شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
مشتق تانژانت – محاسبه و فرمول مشتق tan + مثال و تمرین
۱۴۳۳۶
۱۴۰۳/۱۰/۵
۴۶ دقیقه
PDF
آموزش متنی جامع
امکان دانلود نسخه PDF
مشتق تانژانت (مشتق tan)، برابر با مربع سکانت (sec۲) است. تانژانت، به عنوان یکی از توابع مثلثاتی اصلی شناخته میشود. این تابع، نسبت سینوس به کسینوس را نمایش میدهد. تانژانت، کاربردهای زیادی در علوم مهندسی و ریاضی دارد. مشتق تانژانت، شیب خط مماس بر منحنی این تابع است. فرمولهای متعددی برای تعیین مشتق تانژانت و دیگر توابع مرتبط با آن (مانند تانژانت تواندار، ضرب تانژانت، تقسیم تانژانت، تانژانت وارون، تانژانت هیپربولیک و غیره) وجود دارد. در این مقاله، به معرفی و اثبات فرمول مشتق تانژانت و توابع مرتبط با آن میپردازیم. علاوه بر این، چندین مثال و تمرین متنوع را نیز حل میکنیم.
آنچه در این مطلب میآموزید:
یاد خواهید گرفت که فرمول مشتق تانژانت را به صورت sec^۲(x) بنویسید.
میآموزید چگونه مفهوم هندسی مشتق تانژانت را به شیب مماس ربط دهید.
کاربرد فرمول مشتق تانژانت در حل مسائل عددی را خواهید آموخت.
میتوانید تفاوت بین تانژانت، کتانژانت و مشتق آنها را تحلیل کنید.
خواهید دانست چطور اثبات حدی و قانون مشتق تقسیم را برای مشتق تانژانت بهکار ببرید.
نحوه مشتقگیری توان nام تابع تانژانت را یاد میگیرید.
تفکیک مشتق تانژانت به توان منفی یک از تانژانت وارون را میآموزید.
قاعده زنجیرهای را برای توابع ترکیبی تانژانت به کار خواهید برد.
فرمول مشتق arctan(x) و حالتهای ترکیبی آن را یاد میگیرید.
با روش مشتقگیری تابع تانژانت هیپربولیک و وارون آن آشنا میشوید.
یاد میگیرید چگونه مشتق مراتب دوم و سوم تانژانت را محاسبه کنید.
انتگرال تابع تانژانت و رابطهاش با مشتق را درک میکنید.
فرمولهای مهم مشتق و نمادهای مرتبط را برای مرور سریع بهکار میبرید.
بر حل تمرینهای متنوع مشتق تانژانت و انتخاب تکنیک مناسب تسلط پیدا میکنید.
تصویر زیر، منحنی تابع y=tan(θ) را در بازه −۲۳π تا ۲۳π نشان میدهد.
اگر خطی را در نقطه θ=۰ بر منحنی تانژانت مماس کنیم، شیب خط برابر با ۰ میشود. بنابراین میگوئیم مشتق تانژانت تتا در نقطه θ=۰ برابر با ۰ است. مشتق، به روشهای مختلفی نشان داده میشود. برخی از علائم و عبارتهای جبری مورد استفاده برای نمایش مشتق تانژانت عبارت هستند از:
dxdtan(x)
tan′(x)
(tan(x))′
فرمول مشتق تانژانت چیست ؟
مشتق تانژانت برابر با مربع سکانت است. فرمول مشتق tan به صورت زیر نوشته میشود:
dxdtan(x)=sec۲(x)
tan′(x)=sec۲(x)
(tan(x))′=sec۲(x)
مثال ۱: محاسبه تانژانت زاویه ۶۰ درجه
مشتق تابع f(x)=tan(x) را در نقطه x=۳π را به دست بیاورید.
فرمول محاسبه مشتق tan x عبارت است از:
dxdtan(x)=sec۲(x)
بنابراین:
f′(x)=sec۲(x)
به جای x، زاویه ۳π (زاویه ۶۰ درجه) را قرار میدهیم:
f′(۳π)=sec۲(۳π)
میدانیم که سکانت یک زاویه، عکس کسینوس آن زاویه را نمایش میدهد. از اینرو، داریم:
sec(۳π)=cos(۳π)۱
sec۲(۳π)=cos۲(۳π)۱
کسینوس زاویه ۶۰ درجه برابر با ۲۱ است. از اینرو:
sec۲(۳π)=(۲۱)۲۱
sec۲(۳π)=۴۱۱
sec۲(۳π)=۴
به این ترتیب:
dxdtan(۳π)=۴
در نتیجه، مشتق تانژانت ایکس در زاویه ۶۰ درجه برابر با ۴ است.
اصلیترین روش اثبات مشتق تانژانت، استفاده از رابطه کلی مشتق است. تصویر زیر را در نظر بگیرید. این تصویر، خط مماس بر یک منحنی با تابع f(x) را نمایش میدهد.
بر اساس تعریف، مشتق تابع f(x)، شیب خط مماس بر منحنی این تابع در نقطه x است. این تعریف، با فرمول زیر و مفهوم حد بیان میشود:
dxdf(x)=Δx→۰limΔxf(x+Δx)−f(x)
برای شروع، تابع تانژانت را درون فرمول بالا قرار میدهیم:
حد Δx→۰limΔxsin(Δx)، با استفاده از قضیه فشردگی اثبات میشود. این حد عبارت است از:
Δx→۰limΔxsin(Δx)=۱
جواب حد را درون فرمول مشتق قرار میدهیم:
dxdtan(x)=۱×Δx→۰limcos(x+Δx)cos(x)۱
dxdtan(x)=Δx→۰limcos(x+Δx)cos(x)۱
با قرار دادن ۰ به جای Δx، به جواب نهایی میرسیم:
dxdtan(x)=cos(x+۰)cos(x)۱
dxdtan(x)=cos(x)cos(x)۱
dxdtan(x)=cos۲(x)۱
میدانیم که عکس نسبت کسینوس، به عنوان سکانت تعریف میشود. در نتیجه:
dxdtan(x)=sec۲(x)
به این ترتیب، فرمول مشتق تانژانت را اثبات کردیم. دیگر روشهای اثبات مشتق tan، بر مبنای قوانین مشتقگیری و مشتق توابع مثلثاتی هستند. در ادامه، به توضیح یکی از این روشها میپردازیم.
اثبات مشتق tan با استفاده از فرمول مشتق تقسیم دو تابع
تابع تانژانت به صورت تقسیم تابع سینوس بر کسینوس نوشته میشود:
tan(x)=cos(x)sin(x)
بنابراین، به منظور اثبات مشتق تانژانت میتوانیم از تقسیم دو تابع سینوس و کسینوس مشتق بگیریم:
dxdtan(x)=dxd(cos(x)sin(x))
مشتق تقسیم دو تابع، از فرمول زیر به دست میآید:
(vu)′=v۲vu′−uv′
برای استفاده از این فرمول، تغییر متغیرهای زیر را انجام میدهیم:
a و b، ضرایب عددی بوده و c، ثابت عددی است. بر اساس این تابع، فرمول کلی مشتق تانژانت به صورت زیر نوشته میشود:
(atan(bx+c))′=absec۲(bx+c)
مثال ۲: محاسبه مشتق تانژانت
مشتق y=۵tan(۲x+۱۲π) را در نقطه x=۱۲π به دست بیاورید.
برای حل این مثال، ابتدا فرمول کلی مشتق tan را مینویسیم:
(atan(bx+c))′=absec۲(bx+c)
با توجه به صورت سوال، داریم:
a=۵
b=۲
c=۸π
بنابراین:
(۵tan(۲x+۱۲π))′=۵×۲sec۲(۲x+۱۲π)
(۵tan(۲x+۱۲π))′=۱۰sec۲(۲x+۱۲π)
به این ترتیب، رابطه مشتق y را به دست آوردیم. اکنون، مقدار عددی x را درون جواب جایگذاری میکنیم:
(۵tan(۲x+۱۲π))′=۱۰sec۲(۲×۱۲π+۱۲π)
(۵tan(۲x+۱۲π))′=۱۰sec۲(۶π+۱۲π)
(۵tan(۲x+۱۲π))′=۱۰sec۲(۱۲۲π+۱۲π)
(۵tan(۲x+۱۲π))′=۱۰sec۲(۱۲۳π)
(۵tan(۲x+۱۲π))′=۱۰sec۲(۴π)
با توجه به رابطه بین سکانت و کسینوس، داریم:
(۵tan(۲x+۱۲π))′=cos۲(۴π)۱۰
کسینوس ۴π یا کسینوس زاویه ۴۵ درجه برابر با ۲۲ است. بنابراین:
(۵tan(۲x+۱۲π))′=۲۲۱۰
(۵tan(۲x+۱۲π))′=(۲۲)۲۱۰
(۵tan(۲x+۱۲π))′=۴۲۱۰
(۵tan(۲x+۱۲π))′=۲۱۱۰
(۵tan(۲x+۱۲π))′=۲۰
در نتیجه، مشتق y=۵tan(۲x+۱۲π) در نقطه x=۱۲π برابر با ۲۰ است.
مقایسه مشتق تانژانت و کتانژانت
«کتانژانت» (Cotangent)، یکی دیگر از توبع مثلثاتی معروف است. این تابع، به عنوان عکس نسبت تانژانت شناخته میشود. به عبارت دیگر، در یک مثلث قائمالزاویه با زاویه حاده θ، کتانژانت θ، تقسیم ضلع مجاور θ بر ضلع مقابل θ است.
مشتق کتانژانت نیز مانند مشتق تانژانت، شیب مماس بر منحنی تابع است. فرمول مشتق cot به صورت زیر نوشته میشود:
dxdcot(x)=−csc۲(x)
مشتق کتانژانت، منفی مربع کسکانت است. با توجه به رابطه بین کسکانت و سینوس، مشتق کتانژانت از فرمول زیر نیز به دست میآید:
dxdcot(x)=−sin۲(x)۱
مثال ۳: محاسبه مشتق جمع تانژانت و کتانژانت
مشتق f(x)=tan(x)+cot(x) را در زاویه ۶۰ درجه محاسبه کنید.
تابع f(x)، جمع دو تابع مثلثاتی است. بر اساس قوانین مشتقگیری، مشتق جمع دو تابع با جمع مشتق هر یک از توابع برابری میکند. این قانون به صورت زیر نوشته میشود:
(g(x)+h(x))′=g′(x)+f′(x)
بنابراین:
f′(x)=dxd[tan(x)+cot(x)]=dxdtan(x)+dxdcot(x)
با توجه به فرمول مشتق تانژانت و کتانژانت، میدانیم:
dxdtan(x)=sec۲(x)
dxdcot(x)=−csc۲(x)
به این ترتیب، داریم:
f′(x)=dxd[tan(x)+cot(x)]=sec۲(x)−csc۲(x)
اکنون، متغیر x را برابر با زاویه ۶۰ درجه یا ۳π قرار میدهیم:
f′(x)=dxd[tan(x)+cot(x)]=sec۲(۳π)−csc۲(۳π)
سکانت ۶۰ درجه برابر با ۲ و کسکانت ۶۰ درجه برابر با ۳۲ است. در نتیجه:
f′(x)=dxd[tan(x)+cot(x)]=(۲)۲−(۳۲)۲
f′(x)=dxd[tan(x)+cot(x)]=۴−۳۴
f′(x)=dxd[tan(x)+cot(x)]=۳۱۲−۴
f′(x)=dxd[tan(x)+cot(x)]=۳۸
f′(x)=۳۸
بنابراین، مشتق مجموع تانژانت و کتانژانت در زاویه ۶۰ درجه برابر با هشتسوم است.
مشتق تانژانت توان دار
در بخشهای قبلی، فرمول کلی مشتق تانژانت با توان ۱ را معرفی کردیم. برای تابع tan با توانهای دیگر، رابطه محاسبه مشتق تغییر میکند.
n میتواند یک عدد مثبت یا منفی باشد. در ادامه، نحوه استفاده از این فرمول برای محاسبه مشتق tan به توان n را با حل چند مثال توضیح میدهیم.
مثال ۴: محاسبه مشتق تانژانت به توان ۲
مشتق تابع tan به توان ۲ را به دست بیاورید.
برای به دست آوردن مشتق tan۲(x)، دو روش اصلی وجود دارد. روش اول، استفاده از قانون ضرب در مشتقگیری است. بر اساس این قانون، مشتق ضرب تابع f(x) در تابع g(x) برابر است با:
dxd[f(x)g(x)]=f(x)g′(x)+g(x)f′(x)
برای استفاده از فرمول بالا، tan۲(x) را به صورت ضرب تابع تانژانت در خودش مینویسیم:
tan۲(x)=tan(x)⋅tan(x)
یکی از تانژانتها را برابر با f(x) و دیگری را برابر با g(x) قرار میدهیم:
f(x)=tan(x)
g(x)=tan(x)
مشتق این توابع برابر هستند با:
f′(x)=sec۲(x)
g′(x)=sec۲(x)
توابع f(x) و g(x) را به همراه مشتقهایشان درون فرمول مشتق ضرب دو تابع قرار میدهیم:
dxd[f(x)g(x)]=f(x)g′(x)+g(x)f′(x)
dxd[tan(x)⋅tan(x)]=tan(x)sec۲(x)+tan(x)sec۲(x)
dxdtan۲(x)=۲tan(x)sec۲(x)
به این ترتیب، مشتق تانژانت به توان دو را به دست آوردیم. روش دوم حل این مشتق، استفاده از فرمول کلی مشتق تانژانت تواندار است. این فرمول به صورت زیر نوشته میشود:
f′(x)=nsec۲(x)tann−۱(x)
توان تانژانت در صورت سوال برابر با ۲ (یعنی n=۲) است. با قرار دادن این عدد در رابطه بالا، خواهیم داشت:
f′(x)=۲sec۲(x)tan۲−۱(x)
f′(x)=۲sec۲(x)tan۱(x)
f′(x)=۲sec۲(x)tan(x)
همانطور که مشاهده میکنید، با استفاده از فرمول مخصوص، به سرعت جواب مشتق تانژانت تواندار را به دست آوردیم.
مثال ۵: محاسبه تانژانت به توان ۳
مشتق tan۳(x) را تعیین کنید.
برای به دست آوردن مشتق مورد سوال، فرمول مشتق تانژانت تواندار را مینویسیم:
f′(x)=nsec۲(x)tann−۱(x)
n (توان تانژانت) برابر با ۳ است. این عدد را در فرمول بالا قرار میدهیم:
f′(x)=۳sec۲(x)tan۳−۱(x)
f′(x)=۳sec۲(x)tan۲(x)
مثال ۶: محاسبه مشتق تانژانت به توان منفی یک
مشتق تانژانت به توان منفی یک را به دست بیاورید.
تانژانت به توان منفی را در نظر بگیرید:
(tan(x))−۱
میتوانیم این تابع را به صورت زیر بازنویسی کنیم:
(tan(x))−۱=tan(x)۱
میدانیم که عکس تانژانت برابر با کتانژانت است. بنابراین، مشتق tan به توان منفی ۱ برابر با مشتق کتانژانت میشود. با این وجود، برای این مثال، از فرمول مشتق تقسیم دو تابع استفاده میکنیم. این فرمول، عبارت است از:
dxd[g(x)f(x)]=[g(x)]۲g(x)f′(x)−f(x)g′(x)
f(x) و g(x) را به صورت زیر در نظر میگیریم:
f(x)=۱
g(x)=tan(x)
مشتق این توابع عبارت هستند از:
f′(x)=۰
g′(x)=sec۲(x)
f(x) و g(x) را به همراه مشتق آنها درون فرمول مشتق تقسیم دو تابع قرار میدهیم:
dxd[g(x)f(x)]=[g(x)]۲g(x)f′(x)−f(x)g′(x)
dxd[tan(x)۱]=[tan(x)]۲tan(x)×۰−۱×sec۲(x)
dxd[tan(x)۱]=tan۲(x)۰−sec۲(x)
dxd[tan(x)۱]=−tan۲(x)sec۲(x)
سکانت و تانژانت را بر حسب سینوس و کسینوس بازنویسی میکنیم:
dxd[tan(x)۱]=−cos۲(x)sin۲(x)cos۲(x)۱
dxd[tan(x)۱]=−sin۲(x)۱
به این ترتیب، داریم:
dxd[tan(x)۱]=−csc۲(x)
در نتیجه، مشتق tan به توان منفی ۱ برابر با منفی مربع کسکانت است. تانژانت به توان منفی یک در این مثال با معکوس تانژانت تفاوت دارد (این دو تابع به یک شکل نمایش داده میشوند). در بخشهای بعدی، به معرفی فرمول مشتق تانژانت معکوس نیز خواهیم پرداخت.
مشتق زنجیره ای تانژانت
قاعده مشتق زنجیرهای، فرمولی است که به منظور مشتقگیری از توابع تو در تو مورد استفاده قرار میگیرد. بر اساس این قاعده، مشتق تابع f(g(x)) از رابطه زیر به دست میآید:
با توجه به قاعده زنجیرهای، مشتق تابع تو در توی بالا عبارت است از:
dxdtan(g(x))=sec۲(g(x))g′(x)
مثال ۷: محاسبه مشتق تانژانت u
تابع f(u) را در نظر بگیرید:
f(u)=tan(u)
اگر u=۳x۳−۹x+۸ باشد، مشتق tan(u) چه خواهد بود؟
در صورتی که u، یک تابع باشد، f(u) یک تابع تو در تو خواهد بود. مشتق توابع تو در تو از رابطه زیر به دست میآید:
dxdf(g(x))=f′(g(x))g′(x)
در رابطه بالا، u را جایگزین g(x) میکنیم:
dxdf(u)=u′f′(u)
به این ترتیب، داریم:
dxdtan(u)=u′tan′(u)
مشتق u برابر است با:
u′=(۳x۳−۹x+۸)′
u′=۹x۲−۹
از طرف دیگر، میدانیم که:
f′(u)=tan′(u)=sec۲(u)
tan′(u)=sec۲(۳x۳−۹x+۸)
با قرار دادن مشتقهای بالا در فرمول اصلی، به جواب زیر میرسیم:
dxdtan(۳x۳−۹x+۸)=(۹x۲−۹)sec۲(۳x۳−۹x+۸)
مشتق تانژانت وارون
توابع وارون، عملکرد توابع را معکوس میکنند. به عنوان مثال، در یک تابع مثلثاتی ساده، با قرار دادن اندازه زاویه به جای متغیر تابع، به یک مقدار عددی میرسیم. از طرف دیگر، در وارون یک تابع مثلثات، با قرار دادن مقدار عددی به جای متغیر تابع، به یک زاویه میرسیم.
به این تابع، تانژانت اینورس، آرکتانژانت و تانژانت معکوس نیز میگویند. مشتق تانژانت معکوس از رابطه زیر به دست میآید:
dxdarctan(x)=۱+x۲۱
برای تانژانت وارون ax، داریم:
dxdarctan(ax)=a۲+x۲a
اگر یک تابع نظیر u درون تابع تانژانت وارون وجود داشته باشد، فرمول مشتق به صورت زیر نوشته میشود:
dxdarctan(u)=۱+u۲u′
مثال ۸: محاسبه مشتق تانژانت معکوس
مشتق تانژانت اینورس x۱ را به دست بیاورید.
صورت سوال، حاصل عبارت زیر را از ما میخواهد:
dxdarctan(x۱)
اگر x۱ را برابر با u در نظر بگیریم، جواب مشتق arc tan برابر خواهد بود با:
dxdarctan(u)=۱+u۲u′
با توجه به تغییر متغیر، داریم:
u=x۱
u′=−x۲۱
این روابط را درون فرمول اصلی مشتق تابع وارون تانژانت جایگذاری میکنیم:
dxdarctan(u)=۱+u۲u′
dxdarctan(x۱)=۱+x۲۱−x۲۱
پس از سادهسازی صورت و مخرج، به جواب زیر میرسیم:
dxdarctan(x۱)=−x۲+۱۱
مشتق تانژانت هیپربولیک
توابع مثلثاتی، با استفاده از معادله دایره (دایره واحد) تعریف میشوند. توابع هیپربولیک، مشابه توابع مثلثاتی هستند با این تفاوت که تعریف آنها توسط معادله هذلولی صورت میگیرد.
اکنون، تابع اصلی را با تغییر متغیر u در نظر میگیریم:
tanh(u)
مشتق این تابع از فرمول زیر به دست میآید:
tanh′(u)=u′ sech ۲(u)
با قرار دادن u و 'u در فرمول بالا، به جواب نهایی میرسیم:
tanh′(ln(x))=x۱ sech ۲(ln(x))
tanh′(ln(x))=x sech ۲(ln(x))
مشتق مراتب بالاتر تانژانت
منظور از مشتق مراتب بالاتر، تکرار فرآیند مشتقگیری از یک تابع است. به عنوان مثال، در بخشهای قبلی دیدیم که مشتق تانژانت برابر با مربع سکانت میشود. به مربع سکانت، مشتق مرتبه اول تانژانت میگویند.
اگر از مربع سکانت مشتق بگیریم، عبارت به دست آمده، مشتق مرتبه دوم تانژانت خواهد بود. با تکرار همین فرآیند بر روی نتایج مشتقگیری، مشتق مرتبه سوم، مرتبه چهارم و مراتب بالاتر تعیین میشوند. برای تابع y=f(x)، مشتقهای مرتبه اول و بالاتر به صورت زیر نمایش داده میشوند:
dxdy,dxd(dxdy),dxd(dxd(dxdy)),...
dxdy,dx۲d۲y,dx۳d۳y,...
f′(x),f′′(x),f′′′(x),...
البته روشهای مختلفی برای نمایش علامت مشتق در ریاضی وجود دارند. با این وجود، علائم بالا، متداولتر هستند. با این تفاصیل، مشتق مرتبه اول تانژانت به صورت زیر نوشته میشود:
dxdtan(x)=sec۲(x)
برای مشتق مرتبه دوم تانژانت، داریم:
dx۲d۲tan(x)=dxdsec۲(x)=۲tan(x)sec۲(x)
به دست آوردن مشتق مراتب بالاتر تانژانت، نیاز به محاسبات بیشتر دارد. در مثال بعدی، نحوه انجام این محاسبات را توضیح میدهیم.
مثال ۱۰: محاسبه مشتق مرتبه سوم تانژانت
مشتق مرتبه سوم f(x)=tan(x) را به دست بیاورید.
صورت سوال، f′′′(x) (مشتق مرتبه سوم) را از ما میخواهد. برای به دست آوردن این مشتق، ابتدا مشتقهای مرتبه اول و دوم را تعیین میکنیم. مشتق مرتبه اول تانژانت عبارت است از:
f′(x)=tan′(x)=sec۲(x)
اگر از عبارت بالا مشتق بگیریم، مشتق مرتبه دوم تانژانت تعیین میشود. برای این کار، فرمول مشتق ضرب دو تابع را مینویسیم:
dxd[u(x)v(x)]=u(x)v′(x)+v(x)u′(x)
عبارت sec۲(x) را به صورت ضرب دو تابع سکانت بازنویسی میکنیم:
sec۲(x)=sec(x)⋅sec(x)
یکی از سکانتها را برابر با u(x) و دیگری را برابر با v(x) در نظر میگیریم:
u(x)=sec(x)
v(x)=sec(x)
مشتق u(x) و v(x) (مشتق سکانت) برابر است با:
u′(x)=sec(x)tan(x)
v′(x)=sec(x)tan(x)
روابط به دست آمده را درون فرمول مشتق ضرب دو تابع قرار میدهیم:
به این ترتیب، مشتق مرتبه سوم تانژانت را به دست آوردیم.
رابطه بین مشتق و انتگرال تانژانت
مشتق و انتگرال، دو مفهوم مهم در ریاضیات هستند که برعکس یکدیگر عمل میکنند. هنگام مشتقگیری از یک تابع، بعد آن کاهش مییابد در صورتی که با انتگرالگیری، بعد تابع افزایش مییابد. هدف از به دست آوردن مشتق، تعیین شیب نمودار در یک نقطه مشخص است. در طرف مقابل، انتگرالگیری، به منظور تعیین مساحت زیر منحنی مورد استفاده قرار میگیرد.
اگر از جواب انتگرال تانژانت (ln∣sec(x)∣+C یا −ln∣cos(x)∣+) مشتق بگیریم، به تابع تانژانت میرسیم. به عبارت دیگر:
dxd[∫tan(x)dx]=dxd[ln∣sec(x)∣+C]=tan(x)
dxd[∫tan(x)dx]=dxd[−ln∣cos(x)∣+C]=tan(x)
در نتیجه، مشتق انتگرال تانژانت برابر با خود تانژانت است.
مثال ۱۱: محاسبه انتگرال تانژانت
انتگرال extan(ex) را تعیین کنید.
میخواهیم انتگرال زیر را به دست بیاوریم:
∫(extan(ex))dx
برای حل این انتگرال، تغییر متغیر زیر را در نظر میگیریم:
u=ex
با مشتقگیری از دو طرف رابطه بالا بر حسب x، به رابطه زیر میرسیم:
dxdex=dxdu
مشتق ex با خودش برابر میشود. بنابراین، داریم:
ex=dxdu
رابطه بالا را بر حسب du بازنویسی میکنیم:
du=exdx
با توجه به این تغییر متغیرها، انتگرال مورد سوال به فرم زیر درمیآید:
∫(extan(ex))dx=∫(utan(u))dx
به جای udx، میتوانیم معادل آن (du) را جایگذاری کنیم:
∫(extan(ex))dx=∫tan(u)du
انتگرال tan(u) بر حسب u برابر است با:
∫(extan(ex))dx=∫tan(u)du=−ln∣cos(u)∣+C
اکنون، به جای u، معادل آن را قرار میدهیم:
∫(extan(ex))dx=−ln∣cos(ex)∣+C
جدول فرمول های مشتق تانژانت
در بخشهای قبلی، به معرفی فرمولهای مهم برای مشتقگیری از تابع تانژانت و توابع مرتبط با آن پرداختیم. در این بخش، این فرمولها را در قالب یک جدول ارائه میکنیم.
فرم تابع
مشتق تابع
tan(x)
sec۲(x)
atan(x)
asec۲(x)
atan(bx)
absec۲(x)
atan(bx+c)
absec۲(x)
tann(x)
nsec۲(x)tann−۱(x)
tan(u(x))
u′(x)sec۲(u(x))
aarctan(b u (x)+c)
(b u (x)+c)۲+۱ab u ′(x)
atanh(b u (x)+c)
ab u ′(x)sec۲(b u (x)+c)
a arctanh (b u (x)+c)
۱−b۲ u ۲(x)−۲bc u (x)−c۲ab u ′(x)
dx۲d۲tan(x)
۲tan(x)sec۲(x)
dx۳d۳tan(x)
۶sec۴(x)−۴sec۲(x)
حل تمرین مشتق تانژانت
در این بخش، برای آشنایی بیشتر و بهتر با مبحث مشتق tan، به حل چندین تمرین متنوع میپردازیم.
تمرین ۱: محاسبه مشتق ضرب تانژانت
مشتق y را به دست بیاورید.
y=۶x۵tan(x)
y، حاصل ضرب تابع مثلثاتی tan(x) در تابع ۶x۵ است. بنابراین، برای به دست آوردن مشتق آن میتوانیم از فرمول مشتق ضرب دو تابع استفاده کنیم. این فرمول به صورت زیر نوشته میشود:
dxd[f(x)g(x)]=f(x)g′(x)+g(x)f′(x)
بنابراین، قدم اول در تعیین مشتق y، مشخص کردن f(x) و g(x) و مشتق هر یک از آنها است:
f(x)=۶x۵
f′(x)=۵×۶x۵−۱
f′(x)=۳۰x۴
g(x)=tan(x)
g′(x)=sec۲(x)
به این ترتیب، داریم:
dxd[f(x)g(x)]=f(x)g′(x)+g(x)f′(x)
dxd[۶x۵tan(x)]=۶x۵sec۲(x)+tan(x)⋅۳۰x۴
در نتیجه:
y′=۶x۵sec۲(x)+۳۰x۴tan(x)
در برخی از موارد (مخصوصا مسائل دارای ضریبهای عددی متعدد)، بهتر است پیش از شروع مشتقگیری، ضرایب ثابت را از معادله خارج کنید. این کار، احتمال خطای محاسباتی را کاهش میدهد. به عنوان مثال، در این تمرین، میتوانستیم با حذف ضریب عددی ۶، f(x) و g(x) را به صورت زیر در نظر بگیریم:
f(x)=x۵
f′(x)=۵x۴
g(x)=tan(x)
g′(x)=sec۲(x)
به این ترتیب، فرمول مشتق به صورت زیر نوشته میشود:
۶[dxd(x۵tan(x))]=۶(x۵sec۲(x)+۵x۴tan(x))
تمرین ۲: محاسبه مشتق تقسیم تانژانت
مشتق f(x) را تعیین کنید.
f(x)=۴x۲tan۲(x)
f'(x)، با استفاده از فرمول مشتق تقسیم دو تابع تعیین میشود. این فرمول عبارت است از:
dxd[v(x)u(x)]=v۲(x)v(x)u′(x)−u(x)v′(x)
صورت سوال، مشتق زیر را از ما میخواهد:
dxd(۴x۲tan۲(x))
برای سادگی محاسبات، ثابت ۴۱ را از درون رابطه مشتق بیرون میکشیم:
f′(x)=۴۱×dxd[x۲tan۲(x)]
صورت کسر را برابر با u(x) و مخرج را برابر با v(x) در نظر میگیریم:
u(x)=tan۲(x)
v(x)=x۲
مشتق این توابع عبارت است از:
u′(x)=۲tan(x)sec۲(x)
v′(x)=۲x
توابع u(x) و v(x) را به همراه مشتقهایشان درون فرمول مشتق تقسیم دو تابع قرار میدهیم:
با توجه به رابطه بین مربع سکانت و تانژانت، به رابطه زیر میرسیم:
y′=−cot(x)csc(x)+tan(x)+x(۱+tan۲(x))
y′=−cot(x)csc(x)+tan(x)+x+xtan۲(x)
تمرین ۵: محاسبه سرعت ذره با استفاده از مشتق تانژانت وارون
معادله مکان یک ذره در زمان t (به شرط t≥۲۱) عبارت است از:
s(t)=tan−۱(t۱)
سرعت ذره در زمان t=۱ را محاسبه کنید.
اگر از معادله مکان یک ذره بر حسب زمان مشتق بگیریم، به معادله سرعت یا تندی آن ذره میرسیم. به عبارت دیگر، شیب نمودار مکان-زمان برابر با سرعت است. بنابراین، جواب سوال، با مشتقگیری از s(t) بر حسب پارامتر t به دست میآید. s(t)، یک تابع مثلثاتی وارون و تو در تو است. فرم کلی این تابع به صورت زیر نوشته میشود:
s(t)=tan−۱( u (t))
مشتق تابع بالا برابر است با:
dtdtan−۱( u (t))= u ۲(t)+۱ u ′(t)
با توجه به صورت سوال، t۱ را برابر با (t)u قرار میدهیم. به این ترتیب، داریم:
u(t)=t۱
u′(t)=−t۲۱
این روابط را درون فرمول مشتق تانژانت وارون u جایگذاری میکنیم:
dxdtan−۱(t۱)=(t۱)۲+۱−t۲۱
dxdtan−۱(t۱)=t۲۱+۱−t۲۱
dxdtan−۱(t۱)=−t۲۱+t۲t۲۱
dxdtan−۱(t۱)=−۱+t۲۱
بنابراین:
s′(t)=−۱+t۲۱
صورت سوال، سرعت ذره در زمان t=۱ را از ما میخواهد. برای به دست آوردن این سرعت، عدد ۱ را درون رابطه بالا قرار میدهیم:
s′(۱)=−۱+۱۲۱
s′(۱)=−۲۱
از اینرو:
v(۱)=−۲۱
در نتیجه، سرعت ذره در زمان t=۱ برابر با منفی یکدوم است.
سوالات متداول در رابطه با مشتق تانژانت
در این بخش، به برخی از پرتکرارترین سوالات در رابطه با مبحث مشتق tan به طور مختصر پاسخ میدهیم.
تعریف مشتق tan چیست ؟
مشتق تابع مثلثاتی تانژانت، به صورت شیب خط مماس بر نمودار این تابع در یک نقطه مشخص تعریف میشود.
مشتق tan برابر با چیست ؟
مشتق تانژانت برابر با مربع سکانت است.
فرمول مشتق tan چیست ؟
فرمول مشتق تانژانت به صورت tan'(x)=sec^۲(x) نوشته میشود.
مشتق تانژانت هیپربولیک چیست ؟
مشتق تانژانت هیپربولیک برابر با مربع سکانت هیپربولیک است.
فرمول مشتق tanh چیست ؟
فرمول مشتق تانژانت هیپربولیک به صورت tanh'(x)=sech^۲(x) نوشته میشود.
مشتق مرتبه دوم tan چیست ؟
مشتق مرتبه دوم تانژانت برابر با دو تانژانت در مربع سکانت است.
مشتق نسبت عکس tan چیست ؟
مشتق نسبت عکس تانژانت، برابر با منفی مربع کسکانت (مشتق کتانژانت) است.
مشتق انتگرال tan چیست ؟
مشتق انتگرال tan برابر با tan است.
رابطه بین مشتق tan و cot چیست ؟
مشتق تانژانت برابر با مربع سکانت و مشتق کتانژانت برابر با منفی مربع کسکانت است. اگر مشتق tan را بر مشتق cot تقسیم کنیم، به منفی مربع تانژانت میرسیم.
«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیتهای علمی او در زمینه تحلیل عددی سازههای مهندسی بوده و در حال حاضر، دبیر بخش مهندسی مجله فرادرس است.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.