ریاضی , علوم پایه 513 بازدید

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس، مفاهیم پایه‌ای انتگرال و روش‌های محاسبه آن را بیان کردیم. اما در مواردی با انتگرال‌هایی روبرو هستیم که در بخشی از تابعِ تحت انتگرال، تابعی مثلثاتی وجود دارد. در این قسمت قصد داریم تا در قالب مثال، روش‌های حل انتگرال توابع مثلثاتی را بیان کنیم.

مقدمه

در انتگرال‌هایی که در آن‌ها از توابع مثلثاتی استفاده شده می‌توان با استفاده از روابط مثلثاتی، تابع تحت انتگرال را به شکلی ساده‌تر نوشت. در مواردی نیز می‌توان با نوشتن یک تابع در مختصات قطبی، تابع تحت انتگرال را به‌شکل مثلثاتی نوشته و از آن انتگرال گرفت.

قبل از توضیح نحوه بدست آوردن انتگرال توابع مثلثاتی نیاز است تا با روابط مثلثاتی آشنا باشید. در این‌ مطلب می‌توانید این روابط را به خاطر بسپارید اما در آینده در مورد نحوه بدست آمدن آن‌ها نیز بحث خواهد شد.

انتگرال توابع توانی

در ابتدا انتگرال توابعی را بیان می‌کنیم که در آن‌ها از توان‌های بالاتر توابع مثلثاتی استفاده شده است. در ابتدا در قالب چندین مثال بدست آوردن این نمونه از انتگرال‌ها را توضیح می‌دهیم و در انتها روش کلی حل آن‌ها را توضیح می‌دهیم.

مثال 1

انتگرال تابع $$\large \int cos^{3}xdx$$ را بیابید.

پاسخ: معمولا انتگرال‌هایی که در آن‌ها از توان چندم (توان 2 به بالا) تابع مثلثاتی استفاده شده، می‌توان از تغییر متغیر توابع پایه استفاده کرد. برای نمونه در این مثال می‌توان از تغییر متغیر u=sin x استفاده کرد. با این فرض، دیفرانسیل du= cosx dx حاصل می‌شود. اما نکته این‌جاست که در تابع تحت انتگرال، عبارت sin x موجود نیست. در چنین مواردی می‌توان با استفاده از روابط مثلثاتی، عبارت مدنظر را ایجاد کرد. برای نمونه در این مثال مناسب است که از رابطه $$sin^2x+cos^2x=1$$ استفاده شود. در این صورت داریم:

trig-substitution-integrals

حال انتگرال را می‌توان با استفاده از روش تغییر متغیر، به‌شکل زیر بدست آورد.

trig-substitution-integrals

همان‌طور که در مثال بالا دیدید، در انتگرال‌های توانی، بهتر است یکی از توابع پایه (سینوس، کسینوس یا تانژانت) به عنوان u در نظر گرفته شده و با ساده‌سازی توان، du را در عبارت تولید کرد. برای درک بهتر به مثال 2 توجه فرمایید.

مثال 2

حاصل انتگرال $$\int sin^{5}xcos^{2}xdx$$ را بیابید.

پاسخ: در چنین انتگرال‌هایی، یکی از توابع به‌عنوان u در نظر گرفته و تابع زیر انتگرال بر حسب آن نوشته می‌شود. اگر در این مثال $$u=\cos x$$ در نظر گرفته شود، du=-sin xdx خواهد بود. در نتیجه بایستی در تابع زیر انتگرال توان اول سینوس را نگه داشته و مابقی تابع بر حسب u یا همان کسینوس نوشته شود. در نتیجه می‌توان گفت:

trig-substitution-integrals

از طرفی به‌منظور استفاده از روش تغییر متغیر داریم:

trig-substitution-integrals

با فرض بالا، انتگرال مذکور به ترتیب زیر بدست می‌آید.

trig-substitution-integrals

در دو مثال بالا، توان فرد سینوس یا کسینوس به ما اجاز‌ه‌ی جدا کردن سینوس یا کسینوس را داد. در حالتی که توان هر دو تابع سینوس و کسینوس زوج باشد، نمی‌توان از روش ارائه شده در مثال 1 و 2 استفاده کرد. بنابراین در مواردی که توان‌های سینوس و کسینوسِ زیر انتگرال، زوج باشد، می‌توان از قانون نصف کمان استفاده کرد.

با استفاده از قانون نصف کمان می‌توان توانِ زوج عبارت‌های سینوسی و کسینوسی را از بین برد. این قانون به‌صورت زیر است.

trig-substitution-integrals

در مثالی که در زیر ارائه شده، از قانون نصف کمان استفاده شده است.

مثال 3

حاصل انتگرال $$\large \int sin^{2}xdx$$ را بیابید.

پاسخ: در این مثال هم‌چون مثال 1 و 2 نمی‌توان از عبارت $$sin^{2}x=1-cos^2x$$ استفاده کرد؛ این انتگرال را می‌توان با استفاده از قانون نصف کمان و به‌ترتیب زیر بدست آورد.

trig-substitution-integrals-7

توجه داشته باشید که در پاسخ بالا از انتگرالِ $$\large \int cos 2x \enspace dx=\frac{1}{2}sin(2x)$$ استفاده شده است. البته در زیر مثالی زده شده که می‌توانید با مطالعه آن نحوه بدست آوردن انتگرال توان‌های بالاتر را فرا بگیرید.

مثال 4

حاصل انتگرال $$\large \int sin^4xdx$$ را بیابید.

پاسخ: در این مثال توان چهارم ظاهر شده؛ در نتیجه بایستی دو بار از قانون نصف کمان استفاده کرد. با استفاده از این قانون، sin4 x به‌صورت زیر در می‌آید.

رابطه 1

در عبارت بالا تابع Cos2 2x ظاهر شده؛ با اعمال قانون نصف کمان برای بار دوم داریم:

trig-substitution-integrals-9

با جایگذاری رابطه بالا در رابطه 1، توان سینوس کاملا از بین رفته و انتگرال به‌ترتیب زیر بدست می‌آید.

trig-substitution-integrals-10

در ادامه به‌طور خلاصه روش حل انتگرالِ $$\large \int {sin ^mx} \enspace {cos ^nx} \enspace dx$$ بیان شده است.

مراحل بدست آوردن انتگرال $$\large \int {sin ^mx} \enspace {cos^n x} \enspace dx$$

روش به‌کار گرفته شده جهت محاسبه انتگرال، وابسته به فرد یا زوج بودن توان‌ها است. در ادامه روش حل در هریک از این حالات توضیح داده شده است.

1. توان کسینوس فرد باشد

اگر توان کسینوس منفی باشد (n=2k+1)، یکی از کسینو‌س‌ها را نگه داشته و مابقی را با استفاده از رابطه $$\cos^2 x=1-\sin ^2x$$، بر حسب سینوس بیان می‌کنیم. با انجام این کار‌ها حاصل انتگرال به‌صورت زیر در می‌آید.

trig-substitution-integrals

نهایتا از تبدیل u=sin x استفاده شده و پاسخ انتگرال بدست خواهد آمد.

2. توان سینوس فرد باشد

در حالتی که توان سینوس فرد باشد، یکی از سینوس‌ها نگه داشته شده و مابقی را با استفاده از تبدیل $$\sin^2 x=1-\cos ^2x$$ بیان می‌شوند. در حقیقت در این حالت انتگرال را می‌توان به‌شکل زیر بیان کرد:

trig-substitution-integrals

در مرحله بعد از تبدیل u=cos x استفاده کرده و آن را در رابطه بالا جایگذاری کنید. توجه داشته باشید که در حالتی که توان هردو فرد باشد، هر دو روش 1 و 2 را می‌توان استفاده کرد.

3. توان سینوس و کسینوس زوج باشد

در این حالت بایستی از قانون نصف کمان استفاده کرد.

trig-substitution-integrals

در بعضی مواقع می‌توان از قانون زیر نیز استفاده کرد.

trig-substitution-integrals

می‌توان از استراتژی بالا به‌منظور محاسبه $$\large \int {tan^m x} \enspace {sec}^nx \enspace dx$$ نیز استفاده کرد. توجه داشته باشید که رابطه بین دو تابع sec x و tan x به‌صورت $${d \over dx} (tan \enspace x)=sec^2x$$ است. با مطالعه مثال زیر نحوه بدست آوردن انتگرال چنین توابعی را فرا خواهید گرفت.

مثال ۵

حاصل انتگرال $$\large \int {tan^6 x} \enspace {sec}^4x \enspace dx$$ را بیابید.

پاسخ: در ابتدا از تابع سکانت با توان دوم فاکتور گرفته و پس از آن از رابطه sec2 x=1+tan2 x استفاده می‌شود. پس از آن، با تغییر متغیر u=tan x، دیفرانسیل du=sec2xdx بدست می‌آید. نهایتا با جایگذاری این توابع در رابطه اصلی، به انتگرال زیر می‌رسیم.

trig-substitution-integrals

مثال ۶

حاصل انتگرال $$\large \int {tan^5 \theta} \enspace {sec}^7 \theta \enspace d \theta $$ بیابید.

پاسخ: اگر از تابع $$\sec^2 \theta $$ فاکتور گرفته شود، آنچه از سکانت باقی می‌ماند، تابع $$\sec^5 \theta $$ خواهد بود. این تابع را نمی‌توان به‌ آسانی به تانژانت تبدیل کرد. این در حالی است که با جدا کردن تابع $$\sec \theta \enspace tan \theta$$ مابقی را می‌توان با استفاده از تبدیل $$tan ^2 \theta = sec ^2 \theta -1$$ به سکانت تبدیل کرد. نهایتا با در نظر گرفتن $$u=sec \enspace \theta$$، دیفرانسیل $$du=sec \theta tan \theta \enspace d \theta$$ بدست می‌آید. با این فرض پاسخ انتگرال به‌صورت زیر بدست خواهد آمد.

trig-substitution-integrals

مثال ۵ و ۶ دو نمونه از انتگرال‌هایی محسوب می‌شوند که در آن‌‌ها دو تابع تانژانت و سکانت در هم ضرب شده‌ باشند. در ادامه استراتژی کلی حل این‌گونه از مسائل بیان شده است.

مراحل بدست آوردن انتگرال $$\large \int {tan^mx} \enspace {sec ^nx} \enspace dx$$

انتگرال tan x sec x نیز هم‌چون حالت sin x cosx وابسته به توان است.

1. توان سکانت زوج باشد

در این حالت از توان دوم سکانت فاکتور گرفته و مابقی را با استفاده از تبدیل $$sec^2 x = 1+tan^2x$$ بر حسب tan x بنویسید. با انجام این کار انتگرال به‌صورت زیر در خواهد آمد.

trig-substitution-integrals

با نوشتن عبارت بالا و استفاده از تبدیل u=tan x، حاصل انتگرال نیز بدست خواهد آمد.

2. توان تانژانت فرد باشد

اگر توان تانژانت زوج بود، از عبارت sec x tan x فاکتور گرفته و از تبدیل $$tan^2x=sec^2 x-1$$ استفاده کنید. در نتیجه صورت انتگرال به‌صورت زیر در خواهد آمد.

trig-substitution-integrals

پس از انجام این کار، از تبدیل u= sec x استفاده کنید.

در مواردی غیر از دو حالت فوق، دستورالعمل مشخص وجود ندارد. البته در بسیاری از موارد می‌توان با استفاده از روش جزء به جزء حاصل انتگرال را بدست آورد. در اکثر مواقع به انتگرال تانژانت خواهید رسید که حاصل آن برابر است با:

trig-substitution-integral

هم‌چنین ممکن است با انتگرال سکانت رو‌به‌رو شوید که پاسخ آن‌ برابر است با:

رابطه 2

مثال ۷

حاصل انتگرال $$\int tan^3x dx$$ را بیابید.

پاسخ: همان‌طور که می‌بینید در این سوال توان تانژانت فرد است. بنابراین بایستی از توان 1 تانژانت فاکتور گرفته سپس با استفاده از رابطه $$tan^2x=sec^2 x-1$$، کل عبارت را به سِکانت تبدیل کنیم. در نتیجه انتگرال به‌شکل زیر در می‌آید.

trig-substitution-integrals

در مرحله بعدی از تبدیل u=tan x استفاده کرده و پاسخ انتگرال به ترتیب زیر بدست خواهد آمد.

انتگرال توابع مثلثاتی

معمولا در مواردی که توان سکانت، فرد و توان تانژانت، زوج باشد، با نوشتن کل عبارت بر حسب سکانت، حاصل انتگرال را می‌توان بدست آورد؛ هم‌چنین با استفاده از روش جزء به جزء‌ می‌توان توان سکانت را از بین برد. برای نمونه به مثال زیر توجه فرمایید.

مثال ۸

حاصل انتگرال $$\large \int sec^3 x \enspace dx$$ را بیابید.

پاسخ: با استفاده از انتگرال جزء به جزء داریم:

trig-substitution-integrals

نهایتا با استفاده از رابطه‌ی 2 و هم‌چنین عبارت بالا، حاصل انتگرال،‌ برابر با تابع زیر بدست می‌آید.

trig-substitution-integrals

انتگرال توابع مثلثاتی ضرب شده

نمونه‌ای دیگر از انتگرال‌هایی که ممکن است با آن مواجه شوید، انتگرال توابعی است که در آن‌ها‌ توابع سینوس و کسینوس با کمان‌هایِ بیشتر از واحد در هم ضرب شده باشند. در حقیقت مقصود ما انتگرال‌هایی به‌صورت زیر است.

trig-substitution-integrals

توجه داشته باشید که در رابطه بالا m و n اعداد صحیح هستند. جهت بدست آوردن چنین انتگرال‌هایی می‌توانید به سادگی و با استفاده از روابط تبدیل ضرب به جمع که در زیر بیان شده، تابع زیر انتگرال را ساده کرده و انتگرال‌گیری را انجام دهید.

انتگرال توابع مثلثاتی
رابطه 3

مثال زیر نحوه استفاده از روابط بالا را نشان می‌دهد.

مثال ۹

حاصل انتگرال $$\int sin 4x cos 5x \enspace dx$$ را بیابید.

پاسخ: در ابتدا بایستی تابع زیر انتگرال را به‌صورت حاصل جمع دو تابع بیان کرد. به‌منظور انجام این کار، می‌توان از رابطه 3 استفاده کرد. در نتیجه پاسخ نهایی برابر است با:

trig-substitution-integrals

مثال 1۰

حاصل انتگرال $$\large \int \cos 7\theta \cos 5 \theta \enspace d\theta$$ را بیابید.

پاسخ: جهت بدست آوردن پاسخ انتگرال مشابه با مثال 9 بایستی تابع تحت انتگرال را به جمع تبدیل کرد. با استفاده از تبدیل c در رابطه 3، پاسخ انتگرال به‌ترتیب زیر بدست می‌آید.

trig-substitution-integrals

انتگرال توابع معکوس مثلثاتی

توجه داشته باشید که معمولا جهت محاسبه انتگرال توابع معکوس می‌توان از انتگرال‌گیری جزء به جزء استفاده کرد. در ادامه نحوه محاسبه انتگرال توابع معکوس مثلثاتی به روش جزء به جزء توضیح داده شده است.

تابع معکوس سینوس

همان‌طور که در بالا بیان شد، در مواجه با تابع معکوس مثلثاتی در ابتدا چک کنید و ببینید آیا می‌توان آن را با استفاده از روش جزء به جزء حل کرد؟ هدف ما محاسبه انتگرال زیر است.

trig-substitution-integrals

جهت بدست آوردن انتگرال فوق، تابع تحت انتگرال را می‌توان به‌صورت زیر تصور کرد.

trig-substitution-integrals

به‌منظور به‌کارگیری روش جزء به جزء، عبارت‌های u و dv به‌صورت زیر در نظر گرفته می‌شوند.

trig-substitution-integrals

با این فرضیات، du و v به‌صورت زیر در خواهند آمد.

trig-substitution-integrals

در نتیجه حاصل انتگرال با استفاده از روش جزء به جزء برابر است با:

انتگرال توابع مثلثاتی

تابع معکوس کسینوس

جهت بدست آوردن انتگرالِ $$\large \int cos^{-1}xdx$$ نیز از روش مشابه با انتگرال سینوس معکوس استفاده می‌شود. در ابتدا u و dv را به‌صورت زیر در نظر می‌گیریم.

انتگرال توابع مثلثاتی

با این فرضیات، حاصل انتگرال برابر است با:

trig-substitution-integrals

 

 

توجه داشته باشید که عبارت سمت راست در رابطه بالا را می‌توان با استفاده از تغییر متغیر u=1-x2 بدست آورد. با استفاده از تغییر متغیر مذکور، انتگرال سمت چپ در رابطه بالا برابر است با:

trig-substitution-integrals

با استفاده از رابطه بالا پاسخ نهایی انتگرال تابع معکوس کسینوس برابر است با:

trig-substitution-integrals

تابع معکوس تانژانت

به‌منظور بدست آوردن انتگرال تابع معکوس تانژانت نیز می‌توان از روش جزء به جزء استفاده کرد. در قدم اول u و dv به‌صورت u=tan-1x و dv=dx در نظر گرفته و جز به جز می‌گیریم. در نتیجه خواهیم داشت:

trig-substitution-integrals

با فرض u=1+x2 انتگرال سمت راست در رابطه بالا نیز بدست خواهد آمد. در نتیجه پاسخ نهایی انتگرال معکوس تانژانت برابر است با:

trig-substitution-integrals

در جدول زیر حاصل انتگرال چند تابع معکوس مثلثاتی ارائه شده است.

trig-substitution-integrals

خلاصه

در این مطلب روش‌هایی ارائه شده که با استفاده از آن‌ها می‌توان انتگرال توابعی مثلثاتی که در یکدیگر ضرب شده یا به توان رسیده‌اند را محاسبه کرد.

  • در حالت توانی، سینوس یا کسینوس با توان 1 جدا شده و مابقی بر حسب تابعِ دیگر نوشته می‌شوند (برای نمونه اگر سینوس جدا شد، مابقی بر حسب کسینوس نوشته می‌شوند).
  • به‌منظور محاسبه انتگرال توابع مثلثاتی که در یکدیگر ضرب شده‌اند، از روابط مثلثاتی مربوط به تبدیل ضرب به جمع استفاده می‌شود.
  • در مواجه با انتگرال تابع معکوس مثلثاتی در ابتدا به روش جزء به جزء فکر کنید.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه‌ی ریاضیات، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 1 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

برچسب ها :

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *