ریاضی , علوم پایه 326 بازدید

دایره به منحنی اطلاق می‌شود که فاصله تمامی نقاط آن، از یک نقطه مرجع عددی ثابت باشد. یک دایره دو مشخصه اصلی دارد:

  • شعاع
  • مرکز

مرکز همان نقطه مرجعی است که در بالا ذکر شد. شعاع نیز برابر با فاصله نقاط منحنی تا مرکز است. در شکل زیر دایره،‌ شعاع و مرکز آن نشان داده شده است.

Circle-equation

نمودار دایره

شکل زیر، دایره‌ای به شعاع ۵ و مرکز (۰,0) را نشان می‌دهد.

Circle-equation

حال می‌خواهیم فاصله نقاط روی منحنی تا مرکز را بررسی کنیم. در حالتی عمومی، مطابق با شکل زیر، مختصاتی برابر با (x,y) را روی منحنی در نظر بگیرید.

Circle-equation

با فرض کردن یک مثلث درون دایره و هم‌چنین با استفاده از قانون فیثاغورس، رابطه زیر را بین مختصات (x,y) می‌توان نوشت:

Circle-equation

بینهایت نقطه روی دایره وجود دارد که در رابطه بالا صدق می‌کنند. در شکل و جدولِ زیر تعدادی از این نقاط نشان داده شده‌اند.

Circle-equation

با استفاده از مفهوم بالا می‌توان مختصات یک نقطه مجهول را یافت.

مثال 1

فرض کنید روی یک دایره به شعاع ۵ و مرکز مختصات (۰,0) ایستاده‌ایم. با فرض این‌که مختصات x این نقطه برابر با 2 باشد،‌ مختصات y را بدست آورید.

همان‌گونه که بیان شد،‌ رابطه زیر بین مختصات (x,y) چنین دایره‌ای برقرار است.

Circle-equation

مقدار r در رابطه بالا برابر با ۵ است. هم‌چنین با جایگذاری مقدار x در آن، مختصات y را می‌توان به‌ترتیب زیر بدست آورد.

Circle-equation

علامت ± نشان دهنده این است که در x=2، دو عدد y وجود دارد. در شکل زیر دو نقطه مفروض نشان داده شده‌اند.

Circle-equation

رابطه عمومی دایره

در بالا حالت‌هایی را بیان کردیم که در آن مرکز دایره در مبدأ مختصات قرار داشت. به نظر شما در حالتی که مرکز دایره در مختصات (a,b) باشد، رابطه بین x,y به چه شکل خواهد بود؟

جهت پاسخ به سوال بالا،‌ مطابق با شکل زیر حالتی را در نظر بگیرید که در آن مرکز یک دایره به شعاع r، در نقطه (a,b) قرار دارد.

Circle-equation

با توجه به شکل بالا، فاصله تمامی نقاط روی دایره تا نقطه (a,b) برابر با r است. بنابراین جهت نوشتن رابطه فیثاغورس،‌ مثلثی قائم‌الزاویه را مطابق با شکل زیر در نظر می‌گیریم.

Circle-equation

با توجه به طول‌های نشان داده شده در شکل فوق،‌ رابطه فیثاغورس را می‌توان به‌شکل زیر بیان کرد:

Circle-equation

بنابراین رابطه بالا، توصیف کننده دایره‌ای است که مرکز آن در نقطه (a,b) قرار دارد.

مثال 2

رابطه دایره‌ای به شعاع ۶ و مرکز (3,4) را بدست آورید.

همان‌گونه که بیان شد،‌ رابطه کلی یک دایره، برابر است با:

Circle-equation

بنابراین با جایگذاری مقادیر b،a،r در رابطه بالا داریم:

Circle-equation

البته با استفاده از مهارت‌های ریاضیتان، می‌توانید رابطه فوق را به شکل‌های متفاوتی بیان کنید.

شناسایی رابطه دایره

توجه داشته باشید که ممکن است با رابطه‌ای مواجه شوید که در ظاهر نشان دهنده یک دایره نباشد. جهت توضیح بیشتر،‌ رابطه‌ای را مطابق با عبارت زیر در نظر بگیرید.

Circle-equation

رابطه فوق، توصیف کننده دایره‌ای به شعاع 3 و مرکز (1,2) است. از طرفی رابطه فوق را می‌توان به شکل زیر باز کرد.

Circle-equation

بنابراین با محاسبه رابطه بالا،‌ نهایتا شکل معادله برابر با عبارت زیر بدست آورد.

Circle-equation

همان‌گونه که نشان داده شد، رابطه فوق نشان دهنده معادله دایره است،‌ اما در نگاه اولیه نمی‌توان آن را تشخیص داد. بنابراین در هنگام مواجه با رابطه‌ای به شکل بالا،‌ در ابتدا بایستی در مورد دایره بودن یا نبودن آن تفکر کرد.

با توجه به نمونه بالا،‌ معادله عمومی نشان دهنده یک دایره مطابق با رابطه زیر قابل تعریف است.

Circle-equation

توجه داشته باشید که در رابطه مربوط به دایره همواره عبارات x2 و y2 ظاهر می‌شوند.

ساده کردن رابطه عمومی دایره

همان‌گونه که در بالا نیز بیان شد، رابطه عمومی نشان دهنده دایره به‌شکل زیر است.

Circle-equation

رابطه فوق را می‌توان به شکل استاندارد، برابر با رابطه زیر بیان کرد:

Circle-equation

جهت نحوه بدست آوردن شکل استاندارد یک رابطه،‌ توجه شما را به مثال زیر جلب می‌کنیم.

مثال 3

رابطه زیر نشان دهنده یک دایره است. با توجه به این رابطه،‌ شعاع و مرکز آن را بیابید.

Circle-equation

در ابتدا بایستی ضرایب x و y را مشابه با عبارت زیر بیان کرد (ضرایب x کنار یکدیگر و ضرایب y نیز کنار هم قرار گیرند):

Circle-equation

رابطه فوق، به شکل زیر قابل بیان کرد:

Circle-equation

همانند بالا، جهت نوشتن توان دوم y نیز عدد ثابت 4 را به طرفین رابطه بالا اضافه می‌کنیم. بنابراین داریم:

Circle-equation

بنابراین شکل استاندارد رابطه ارائه شده در صورت سوال، برابر است با:

Circle-equation

در نتیجه مرکز و شعاع دایره مرتبط با رابطه ارائه شده در صورت سوال، به‌ترتیب برابر با (1,2) و 3 است.

دایره واحد

اگر دایره‌ای به شعاع 1 و با مرکز (0,0) رسم شود، رابطه مربوط به آن برابر است با:

Circle-equation

به دایره مذکور، دایره واحد گفته می‌شود. این دایره در شکل زیر رسم شده است.

معادله دایره

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات پایه‌ آموزش‌های زیر نیز به شما پشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 2 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *