خط مماس و قائم بر منحنی — از صفر تا صد

۲۷۹۹۵ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۲ مهر ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۵ دقیقه
خط مماس و قائم بر منحنی — از صفر تا صد

در ادامه مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس، در این آموزش به مبحث خط مماس و خط قائم بر منحنی‌ خواهیم پرداخت. ابتدا نحوه به‌دست آوردن معادله خط مماس و قائم بر منحنی را در مختصات کارتزین بیان می‌کنیم. پس از آن، روش محاسبه معادله خطوط مماس و قائم را برای توابع پارامتری و نیز توابع در دستگاه مختصات قطبی بررسی خواهیم کرد.

997696

معادله خط مماس در مختصات کارتزین

فرض کنید تابع  y=f(x) y = f\left( x \right) در بازه  (a,b) \left( {a,b} \right) تعریف شده و در  x0(a,b) {x_0} \in \left( {a,b} \right) پیوسته باشد. در این نقطه (نقطه M M در شکل زیر)، مقدار تابع برابر با  y0=f(x0) {y_0} = f\left( {{x_0}} \right) است.

همچنین، فرض کنید متغیر مشتق xx در x0x _0 دارای نِمُو (افزایش جزئی) Δx \Delta x باشد. نمو متناظر تابع (Δy \Delta y ) را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

 Δy=f( x0 +Δx)f( x0). \large \Delta y = f \left( {{  x _ 0  } + \Delta x} \right) – f\left( {  { x_ 0 }} \right).

خط مماس بر منحنی

در شکل بالا، نقطه M1M_ 1 در موقعیت  (x0+Δx,y0+Δy) \left( {{x_0} + \Delta x,{y_0} + \Delta y} \right) قرار دارد. پاره‌خط MM1MM_1 را رسم می‌کنیم که معادله آن به‌صورت زیر است:

 yy0=k(xx0) \large y – { y _ 0 } = k\left( { x – { x _ 0} } \right)

که در آن، kk شیب برحسب نمو  Δx \Delta x بوده و برابر است با:

 k=k(Δx)=ΔyΔx. \large k = k\left( {\Delta x} \right) = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.

وقتی  Δx \Delta x کاهش پیدا کند، نقطه M1M_1 به‌سمت نقطه MM حرکت می‌کند:  M1M {M_1} \to M . در شرایط حدیِ  Δx0 \Delta x \to 0 ، فاصله بین نقاط MM و M1M_1 به صفر میل می‌کند. با توجه به شرط پیوستگی تابع f(x) f( x) در نقطه x0 x_0 ، داریم:

limΔx0Δy=0,    limΔx0MM1=limΔx0(Δx)2+(Δy)2=0. \large { \lim \limits_ { \Delta x \to 0} \Delta y = 0,\;\;}\Rightarrow {\lim\limits _ { \Delta x \to 0} \left| { M {M _ 1 } } \right| } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \sqrt {{{\left( {\Delta x} \right)} ^ 2 } + {{\left( {\Delta y} \right) } ^ 2 } } = 0 . }

وضعیت حدی پاره‌خط MM1MM_1، خط مماس بر منحنی تابع y=f(x) y = f (x ) در نقطه MM نامیده می‌شود.

دو نوع خط مماس وجود دارد: «خط مماس مایل» (Oblique Tangent) و «خط مماس قائم» (Vertical Tangent).

تعریف ۱

اگر حد کران‌دار و محدود  limΔx0k(Δx)=k0 \lim\limits_{\Delta x \to 0} k\left( {\Delta x} \right) = {k_0} را داشته باشیم، آن‌گاه معادله خط مستقیم به‌صورت زیر است:

yy0=k(x– x0 ) \large y – {y _ 0 } = k \left( { x –  { x _ 0  } } \right)

که مماس مایل منحنی y=f(x) y = f ( x ) در نقطه (x0,y0) ( x _ 0 , y _ 0 ) نامیده می‌شود.

ابرهای منحنی و دایره ای در آسمان (تصویر تزئینی مطلب خط مماس و قائم بر منحنی)

تعریف ۲

اگر  Δx0 \Delta x \to 0 ، مقدار kk بی‌نهایت شود، یعنی  limΔx0k(Δx)=± \lim\limits_{\Delta x \to 0} k\left( {\Delta x} \right) = \pm \infty ، آن‌گاه معادله خط به‌صورت زیر خواهد بود:

x=x0 \large x = {x_0}

که خط مماس قائم منحنی تابع f(x) f( x ) در نقطه  (x0,y0) \left( {{x_0},{y_0}} \right) نامیده می‌شود.

لازم است بدانیم:

k0=limΔx0k(Δx)=limΔx0ΔyΔx=f(x0) \large {{k_0} = \lim \limits _ {\Delta x \to 0} k\left( {\Delta x} \right) } = { \lim \limits _ { \Delta x \to 0} \frac{{\Delta y } } { {\Delta x } } } = { f’\left( { { x _ 0 } } \right)}

یعنی شیب خط مماس، برابر با مشتق تابع f(x) f(x) در نقطه مماس x0 x_ 0 است. بنابراین، معادله مماس مایل را می‌توان به‌فرم زیر نوشت:

yy0=f(x0)(xx0)     \large { y – { y _ 0 } = f’\left( { { x _ 0 } } \right)\left( {x – { x _ 0}} \right)\;\;}

یا

y=f(x0)(xx0)+f(x0) \large { y = f’ \left( {{x_0}} \right)\left( {x – { x _ 0 } } \right) + f\left( { { x _ 0 } } \right)}

از آن‌جایی که شیب خط، برابر با تانژانت زاویه α \alpha (زاویه بین خط و جهت مثبت محور xx) است، تساوی زیر را داریم:

k=tanα=f(x0) \large k = \tan \alpha = f’ \left( { { x _ 0}} \right)

معادله خط قائم در مختصات کارتزین

خط راست عمود بر خط مماس بر منحنی که آن را در نقطه تماس  (x0,y0) \left( {{x_0},{y_0}} \right) قطع می‌کند، «خط قائم» یا خط عمود یا خط نرمال (Normal Line) بر منحنی تابع y=f(x) y = f (x) در این نقطه نامیده می‌شود.

خط قائم بر منحنی

از هندسه می‌دانیم که ضرب شیب‌های دو خط عمود بر هم برابر با 1 -1 است. بنابراین، با داشتن معادله خط مماس در نقطه  (x0,y0) \left( {{x_0},{y_0}} \right) ، یعنی:

yy0=f(x0)(xx0), \large y – { y _ 0 } = f ’ \left( { { x _ 0 } } \right)\left( {x – { x _ 0 } } \right),

می‌توانیم معادله خط قائم را به‌سادگی بنویسیم:

yy0=1f(x0)(xx0). \large y – { y _ 0 } = – \frac { 1 } { { f ’ \left( { { x _ 0 } } \right) } } \left( { x – { x _ 0 } } \right ) .

معادله خط مماس و قائم بر منحنی در فرم پارامتری

فرض کنید منحنی یک حرکت در صفحه به‌فرم پارامتری زیر داده شده است:

x=x(t),      y=y(t). \large {x = x \left( t \right),}\;\;\;\kern-0.3pt{ y = y \left( t \right) . }

آن‌گاه شیب خط مماس بر نقطه  (x0,y0) \left( {{x_0},{y_0}} \right) را می‌توان با استفاده از قاعده مشتق توابع پارامتری به‌صورت زیر نوشت:

k=tanα=ytxt. \large k = \tan \alpha = \frac{{{y’_ t } }} { {{ x’ _ t } }} .

بنابراین، معادله خط مماس به‌فرم زیر خواهد بود:

yy0=ytxt(xx0) \large {y – { y _ 0 } = \frac{ { { y ’_ t} } }{ {{ x ’_ t} } } \left( { x – { x_ 0} } \right)}

یا

xx0xt=yy0yt \large \frac{{x – { x _ 0} }} {{ { x’ _t } } } = \frac{ { y – { y _0 }} } { {{ y’ _t } } }

بر همین اساس، معادله خط قائم به‌صورت زیر است:

yy0=xtyt(xx0) \large { y – { y _ 0} = – \frac { { { x ’ _ t } } } { { { y ’ _ t } } } \left( { x – { x _ 0 } } \right)}

یا

      xx0yt=yy0xt. \large {\;\;\;\kern-0.3pt\frac{{x – {x _ 0} } } {{ { y ’ _ t } } } = – \frac{{y – { y _ 0 } } }{ { {x ’ _ t } } } . }

یک دانش آموز نشسته پشت نیمکت در حال نوشتن (تصویر تزئینی مطلب خط مماس و قائم بر منحنی)

معادله خط مماس و قائم در مختصات قطبی

فرض کنید منحنی با معادله قطبی  r=f(θ) r = f\left( \theta \right) بیان شده باشد که براساس طول بردار شعاعی rr و زاویه قطبی θ \theta است. در مختصات کارتزین، این منحنی به‌صورت زیر بیان می‌شود:

{x=rcosθ=f(θ)cosθy=rsinθ=f(θ)sinθ. \large \left\{ \begin {array} {l} x = r \cos \theta = f\left( \theta \right) \cos \theta \\ y = r \sin \theta = f\left( \theta \right) \sin\theta \end{array} \right..

بنابراین، معادله پارامتری منحنی را می‌نویسیم که در آن، زاویه θ \theta نقش یک پارامتر را ایفا می‌کند. در ادامه، توصیف شیب خط مماس بر منحنی را در نقطه  (x0,y0) \left( {{x_0},{y_0}} \right) به‌دست می‌آوریم:

k=tanθ=yθxθ=(rsinθ)(rcosθ)=rθsinθ+rcosθrθcosθrsinθ. \large {k = \tan \theta = \frac { { { y ’_\theta } } }{{ {x ’ _\theta }}} } = {\frac { { { { \left( {r\sin \theta } \right) } ^ \prime }}}{ { {{\left( {r\cos \theta } \right) } ^ \prime }}} } = { \frac { {{ r ’_\theta }\sin \theta + r \cos \theta }} { { { r ’ _ \theta }\cos\theta – r\sin \theta }}.}

در نتیجه، معادله مربوط به خط مماس و خط قائم به‌ترتیب، به‌صورت زیر خواهد بود:

yy0=yθxθ(xx0) \large { y – { y _ 0 } = \frac { { { y’_\theta } }} { { { x ’_ \theta }}}\left( { x – { x _ 0 } } \right)}

yy0=xθyθ(xx0). \large { y – { y _ 0 } = - \frac { { { x ’ _ \theta } } }{ { {y ’ _ \theta } } } \left( { x – { x _ 0 } } \right) } .

خط مماس در مختصات قطبی

منحنی‌ها را می‌توان مستقیماً در مختصات قطبی و بدون تبدیل به دستگاه مختصات کارتزین بررسی کرد. در این حالت، به‌جای زاویه θ \theta نسبت به محور قطبی (یعنی جهت مثبت محور x x )، ساده‌تر است که زاویه β \beta را نسبت به خط شامل بردار شعاعی rr در نظر بگیریم.

تانژانت زاویه β \beta ‌ را می‌توان با استفاده از فرمول زیر به‌دست آورد:

tanβ=rrθ. \large \tan \beta = \frac { r } { { { r ’ _ \theta } } } .

مثال‌ها

در ادامه، چند مثال را حل می‌کنیم.

مثال ۱

معادله خط مماس بر منحنی تابع  y=xx1 y = x\sqrt {x – 1} را در نقطه x=2 x= 2 ‌به‌دست آورید.

حل: ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم:

y(x)=(xx1)=xx1+x(x1)=x1+x2x1=2(x1)+x2x1=3x22x1. \large { y ’ \left( x \right) = {\left( { x \sqrt { x – 1 } } \right) ^ \prime } } = { x ’ \sqrt { x – 1 } + x { \left( {\sqrt { x – 1 } } \right) ^ \prime } } \\ \large = {\sqrt { x – 1 } + \frac { x } { { 2 \sqrt { x – 1 } } } } = { \frac { { 2 \left( { x – 1 } \right) + x } } { { 2 \sqrt { x – 1 } } } } = { \frac { { 3 x – 2 } }{ { 2 \sqrt { x – 1 } } } .}

در نقطه x=2 x= 2، مشتق برابر است با:

y(2)=322221=2. \large y ’ \left( 2 \right) = \frac { { 3 \cdot 2 – 2 } } { { 2 \sqrt { 2 – 1 } } } = 2 .

مقدار خود تابع نیز در این نقطه به‌صورت زیر است:

 y(2)=21=2. \large y\left( 2 \right) = 2 \cdot 1 = 2.

در نهایت، معادله خط مماس در این نقطه، به‌شکل زیر به‌دست می‌آید:

yy0=y(x0)(xx0),    y2=2(x2),    y2=2x4,    y=2x2. \large {y – {y_0} = y’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right),\;\;}\Rightarrow { y – 2 = 2\left( {x – 2} \right),\;\;} \\ \large \Rightarrow { y – 2 = 2x – 4,\;\;}\Rightarrow { y = 2 x – 2.}

مثال ۲

سهمی  y=2x2 y = 2{x^2} را در نظر بگیرید. پاره‌خطی بین دو نقطه x=1 x = - 1 و x=2 x= 2 از این منحنی رسم شده است. خط مماس بر منحنی را که موازی این پاره‌خط است، پیدا کنید.

منحنی مثال ۲

حل: ابتدا مقدار y y ‌ را برای نقاط xx داده‌شده پاره‌خط KL KL محاسبه می‌کنیم:

y(1)=2(1)2=2;      y(2)=222=8. \large { y \left( { – 1 } \right) = 2 \cdot {\left( { – 1 } \right) ^ 2 } = 2;}\;\;\;\kern-0.3pt { y \left( 2 \right) = 2 \cdot { 2 ^ 2 } = 8 . }

معادله پاره‌خط KL KL را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

yyKyLyK=xxKxLxK,    y282=x(1)2(1),    y26=x+13,    y2=2(x+1),    y=2x+4, \large {\frac { { y – { y _ K } }} { { { y _ L } – { y _ K } } } = \frac{ { x – { x _ K }} } {{ {x _ L } – { x_K }} } ,\;\;}\Rightarrow {\frac { { y – 2 } } { { 8 – 2 } } = \frac { { x – \left( { – 1} \right) }} { { 2 – \left( { – 1 } \right) } },\;\;} \\ \large \Rightarrow {\frac { { y – 2} } { 6 } = \frac { { x + 1 } }{ 3 } ,\;\;}\Rightarrow { y – 2 = 2 \left( { x + 1 } \right),\;\;}\Rightarrow { y = 2 x + 4 , }

که در آن، k=2k=2 است. شیب خط مماس نیز برابر با مقدار k=2 k= 2 است.

اکنون مختصات xx نقطه مماس را با شرایط  y(x)=k y’\left( x \right) = k پیدا می‌کنیم:

y(x)=k,    (2x2)=2,    4x=2,    x=12. \large { y ’ \left( x \right) = k ,\;\;} \Rightarrow { { \left( { 2 { x ^ 2 } } \right) ^ \prime } = 2,\;\;}\Rightarrow { 4 x = 2 ,\;\;}\Rightarrow { x = \frac{1}{2}.}

مقدار y y نیز در نقطه MM ‌ برابر است با:

yM=2(12)2=12. \large { y _ M } = 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right) ^ 2 } = \frac { 1} {2 } .

بنابراین، نقطه مماس M M در نقطه  (12,12) \left( {\large\frac{1}{2}\normalsize,\large\frac{1}{2}\normalsize} \right) واقع شده است. در نتیجه می‌توانیم معادله خط مماس بر منحنی را به‌صورت زیر بنویسیم:

yyM=k(xxM),    y12=2(x12),    y12=2x1,    y=2x12. \large { y – { y _ M } = k \left( { x – { x _ M } } \right),\;\;}\Rightarrow { y – \frac {1 } { 2} = 2\left( {x – \frac { 1} { 2 }} \right),\;\;} \\ \large \Rightarrow { y – \frac {1 } {2 } = 2 x – 1,\;\;}\Rightarrow { y = 2 x – \frac { 1} {2 } . }

مثال ۳

مساحت مثلثی را تعیین کنید که با خط مماس بر منحنی تابع  y=3x2 y = 3 – {x^2} در نقطه  (1,2) \left( {1,2} \right) و محورهای مختصات تشکیل شده است.

شکل مثال ۳

حل: ابتدا معادله خط مماس را به‌دست می‌آوریم. محل برخورد خط مماس و منحنی، نقطه زیر است:

f(x)=(3x2)=2x;    f(1)=2, \large { f ’ \left( x \right) = \left( {3 – { x ^ 2 } } \right) = – 2x;\;\;}\Rightarrow { f ’ \left( 1 \right) = – 2 , }

در نتیجه، معادله خط مماس را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

yyM=f(xM)(xxM),    y2=2(x1),    y=2x+4. \large {y – { y _ M } = f ’ \left( { { x _ M}} \right)\left( {x – {x_M}} \right),\;\;} \\ \large \Rightarrow {y – 2 = – 2 \left( {x – 1} \right),\;\;}\Rightarrow {y = – 2 x + 4 . }

معادله را به‌فرم زیر می‌توان نوشت:

y=2x+4,    y+2x=4,    y4+2x4=1,    y4+x2=1. \large { y = – 2 x + 4,\;\;}\Rightarrow { y + 2x = 4,\;\;}\\ \large \Rightarrow {\frac { y } { 4 } + \frac { {2 x }} { 4} = 1,\;\;}\Rightarrow {\frac { y} { 4 } + \frac {x } { 2} = 1.}

طول پاره‌خط‌های OAOA و OB O B به‌ترتیب 4 4 و 2 2 است. بنابراین، مساحت OAB OAB به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

S=OAOB2=422=4. \large S = \frac { { \left| { O A } \right| \cdot \left| {O B } \right| }} { 2 } = \frac { { 4 \cdot 2 } } { 2 } = 4 .

مثال ۴

زاویه بین خط مماس بر دل‌گون  r=a(1+cosθ) r = a\left( {1 + \cos \theta } \right) و بردار شعاعی را در نقطه مماس به‌دست آورید.

شکل مثال ۴

حل: زاویه مورد نظر را با فرمول زیر محاسبه می‌کنیم:

tanω=rrθ. \large \tan \omega = \frac { r } { { { r ’_ \theta } } } .

با جایگذاری r r در فرمول اخیر داریم:

rθ=[a(1+cosθ)]=asinθ. \large { { r ’ _ \theta } = {\left[ { a \left( { 1 + \cos \theta } \right)} \right] ^ \prime } } = { – a \sin \theta . }

در نتیجه، مقدار تانژانت برابر است با:

$$ \large \require {cancel}<br /> {\tan \omega = \frac { { a \left( { 1 + \cos \theta } \right) } } { { \left( { – a \sin \theta } \right) } } }<br /> = { – \frac { { 1 + \cos \theta } } { { \sin \theta } } } \\ \large<br /> = { – \frac { { \cancel { 2 } { { \cos } ^ { \cancel { 2 } } } \frac{\theta } { 2 } } } { { \cancel { 2 } \sin \frac { \theta } { 2 } \cancel { \cos \frac { \theta } { 2 } } } } }<br /> = { – \cot \frac{\theta } { 2 } }<br /> = { \tan \left( { \frac {\theta } { 2 } + \frac { \pi } { 2 } } \right) . } $$

بنابراین، زاویه بین خط مماس و بردار شعاعی، به‌صورت زیر است:

ω=θ2+π2. \large \omega = \frac { \theta } { 2 } + \frac { \pi } { 2 } .

مثال ۵

معادله خط عمود بر بیضی  x24+y21=1 \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1 را در نقطه  (1,32) \left( {1,{\large\frac{{\sqrt 3 }}{2}\normalsize}} \right) به‌دست آورید.

منحنی مثال ۵

حل: ابتدا مقدار  y(x) y’\left( x \right) را با استفاده از مشتق‌گیری ضمنی به‌دست می‌آوریم:

(x24+y21)=1,    2x4+2yy=0,    4yy=x,    y=x4y. \large { { \left( { \frac { { { x ^ 2 } } } { 4 } + \frac { { { y ^ 2 } } } { 1 } } \right) ^ \prime } = 1′,\;\;}\\ \large \Rightarrow { \frac { { 2 x } } { 4 } + 2 y y ’ = 0,\;\;} \Rightarrow { 4 y y ’ = – x ,\;\;}\Rightarrow { y ’ = – \frac { x } { { 4 y } } . }

مشتق در نقطه مماس برابر است با:

y(x0,y0)=y(1,32)=1432=123. \large { y ’ \left( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right) = y ’ \left( { 1 , \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right) } = { – \frac { 1 } { { \frac { { 4 \sqrt 3 } } { 2 } } } } = { – \frac { 1 } { { 2 \sqrt 3 } } . }

در نتیجه، معادله خط قائم به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

yy0=1y(x0,y0)(xx0),    y32=1(123)(x1),    y32=23x23,    y=23x23+32,    y=23x3323,46x2,60. \large { y – { y _ 0 } = – \frac { 1 } { { y ’ \left( { { x _ 0 } , { y _ 0 } } \right) } } \left( { x – { x _ 0 } } \right),\;\;}\Rightarrow { y – \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } = – \frac { 1 } { { \left( { – \frac { 1 } { { 2 \sqrt 3 } } } \right) } } \left( { x – 1 } \right),\;\;} \\ \large\Rightarrow { y – \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } = 2 \sqrt 3 x – 2\sqrt 3 ,\;\;}\Rightarrow { y = 2 \sqrt 3 x – 2 \sqrt 3 + \frac { { \sqrt 3 } }{ 2 },\;\; } \\ \large \Rightarrow { y = 2 \sqrt 3 x – \frac { { 3 \sqrt 3 } } { 2 } } \approx { 3,46x – 2,60.}

مثال ۶

معادله خطوط مماس و قائم بر ستاره‌گون  x=acos3t,y=asin3t x = a\,{\cos ^3}t,y = a\,{\sin ^3}t را در نقطه  t=π4 t = \large\frac{\pi }{4}\normalsize به‌دست آورید.

حل: ابتدا مشتقات تابع پارامتری را محاسبه می‌کنیم:

xt=(acos3t)=3acos2tsint;yt=(asin3t)=3asin2tcost. \large { { x ’ _ t } = { \left( { a \, { { \cos } ^ 3 } t } \right) ^ \prime } = – 3 a \,{ \cos ^ 2 } t \sin t; } \\ \large { { y ’ _ t } = { \left ( { a \, { { \sin } ^ 3 } t } \right) ^ \prime } = 3 a \,{ \sin ^ 2 } t \cos t . }

در نتیجه، داریم:

yx=ytxt=3asin2tcost(3acos2tsint)=sintcost=tant. \large { { y ’ _ x } = \frac { { { y ’ _ t } } } { { { x ’ _ t } } } } = { \frac { { 3 a\,{ { \sin } ^ 2 } t \cos t}}{{\left( { – 3a\,{{\cos } ^ 2 } t \sin t } \right)}} } = { – \frac { { \sin t } } { { \cos t } } } = { – \tan t . }

حاصل را می‌توانیم به‌صورت زیر بنویسیم:

 –tant=tan(πt). \large – \tan t = \tan \left( {\pi – t} \right).

منحنی مثال ۶

از آن‌جایی که  tanα=yx=tan(πt) \tan \alpha = {y’_x} = \tan \left( {\pi – t} \right) ، زاویه α \alpha ‌ برابر است با:

α=πt=ππ4=3π4=135. \large { \alpha = \pi – t } = { \pi – \frac { \pi } { 4 } } = { \frac { { 3 \pi } } { 4 } = 135 ^ { \circ } . }

بنابراین، مشتق و در نتیجه شیب خط مماس بر ستاره‌گون، برابر است با:

yx(π4)=tan3π4=1. \large { y ’ _ x } \left( { \frac { \pi } { 4 } } \right) = \tan \frac { { 3 \pi } } { 4 } = – 1 .

مختصات نقطه مماس در دستگاه کارتزین به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

x0=x(π4)=a ,cos3π4=a(22)3=a24, \large { { x _ 0 } = x \left( { \frac { \pi } { 4 } } \right) } = { a\ , { \cos ^ 3 } \frac { \pi } { 4 } } = { a { \left( { \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } } \right) ^ 3 } } = { \frac { { a \sqrt 2 } } { 4 } , }

y0=y(π4)=a ,sin3π4=a(22)3=a24. \large { { y _ 0 } = y \left( { \frac { \pi } { 4 } } \right) } = { a\ , { \sin ^ 3 } \frac { \pi } { 4 } } = { a { \left( { \frac { { \sqrt 2 } } { 2 } } \right) ^ 3 } } = { \frac { { a \sqrt 2 } } { 4 } . }

اکنون می‌توان معادله خط مماس را نوشت:

yy0=yx(x0)(xx0),    ya24=1(xa24),    ya24=x+a24,    y=x+a22 \large { y – { y _ 0 } = { y ’ _ x }\left( { { x _ 0 } } \right)\left( { x – { x _ 0 } } \right),\;\;}\Rightarrow { y – \frac { { a \sqrt 2 } } { 4 } = – 1 \left( { x – \frac { { a \sqrt 2 } } { 4 } } \right),\;\;} \\ \large \Rightarrow { y – \frac { { a \sqrt 2 } } { 4 } = – x + \frac { { a \sqrt 2 } } { 4 },\;\;}\Rightarrow { y = – x + \frac { { a \sqrt 2 } } { 2 } }

و معادله خط عمود بر آن برابر است با:

yy0=1yx(x0)(xx0),    ya24=1(1)(xa24),    ya24=xa24,    y=x. \large { y – { y _ 0 } = – \frac { 1 } { { { { y ’ } _ x }\left( { { x _ 0 } } \right) } } \left( { x – { x _ 0 } } \right),\;\;} \\ \large \Rightarrow { y – \frac { { a \sqrt 2 } } { 4 } = – \frac { 1 } { { \left( { – 1 } \right) } } \left( { x – \frac { { a \sqrt 2 } } { 4 } } \right),\;\;} \\ \large \Rightarrow{y – \cancel{\frac{{a\sqrt 2 }}{ 4 } } = x – \cancel{\frac{{a\sqrt 2 } } { 4}},\;\;}\Rightarrow{y = x.}

بر اساس رای ۱۷ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *