دترمینان یک ماتریس و محاسبه آن – به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)

دترمینان ماتریسی ۲ در ۲ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} \\ det A = ad - bc$$

در نتیجه، دترمینان ماتریس $$\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} \\ det \ A = ad - bc$$ برابر است با:

$$det \ A = ( 2 \times 5 ) - ((-3) \times 4) = 22$$

معکوس ماتریس ۲ در ۲ به صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} \Rightarrow A ^ { -1 } = \frac { 1 } { det \ A } \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

اگر دترمینان ماتریس A برابر صفر باشد، این ماتریس معکوس نخواهد داشت. برای به‌دست آوردن معکوس ماتریس $$\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$$ ابتدا دترمینام آن را به‌دست می‌آوریم:

$$det \ A = ad - bd = ( 2 \times 5 ) - ( (-3 ) \times 4 )) = 22$$

از آنجا که دترمینان این ماتریس، مخالف صفر است، کعکوس آن را می‌توانیم به‌دست آوریم:

$$A^ { -1 } = \frac { 1 } { det \ A} \begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}= \frac { 1 } { 22 }\begin{bmatrix}5 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}\\ A _ { -1 } \begin{bmatrix} \frac { 5 } { 22} & \frac { 3 } { 22} \\ \frac { -2 } { 11 } & \frac { 1 } { 11 } \end{bmatrix}$$

معکوس ماتریس ۲ در ۲ به صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} \Rightarrow A ^ { -1 } = \frac { 1 } { det \ A } \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

اگر دترمینان ماتریس A برابر صفر باشد، این ماتریس معکوس نخواهد داشت. برای به‌دست آوردن معکوس ماتریس $$\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -6 & 8 \end{bmatrix}$$ ابتدا دترمینان آن را به‌دست می‌آوریم:

$$det \ A = ad - bd = ( 3 \times 8 ) - ( (-4 ) \times (-6 ) )) = 0$$

این ماتریس، معکوس ندارد، زیرا دترمینان آن برابر صفر است. 

این مسئله را می‌توانیم با دو روش حل کنیم.

روش اول

ابتدا معکوس ماتریس A را به‌دست می‌آوریم، سپس آن را برابر ماتریس B قرار می‌دهیم. معکوس ماتریس A به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$A ^ { - 1 } = \frac { 1 } { det \ A } \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} , det A = 2 - ( -1 ) (3 ) = 5 \\ A ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 5 } \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac { 2 } { 5 } & - \frac { 3 } { 5 } \\ \frac { 1 } { 5 } & \frac { 1 } { 5 } \end{bmatrix}$$

در ادامه، ماتریس B را برابر ماتریس $$A ^ { -1 }$$ قرار می‌دهیم و مقدار $$x$$ را به‌دست می‌آوریم: 

$$A^ { -1 } = B \\ \begin{bmatrix}\frac { 2 } { 5 } & -\frac { 3 } { 5 } \\ \frac { 1 } { 5 } & \frac { 1 } { 5 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac { 2 } { 5 } & x \\ \frac { 1 } { 5 } & \frac { 1 } { 5 } \end{bmatrix}$$

با برابر قرار دادن تک‌تک مولفه‌ها، مقدار $$x$$ برابر $$- \frac { 3 } { 5 }$$ به‌دست می‌آید.

روش دوم

اگر $$B = A ^ { -1 }$$ باشد، داریم:

$$A . B = B . A = I$$

در رابطه فوق، I ماتریس واحد است. برای به‌دست آوردن مقدار $$x$$ دو ماتریس A و B را در یکدیگر ضری می‌کنیم و حاصل را برابر ماتریس واحد قرار می‌دهیم:

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac { 2 } { 5 } & x \\ \frac { 1 } { 5 } & \frac { 1 } { 5 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac { 2 } { 5 } + \frac { 3 } { 5 }& x + \frac { 3 } { 5 } \\ -\frac { 2 } { 5 } + \frac{ 2 } { 5 } & -x +\frac { 2 } { 5 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ x + \frac { 3 } { 5 } = 0 , -x + \frac { 2 } { 5 } = 1 \\ x = - \frac { 3 } { 5 }$$