ریاضی , علوم پایه 1087 بازدید

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، درباره مشتق و روش‌های مشتق‌گیری بحث کردیم. در این آموزش، یک روش بسیار کارآمد و ساده را معرفی می‌کنیم که در فرایند مشتق‌گیری به ما کمک خواهند کرد.

احتمالاً مشتق توابعی مانند $$\sin (x)$$، $$x^8$$ و $$e^x$$ را به‌خاطر دارید. اما درباره توابعی مانند $$\sin(2x-1)$$، $$(3x^2-4x+1)^8$$ یا $$e^{-x^2}$$ چه می‌توانید بگویید؟ چگونه می‌توانیم مشتق ترکیب توابع را به‌دست آوریم؟ «قاعده زنجیره‌ای» (Chain Rule) ابزاری است که به ما این توانایی را می‌دهد از اطلاعات قبلی خود در زمینه مشتق توابع ساده‌تر $$f(x)$$ و $$g(x)$$، استفاده کرده و مشتق توابع ترکیبی $$f(g(x))$$‌ را محاسبه کنیم.

قضیه: اگر $$g(x)$$ یک تابع مشتق‌پذیر در x بوده و $$f(x)$$ در $$g(x)$$ مشتق‌پذیر باشد. با درنظر گرفتن $$y=f(g(x))$$ و $$u=g(x)$$، رابطه زیر برقرار است:

قاعده زنجیره‌ای

یا با یک نمادگذاری دیگر:

مشتق زنجیره‌ای

اثبات: فرض کنید $$g(x)$$ یک تابع مشتق‌پذیر در x بوده و $$f(x)$$ در $$g(x)$$ مشتق‌پذیر باشد. با درنظر گرفتن $$y=f(g(x))$$ و $$u=g(x)$$، از این واقعیت استفاده می‌کنیم که اگر $$y=f(x)$$ در x مشتق‌پذیر باشد، آن‌گاه

مشتق

که در آن، وقتی $$\Delta x \rightarrow 0$$، $$\varepsilon \rightarrow 0$$. می‌توان نوشت:

قاعده زنجیره‌ای

با جایگذاری $$\Delta u$$ از معادله اول در معادله دوم، داریم:

مشتق زنجیره‌ای

با در نظر گرفتن $$\Delta x \rightarrow 0$$، به عبارت زیر می‌رسیم و اثبات کامل می‌شود:

قاعده زنجیری

مثال 1

برای مشتق‌گیری از تابع $$\sin (2x-1)$$، عبارت $$u=2x-1$$ را در نظر می‌گیریم. بنابراین،

مشتق

در نتیجه:

مشتق

مثال 2

توابع f و g برای مشتق‌گیری از $$\left( 3x^{2} – 4x + 1 \right)^{8}$$ به‌صورت زیر هستند:

قاعده زنجیره‌ای

و مشتق به‌راحتی محاسبه می‌شود:

مشتق

مثال 3

مشتق تابع $$e^{-x^2}$$ با محاسبات زیر به‌دست می‌آید:

قاعده زنجیره‌ای

مشتق

گاهی لازم است برای مشتق‌گیری یک تابع، چند بار از قاعده زنجیره‌ای استفاده کنیم. مثال زیر این مورد را به‌خوبی نشان می‌دهد.

مثال 4

می‌خواهیم مشتق تابع $$\sqrt{\sin^{2} (3x) + x}$$ را محاسبه کنیم. در هر مرحله نشان داده شده که f چگونه انتخاب شده است.

قاعده زنجیره‌ای

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 2 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *