرمول‌های تبدیل جمع به ضرب و ضرب به جمع اشاره کرد.

فیلم آموزش ریاضی پایه دهم در فرادرس

کلیک کنید

فرمول‌های تبدیل به جمع به ضرب نسبت های مثلثاتی به صورت زیر نوشته می‌شوند:

$$\begin{aligned} & \sin \alpha + \sin \beta = ۲ \sin \left ( \frac { \alpha + \beta } { ۲ }\right) \cos \left ( \frac { \alpha - \beta } { ۲ } \right) \ & \sin \alpha - \sin \beta = ۲ \sin \left ( \frac { \alpha - \beta } { ۲ }\right) \cos \left ( \frac { \alpha + \beta } { ۲ } \right ) \ & \cos \alpha - \cos \beta = - ۲ \sin \left ( \frac { \alpha + \beta } { ۲ } \right) \sin \left ( \frac { \alpha - B } { ۲ } \right ) \ & \cos \alpha + \cos \beta = ۲ \cos \left ( \frac { \alpha + \beta } { ۲ } \right ) \cos \left ( \frac { \alpha - \beta } { ۲ } \right ) \end{aligned}$$

روابط تبدیل ضرب به جمع نسبت های مثلثاتی نیز عبارت هستند از:

$$\sin A \cos B = \frac { ۱ }{ ۲ } [ \sin ( A + B ) + \sin ( A - B ) ]$$

$$\cos A \sin B = \frac { ۱ }{ ۲ } [ \sin ( A + B ) - \sin ( A - B ) ]$$

$$\cos A \cos B = \frac { ۱ }{ ۲ } [ \cos ( A + B ) + \cos ( A - B ) ]$$

$$\sin A \sin B = \frac { ۱ }{ ۲ } [ \cos ( A - B ) - \cos ( A + B ) ]$$

مثال ۹: محاسبه جمع دو نسبت مثلثاتی

حاصل‌جمع سینوس زاویه ۱۰۵ درجه با سینوس زاویه ۱۵ درجه را به دست بیاورید. (رادیکال ۶ را برابر با ۲/۴۵ در نظر بگیرید.)

برای حل این مثال، می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم: