دترمینان یک ماتریس — به زبان ساده

نوشته: مریم دانیالی 3 دقیقه مطالعه

determinant-of-a-matrix

دترمینان (Determinant) یک ماتریس، یک عدد مخصوصی است که از یک ماتریس مربع محاسبه می شود.

یک ماتریس، یک آرایش منظم از اعداد است:

ماتریس

یک ماتریس
(این ماتریس 2 سطر و 2 ستون دارد)

دترمینان این ماتریس برابر است با (روش محاسبه بعدا توضیح داده می شود):

3 × 6-8 × 4 = 18-32 = -14

 

کاربرد این عدد چیست؟

دترمینان اطلاعاتی در مورد ماتریس در اختیارمان می گذارد که در سیستم های معادلات خطی به درد می خورد. این عدد برای یافتن معکوس ماتریس و همچنین در معادلات دیفرانسیل و انتگرال و در شرایط بسیار دیگری به درد می خورد.

نماد

نماد دترمینان، دو خط عمودی در طرفین حرف انگلیسی ماتریس مورد نظر است.

مثال:

| A | به معنی دترمینان ماتریس A است.

(دقیقا هم شکل نماد “قدر مطلق”)

محاسبه کردن دترمینان

اول از همه، ماتریس باید مربع باشد (یعنی تعداد سطر ها و ستون های آن با هم برابر باشند). بعد از آن، فقط چند رابطه ساده حسابی است. به این شکل:

برای یک ماتریس 2×2

برای یک ماتریس 2×2 (دارای 2 سطر و 2 ستون):

برای یک ماتریس 2×2

دترمینان برابر است با:

| A | = ad-bc

” دترمینان ماتریس A برابر است با a ضرب در d منهای b ضرب در c “

اگر یک ضربدر روی ماتریس فرض کنید، به خاطر داشتن آن آسان خواهد بود:

دترمینان ماتریس A

  •  آبی قسمت مثبت محاسبه دترمینان است (+ad)
  •  قرمز قسمت منفی محاسبه دترمینان است (-bc)

مثال:

دترمینان b

| B | = 4 × 8-6 × 3
= 32-18
= 14

 

برای یک ماتریس 3×3

برای یک ماتریس 3×3 (دارای 3 سطر و 3 ستون):

برای یک ماتریس 3X3

دترمینان برابر است با:

| A | = a ( ei-fh )-b ( di-fg ) + c ( dh-eg )

به نظر پیچیده می آید، اما الگو به شکل زیر است:

دترمینان 3در3

برای یافتن دترمیان یک ماتریس 3×3:

  • a را در دترمینان ماتریس 2×2 که در سطر و ستون a نیست، ضرب می کنیم.
  • سپس در مورد b، و در مورد c نیز همین عمل را تکرار می کنیم.
  • مقادیر بدست آمده را باهم جمع می کنیم، اما به یاد داشته باشید که b یک علامت منفی دارد!

بعنوان یک فرمول (به یاد داشته باشید که علامت || به معنی “دترمینان” است):

دترمیان یک ماتریس 3x3

مثال:

ماتریسC

| C |= 6 × ( -2 × 7-5 × 8 )-1 × ( 4 × 7-5 × 2 ) + 1 × ( 4 × 8-(-2) × 2 )
= 6 × ( -54 )-1 × ( 18 ) + 1 × ( 36 )
=-306

 

برای ماتریس های 4×4 و بالاتر

این الگو برای ماتریس های 4×4 نیز صدق می کند:

  • مثبت a ضرب در دترمینان ماتریسی که در سطر و ستون a نیست.
  • منفی b ضرب در دترمینان ماتریسی که در سطر و ستون b نیست.
  • مثبت c ضرب در دترمینان ماتریسی که در سطر و ستون c نیست.
  • منفی d ضرب در دترمینان ماتریسی که در سطر و ستون d نیست.

برای ماتریس های 4X4 و بالاتر

بعنوان فرمول:

برای ماتریس های 4X4 و بالاتر

به الگوی-+-+ دقت کنید (+a… -b… +c… -d…). باید این را به خاطر داشته باشید.

این الگو برای ماتریس های 5×5 و بالاتر نیز صدق می کند. اما برای این نوع ماتریس ها بهتر است از یک ماشین حساب ماتریسی استفاده کنیم!

این تنها راه نیست

این نوع محاسبه به نام “بسط لاپلاس” است… این روش میان دانش آموزان رایج است چرا که حفظ کردن آن آسان است. اما روش های دیگری نیز موجود است (فقط جهت اطلاع شما).

خلاصه

  • برای ماتریس 2×2 دترمینان برابر است با ad-bc
  • برای ماتریس 3×3 a را ضربدر دترمینان ماتریس 2×2 که در سطر و یا ستون a ام موجود نباشد می کنیم. سپس b و c را نیز به همین ترتیب ادامه می دهیم. اما به یاد داشته باشید که b یک علامت منفی دارد!
  • این الگو برای ماتریس های بزرگتر نیز صدق می کند: a را در ماتریسی که در سطر و ستون a نیست ضرب کنید. سپس برای b این کار را انجام دهید و به همین ترتیب ادامه می دهید، اما الگوی -+-+ را همواره به یاد داشته باشید.

 

 

حال که مفهوم دترمینان یک ماتریس را دیدید، ممکن است که مطالب آموزشهای زیر از فرادرس برای شما مفید باشد:

منبع

بر اساس رای 195 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظرات

Pouria ۳۱ اردیبهشت ۱۳۹۷

قطعا کسی که فن بیان خوبی داره در همه امور موفقه و قطعا شما جزوموفق ترین افراد هستید ممنونم ازتون

معصومه زارع ۳۰ اردیبهشت ۱۳۹۷

دنبال یه مطلبی بودم که سریع دترمینان رو برام یاداوری کنه و این سایت این کارو بخوبی کرد ممنونم

Ali ۲۰ اردیبهشت ۱۳۹۷

مفید بود ممنون

hamid ۵ اردیبهشت ۱۳۹۷

خوب بود ولی یکم ناقص هست.چندتا بند اضافه در مورد خاصیت های دترمینان ضرر نداره.ممنون

wael alrawe ۵ اردیبهشت ۱۳۹۷

بسيار عالي بود

سهند ۲۰ اسفند ۱۳۹۶

بسيار عالي بود

مهندس ۱۷ اسفند ۱۳۹۶

افتضاح بود..

باد صبا ۹ آذر ۱۳۹۶

ساده، زیبا و جذاب. هنر یعنی این.

مری رز ۳۰ آبان ۱۳۹۶

ساده و آسان و قابل فهم بود.

کاربر ۲۸ آبان ۱۳۹۶

خیلی ماهید .اینقد گلید شمااااااااااااااا مرررررررررسی اساتید خوب

عباس ۵ اردیبهشت ۱۳۹۶

خیلی ممنون عالی بود