ریاضی , علوم پایه 160 بازدید

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به توابع مثلثاتی و معکوس توابع را توضیح دادیم. در این مطلب قصد داریم تا در مورد نوعی خاص از توابع معکوس صحبت کنیم. این توابع را توابع معکوس مثلثاتی یا توابع آرک می‌نامند.

پیشنهاد می‌شود به منظور تسلط بهتر به مطلب، مطالب دایره مثلثاتی، سینوس، کسینوس و تانژانت و تابع معکوس مطالعه شوند.

مفهوم توابع معکوس مثلثاتی

همان‌طور که پیش‌تر نیز بیان شد، سینوس، کسینوس و تانژانت زاویه، مفاهیمی هستند که با استفاده از آن‌ها می‌توان بین طول و زوایای یک مثلث ارتباط برقرار کرد. در ابتدا شکل زیر را در نظر بگیرید.

توابع مثلثاتی

با توجه به شکل فوق، مقادیر مثلثاتی به صورت زیر تعریف می‌شوند:

trigonometric

بنابراین یک زاویه در سینوس یا کسینوس قرار داده شده و خروجی آن محاسبه می‌شود. حال اگر مقدار خروجی را داشته باشیم با استفاده از تابع سینوس معکوس یا آرک سینوس، مقدار زاویه‌ی متناسب با آن بدست می‌آید.

بنابراین تابع $$ \large \sin \theta $$ ورودیِ $$ \large \theta $$ را گرفته و خروجی آن نسبت طول اضلاع می‌شود. حال تابع $$ \large \sin ^ { – 1 } $$ خروجی را می‌گیرد و به ما زاویه می‌دهد.توابع معکوس مثلثاتی

مثال 1

مقدار $$ \large \sin ^ { – 1 } ( 0 . 5 7 ) $$ را بیابید.

برای بدست آوردن این مقدار، باید نگاه کنیم و ببینیم سینوس چه زاویه‌ای برابر با ۰.۵۷ می‌شود. با استفاده از ماشین حساب می‌توان دید سینوس زاویه 3۵ درجه برابر با ۰.۵۷ است. بنابراین می‌توان گفت:

$$ \large \sin ^ { – 1 } ( 0 . 57 ) = 3 5 ^ o $$

توجه داشته باشید که توابع معکوس مثلثاتی را ممکن است به صورت آرک نیز نشان دهند. در ادامه این شکل از تابع معکوس نشان داده شده است.

$$ \large \begin {align*} { \cos ^ { – 1 } } \left ( x \right ) & = \arccos \left ( x \right ) \\ { \sin ^ { – 1 } } \left ( x \right ) & = \arcsin \left ( x \right ) \\ { \tan ^ { – 1 } } \left ( x \right ) & = \arctan \left ( x \right ) \end {align*} $$
رابطه 1

احتمالا تاکنون متوجه شده‌اید که بیان‌های زیر معادل یکدیگر هستند.

$$ \large \begin {align*} \theta & = { \cos ^ { – 1 } } \left ( x \right ) & \hspace {0.5in} & \Leftrightarrow & \hspace {0.5in} x & = \cos \left ( \theta \right ) \\ \theta & = { \sin ^ { – 1 } } \left ( x \right ) & \hspace {0.5in} & \Leftrightarrow & \hspace {0.5in} x & = \sin \left ( \theta \right) \\ \theta & = { \tan ^ { – 1 } } \left ( x \right ) & \hspace {0.5in} & \Leftrightarrow & \hspace {0.5in} x & = \tan \left ( \theta \right ) \end {align*} $$

مثال 2

مقدار معکوسِ $$ \large \displaystyle { \cos ^ { – 1 } } \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right ) $$ را بدست آورید.

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، باید از خود بپرسید کسینوس چه زاویه‌ای برابر با $$ \large \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $$ می‌شود؟ از مفاهیم پایه‌ای سینوس، کسینوس و تانژانت می‌دانید که کسینوس دو زاویه $$ \large 3 0 ^ o $$ ($$ \large \frac { \pi } { 6 } $$) و $$ \large 330 ^ { \small O } $$ ($$ \large \frac { 11 \pi } { 6 } $$) برابر با $$ \large \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $$ می‌شود. بنابراین داریم:

$$ \large \displaystyle { \cos ^ { – 1 } } \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right ) = \frac { \pi } { 6 } \ , \ \frac { 11 \pi } { 6 } $$

بدیهی است که اگر یک زاویه را به اندازه ضرایب 2π دور بزنیم، به نقطه ابتدایی خواهیم رسید. بنابراین پاسخ‌ها را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$ \large \begin {align*} & \frac { \pi } { 6 } + 2 \pi \, n\, ,\;\;n = 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots \\ & \frac{{11\pi }}{6} + 2\pi \,n\,,\;\;n = 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots \end {align*} $$

توجه داشته باشید ممکن است در صورت سوال محدوده پاسخ بیان شود. برای نمونه اگر پاسخ در بازه ۰ تا π در نظر گرفته شود، نهایتا پاسخ برابر با $$ \large \frac { \pi } { 6 } $$ است.

اگر مطلب دایره مثلثاتی را به دقت مطالعه فرموده باشید، می‌توانید معکوس توابع مثلثاتی را راحت‌تر و سریع‌تر محاسبه کنید.

مثال 3

مقدار $$ \large \displaystyle { \cos ^ { – 1 } } \left ( { – \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right ) $$ را بدست آورید.

در ابتدا دایره مثلثاتی را به صورت زیر ترسیم کنید.

inverse-trig-function

با توجه به دایره، مقدار کسینوس معکوس یا آرک کسینوس برابر می‌شود با:

$$ \large { \cos ^ { – 1 } } \left ( { – \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right ) = \frac { { 5 \pi } } { 6 } $$

مثال 4

مقدار $$ \displaystyle \cos \left( {{{\cos }^{ – 1}}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)} \right) $$ را بدست آورید.

در مطلب تابع معکوس عنوان شد که اگر یک تابع معکوس را در خودش قرار دهیم، مقدار خروجی برابر با ورودی است. در این حالت نیز از تابع آرک کسینوس، کسینوس گرفته شده. بنابراین مقدار آن برابر است با:

$$ \large \cos \left ( { { { \cos } ^ { – 1 } } \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right ) } \right ) = \cos \left ( { \frac { \pi } { 6 } } \right ) = \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } $$

نمودار توابع معکوس مثلثاتی

در رابطه 1 توابع معکوس مثلثاتی ارائه شدند. برای بدست آوردن نمودار توابع معکوس کافی است که آن‌ها را نسبت به محور y=x معکوس کنیم. برای نمونه در شکل زیر نمودار تابع y=cos x نسبت به y=x قرینه شده و تابع y=cos-1x بدست آمده است.

inverse-trig-function

در ادامه نمودار توابع آرک سینوس، کسینوس و تانژانت ارائه شده است.

inverse-trig-function

در این مطلب مفاهیم پایه‌ای توابع معکوس مثلثاتی یا توابع آرک توضیح داده شدند. البته در آینده مشتق‌ توابع معکوس مثلثاتی را نیز توضیح خواهیم داد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 2 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *