عدد اویلر یا نپر – به زبان ساده

۹ مرداد ۱۳۹۴ در دسته‌بندی اخبار و تازه ها نوشته مسعود عبدالرحیمی‎

euler-napier-number

فرمول اویلر، معرفی شده بعنوان زیباترین فرمول ریاضیات. چرا که شامل سه عمل اصلی جبر و سه نوع عدد غیر جبری در دنیاهای متفاوت بطور همزمان است.

سه عمل اصلی شامل جمع، ضرب و توان و سه عدد غیر جبری شامل عدد اویلر، عدد پی و عدد موهومی (جذر عدد ۱)

عدد اویلر عدد e (عدد اویلر) (عدد نپر) (Euler’s Number) عدد بی معنی معروفی است، و یکی از مهمترین اعداد در ریاضیات است.

این عدد تا چندین رقم اعشار در زیر نوشته شده است:

۲٫۷۱۸۲۸۱۸۲۸۴۵۹۰۴۵۲۳۵۳۶۰۲۸۷۴۷۱۳۵۲۷…

بیشتر با نام عدد اویلر (Euler’s Number) به افتخار لئونهارد اویلر شناخته می شود.

دقت کنید که کلمه Euler “اویلر” خوانده می شود.

 

e پایه لگاریتم طبیعی است (که توسط جان نپر اختراع شده)

در بیشتر موضوعات ریاضی یافت می شود، پس یادگیری مفهوم آن ارزشش را دارد.

 

محاسبه مقدار عدد اویلر

روش های بسیاری برای محاسبه مقدار e وجود دارد، اما هیچکدام از این روش ها، عددی دقیق در اختیار نمی گذارند، چرا که عدد e عددی بی معنی است (نسبتی از دو عدد صحیح نیست)

اما این عدد تا دقت ۱ تریلیون شناخته شده است!

برای مثال، به عبارت زیر نگاهی بکنید:

(۱ + ۱/n)n

مقدار این عبارت با افزایش n به عدد e نزدیک و نزدیک تر می شود:

عدد اویلر          عدد اویلر

روش محاسبه دیگر

مقدار e همچنین برابر جمع فاکتوریل ها به ترتیب زیر است:

۱/۰! + ۱/۱! + ۱/۲! + ۱/۳! + ۱/۴! + ۱/۵! + ۱/۶! + ۱/۷! + …

جمع چند جمله اول به شکل زیر می شود:

۱ + ۱ + ۱/۲ + ۱/۶ + ۱/۲۴ + ۱/۱۲۰ = ۲٫۷۱۸۰۵۵۵۵۶

روشی برای حفظ کردن این عدد

اگر دقت کنید، بعد از رقم اول اعشار این عدد (بعد از ۲٫۷)، چهار رقم ۱۸۲۸ دو بار تکرار می شود:

۲٫۷ ۱۸۲۸ ۱۸۲۸

و بعد از آن سه عدد ۴۵، ۹۰ و ۴۵ می آیند که زاویه ها را به خاطر می آورند (زاویه های یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین):

۲٫۷ ۱۸۲۸ ۱۸۲۸ ۴۵ ۹۰ ۴۵

(روشی فوری برای واقعا نابغه بنظر رسیدن!)

یک ویژگی جالب

بعنوان تفریح از روش “تقسیم و سپس ضرب” استفاده می کنیم

بهتر است بگوییم عددی را به تعدادی تقسیم می کنیم و سپس تمامی قسمت ها را به هم ضرب می کنیم.

مثال: عدد ۲۰ را به ۴ قسمت تقسیم کنید و سپس آنها را به هم ضرب کنید:

اندازه هر “قسمت” برابر ۲۰/۴ یا ۵ است

۵ × ۵ × ۵ × ۵ = ۵۴ = ۶۲۵

اکنون،… چگونه می توانیم پاسخ را به بزرگترین اندازه ممکن بگیریم؟ اندازه هر قسمت باید چه مقدار باشد؟

مثال: این بار ۵ قسمت را امتحان کنید

اندازه هر “قسمت” برابر ۲۰/۵ یا ۴ است.

۴ × ۴ × ۴ × ۴ × ۴ = ۴۵ = ۱۰۲۴

بله! این جواب بزرگتر است! اما آیا بهترین اندازه ای داریم که از همه اندازه ها بزرگتر باشد؟

مثال: عدد ۱۰

این بار عدد ۱۰ را امتحان می کنیم:

عدد ۱۰ در ۳ قسمت می شود …۳٫۳

۳٫۳… × ۳٫۳… × ۳٫۳… = (۳٫۳…)۳ = ۳۷٫۰۳۷…

عدد ۱۰ در ۴ قسمت می شود ۲٫۵

۲٫۵ × ۲٫۵ × ۲٫۵ × ۲٫۵ = ۲٫۵۴ = ۳۹٫۰۶۲۵

عدد ۱۰ در ۵ قسمت می شود ۲

۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲ = ۲۵ = ۳۲

برنده مقداریست که به عدد “e” نزدیک تر باشد، که در این مثال ۲٫۵ از همه بیشتر به این عدد نزدیک بود.

این قضیه را با عددی دیگر امتحان کنید، مثلا ۱۰۰… کدام عدد بیشتر از همه است؟

پیشرفته: استفاده از عدد اویلر در سود ترکیبی

عدد e اغلب در جاهایی ظاهر می شود که انتظار آن را نداریم.

برای مثال، e در ترکیب مستمر (برای وام ها و سرمایه گذاری ها) استفاده می شود:

عدد اویلر

فرمول برای ترکیب مستمر

چگونه عدد اویلر از این جا سر در آورده؟

خب… فرمول ترکیب دوره ای به شرح زیر است:

FV = PV (1 + r/n)n

FV = مقدار آینده

PV = مقدار کنونی

r = میزان سود سالانه (به شکل عدد اعشاری)

n = تعداد دوره ها

اما اگر تعداد دوره ها به سمت بی نهایت برود چه اتفاقی می افتد؟

پاسخ در شباهت بین فرمول های زیر است:

(۱ + r/n)n

فرمول ترکیب و

(۱ + ۱/n)n

فرمول عدد اویلر (با میل n به بی نهایت)

 

با تغییر متغیر x = n/r:

  • r/n برابر معکوس x است.
  • n برابر xr می شود.

و در نتیجه:

(۱ + r/n)n

می شود

(۱ + (۱/x))xr

که دقیقا شبیه فرمول برای e (با رفتن n به سمت بی نهایت) است، اما با r بعنوان توان.

پس همین که x به سمت بی نهایت میل کند،

(۱ + (۱/x))xr

به سمت er میل می کند.

و این دلیل ظاهر شدن e در محاسبات است!

عدد غیر جبری

عدد e همچنین عددی غیر جبری است.

منبع

نظرات