ریاضی , علوم پایه 3518 بازدید

اگر در زمینه علوم فیزیک، مهندسی و ریاضیات کار کنید، با مدل‌های زیادی سروکار خواهید داشت و برای برخی از مسائل مدل‌سازی، به توابع هذلولوی نیاز دارید. توابع هذلولوی نام‌هایی شبیه توابع مثلثاتی دارند، اما برحسب توابع نمایی تعریف می‌شوند. در این آموزش «توابع هذلولوی» (Hyperbolic functions) یا هیپربولیک را معرفی کرده و جنبه‌های مختلف آن‌ها را بررسی می‌کنیم. همچنین درباره برخی فرمول‌های این توابع بحث خواهیم کرد.

توابع $$\sinh x$$ و $$\cosh x$$ با استفاده از تابع نمایی $$e^x$$ تعریف می‌شوند. می‌دانیم توابع مثلثاتی با دایره سروکار دارند و بر اساس آن تعریف می‌شوند. اما، توابع هذلولوی با هذلولی ارتباط دارند. به همین دلیل است که آن‌ها را توابع هذلولوی یا هیپیربولیک می‌نامند. علاوه بر مدل‌سازی، این توابع در حل برخی معادلات با مشتقات جزئی نیز کاربرد دارند.

زنجیر شکل زیر را در نظر بگیرید که دو انتهای آن به مکان‌های ثابتی متصل شده و تحت نیروی گرانش رها شده است. شکل زنجیر به‌صورت طبیعی یک منحنی کسینوس هیپربولیک را تشکیل می‌دهد.

کسینوس هیپربولیک

اگر به اطرافتان دقت کنید، سازه‌هایی را خواهید یافت که شبیه توابع هذلولوی هستند. شکل زیر مشابه تابع کسینوس هیپربولیک است.

شکل هذلولی

توابع هذلولوی

شش تابع مثلثاتی هیپربولیکی وجود دارد که به‌صورت زیر تعریف می‌شوند.

هیپربولیک

نمودار توابع بالا در شکل زیر آورده شده است.

نمودار هیپربولیک

ارتباط با معادله اویلر

یکی از مشخصه‌های اساسی که سبب می‌شود توابل هذلولوی مشابه توابع مثلثاتی باشند، فرمول اویلر است:

فرمول اویلر

با استفاده از معادله اویلر می‌توان معادلات $$\sin \theta$$ و $$\cos \theta$$ را به‌صورت زیر بیان کرد:

توابع سینوس هیپربولیک و کسینوس هیپربولیک نیز به‌شکل زیر بیان می‌شوند:

سینوس هیپربولیک

این روابط کم‌وبیش مشابه یکدیگرند، اما قسمت‌های موهومی در توابع هذلولوی وجود ندارد. در ادامه خواهیم دید که توابع هذلولوی با هم روابطی دارند که مشابه توابع مثلثاتی است.

مثال

عبارت‌های $$e^\theta$$ و $$e^{- \theta}$$ را بر حسب توابع $$\sinh \theta$$ و $$\cosh \theta$$ بنویسید.

حل: با جمع دو تابع $$\sinh \theta$$ و $$\cosh \theta$$‌، داریم:

هیپربولیک

تفاضل دو تابع $$\sinh \theta$$ و $$\cosh \theta$$‌ نیز منجر به رابطه زیر می‌شود:

هذلولوی

در نهایت، ترکیب معادلات (1) و (2)، رابطه زیر را نتیجه می‌دهد:

تابع نمایی

که معادل فرمول اویلر برای توابع هذلولوی است.

ارتباط با معادلات دایره واحد

معادلات پارامتری دایره واحد، به‌صورت زیر است:

دایره واحد

سینوس و کسینوس

به‌طریق مشابه، معلادلات پارامتری یک هذلولی واحد را می‌توان به‌شکل زیر نوشت:

هذلولی

سینوس و کسینوس هیپربولیک

مثال

نشان دهید توابع کسینوس هیپربولیک و سینوس هیپربولیک، معادله یک هذلولی ($$x^2-y^2=1$$) را تشکیل می‌دهند.

حل: با توابع هذلولی زیر شروع می‌کنیم:

سینوس هیپربولیک

تعریف هیپربولیک

بنابراین، داریم:

هذلولی

با تفریق دو عبارت از یکدیگر، رابطه داده شده اثبات می‌شود:

رابطه هذلولی

برخی روابط مفید

تعدادی از روابط مربوط به توابع هذلولوی که ممکن است در حل مسائل، به آن‌ها نیاز داشته باشم، به‌صورت زیر هستند:

روابط توابع هذلولوی

مثال

نشان دهید $$\cosh (2x)=\cosh ^2 x+ \sinh ^2 x$$.

حل: از تعریف توابع سینوس هیپربولیک و کسینوس هیپربولیک استفاده می‌کنیم:

کسینوس هیپربولیک

بنابراین:

هیپربولیک

مشتق توابع هذلولوی

از آن‌جایی که توابع هیپربولیک، بر اساس توابع نمایی تعریف می‌شوند، محاسبه مشتق آن‌ها ساده است. همان‌طور که می‌دانیم، مشتق تابع نمایی به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

مشتق تابع نمایی

با استفاده از این فرمول، می‌توانیم مشتق تابع سینوس هیپربولیک را به‌دست آوریم:

مشتق سینوس هیپربولیک

محاسبه مشتق سایر توابع هذلولوی، مشابه روندی است که برای سینوس هیپربولیک انجام شد. با انجام محاسبات مربوطه، می‌توان مشتق توابع هذلولی را به‌شکل زیر بیان کرد:

مشتق توابع هذلولوی

مثال

مشتق توابع زیر را محاسبه کنید.

هذلولوی

حل:

مشتق هیپربولیک

در آموزش‌های آینده مجله فرادرس، درباره مشتق توابع هذلولی به تفصیل بحث خواهیم کرد. اگر به موضوعات مرتبط با این آموزش علاقه‌مندید، پیشنهاد می‌کنیم آموزش‌های زیر را نیز ببینید:

^^

بر اساس رای 3 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

2 نظر در “توابع هذلولوی یا هیپربولیک — از صفر تا صد

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *