ریاضی , علوم پایه 44296 بازدید

از مهم‌ترین ابزارهای ریاضیاتی تاریخ علم، که بشر تاکنون به آن دست یافته، «انتگرال» (Integral) است. از این مفهوم می‌توان به‌منظور محاسبه مساحت، حجم و طول استفاده کرد. نماد استفاده شده برای توصیف انتگرال، s کشیده است. این حرف مخفف کلمه لاتین «Sum» به معنای جمع است. برای شروع، با استفاده از مساحت سطح زیر نمودار، به معرفی این مفهوم می‌پردازیم. به‌منظور درک مفهوم انتگرال در ابتدا بایستی با مشتق آشنایی داشته باشید. در ادامه مفاهیمی مرتبط با انتگرال همچون انتگرال سطحی، انتگرال دوگانه و انتگرال توابع مثلثاتی را توضیح خواهیم داد.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

سوال:

مساحت سطح زیر نمودار تابع (y=f(x چقدر است؟

integral

تقسیم‌بندی مساحت

همان‌طور که در شکل زیر نیز می‌بینید، به‌منظور محاسبه مساحت سطحِ زیر یک نمودار می‌توان آن را چند قسمت کرد. برای راحتی کار عرض تمامی این بخش‌ها، یکسان و برابر با $$\Delta x$$ در نظر گرفته می‌شود.

integral

بنابراین همان‌گونه که در بالا بیان شد، با محاسبه مستطیل‌های فرض‌ شده، می‌توان مساحت زیر نمودار را بدست آورد. احتمالا شما نیز متوجه شده‌اید که مساحت محاسبه شده با مقدار مدنظر تفاوت خواهد داشت. همان‌طور که در شکل زیر نیز می‌بینید، نواحی قرمز رنگ، اختلاف مساحت مدنظر و مساحت محاسبه شده را نشان می‌دهند. به نظر شما چطور می‌توان مقدار بدست آمده را به مقدار واقعی نزدیک‌تر کرد؟

integral

حال با همان روش قبلی، سطوح را تقسیم‌بندی کنید، اما این بار فواصل $$\Delta x$$ را کوچک‌تر در نظر بگیرید. در شکل زیر نیز مشخص است که با کوچک کردن این فواصل، مساحت محاسبه شده و مساحت مدنظر به یکدیگر نزدیک‌تر شده‌اند.

integral

بر همین مبنا، مطابق شکل زیر اگر $$\Delta x$$ به صفر میل کند، (مساحت به بینهایت بخش تقسیم شود) مساحت مد نظر ما نیز بدست می‌آید.

integral

محاسبه مساحت

به نظر می‌رسد با محاسبه مساحت بینهایت مستطیل، می‌توان سطح زیر یک نمودار را بدست آورد. اما سوال این‌جا است که به راستی چگونه می‌توان بینهایت عدد را محاسبه کرد؟ واقعیت این است که نیازی نیست تمامی این مساحت‌ها را بدانیم، چراکه نیوتن راه کوتاه‌تری را به ما نشان داده. او اثبات کرده که انتگرال و مشتق عکس هم هستند. برای درک بهتر به مثال‌های زیر توجه فرمایید.

توجه داشته باشید که به منظور حل یک انتگرال می‌توان از تکنیک‌های مختلفی استفاده کرد. معروف‌ترینِ این روش‌ها، جزء به جزء، تغییر متغیر، روش‌‌های عددی و تجزیه کسر (کسرهای جزئی) هستند؛ البته در این لینک به کلیات روش‌های حل نیز اشاره شده است.

مثال ۱

انتگرال تابع y=2x را بیابید.

می‌دانیم که مشتق تابع $$x^2$$ برابر با ۲x است. بنابراین انتگرال 2x برابر با x2 می‌شود.

integral-derivation

در بخش دوم در مورد قوانین حاکم در حل انتگرال یک تابع، بیشتر بحث خواهیم کرد. توجه داشته باشید که مساحت را می‌توان با استفاده از انتگرال دوگانه نیز بدست آورد.

نماد انتگرال

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، نماد استفاده شده به منظور توصیف انتگرال، حرف s کشیده است. پس از این نماد، تابعی قرار می‌گیرد که هدف ما محاسبه انتگرال آن است. سپس dx قرار می‌گیرد که نشان دهنده عرض هر‌کدام از مستطیل‌ها است.

integral

در حالت کلی قالب نوشتن یک معادله انتگرالی به شکل زیر است.

integral

نماد انتگرالی شکل استفاده شده در ویولن با هدف تقویت فرکانس‌های صوتی است و ربطی به ریاضیات ندارد!

integral

C به چه معنا است؟

در مثال شماره ۱، پاسخ را برابر با $$x^2$$ بدست آوردیم، اما چرا در جواب نهایی، آن را با C جمع کردیم؟ عدد C ثابت انتگرال است. دلیل قرار گرفتن C این است که اگر تابع $$x^2$$ را با هر عدد ثابتی جمع کنیم و سپس از آن مشتق بگیریم، همچنان 2x ظاهر می‌شود. در حقیقت مشتق توابع $$ x^2+9 ,x^2+1025,x^2+4 $$ همگی برابر با ۲x هستند، در نتیجه تمامی آن‌ها را می‌توان به عنوان پاسخ انتگرال مثال ۱ در نظر گرفت.

integral

از این رو به‌منظور بیان این اعداد از ثابت C استفاده می‌کنیم.

مخزن آب

انتگرال‌گیری را می‌توان مشابه با مخزن آبی دانست که توسط یک شیر در حال پر شدن است. تابع ورودی، همان نرخ جریان آب در هر لحظه است. با انتگرال‌گیری از این نرخ (جمع زدن مقادیر آب اضافه شده در هر لحظه)، می‌توان حجم آب موجود درون مخزن را یافت.

اگر نرخ جریان ورودی مطابق با تابع 2t تغییر کند، حجم کلی آب موجود در مخزن، در زمان t برابر با $$t^2$$ است. [ با فرض این‌که در حالت اولیه مخزن خالی بوده باشد.]

integral-انتگرال

مثال ۲

مخزنی را در نظر بگیرید که جریان آب با نرخ $$2t \space {liter \over s}$$ به آن ریخته می‌شود. با فرض این‌که مخزن در حالت اولیه خالی بوده باشد، حجم آب موجود در مخزن پس از گذشت زمان ۳ و ۴ ثانیه چقدر است؟

پس از گذشت زمان ۳ ثانیه، نرخ جریان ورودی به مخزن برابر است با:

$$\large 2t = 2×3 = 6 \enspace {liter \over s}$$

هم‌چنین برای محاسبه حجم آب ریخته شده به مخزن، می‌توان از تابع 2t، به شکل زیر انتگرال گرفت.

  $$\large = \int 2t dt=t^2 = 3^2 = 9 $$

در نتیجه حجم آب موجود در مخزن، در لحظه ۳ ثانیه برابر با ۹ لیتر است. به همین شکل در لحظه t=4 نیز حجم آب وارد شده به مخزن، برابر با لیتر $$۴^2=16$$ خواهد بود.

همین فرآیند را می‌توان برعکس نیز انجام داد. یعنی با داشتن مقدار آب درون مخزن، در هر لحظه، نرخ جریان ورودی به آن را در همان لحظه بدست آورد. برای مثال فرض کنید در یک لحظه مشخص میزان آب درون مخزن برابر با ۱۶ لیتر باشد. از آنجایی که حجم آب درون مخزن با استفاده از رابطه $$V=t^2$$ محاسبه می‌شود، می‌توان گفت:

$$\large V=t^2=16 \rightarrow t= \sqrt {16} = 4 \enspace s$$

$$\large \rightarrow \enspace \enspace 2t=2×4=8 \enspace {lit \over s}$$

integral-انتگرال

در حقیقت دو بیان زیر معادل هم هستند.

انتگرال نرخ جریان ورودی، حجم آب موجود در مخزن را محاسبه می‌کند شیب حجم آب موجود در مخزن، نرخ جریان ورودی به آن را نشان می‌دهد.

انتگرال دیگر توابع

در بالا به اندازه کافی در مورد تابع 2x صحبت کردیم. در این قسمت قصد داریم تا در مورد نحوه انتگرال‌گیریِ دیگر توابع بحث کنیم.

مثال ۳

انتگرال تابع $$f(x)=cos(x)$$ را بیابید.

همان‌طور که می‌دانید برای محاسبه انتگرال این تابع، بایستی به دنبال رابطه‌ای بگردیم که مشتق آن برابر با (cos (x شود. احتمالا می‌دانید که تابع مد‌نظر (sin (x است، چراکه مشتق آن برابر با (cos (x می‌شود. بنابراین می‌توان گفت:

$$\large \int cos (x) dx= sin(x)+C$$

integral-انتگرال

مثال ۴

به نظر شما انتگرال تابعی که به شکل $$f(x)=x^n$$ باشد، به چه صورت است.

برای محاسبه چنین انتگرالی بایستی فکر کنید که مشتق چه تابعی برابر با $$f(x)=x^n$$ می‌شود. تابعی به شکل زیر را در نظر بگیرید:

$$\large {{x^{n+1} \over {n+1}} +C}$$

مشتق این تابع برابر با $$f'(x)=x^n$$ است. بنابراین می‌توان گفت:

$$\large \int \enspace x^n dx = {x^{n+1} \over {n+1}}$$

مثال ۵

حاصل $$ \int x^3 dx $$ را بیابید.

با جایگذاری ۳ به‌جای n در معادله بالا داریم:

$$\large \rightarrow \int x^3 dx={x^4 \over 4} + C $$

انتگرال معین و نامعین

تاکنون انتگرال‌هایی که محاسبه شد، همگی نامعین بودند. انتگرال معین اصطلاحی است که به منظور محاسبه انتگرال در بازه‌ای مشخص استفاده می‌شود. در حقیقت انتگرال معین، مساحت زیر منحنی در بازه مفروض را (مثلا a تا b) محاسبه می‌کند. شکل زیر مفهوم انتگرال معین را نشان داده است.

integral

در بخش آینده، روش‌هایی را ارائه خواهیم داد (مانند روش تجزیه کسر) که با استفاده از آن‌ها قادر خواهید بود تا انتگرال توابع مختلف را محاسبه کنید. در آینده انتگرال دوگانه و نحوه محاسبه طول قوس منحنی به کمک انتگرال را نیز توضیح خواهیم داد. هم‌چنین در صورت علاقه‌مندی می‌توانید نحوه بدست آوردن انتگرال توابع مثلثاتی را نیز مطالعه فرمایید.

اگر مطلب بالا برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

مفهوم و نماد انتگرال

دانلود ویدیو

انتگرال توابع ساده

دانلود ویدیو

به عنوان حامی، استارتاپ، محصول و خدمات خود را در انتهای مطالب مرتبط مجله فرادرس معرفی کنید.

telegram
twitter

مجید عوض زاده

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

بر اساس رای 14 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

21 نظر در “انتگرال — به زبان ساده

  1. با تشکر از توضیحات خوبتان فقط من یک چیز رو در مثال مخزن متوجه نمی شوم، با توجه به فرمول نرخ ورد آب مجموع آب وارد شده به مخزن
    طی ۴ ثانیه می‌شود ۸+۶+۴+۲ که می‌شود ۲۰ لیتر آب پس چجوری حجم مخزن ۱۶ می‌شود؟

    1. با سلام و ممنون از بازخورد ارائه شده.
      روشی که شما استفاده کرده‌اید درست و البته جالب است. اما توجه داشته باشید که تنها در صورت افزایش حجم به صورت خطی، می‌توان از این روش استفاده کرد. برای نمونه اگر نرخ ورود جریان به مخزن برابر با ۲ باشد، میزان حجم آب پس از ۴ ثانیه برابر با ۲+۲+۲+۲=۸ می‌شود که برابر با حاصل انتگرال است.

    2. چیزی که شما محاسبه کردید یعنی اینکه سرعت ورود آب به مخزن در طول هر ثانیه ثابت باشه در حالیکه اینطور نیست و سرعت در هر لحظه تابع زمانه، اگه بصورت ترسیمی چیزی که نوشتید رو نشون بدید یک نمودار پله ای میشه که با تابع ۲t کاملاً متفاوته، البته اینم بگم که روش شما همون اصول پایه انتگراله و در واقع شما فرمول انتگرال ریمان رو نوشتید ولی چون تقسیم بندی زمانی شما ۱ ثانیه ای بوده، باعث خطای بوجود اومده شده، اگه فواصل زمانی رو کوچیکتر کنید میبینید اختلافش با عدد ۱۶ کمتر میشه و جواب به سمت جواب صحیح میل میکنه.

  2. سلام سایتتون رو بوکمارک کردم برام جالبه که جواب سوالات رو هم میدید ! دنبال یه چیزی میگشتم که شروع کنم به خوندنش تا بفهمم این فرمول هایی که حفظ کردم برای چیه ؟ گلی

  3. با سلام.. ببخشید من در مورد بازه انتگرال سوال داشتم. که برای X>0 و Y>0 و X+Y<2 بازه انتگرال گیری برای محاسبه مساحت چی میشه؟؟

    1. با سلام و تشکر از توجه شما.
      این نامساوی نشان دهنده ناحیه محدود به محورهای مختصات و تابع y=2-x است. لذا برای محاسبه آن باید از بازه ۰ تا ۲ از این تابع انتگرال گرفته شود. در تصویری که در ادامه ارائه شده، روند حل مسئله توضیح داده شده است.

  4. لطفاً نگاه دقیق تری بندازید و اگه نمیتونید بهتر هست که بگید؛ xبه توان دو انتگرالش میشه یک دوم ضربدر x

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *