مشتق مراتب بالاتر — از صفر تا صد

۷۳۷۶ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۹ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۵ دقیقه
مشتق مراتب بالاتر — از صفر تا صد

قبلاً در مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، مفاهیم مربوط به مشتق را بیان کردیم. در این آموز‌ش‌ها، مباحثی مانند مشتق ضمنی، مشتق جزئی، مشتق زنجیره‌ای و نقطه عطف تابع بحث شد. در این آموزش، مشتق مراتب بالاتر را برای توابع صریح، ضمنی و پارامتری معرفی می‌کنیم. همچنین، مثال‌های مختلفی را برای آشنایی با حالت‌های مختلف ارائه خواهیم کرد.

مشتقات مراتب بالاتر یک تابع صریح

فرض کنید تابع $$y = f\left( x \right)$$، مشتق کران‌دار $$f’\left( x \right)$$ را در بازه مشخص $$\left( {a,b} \right)$$ داشته باشد، یعنی مشتق $$f’\left( x \right)$$ نیز یک تابع در این بازه باشد. اگر تابع $$f’\left( x \right)$$ مشتق‌پذیر باشد، می‌توان مشتق دوم تابع اصلی $$f(x)$$ را پیدا کرد و آن را به‌صورت زیر نشان داد:

$$\large {f^{\prime\prime} = \left({f^\prime}\right)^\prime = {\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^\prime } }={ \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right) }={ \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}.}$$

به‌طور مشابه، اگر $$f^{\prime\prime}$$ وجود داشته باشد و مشتق‌پذیر باشد، مشتق سوم تابع $$f(x)$$ به‌صورت زیر است:

$$\large {f^{\prime\prime\prime} = \frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}} }={ y^{\prime\prime\prime}.}$$

مشتقات مراتب بالاتر (اگر وجود داشته باشند)، به صورت زیر تعریف می‌شوند:

$$\large {{{f^{\left( 4 \right)}} = \frac{{{d^4}y}}{{d{x^4}}} }={ {y^{\left( 4 \right)}} = {\left( {{f^{\left( 3 \right)}}} \right)^\prime },} \ldots ,}\kern-0.3pt
{{f^{\left( n \right)}} = \frac{{{d^n}y}}{{d{x^n}}} = {y^{\left( n \right)}} }={ {\left( {{f^{\left( {n – 1} \right)}}} \right)^\prime }.}$$

بنابراین، مشتق مرتبه $$n$$اُم، حاصل $$n$$ بار مشتق‌گیری از تابع است. مشتق مرتبه $$n$$اُم را می‌توان با رابطه بازگشتی زیر بیان کرد:

$$\large {y^{\left( n \right)}} = {\left( {{y^{\left( {n – 1} \right)}}} \right)^\prime }.$$

در برخی موارد می‌توان یک فرمول کلی برای مشتق مرتبه $$n$$اُم، بدون محاسبه مشتقات میانی بیان کرد. در ادامه، مثال‌هایی را از این موارد ارائه خواهیم کرد.

روابط خطی زیر، برای پیدا کردن فرمول مشتقات مراتب بالاتر مفید هستند:

$$\large {{\left( {u + v} \right)^{\left( n \right)}} = {u^{\left( n \right)}} + {v^{\left( n \right)}},\;\;\;}\kern-0.3pt
{{\left( {Cu} \right)^{\left( n \right)}} = C{u^{\left( n \right)}}\;\;}$$

که در آن، $$C$$ یک عدد ثابت است.

مشتقات مراتب بالاتر یک تابع ضمنی

مشتق مرتبه $$n$$اُم یک تابع ضمنی را می‌توان با $$n$$ بار مشتق‌گیری متوالی از معادله $$F\left( {x,y} \right) = 0$$ به‌دست آورد. در هر مرحله، بعد از تغییر متغیر، جانشینی و تبدیل‌های لازم می‌توان یک توصیف صریح برای مشتق پیدا کرد که فقط به متغیرهای $$x$$ و $$y$$ بستگی داشته باشد. یعنی:

 $$\large {y’ = {f_1}\left( {x,y} \right),\;\;\;}\kern-0.3pt
{y^{\prime\prime} = {f_2}\left( {x,y} \right), \ldots,\;\;\;}\kern-0.3pt
{{y^{\left( n \right)}} = {f_n}\left( {x,y} \right).}$$

مشتق مراتب بالاتر یک تابع پارامتری

تابع $$y = f\left( x \right)$$ را در نظر بگیرید که با معادلات پارامتری زیر توصیف شده است:

$$\large\left\{
\begin{aligned}
x &= x\left( t \right) \\
y &= y\left( t \right)
\end{aligned}
\right.. $$

مشتق این تابع، برابر است با:

$$\large y’ = {y’_x} = \frac{{{y’_t}}}{{{x’_t}}}.$$

اگر یک بار دیگر نسبت به $$x$$ مشتق بگیریم، مشتق دوم به‌صورت زیر خواهد بود:

$$\large y^{\prime\prime} = {y^{\prime\prime}_{xx}} = \frac{{{\left( {{y’_x}} \right)}’_t}}{{{x’_t}}}.$$

به‌طریق مشابه می‌توان مشتقات مرتبه سوم و بالاتر را به‌صورت زیر نوشت:

$$\large {{y^{ \prime \prime \prime} = {y^{ \prime \prime \prime}_{xxx}} = \frac{{{{ \left( {{y^{\prime\prime}_{xx}}} \right)}’_t}}}{{{x’_t}}}, \ldots,}\;\;}\kern0pt
{{{y^{ \left( n \right)}} = y_{ \underbrace {xx  \ldots x}_n}^{\left( n \right)} }={ \frac{{{{\left( {y_{\underbrace {xx \ldots x}_{n – 1}}^{\left( {n – 1} \right)}} \right)}’_t}}}{{{x’_t}}}.}}$$

در صورت علاقه به یادگیری روش‌های تعیین مشتق توابع مختلف، مطالعه مطلب «فرمول‌های مشتق مهم + سوال با جواب و دانلود PDF» را به شما پیشنهاد می‌کنیم.

مثال‌ها

در ادامه، چند مثال حل‌شده را بررسی می‌‌کنیم که نحوه محاسبه مشتقات مراتب بالاتر را به‌خوبی نشان می‌دهند.

مثال ۱

اگر $$y = x\ln x$$ باشد، حاصل $$y^{\prime\prime}$$ را به‌دست آورید.

حل: مشتق اول را با استفاده از قاعده مشتق ضرب دو تابع، داریم:

$$\large {y’ = \left( {x\ln x} \right)’ }
={ x’ \cdot \ln x + x \cdot {\left( {\ln x} \right)^\prime } }
={ 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1.}$$

اکنون می‌توانیم مشتق مرتبه دوم را محاسبه کنیم:

$$\large {y^{\prime\prime} = {\left( {\ln x + 1} \right)^\prime } }
= {\frac{1}{x} + 0 = \frac{1}{x}.}$$

مثال ۲

مشتق دوم تابع $$y = \sqrt[\large 4\normalsize]{{x + 1}}$$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا، مشتق اول را می‌نویسیم:

مشتق مرتبه اول

با یک بار دیگر مشتق گرفتن از تابع، داریم:

مشتق مرتبه دوم

مثال ۳

عبارت $$y^{\prime\prime}$$ را برای معادله درجه دو $${y^2} = 4x$$ به‌دست آورید.

حل: با استفاده از مشتق‌گیری ضمنی، داریم:

$$\large {2yy’ = 4,\;\; }\Rightarrow {yy’ = 2.}$$

با مشتق‌گیری مجدد و استفاده از قاعده مشتق ضرب دو تابع، می‌توان نوشت:

$$\large y’y’ + yy^{\prime\prime} = 0.$$

اگر دو طرف معادله اخیر را در $${y^2}$$ ضرب کنیم، داریم:

$$\large {y^2}{\left( {y’} \right)^2} + {y^3}y^{\prime\prime} = 0.$$

از آن‌جایی که $$yy’ = 2$$، و در نتیجه $${\left( {yy’} \right)^2} = 4$$، می‌توان معادله آخر را به‌صورت زیر نوشت:

$$\large 4 + {y^3}y^{\prime\prime} = 0.$$

در نتیجه:

$$\large y^{\prime\prime} = – \frac{4}{{{y^3}}}.$$

مثال ۴

تابع $$y = {\left( {2x + 1} \right)^3}\left( {x – 1} \right)$$ را در نظر بگیرید. مشتقات مرتبه اول تا پنجم آن را بیابید.

حل: ابتدا تابع را به‌صورت یک چندجمله‌ای می‌نویسیم:

تابع

اکنون، مشتقات مرتبه اول تا پنجم را محاسبه می‌کنیم:

$$\large {y’ = {\left( {8{x^4} + 4{x^3} – 6{x^2} – 5x – 1} \right)^\prime } }={ 32{x^3} + 12{x^2} – 12x – 5,}$$

$$\large {y^{\prime\prime} = {\left( {y’} \right)^\prime } }={ {\left( {32{x^3} + 12{x^2} – 12x – 5} \right)^\prime } }={ 96{x^2} + 24x – 12,}$$

$$\large {y^{\prime\prime\prime} = {\left( {y^{\prime\prime}} \right)^\prime } }={ {\left( {96{x^2} + 24x – 12} \right)^\prime } }={ 192x + 24,}$$

$$\large {{y^{\left( 4 \right)}} = {\left( {y^{\prime\prime\prime}} \right)^\prime } }={ {\left( {192x + 24} \right)^\prime } }={ 192,}$$

$$\large {{y^{\left( 5 \right)}} = {\left( {{y^{\left( 4 \right)}}} \right)^\prime } }={ {\left( {192} \right)^\prime } }={ 0.}$$

مثال ۵

مشتق مرتبه $$n$$اُم تابع لگاریتم طبیعی $$y = \ln x$$ را به‌دست آورید.

حل: ابتدا چند مشتق اول را محاسبه می‌کنیم:

$$\large {y’ = {\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{1}{x},}$$

$$\large {y^{\prime\prime} = {\left( {y’} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } }={ {\left( {{x^{ – 1}}} \right)^\prime } }={ – {x^{ – 2}} }={ – \frac{1}{{{x^2}}},}$$

$$\large {y^{\prime\prime\prime} = {\left( {y^{\prime\prime}} \right)^\prime } }={ {\left( { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } }={ 2{x^{ – 3}} }={ \frac{2}{{{x^3}}},}$$

$$\large {{y^{\left( 4 \right)}} = {\left( {y^{\prime\prime\prime}} \right)^\prime } }={ {\left( {\frac{2}{{{x^3}}}} \right)^\prime } }={ – 6{x^{ – 4}} }={ – \frac{6}{{{x^4}}},}$$

$$\large {{y^{\left( 5 \right)}} = {\left( {{y^{\left( 4 \right)}}} \right)^\prime } }={ {\left( { – \frac{6}{{{x^4}}}} \right)^\prime } }={ 24{x^{ – 5}} }={ \frac{{24}}{{{x^5}}}.}$$

همان‌طور که می‌بینیم، حاصل مشتقات بالا، از الگوریتم خاصی پیروی می‌کنند که می‌توان آن را برای مرتبه دلخواه $$n$$ به‌صورت زیر نوشت:

$$\large {y^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{n – 1}}\left( {n – 1} \right)!}}{{{x^n}}}.$$

اثبات دقیق فرمول بالا را می‌توان با استقرای ریاضی بیان کرد.

مثال ۶

همه مشتقات تابع سینوس را محاسبه کنید.

حل: ابتدا چند مشتق اول این تابع را می‌نویسیم:

$$\large {y’ = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x }={ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right),}$$

$$\large {y^{\prime\prime} = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = – \sin x }={ \sin \left( {x + 2 \cdot \frac{\pi }{2}} \right),}$$

$$\large {y^{\prime\prime\prime} = {\left( { – \sin x} \right)^\prime } = – \cos x }={ \sin \left( {x + 3 \cdot \frac{\pi }{2}} \right),}$$

$$\large {{y^{IV}} = {\left( { – \cos x} \right)^\prime } = \sin x }={ \sin \left( {x + 4 \cdot \frac{\pi }{2}} \right).}$$

واضح است که مشتق مرتبه $$n$$ را می‌توان با فرمول زیر بیان کرد:

$$\large {{y^{\left( n \right)}} = {\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} }={ \sin \left( {x + \frac{{n\pi }}{2}} \right).}$$

مثال ۷

همه مشتقات تابع کسینوس را محاسبه کنید.

حل: مانند مثال ۶، ابتدا چند مشتق اول این تابع را می‌نویسیم:

$$\large {y’ = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = – \sin x }={ \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right),}$$

$$\large {y^{\prime\prime} = {\left( { – \sin x} \right)^\prime } = – \cos x }={ \cos \left( {x + 2 \cdot \frac{\pi }{2}} \right),}$$

$$\large {y^{\prime\prime\prime} = {\left( { – \cos x} \right)^\prime } = \sin x }={ \cos \left( {x + 3 \cdot \frac{\pi }{2}} \right),}$$

$$\large {{y^{IV}} = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x }={ \cos \left( {x + 4 \cdot \frac{\pi }{2}} \right).}$$

از عبارات بالا مشخص است که مشتق پنجم با مشتق اول، مشتق ششم با مشتق دوم و... مشابه هستند. بنابراین، مشتق مرتبه $$n$$اُم تابع کسینوس را می‌توان با فرمول زیر نشان داد:

$$\large {{y^{\left( n \right)}} = {\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} }={ \cos \left( {x + \frac{{n\pi }}{2}} \right).}$$

مثال ۸

مشتق مرتبه $$n$$اُم تابع $$y = {\large\frac{1}{x}\normalsize}$$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا چند مشتق اول را محاسبه می‌کنیم تا الگوریتم کلی مشتقات مرتبه بالاتر مشخص شود:

$$\large {y’ = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = – \frac{1}{{{x^2}}},}$$

$$\large {{y^{\prime\prime} = {\left( { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } }={ – 1 \cdot {\left( {{x^{ – 2}}} \right)^\prime }}
= {- 1 \cdot \left( { – 2} \right) \cdot {x^{ – 3}} }={ \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^2} \cdot 2}}{{{x^3}}},}}$$

$$\large {{y^{\prime\prime\prime} = {\left( {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^2} \cdot 2}}{{{x^3}}}} \right)^\prime } }={ {\left( { – 1} \right)^2} \cdot 2 \cdot {\left( {{x^{ – 3}}} \right)^\prime } }
= {{\left( { – 1} \right)^3} \cdot 2 \cdot 3 \cdot {x^{ – 4}} }={ \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^2} \cdot 2 \cdot 3}}{{{x^4}}},}}$$

$$\large {{{y^{IV}} = {\left( {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^2} \cdot 2 \cdot 3}}{{{x^4}}}} \right)^\prime } = {\left( { – 1} \right)^3} \cdot 2 \cdot 3 \cdot {\left( {{x^{ – 4}}} \right)^\prime } }
= {{\left( { – 1} \right)^4} \cdot 4! \cdot {x^{ – 5}} }={ \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^4}4!}}{{{x^5}}}.}}$$

همین چهار مشتق، برای حدس زدن رابطه مشتق $$n$$اُم به‌صورت زیر، کافی است:

$$\large {{y^{\left( n \right)}} }={ \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}n!}}{{{x^{n + 1}}}}.}$$

مثال ۹

مشتق دوم تابع زیر را حساب کنید:

$$\large y = \arcsin {\large\frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2} + 1}}\normalsize}.$$

حل: با مشتق‌گیری از این تابع، به‌عنوان یک تابع ترکیبی، داریم:

$$\large \require{cancel}
{y = {\left( {\arcsin \frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2} + 1}}} \right)^\prime } }
= {\frac{1}{{\sqrt {1 – {{\left( {\frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2} + 1}}} \right)}^2}} }} \cdot}\kern0pt{ {\left( {\frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2} + 1}}} \right)^\prime } } \\ \large
= {\frac{1}{{\sqrt {\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} – {{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} }} \cdot}\kern0pt{ \frac{{2x \cdot \left( {{x^2} + 1} \right) – \left( {{x^2} – 1} \right) \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} } \\ \large
= {\frac{{{4x}}}{{\sqrt {{4{x^2}}} \left( {{x^2} + 1} \right)}} }
= {\frac{{4x}}{{2\left| x \right|\left( {{x^2} + 1} \right)}} }
= {\frac{{2x}}{{\left| x \right|\left( {{x^2} + 1} \right)}}.}$$

در رابطه اخیر، $${\left| x \right|}$$ برابر با $$x\,\text{sign}\,x$$ است که:

$$\large \text{sign}\,x =
\begin{cases}
– 1, & \text{if}\;\;x \lt 0 \\
0, & \text{if} \;\;x = 0 \\
+ 1, & \text{if} \;\;x \gt 0
\end{cases}
.$$

در نتیجه، داریم:

$$\large {y’ = \frac{{2x}}{{\left| x \right|\left( {{x^2} + 1} \right)}} }
= {\frac{{2\cancel{x}}}{{\cancel{x} \,\text{sign}\,x\left( {{x^2} + 1} \right)}} }
= {\frac{{2\,\text{sign}\,x}}{{{x^2} + 1}}.}$$

اکنون مشتق دوم را محاسبه می‌کنیم:

$$\large {y^{\prime\prime} = {\left( {\frac{{2\,\text{sign}\,x}}{{{x^2} + 1}}} \right)^\prime } }
= {\frac{{0 \cdot \left( {{x^2} + 1} \right) – 2\,\text{sign}\,x \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} }
= { – \frac{{4x\,\text{sign}\,x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}.}$$

مثال ۱۰

مشتق دوم تابعی را به‌دست آورید که به‌صورت ضمنی $${x^2} + {y^2} = {R^2}$$ داده شده است (معادله یک دایره).

حل: برای یافتن مشتق اول، از هر دو سمت معادله مشتق می‌گیریم:

$$\large {{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^\prime } = {\left( {{R^2}} \right)^\prime },\;\;}\Rightarrow
{2x + 2yy’ = 0,\;\;}\Rightarrow
{yy’ = – x,\;\;}\Rightarrow
{y’ = – \frac{x}{y}.}$$

اگر از عبارت بالا مشتق بگیریم، داریم:

$$\large{{\left( {y’} \right)^\prime } = {\left( { – \frac{x}{y}} \right)^\prime },\;\;}\Rightarrow
{y^{\prime\prime} = – \frac{{x’y – xy’}}{{{y^2}}},\;\;} \\ \large \Rightarrow
{y^{\prime\prime} = – \frac{{y – xy’}}{{{y^2}}} = \frac{{xy’ – y}}{{{y^2}}}.}$$

با جایگذاری مشتق $$y’$$ در عبارت بالا، مشتق دوم به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large {y^{\prime\prime} = \frac{{xy’ – y}}{{{y^2}}} }
= {\frac{{x\left( { – \frac{x}{y}} \right) – y}}{{{y^2}}} } \\ \large
= {\frac{{ – \frac{{{x^2}}}{y} – y}}{{{y^2}}} }
= {\frac{{ – {x^2} – {y^2}}}{{{y^3}}} }
= { – \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{y^3}}} }
= { – \frac{{{R^2}}}{{{y^3}}}.}$$

مثال ۱۱

مشتق مرتبه $$n$$اُم تابع $$y = {3^{2x + 1}}$$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا، چند مشتق اول این تابع را به‌صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

$$\large {y’ = {\left( {{3^{2x + 1}}} \right)^\prime } }
= {{3^{2x + 1}} \cdot \ln 3 \cdot {\left( {2x + 1} \right)^\prime } }
= {{3^{2x + 1}} \cdot 2\ln 3,}$$

$$\large {y^{\prime\prime} = {\left( {y’} \right)^\prime } }
= {{\left( {{3^{2x + 1}} \cdot 2\ln 3} \right)^\prime } }
= {{\left( {{3^{2x + 1}}} \right)^\prime } \cdot 2\ln 3 }
= {{3^{2x + 1}} \cdot {2^2}{\ln ^2}3,}$$

$$\large {y^{\prime\prime\prime} = {\left( {y^{\prime\prime}} \right)^\prime } }
= {{\left( {{3^{2x + 1}} \cdot {2^2}{{\ln }^2}3} \right)^\prime } }
= {{\left( {{3^{2x + 1}}} \right)^\prime } \cdot {2^2}{\ln ^2}3 }
= {{3^{2x + 1}} \cdot {2^3}{\ln ^3}3.}$$

اگر نتیجه سه مشتق اخیر را بررسی کنیم، می‌بینیم که می‌توان مشتق مرتبه $$n$$اُم را به‌صورت زیر نوشت:

$$\large {{y^{\left( n \right)}} = {\left( {{3^{2x + 1}}} \right)^{\left( n \right)}} } $$

صحت این فرمول را با استقرای ریاضی ثابت می‌کنیم. واضح است که فرمول اخیر، برای $$n=1$$ معتبر است. حال فرض می‌کنیم برای $$n=k$$ نیز معتبر باشد، بنابراین:

$$\large {{y^{\left( k \right)}} = {\left( {{3^{2x + 1}}} \right)^{\left( k \right)}} }
= {{3^{2x + 1}} \cdot {2^k}\,{\ln ^k}3.}$$

در نتیجه، برای $$n=k+1$$ داریم:

$$\large {{y^{\left( {k + 1} \right)}} = {\left( {{3^{2x + 1}}} \right)^{\left( {k + 1} \right)}} }
= {{\left[ {{{\left( {{3^{2x + 1}}} \right)}^{\left( k \right)}}} \right]^\prime } } \\ \large
= {{\left( {{3^{2x + 1}} \cdot {2^k}\,{{\ln }^k}3} \right)^\prime } }
= {{\left( {{3^{2x + 1}}} \right)^\prime } \cdot {2^k}\,{\ln ^k}3 }
= {{3^{2x + 1}} \cdot {2^{k + 1}}{\ln ^{k + 1}}3,}$$

این بدین معنی است که فرمول برای $$n=k+1$$ صحیح است. در نتیجه، صحت آن برای هر $$n$$ اثبات می‌شود.

مثال ۱۲

مشتق مرتبه $$n$$ تابع $$y=x^m$$ را به‌دست آورید که در آن، $$m$$ یک عدد حقیقی است.

حل: مانند مثال‌های قبل، ابتدا چند مشتق اول را حساب می‌کنیم:

$$\large {y’ = {\left( {{x^m}} \right)^\prime } = m{x^{m – 1}},}$$

$$\large {y^{\prime\prime} = {\left( {y’} \right)^\prime } = {\left( {m{x^{m – 1}}} \right)^\prime }
= {m\left( {m – 1} \right){x^{m – 2}},}}$$

$$ \large {y^{\prime\prime\prime} = {\left( {y^{\prime\prime}} \right)^\prime } = {\left[ {m\left( {m – 1} \right){x^{m – 2}}} \right]^\prime }
= {\left[ {m\left( {m – 1} \right)\left( {m – 2} \right)} \right]{x^{m – 3}}.}}$$

بنابراین، به‌سادگی می‌توان توصیف عمومی مشتق مرتبه $$n$$‌ را به‌صورت زیر نوشت:

$$\large {y^{\left( n \right)}} = {m\left( {m – 1} \right)\left( {m – 2} \right) \cdots}\kern0pt{ \left( {m – n + 1} \right){x^{m – n}}.}$$

صحت فرمول اخیر را با اصل استقرای ریاضی اثبات می‌کنیم. واضح است که فرمول مورد نظر برای $$n=1$$ صحیح است. با فرض اینکه فرمول برای $$n$$ درست باشد، مشتق مرتبه $$(n+1)$$ را از روی آن به‌دست می‌آوریم:

$$\large {{y^{\left( {n + 1} \right)}} = {\left[ {{y^{\left( n \right)}}} \right]^\prime } }
= {m\left( {m – 1} \right)\left( {m – 2} \right) \cdots}\kern0pt{ \left( {m – n + 1} \right){\left( {{x^{m – n}}} \right)^\prime } }\\ \large
= {m\left( {m – 1} \right)\left( {m – 2} \right) \cdots}\kern0pt{ \left( {m – n + 1} \right){x^{m – \left( {n + 1} \right)}}.}$$

همان‌طور که می‌بینیم، مشتق مرتبه $$(n+1)$$ که بر اساس مشتق مرتبه $$n$$ به‌دست آمد (با قرار دادن $$n+1$$ به‌جای $$n$$)، با مشتقی که محاسبه کردیم، برابر است. در نتیجه، عبارت مشتق مرتبه $$n$$ برای اعداد صحیح مثبت $$n$$ صحیح است. توجه کنید که توان $$m$$ در حالت کلی، یک عدد حقیقی است. اگر فقط مقادیر طبیعی $$m$$ را در نظر بگیریم، آن‌گاه فرمول مشتق، به فرم فشرده‌تر زیر درمی‌آید:

$$\large {y^{\left( n \right)}} = {\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)}} = {\frac{{m!}}{{\left( {m – n} \right)!}}{x^{m – n}},}$$

که در آن، $$n \le m$$ است. سایر مشتقات مرتبه $$n \gt m$$ برابر با صفر هستند.

مثال ۱۳

مشتق مرتبه $$n$$اُم تابع رادیکالی $$y = \sqrt x$$ را حساب کنید.

حل: در اینجا، از نتیجه مثال ۱۲ استفاده می‌کنیم که در آن، مشتق مرتبه $$n$$ تابع توانی با توان دلخواه $$m$$ به‌دست آمد. تابع رادیکالی را می‌توان به‌صورت زیر بازنویسی کرد:

$${y = \sqrt x = {x^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}\;\;}\kern0pt{\left( {m = \frac{1}{2}} \right).}$$

بنابراین، مشتق را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$\large {y = {\left( {{x^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}} \right)^\prime } }
= {\frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{2} – 1} \right)\left( {\frac{1}{2} – 2} \right) \cdots}\kern0pt{ \left( {\frac{1}{2} – n + 1} \right){x^{\large\frac{1}{2}\normalsize – n}} } \\ \large
= {\frac{1}{2} \cdot \left( { – \frac{1}{2}} \right) \cdot}\kern0pt{ \left( { – \frac{3}{2}} \right) \cdot \left( { – \frac{5}{2}} \right) \cdots}\kern0pt{ \left[ { – \left( {n – \frac{3}{2}} \right)} \right]\frac{{{x^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}}}{{{x^n}}} } \\ \large
= {\frac{1}{2} \cdot {\left( { – 1} \right)^{n – 1}}}\kern0pt{\left[ {\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdots \frac{{2n – 3}}{2}} \right]\frac{{\sqrt x }}{{{x^n}}} } \\ \large
= {\frac{1}{2} \cdot {\left( { – 1} \right)^{n – 1}} \cdot \frac{1}{{{2^{n – 1}}}} \cdot }\kern0pt{\left[ {1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \left( {2n – 3} \right)} \right]\frac{{\sqrt x }}{{{x^n}}} } \\ \large
= {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{n – 1}}\left[ {1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \left( {2n – 3} \right)} \right]\sqrt x }}{{{x^n}}}.}$$

برای $$n=1$$، مشتق برابر است با:

$$\large {y’ = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^0} \cdot 1 \cdot \sqrt x }}{{{{\left( {2x} \right)}^1}}} }
= {\frac{{\sqrt x }}{{2x}} }
= {\frac{1}{{2\sqrt x }}.}$$

برای $$n \ge 2$$، ضرب اعداد فرد داخل کروشه را می‌توان به‌صورت فاکتوریل دوگانه نوشت:

$$\large 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \left( {2n – 3} \right) = \left( {2n – 3} \right)!!$$

بنابراین، برای $$n \ge 2$$، مشتق مرتبه $$n$$، با فرمول کلی زیر بیان می‌شود:

$$\large {{y^{\left( n \right)}} = \frac{1}{2} \cdot {\left( { – 1} \right)^{n – 1}} \cdot \frac{1}{{{2^{n – 1}}}} \cdot}\kern0pt{ \left( {2n – 3} \right)!!\frac{{\sqrt x }}{{{x^n}}} }
= {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{n – 1}}\left( {2n – 3} \right)!!\sqrt x }}{{{{\left( {2x} \right)}^n}}}.}$$

در نتیجه، داریم:

$$\large {y^{\prime\prime} = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^1}1!!\sqrt x }}{{{{\left( {2x} \right)}^2}}} }={ – \frac{{\sqrt x }}{{4{x^2}}} }={ – \frac{1}{{4\sqrt {{x^3}} }},}$$

$$\large {y^{\prime\prime\prime} = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^2}3!!\sqrt x }}{{{{\left( {2x} \right)}^3}}} }={ \frac{{3\sqrt x }}{{8{x^3}}} }={ \frac{3}{{8\sqrt {{x^5}} }}.}$$

مثال ۱۴

مشتق مرتبه $$n$$ تابع $$y = \sqrt[\large 3\normalsize]{x}$$ را بیابید.

حل: مشتق مرتبه اول تابع، به‌صورت زیر است:

$$\large {y’ = {\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{x}} \right)^\prime } = {\left( {{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}} \right)^\prime } }
= {\frac{1}{3}{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize – 1}} }
= {\frac{1}{3}{x^{ – \large\frac{2}{3}\normalsize}} }
= {\frac{1}{{3\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^2}}}}}.}$$

در ادامه، از فرمول عمومی مشتق تابع توانی $$y=x^m$$ (مثال ۱۲) استفاده می‌کنیم:

$$\large {\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)}} = {m\left( {m – 1} \right)\left( {m – 2} \right) \cdots}\kern0pt{ \left( {m – n + 1} \right){x^{m – n}}.}$$

در مثالی که حل می‌کنیم، $$m = {\large\frac{1}{3}\normalsize}$$ است. در نتیجه، مشتق به‌صورت زیر خواهد بود:

$$\large {{y^{\left( n \right)}} = {\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{x}} \right)^{\left( n \right)}} }
= {{\left( {{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}} \right)^{\left( n \right)}} }  \\ \large
= {\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{3} – 1} \right)}\kern0pt{\left( {\frac{1}{3} – 2} \right)\left( {\frac{1}{3} – 3} \right) \cdots}\kern0pt{ \left( {\frac{1}{3} – n + 1} \right){x^{\large\frac{1}{3}\normalsize – n}} } \\ \large
= {\frac{1}{3} \cdot \left( { – \frac{2}{3}} \right) \cdot}\kern0pt{ \left( { – \frac{5}{3}} \right) \cdot \left( { – \frac{8}{3}} \right) \cdots}\kern0pt{ \left[ { – \left( {n – \frac{4}{3}} \right)} \right]\frac{{{x^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}}{{{x^n}}} } \\ \large
= {\frac{1}{3} \cdot {\left( { – 1} \right)^{n – 1}}}\kern0pt{\left[ {\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{8}{3} \cdots}\kern0pt{ \frac{{3n – 4}}{3}} \right]\frac{{\sqrt[\large 3\normalsize]{x}}}{{{x^n}}} } \\ \large
= {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{n – 1}}\left[ {2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots \left( {3n – 4} \right)} \right]\sqrt[\large 3\normalsize]{x}}}{{{{\left( {3x} \right)}^n}}}}$$

که در آن، $$n \ge 2$$ است. به‌طور خاص، مشتقات دوم و سوم، با فرمول‌های زیر نشان داده می‌شوند:

$$\large {y^{\prime\prime} = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^1} \cdot 2 \cdot \sqrt[\large 3\normalsize]{x}}}{{{{\left( {3x} \right)}^2}}} }
= { – \frac{{2\sqrt[\large 3\normalsize]{x}}}{{9{x^2}}} }
= {- \frac{2}{{9\sqrt[3]{{{x^5}}}}},}$$

$$\large {y^{\prime\prime\prime} = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \sqrt[\large 3\normalsize]{x}}}{{{{\left( {3x} \right)}^3}}} }
= {\frac{{10\sqrt[\large 3\normalsize]{x}}}{{27{x^3}}} }
= {\frac{{10}}{{27\sqrt[\large 3\normalsize]{{{x^8}}}}}.}$$

مثال ۱۵

معادله پارامتری یک بیضی به صورت زیر داده شده است:

$$\large {x = a\cos t,\;\;\;}\kern-0.3pt{y = b\sin t,}$$

که در آن، $$a$$ و $$b$$، نیم‌محورهای بیضی هستند و $$t$$ یک پارامتر است. مشتقات مرتبه اول، دوم و سوم تابع $$y$$ را نسبت به $$x$$ محاسبه کنید.

حل: با مشتق‌گیری از تابع، داریم:

$$\large {y^\prime = {y’_x} = \frac{{{y’_t}}}{{{x’_t}}} }
= {\frac{{{{\left( {b\sin t} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {a\cos t} \right)}^\prime }}} }
= {\frac{{b\cos t}}{{ – a\sin t}} }
= { – \frac{b}{a}\cot t,}$$

$$ \large {y^{\prime\prime} = {y^{\prime\prime}_{xx}} = \frac{{{{\left( {{y’_x}} \right)}’_t}}}{{{x’_t}}} }
= {\frac{{{{\left( { – \frac{b}{a}\cot t} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {a\cos t} \right)}^\prime }}} } \\ \large
= {\frac{{\left( { – \frac{b}{a}} \right)\left( { – \frac{1}{{{{\sin }^2}t}}} \right)}}{{\left( { – a\sin t} \right)}} }
= { – \frac{b}{{{a^2}}}\frac{1}{{{{\sin }^3}t}} }
= { – \frac{b}{{{a^2}}}{\csc ^3}t,}$$

$$ \large {y^{\prime\prime\prime} = {y^{\prime\prime\prime}_{xxx}} = \frac{{{{\left( {{y^{\prime\prime}_{xx}}} \right)}’_t} }}{{{x’_t}}} }
= {\frac{{{{\left( { – \frac{b}{{{a^2}}}{{\csc }^3}t} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {a\cos t} \right)}^\prime }}} }
= {\frac{{\left( { – \frac{b}{{{a^2}}}} \right) \cdot 3{{\csc }^2}t \cdot {{\left( {\csc t} \right)}^\prime }}}{{\left( { – a\sin t} \right)}} } \\ \large
= { – \frac{{3b}}{{{a^3}}} \cdot \frac{{{{\csc }^2}t \cdot \left( { – \cot t} \right) \cdot \csc t}}{{\left( { – \sin t} \right)}} }
= { – \frac{{3b}}{{{a^3}}} \cdot \frac{{{{\csc }^3}t\cot t}}{{\sin t}} }
= { – \frac{{3b}}{{{a^3}}}{\csc ^4}t\cot t.}$$

مثال ۱۶

مشتق سوم تابعی با معادله $${x^2} + 3xy + {y^2} = 1$$ را به‌دست آورید.

حل: مشتق‌گیری از معادله بالا نسبت به $$x$$، نتیجه زیر را خواهد داد:

$$\large {{\left( {{x^2} + 3xy + {y^2}} \right)^\prime } = {1^\prime },\;\;}\Rightarrow
{2x + 3\left( {x’y + xy’} \right) + 2yy’ = 0,\;\;}\\ \large \Rightarrow
{2x + 3y + 3xy’ + 2yy’ = 0,\;\;}\Rightarrow
{2x + 3y + \left( {3x + 2y} \right)y’ = 0,}\\ \large \Rightarrow
{y’ = – \frac{{2x + 3y}}{{3x + 2y}}.}$$

از عبارت اخیر نیز مشتق می‌گیریم:

$$\large {y^{\prime\prime} = {\left( { – \frac{{2x + 3y}}{{3x + 2y}}} \right)^\prime } }
= {\frac{{5y – 5xy’}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^2}}}.}$$

با جایگذاری توصیف ضمنی مشتق اول، داریم:

$$\large {y^{\prime\prime} = \frac{{5y – 5xy’}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^2}}} }
= {\frac{{5y – 5x\left( { – \frac{{2x + 3y}}{{3x + 2y}}} \right)}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^2}}} }
= {\frac{{5y\left( {3x + 2y} \right) + 5x\left( {2x + 3y} \right)}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^3}}} } \\ \large
= {\frac{{15xy + 10{y^2} + 10{x^2} + 15xy}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^3}}} }
= {\frac{{10\left( {{x^2} + 3xy + {y^2}} \right)}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^3}}}.}$$

از آن‌جایی که $${x^2} + 3xy + {y^2} = 1$$ است، حاصل $$y^{\prime\prime}$$ به‌صورت زیر خواهد بود:

$$\large y^{\prime\prime} = \frac{{10}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^3}}}$$

اکنون برای به‌دست آوردن مشتق سوم، یک بار دیگر مشتق می‌گیریم:

$$\large {y^{\prime\prime\prime} = {\left[ {\frac{{10}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^3}}}} \right]^\prime } }
= { – \frac{{30\left( {3 + 2y’} \right)}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^4}}} }
= { – \frac{{90 + 60y’}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^4}}}.}$$

با جایگذاری مشتق اول در عبارت بالا، توصیف نهایی مشتق مرتبه سوم به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$\large {y^{\prime\prime\prime} = – \frac{{90 + 60y’}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^4}}} }
= { – \frac{{90 + 60 \cdot \left( { – \frac{{2x + 3y}}{{3x + 2y}}} \right)}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^4}}} } \\ \large
= { – \frac{{90\left( {3x + 2y} \right) – 60\left( {2x + 3y} \right)}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^5}}} }
= { – \frac{{150}}{{{{\left( {3x + 2y} \right)}^5}}}.}$$

مثال ۱۷

مشتق مرتبه دوم تابعی با معادله $$x + y = {e^{x – y}}$$ را محاسبه کنید.

حل: با مشتق‌گیری از دو سمت معادله بالا نسبت به $$x$$، داریم:

$$\large {{\left( {x + y} \right)^\prime } = {\left( {{e^{x – y}}} \right)^\prime },\;\;}\Rightarrow
{1 + y’ = {e^{x – y}} \cdot {\left( {x – y} \right)^\prime },\;\;}\\ \large \Rightarrow
{1 + y’ = {e^{x – y}}\left( {1 – y’} \right) = {e^{x – y}} – {e^{x – y}}y’,\;\;}\\ \large \Rightarrow
{y’ + {e^{x – y}}y’ = {e^{x – y}} – 1,\;\;}\Rightarrow
{y’ = \frac{{{e^{x – y}} – 1}}{{{e^{x – y}} + 1}}.}$$

با ادامه مشتق‌گیری، مشتق مرتبه دوم نیز به‌دست می‌آید:

$$\large {y^{\prime\prime} = {\left( {\frac{{{e^{x – y}} – 1}}{{{e^{x – y}} + 1}}} \right)^\prime } }
= {\frac{{2{e^{x – y}}\left( {1 – y’} \right)}}{{{{\left( {{e^{x – y}} + 1} \right)}^2}}}.}$$

با جایگذاری عبارت مشتق اول در عبارت اخیر، مشتق دوم به‌صورت زیر درخواهد آمد:

$$\large {y^{\prime\prime} = \frac{{2{e^{x – y}}\left( {1 – y’} \right)}}{{{{\left( {{e^{x – y}} + 1} \right)}^2}}} }
= {\frac{{2{e^{x – y}}\left( {1 – \frac{{{e^{x – y}} – 1}}{{{e^{x – y}} + 1}}} \right)}}{{{{\left( {{e^{x – y}} + 1} \right)}^2}}} } \\ \large
= {\frac{{2{e^{x – y}} \cdot \frac{{\cancel{e^{x – y}} + 1 – \cancel{e^{x – y}} + 1}}{{{e^{x – y}} + 1}}}}{{{{\left( {{e^{x – y}} + 1} \right)}^2}}} }
= {\frac{{4{e^{x – y}}}}{{{{\left( {{e^{x – y}} + 1} \right)}^3}}}.}$$

اکنون از معادله اصلی استفاده می‌کنیم که طبق آن:

$$\large {e^{x – y}} = x + y$$

در نهایت، عبارت زیر برای مشتق مرتبه دوم به‌دست می‌آید:

$$\large {y^{\prime\prime} = \frac{{4{e^{x – y}}}}{{{{\left( {{e^{x – y}} + 1} \right)}^3}}} }
= {\frac{{4\left( {x + y} \right)}}{{{{\left( {x + y + 1} \right)}^3}}}.}$$

اگر به موضوعات مرتبط با این مطلب علاقه‌مندید، پیشنهاد می‌کنیم آموزش‌های زیر را نیز ببینید:

^^

بر اساس رای ۱۵ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
۷ دیدگاه برای «مشتق مراتب بالاتر — از صفر تا صد»

مثال 9 چرا sgn رفت بالا :؟؟؟/////

سلام و وقت بخیر؛

تابع sign(x)، تابع علامت است. به دلیل ضرب این تابع در کل عبارت مخرج، انتقال آن به صورت کسر، مانعی ندارد.

از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم

y=1/3x^3 مشتق چند است؟

سلام. مشتق تابع $$y=\frac{1}{3x^3}$$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ (\frac{1}{3x^3})’= (\frac13 x^{-3})’=-3(\frac13)x ^{-4}=-x^{-4} = \frac{-1}{x^4}$$

موفق باشید.

هر ۱۷ تا مثالش اسون بود
لطفا از توابع کسری با صورت و مخرج متغییر دار هم مثالی حل کنید :/

سلام. برای مشاهده مثال‌های مشتق توابع کسری، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «مشتق توابع کسری — به زبان ساده» مراجعه کنید.
از همراهی‌تان، خوشحالیم.

خیلی عالی بود
ولی ای کاش مشتق مرتبه n ام سینوس و کسینوس وقتی x ضریب داره رو هم میذاشتید به اثباتش نیاز داشتم.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *