ریاضی

دترمینان یک ماتریس و محاسبه آن – به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)

۵۱۹
۱۴۰۵/۰۶/۱۵
۱۱ دقیقه
PDF
آموزش متنی جامع
نمونه سوال و تمرین + پاسخ تشریحی
آزمون سنجش یادگیری
آموزش ویدئویی

دترمینان یک ماتریس عددی است که از یک ماتریس مربعی به‌دست می‌آید و اطلاعات مهمی درباره آن ماتریس به ما می‌دهد. دترمینان ماتریسی به نام A را معمولا با det(A) یا |A| نشان می‌دهند. برای محاسبه دترمینان، باید به مرتبه ماتریس توجه کنیم. برای مثال، اگر ماتریس دو در دو باشد، عناصر قطر اصلی را در هم ضرب می‌کنیم و حاصل‌ضرب عناصر قطر دیگر را از آن کم می‌کنیم. در این مطلب از مجله فرادرس با تعریف دترمینان ماتریس و چگونگی محاسبه آن در درس هندسه تحلیلی بطور کامل آشنا می‌شویم.

آنچه در این مطلب می‌آموزید:
  • با دترمینان ماتریس و کاربرد آن آشنا می‌شوید.
  • می‌آموزید فرمول محاسبه دترمینان ماتریس دو در دو چیست.
  • روش محاسبه دترمینان ماتریس‌های مراتب بالا را می‌شناسید.
دترمینان یک ماتریس و محاسبه آن – به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)
997696
محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

دترمینان یک ماتریس چیست و چگونه محاسبه می‌ شود؟

دترمینان مشخص می‌کند که آیا یک ماتریس معکوس‌پذیر هست یا نه. اگر دترمینان صفر باشد، ماتریس معکوس ندارد، اما اگر دترمینان صفر نشود، ماتریس معکوس‌پذیر است. برای محاسبه دترمینان، ابتدا باید به اندازه ماتریس توجه کنیم. اگر ماتریس 2×22 \times 2 باشد، عناصر قطر اصلی را در هم ضرب می‌کنیم و حاصل‌ضرب عناصر قطر دیگر را از آن کم می‌کنیم.

فرمول محاسبه دترمینان یک ماتریس
فرمول محاسبه دترمینان یک ماتریس ۲ در ۲

در ماتریس‌های 3×33 \times 3، محاسبه کمی طولانی‌تر است. معمولا یکی از سطرها یا ستون‌ها را انتخاب می‌کنیم و با حذف هر عنصر و سطر و ستون مربوط به آن، چند ماتریس کوچک‌تر 2×22 \times 2 می‌سازیم. سپس دترمینان این ماتریس‌های کوچک‌تر را محاسبه و با توجه به علامت مثبت و منفی هر عنصر، نتایج را با هم ترکیب می‌کنیم.

فیلم آموزش هندسه ۳ پایه دوازدهم در فرادرس
کلیک کنید

برای ماتریس‌های بزرگ‌تر نیز همین ایده قابل استفاده است، اما معمولا برای ساده‌تر شدن محاسبات از عملیات سطری استفاده می‌شود تا ماتریس به شکل مثلثی درآید. در این حالت، دترمینان را می‌توان با ضرب عناصر قطر اصلی به‌دست آورد، البته باید تغییراتی را که هنگام انجام عملیات سطری ایجاد شده‌اند نیز در نظر گرفت.

کاربرد دترمینان

دترمینان اطلاعاتی در مورد ماتریس در اختیارمان می گذارد که در سیستم های معادلات خطی به درد می‌خورد. این عدد برای یافتن معکوس ماتریس و همچنین در معادلات دیفرانسیل و انتگرال و در شرایط بسیار دیگری کاربرد دارد. اگر دترمینان ماتریسی مخالف صفر باشد، آنگاه متوجه می‌شویم که آن ماتریس معکوس‌پذیر است.

بنابراین از طریق دترمینان می‌توان مقادیر ویژه یک ماتریس یا به عبارت بهتر، یک نگاشت خطی از آن را تعیین کرد. با استفاده از دترمینان می‌توان معکوس ماتریس‌های ۳×۳ و مراتب بالاتر را محاسبه کرد. حتی می‌توان برای حل معادله درجه ۳ از آنالیز ماتریسی و مفهوم دترمینان استفاده کرد.

روش‌ های محاسبه دترمینان

اولین شرط برای محاسبه دترمینان یک ماتریس این است که ماتریس باید مربعی باشد، یعنی تعداد سطر‌ها و ستون‌های آن با هم برابر باشند. در صورتی که این شرط برقرار باشد با چند رابطه ساده می‌توان دترمینان ماتریس را محاسبه کرد. روش محاسبه دترمینان برای ماتریس‌های با اندازه مختلف در ادامه توضیح داده شده است. البته در مواردی که با ماتریس‌های با مرتبه بالاتر روبرو هستیم، بایستی از مفاهیمی هم‌چون ماتریس کهاد یا ترانهاده ماتریس نیز بهره برد.

فیلم آموزش دترمینان ماتریس ۳×۳ با دو روش در فرادرس
فیلم آموزش دترمینان ماتریس ۳×۳ با دو روش در فرادرس
کلیک کنید

دترمینان ماتریس ۲ در ۲

برای یک ماتریس دو در دو یعنی ماتریسی که دارای دو سطر و دو ستون است:

دترمینان برابر است با:

| A | = ad-bc

یعنی دترمینان ماتریس A برابر است با a ضرب در d منهای b ضرب در c. اگر یک علامت ضربدر روی ماتریس تصور کنید، به خاطر سپردن رابطه فوق آسان‌تر خواهد بود:

  •  آبی قسمت مثبت محاسبه دترمینان است (ad+)
  •  قرمز قسمت منفی محاسبه دترمینان است (bc-)

حل مثال از دترمینان ماتریس ۲ در ۲

دترمینان ماتریس زیر چقدر است؟

پاسخ

| B | = 4 × 8-6 × 3

= 32-18

= 14

دترمینان ماتریس ۳ در ۳

برای یک ماتریس سه در سه یعنی ماتریسی که دارای سه سطر و سه ستون است:

دترمینان برابر است با:

| A | = a (ei - fh) - b (di - fg) + c (dh - eg)

به نظر پیچیده می آید، اما الگوی کار به شکل زیر است:

برای یافتن دترمیان یک ماتریس سه در سه مراحل زیر را اجرا می‌کنیم:

  • ابتدا دترمینان ماتریس دو در دو که هیچ درایه آن در سطر و ستون a قرار ندارد را محاسبه می‌کنیم و سپس a را در این مقدار  ضرب می کنیم.
  • در مورد b و در مورد c نیز همین عمل را تکرار می کنیم.
  • مقادیر بدست آمده را باهم جمع می کنیم، اما به یاد داشته باشید که از مقدار منفی عدد b در جمع استفاده می‌کنیم.

موارد فوق را در به صورت تصویر زیر فرمول ‌بندی کرده‌ایم. توجه داشته باشید که علامت | | به معنی «دترمینان»است:

دترمیان یک ماتریس 3x3

حل مثال از دترمینان ماتریس ۳ در ۳

دترمینان ماتریس زیر چقدر است؟

پاسخ

| C |= 6 × ( -2 × 7-5 × 8 )-1 × ( 4 × 7-5 × 2 ) + 1 × ( 4 × 8-(-2) × 2 )

 306 - =

دترمینان ماتریس ۴ در ۴ و بالاتر

این الگو برای ماتریس های چهار در چهار نیز صدق می کند:

  • مثبت a ضرب در دترمینان ماتریسی که در سطر و ستون a نیست.
  • منفی b ضرب در دترمینان ماتریسی که در سطر و ستون b نیست.
  • مثبت c ضرب در دترمینان ماتریسی که در سطر و ستون c نیست.
  • منفی d ضرب در دترمینان ماتریسی که در سطر و ستون d نیست.

فرمول آن را به صورت تصویر زیر می‌توان نمایش داد:

برای ماتریس های 4X4 و بالاتر

به الگوی -+-+ دقت کنید (... a … -b … + c … -d+). این الگو را باید به خاطر بسپارید. این الگو برای ماتریس های پنج در پنج و بالاتر نیز صدق می کند. البته برای این محاسبه دترمینان این نوع ماتریس ها بهتر است از نرم‌افزارهایی که به این منظور طراحی شده‌اند، استفاده کنیم.

آزمون دترمینان یک ماتریس

در این بخش از این مطلب مجله فرادرس، به منظور درک بهتر چگونگی محاسبه ماتریس‌های متفاوت، چند پرسش چهار گزینه‌ای مطرح شده است:

تمرین و آزمون

دترمینان ماتریس زیر برابر است با:

[2−345]\begin{bmatrix}2 & -3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

۲۲

۲۴

۲-

۲

پاسخ تشریحی

دترمینان ماتریسی ۲ در ۲ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

[abcd]detA=ad−bc\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} \\ det A = ad - bc

در نتیجه، دترمینان ماتریس [abcd]det A=ad−bc\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} \\ det \ A = ad - bc برابر است با:

det A=(2×5)−((−3)×4)=22det \ A = ( 2 \times 5 ) - ((-3) \times 4) = 22

معکوس ماتریس [2−345]\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} برابر است با:

[522322211111]\begin{bmatrix} \frac { 5 } { 22} & \frac { 3 } { 22} \\ \frac { 2 } { 11 } & \frac { 1 } { 11 } \end{bmatrix}

[522322−211111]\begin{bmatrix} \frac { 5 } { 22} & \frac { 3 } { 22} \\ \frac { -2 } { 11 } & \frac { 1 } { 11 } \end{bmatrix}

[522−322−211111]\begin{bmatrix} \frac { 5 } { 22} & \frac { -3 } { 22} \\ \frac { -2 } { 11 } & \frac { 1 } { 11 } \end{bmatrix}

[522322−211−111]\begin{bmatrix} \frac { 5 } { 22} & \frac { 3 } { 22} \\ \frac { -2 } { 11 } & \frac { -1 } { 11 } \end{bmatrix}

پاسخ تشریحی

معکوس ماتریس ۲ در ۲ به صورت زیر به‌دست می‌آید:

[abcd]⇒A−1=1det A[d−b−ca]\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} \Rightarrow A ^ { -1 } = \frac { 1 } { det \ A } \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

اگر دترمینان ماتریس A برابر صفر باشد، این ماتریس معکوس نخواهد داشت. برای به‌دست آوردن معکوس ماتریس [2−345]\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} ابتدا دترمینام آن را به‌دست می‌آوریم:

det A=ad−bd=(2×5)−((−3)×4))=22det \ A = ad - bd = ( 2 \times 5 ) - ( (-3 ) \times 4 )) = 22

از آنجا که دترمینان این ماتریس، مخالف صفر است، کعکوس آن را می‌توانیم به‌دست آوریم:

A−1=1det A[d−b−ca]=122[53−42]A−1[522322−211111]A^ { -1 } = \frac { 1 } { det \ A} \begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}= \frac { 1 } { 22 }\begin{bmatrix}5 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}\\ A _ { -1 } \begin{bmatrix} \frac { 5 } { 22} & \frac { 3 } { 22} \\ \frac { -2 } { 11 } & \frac { 1 } { 11 } \end{bmatrix}

معکوس ماتریس [3−4−68]\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -6 & 8 \end{bmatrix} برابر است با: 

[8634]\begin{bmatrix} 8 & 6 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

[23236−4]\begin{bmatrix} 23 & \frac { 2 } { 3 } \\ 6 & -4 \end{bmatrix}

[0000]\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

معکوس این ماتریس وجود ندارد. 

پاسخ تشریحی

معکوس ماتریس ۲ در ۲ به صورت زیر به‌دست می‌آید:

[abcd]⇒A−1=1det A[d−b−ca]\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} \Rightarrow A ^ { -1 } = \frac { 1 } { det \ A } \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

اگر دترمینان ماتریس A برابر صفر باشد، این ماتریس معکوس نخواهد داشت. برای به‌دست آوردن معکوس ماتریس [3−4−68]\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -6 & 8 \end{bmatrix} ابتدا دترمینان آن را به‌دست می‌آوریم:

det A=ad−bd=(3×8)−((−4)×(−6)))=0det \ A = ad - bd = ( 3 \times 8 ) - ( (-4 ) \times (-6 ) )) = 0

این ماتریس، معکوس ندارد، زیرا دترمینان آن برابر صفر است. 

به ازای چه مقدار از xx، ماتریس B معکوس ماتریس A است؟

A=[13−12]B=[25x1515]A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \enspace B = \begin{bmatrix} \frac { 2 } { 5 } & x \\ \frac { 1 } { 5 } & \frac { 1 } { 5 } \end{bmatrix}

x=15x = \frac { 1 } { 5 }

x=35x = \frac { 3 } { 5 }

−x=35-x = \frac { 3 } { 5 }

x=25x = \frac { 2 } { 5 }

پاسخ تشریحی

این مسئله را می‌توانیم با دو روش حل کنیم.

روش اول

ابتدا معکوس ماتریس A را به‌دست می‌آوریم، سپس آن را برابر ماتریس B قرار می‌دهیم. معکوس ماتریس A به صورت زیر محاسبه می‌شود:

A−1=1det A[2−311],detA=2−(−1)(3)=5A−1=15[2−311]=[25−351515]A ^ { - 1 } = \frac { 1 } { det \ A } \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} , det A = 2 - ( -1 ) (3 ) = 5 \\ A ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 5 } \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac { 2 } { 5 } & - \frac { 3 } { 5 } \\ \frac { 1 } { 5 } & \frac { 1 } { 5 } \end{bmatrix}

در ادامه، ماتریس B را برابر ماتریس A−1A ^ { -1 } قرار می‌دهیم و مقدار xx را به‌دست می‌آوریم: 

A−1=B[25−351515]=[25x1515]A^ { -1 } = B \\ \begin{bmatrix}\frac { 2 } { 5 } & -\frac { 3 } { 5 } \\ \frac { 1 } { 5 } & \frac { 1 } { 5 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac { 2 } { 5 } & x \\ \frac { 1 } { 5 } & \frac { 1 } { 5 } \end{bmatrix}

با برابر قرار دادن تک‌تک مولفه‌ها، مقدار xx برابر −35- \frac { 3 } { 5 } به‌دست می‌آید.

روش دوم

اگر B=A−1B = A ^ { -1 } باشد، داریم:

A.B=B.A=IA . B = B . A = I

در رابطه فوق، I ماتریس واحد است. برای به‌دست آوردن مقدار xx دو ماتریس A و B را در یکدیگر ضری می‌کنیم و حاصل را برابر ماتریس واحد قرار می‌دهیم:

[13−12][25x1515]=[25+35x+35−25+25−x+25]=[1001]x+35=0,−x+25=1x=−35\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac { 2 } { 5 } & x \\ \frac { 1 } { 5 } & \frac { 1 } { 5 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac { 2 } { 5 } + \frac { 3 } { 5 }& x + \frac { 3 } { 5 } \\ -\frac { 2 } { 5 } + \frac{ 2 } { 5 } & -x +\frac { 2 } { 5 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ x + \frac { 3 } { 5 } = 0 , -x + \frac { 2 } { 5 } = 1 \\ x = - \frac { 3 } { 5 }

به ازای چه مقدار از xx ماتریس A معکوس ندارد؟

[23x−2]\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ x & -2 \end{bmatrix}

43\frac { 4 } { 3 }

−34- \frac { 3 } { 4 }

−43- \frac { 4 } { 3 }

34\frac { 3 } { 4 }

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

دترمینان ماتریس زیر کدام است؟ 

[7−4231−522−5]\begin{bmatrix} 7 & -4 & 2 \\ 3 & 1 & -5 \\ 2 & 2 & -5 \end{bmatrix}

۲۳

۲۳-

۲۱

۲۰

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

دترمینان ماتریس واحد ۳ در ۳ برابر است با:

۱

۱-

صفر

هیچکدام

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

به ازای چه مقدار از xx ماتریس [201007+x−304x]\begin{bmatrix}2 & 0 &10 \\0 & 7 + x & -3 \\ 0 & 4 & x \end{bmatrix} معکوس ندارد؟

۳ و ۴

۳- و ۴

۳- و ۴-

هیچکدام

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

دترمینان ماتریس ۴ در ۴ زیر کدام است؟

[1234−21−433−4−1243−2−1]\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\-2 & 1 & -4 & 3 \\ 3 & -4 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & -2 & -1 \end{bmatrix}

۶۰۰

۷۰۰

۸۰۰

هیچکدام

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

فیلم‌ های آموزش دترمینان یک ماتریس و محاسبه آن – به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی دترمینان ماتریس 2×2

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی دترمینان ماتریس 3×3 و بالاتر

محصول، خدمات یا برند خود را در مجله فرادرس معرفی کنید.
کلیک کنید

مطالب مجله فرادرس را در جستجوی گوگل سریع‌تر ببینید

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
بر اساس رای ۱ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر پرسشی درباره این مطلب دارید، آن را با ما مطرح کنید.
منابع:
mathsisfun
PDF
مطالب مرتبط
نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول – به زبان ساده + با جواب
نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول – به زبان ساده + با جواب
نمونه سوال ریاضی دهم با جواب – به زبان ساده
نمونه سوال ریاضی دهم با جواب – به زبان ساده
نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب – از صفر تا صد
نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب – از صفر تا صد
مجذور چیست؟ – به زبان ساده + تفاوت با جذر و مکعب
مجذور چیست؟ – به زبان ساده + تفاوت با جذر و مکعب
دروس کنکور ارشد ریاضی + منابع یادگیری و آمادگی با فرادرس
دروس کنکور ارشد ریاضی + منابع یادگیری و آمادگی با فرادرس
آموزش حسابان دوازدهم – از صفر تا صد + حل مثال و تمرین
آموزش حسابان دوازدهم – از صفر تا صد + حل مثال و تمرین
لگاریتم نپر چیست؟ – به زبان ساده + مثال لگاریتم Napierian
لگاریتم نپر چیست؟ – به زبان ساده + مثال لگاریتم Napierian
قضیه بین سینوس ها و کسینوس ها – فرمول ها + حل مثال
قضیه بین سینوس ها و کسینوس ها – فرمول ها + حل مثال
روابط بین سینوس و کسینوس – تمام فرمول ها + مثال و تمرین
روابط بین سینوس و کسینوس – تمام فرمول ها + مثال و تمرین
استدلال ریاضی چیست؟ – به زبان ساده + ۱۰ نمونه سوال
استدلال ریاضی چیست؟ – به زبان ساده + ۱۰ نمونه سوال
۵۶ دیدگاه برای «دترمینان یک ماتریس و محاسبه آن – به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)»
زهرا سرابی

عالی بود من هیچی یادم نبود ک کامل مسلط شدم

پاسخ
داریوش

نمره‌ی شما ۲۰ است.

پاسخ
مجید

عالی بود

پاسخ
mylab1959

فقط 3 در 3 بود که پس بالاترش کو؟!

پاسخ
فاطمه

بسیار عالی
ساده و قابل درک بود

پاسخ
Sogol

مفید بود👌

پاسخ
آردا

سلام
فقط خواستم به نوبه خودم بی نهایت سپاس گذاری کنم
شما کمک بسیار بزرگی در زمینه آموزش بودید
خدا قوت

Farzaneh Rad

سلام
به روش ساروس دترمینان ماتریس 4*4 یا بالاتر هم می شه محاسبه کرد ؟

پاسخ
مهندس

خیر روش ساروس فقط برای دترمینان‌های ۳در۳ هست

Masoud Hejri

بسیار عالی

پاسخ
علی اصغر مظفری علی آبادی

سلام، ممنون ، عالی. خدا خیرتون بده

پاسخ
hadi803.m

مرسی خیلی عالی بود

پاسخ
مهدی

بسیار زیبا و مرحله به مرحله و قشنگ توضیح دادند.

پاسخ
مهمان

با سلام
سپاس بابت مطالب خوب و آموزنده
خدا قوت

پاسخ
علیرضا

عالی بود . عالییییییییی
بسیار زیبا و ساده و خوب توضیح داده شد. من از ماتریس هیچ چیز نمیدونستم. الان مسلط شدم.

پاسخ
vahid

مرسی از آموزش هایی که میزارید.وتقعا ممنون

پاسخ
فرزام

با سلام بسیار عالی و کاربردی

احمدرضا

سایتتون فوق العاده است.مخصوصا فیلمای کمک اموزشی

پاسخ
محمد

ممنون ازسایت خوبتون.خیلی عالی بود

پاسخ
علی

سلام عالی بود فقط تنها چیزی که من نفهمیدم در بخش تابع نمایی وln هاست که مربوط به بخش دیگری است وخواستم اگر میشه یکذره در اون قسمت ها روان تر اموزش دهید ولی کلا به جز اون دو تا همه اموزش های سایتتون عالیه خدا قوت به همگی

پاسخ
Nima

خیلیم خوب

پاسخ
سام

واقعا عالی بود چندین مطلب از سایت شما خوندم و نظرم در مورد ریاضی کاملا تغییر کرد سالها این مطالب را میخواندم ولی ترکی از انها نداشتم تو امتحان هم با تقلب نمره میگرفتم ولی اینبار با فهم کامل میرم سر جلسه امتحان

پاسخ
بهزاد سیلور

بسیار عالی

پاسخ
مهرداد

سلام، درود بر شما و سپاسگزارم

پاسخ
مهرداد

سلام، عالی بود سپاسگزارم

پاسخ
محمد

تشکرمیکنم

پاسخ
یاسین

خیلی کمک کننده بود ممنون از سایت خوبتون !

پاسخ
Saba

بسیار شیوا و روان توضیح داده شده بود. ممنون از فرادرس عزیز که همیشه بهترینه. تیمتان همواره برقرار?

پاسخ
امین

عالی ممنون

پاسخ
فائزه

خیلی خوب بود یه چیز ساده میخواستم که هم سریع یاد بگیرم هم بتونم به حافظه بسپارم

پاسخ
Sobhan

خدا خیرتون بده

واقعا مطالب این پست بدردم خورد

مرسی از نویسنده ی پست

پاسخ
محمد مهدی

عالییییی!!!

پاسخ
وحید

ممنون .. ساده و گویا

پاسخ
محمد

مرسی خیلی خوب بود

پاسخ
سعید قرائت

واقعا ممنننننننننننننوووووووون

پاسخ
Pouria

قطعا کسی که فن بیان خوبی داره در همه امور موفقه و قطعا شما جزوموفق ترین افراد هستید ممنونم ازتون

پاسخ
معصومه زارع

دنبال یه مطلبی بودم که سریع دترمینان رو برام یاداوری کنه و این سایت این کارو بخوبی کرد ممنونم

پاسخ
Muhammad Rasol

عالی بود

Ali

مفید بود ممنون

پاسخ
hamid

خوب بود ولی یکم ناقص هست.چندتا بند اضافه در مورد خاصیت های دترمینان ضرر نداره.ممنون

پاسخ
wael alrawe

بسيار عالي بود

پاسخ
سهند

بسيار عالي بود

پاسخ
مهندس

افتضاح بود..

پاسخ
احمدرضا

نه اتفاقا خیلی خوب بود

اصغر

چرا؟خوب بود که

باد صبا

ساده، زیبا و جذاب. هنر یعنی این.

پاسخ
مری رز

ساده و آسان و قابل فهم بود.

پاسخ
کاربر

خیلی ماهید .اینقد گلید شمااااااااااااااا مرررررررررسی اساتید خوب

پاسخ
عباس

خیلی ممنون عالی بود

پاسخ
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

برچسب‌ها
هندسه ۳
هندسه سه