حل معادله کسری – توضیح به زبان ساده

معادله‌هایی که شامل توابع کسری هستند را به اصطلاح معادله کسری می‌گویند. به بیان دیگر کسرهایی که در صورت یا مخرج شامل متغیر هستند معادله کسری گفته می‌شود. در این مطلب از مجله فرادرس به بررسی حل معادله کسری با روش طرفین وسطین و مخرج مشترک می‌پردازیم. هر دو این روش‌ها درواقع برای حذف مخرج کسر استفاده می‌شوند. در ادامه مثال‌های متنوعی برای تکمیل این موضوع ارائه خواهد شد. پس اگر به این موضوع علاقه‌مند هستید این مطلب را تا انتها مطالعه کنید.

آشنایی با معادله کسری

به کسرهایی که در صورت یا مخرج خود شامل حداقل یک متغیر باشند معادله کسری می‌گویند. به عبارت دیگر معادله‌هایی که شامل توابع کسری هستند معادله کسری می‌گویند. همان‌طور که می‌دانید توابع کسری شامل صورت و مخرج هستند و متغیرها می‌توانند در صورت یا مخرج یا در هر دو آن‌ها وجود داشته باشند. همچنین در صورت و مخرج ممکن است توابع دیگری مانند نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی و غیره باشد. در مجله فرادرس، راجع به «فرمول‌های ریاضی هشتم» صحبت کرده‌ایم. در این مطلب، می‌خواهیم به بررسی و حل انواع معادله‌های کسری درجه اول و دوم بپردازیم.

برای یادگیری بیشتر و بهتر معادله می‌توانید فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم فرادرس را از لینک زیر مشاهده کنید.

چگونه معادله کسری را محاسبه کنیم؟

همان‌طور که پیش‌تر اشاره شد، معادله‌هایی که شامل توابع کسری هستند را معادله کسری می‌گویند. در معادله‌های کسری ممکن است شامل یک متغیر یا بیشتر باشند. همچنین متغیرها می‌توانند درجه اول یا بیشتر باشند. برای حل معادله کسری باید با روش ضرب طرفین وسطین یا محاسبه کوچکترین مضرب مشترک مخرج‌ها اقدام به حذف تمامی مخرج‌ها کرد. سپس می‌توان معادله ساده شده را به راحتی حل کرد. در ادامه به بررسی روش‌های حل معادله کسری با مثال‌های متنوع خواهیم پرداخت.

برای یادگیری بیشتر کسرها می‌توانید فیلم آموزش ریاضی پایه نهم فرادرس را از لینک زیر مشاهده کنید.

روش‌های حل معادله کسری

هدف کلی در حل معادله کسری، استاندارد کردن شکل معادله است و روش‌های مختلفی برای ساده کردن معادله کسری وجود دارد که در مجله فرادرس نیز راجع به آن‌ها صحبت کرده‌ایم و در ادامه آورده شده است:

• ضرب طرفین وسطین
• مخرج مشترک گرفتن

با هر روشی که انتخاب کنید به هدف تعیین شده خواهید رسید و سپس می‌توانید معادله استاندارد شده را حل کنید. برای یادگیری بیشتر معادله کسری می‌توانید فیلم آموزش ریاضی پایه یازدهم فرادرس را از لینک زیر مشاهده کنید.

حل معادله کسری با روش ضرب طرفین وسطین

در این قسمت به توضیح روش طرفین وسطین در حل معادله کسری می‌پردازیم و مثال‌های با متغیرهای درجه اول و دوم ارائه خواهند شد.

ضرب طرفین وسطین معادله درجه اول

اگر در دو طرف تساوی فقط یک کسر داشته باشیم و بیشترین توان یا درجه متغیر یک باشد، آنگاه از این روش استفاده می‌کنیم.

$$\frac{A}{B}=\frac{C}{D} \Leftrightarrow AD=CB$$

برای درک بهتر به مثال‌های زیر توجه کنید.

مثال اول حل معادله کسری درجه اول

می‌خواهیم معادله کسری زیر را حل کنیم.

$$\frac{3}{x}=\frac{9}{20}$$

پاسخ:

از آنجا که دو کسر در عبارت بالا داریم برای حذف مخرج هر دو کسر از طرفین وسطین استفاده می‌کنیم.

$$3 \times 20=9 \times x$$

پس از طرفین وسطین به یک معادله خطی تک مجهولی می‌رسیم.

$$ 60=9 x$$

پس از ساده‌سازی حاصل معادله به شکل زیر خواهد بود.

$$x=\frac{60}{9}=\frac{20}{3}$$

مثال دوم حل معادله کسری درجه اول

معادله کسری زیر را محاسبه کنید.

$$\frac{x-2}{x+2}=\frac{3}{5}$$

پاسخ:

در این مثال صورت و مخرج کسر سمت چپ شامل متغیر است که با ضرب طرفین وسطین کسرها، معادله به شکل زیر تبدیل می‌شود.

$$5 \times(x-2)=3 \times(x+2)$$

با انجام ضرب پرانتزها را در طرفین تساوی حذف می‌کنیم.

$$5 x-10=3 x+6$$

به یک معادله خطی رسیدیم که باید برای حل آن متغیر $$x$$ را جدا کنیم.

$$5 x-3 x=10+6$$

$$2 x=16$$

بنابراین جواب معادله به صورت زیر خواهد بود.

$$x=8$$

مثال سوم حل معادله کسری درجه اول

می‌خواهیم معادله کسری $$\frac{3}{x-3}=\frac{4}{x-5}$$ را حل کنیم.

پاسخ:

در این مثال مخرج کسر هر دو طرف تساوی شامل متغیر است که با ضرب طرفین وسطین معادله به شکل زیر تبدیل می‌شود.

$$3 \times(x-5)=4 \times(x-3)$$

با انجام ضرب پرانتزها را در طرفین تساوی حذف می‌کنیم.

$$3 x-15=4 x-12$$

به یک معادله خطی رسیدیم که باید برای حل آن متغیر $$x$$ را جدا کنیم.

$$3 x-4 x=15-12$$

در نتیجه جواب معادله به صورت زیر خواهد بود.

$$x=-3$$

مثال چهارم حل معادله کسری درجه اول

معادله زیر را حل کنید.

$$\frac{3}{x}=15\nonumber$$

پاسخ:

در این مثال طرف راست تساوی یک عدد ثابت است که می‌توان با در نظر گرفتن مخرج یک برای آن مانند یک کسر با آن رفتار کرد.

$$\frac{3}{x}=\frac{15}{1}\nonumber$$

با انجام ضرب طرفین وسطین معادله ساده می‌شود.

$$3 \times 1=15$$

سپس معادله خطی درجه اول را حل می‌کنیم.

$$3=15 x$$

$$x=\frac{3}{15}=\frac{3 \times 1}{3 \times 5}=\frac{1}{5}$$

مثال پنجم حل معادله کسری درجه اول

می‌خواهیم معادله زیر را با دو روش طرفین وسطین و مخرج مشترک حل کنیم.

$$\frac{3}{4}-\frac{1}{8 x}=0$$

پاسخ:

در روش اول ابتدا باید در دو طرف تساوی یک کسر وجود داشته باشد بنابراین خواهیم داشت:

$$\frac{3}{4}=\frac{1}{8 x}$$

سپس می‌توانیم ضرب طرفین وسطین را انجام دهیم.

$$24x=4$$

به یک معادله خطی درجه اول رسیدم که با حل آن به جواب می‌رسیم.

$$x=\frac{1}{6}$$

در روش دوم می‌توانیم با محاسبه کوچکترین مضرب مشترک مخرج کسرها معادله را ساده کنیم.

$$\frac{3 \times 2 x}{8 x}-\frac{1}{8 x}=0$$

در رابطه فوق $$8x$$ را به عنوان مخرج مشترک در نظر گرفتیم. در مرحله بعد می‌توانیم با دو کسر را از یکدیگر کم کنیم.

$$\frac{6 x-1}{8 x}=0$$

با توجه به اینکه سمت راست معادله برابر صفر است، معادله را به شکل زیر حل می‌کنیم.

$$6 x-1=0$$

بنابراین جواب در این روش نیز مانند روش اول است.

$$x=\frac{1}{6}$$

ضرب طرفین وسطین معادله درجه دوم

اگر بیشترین توان یا درجه متغیر دو باشد و دو طرف معادله یک کسر وجود داشته باشد، از روش طرفین وسطین برای ساده کردن معادله استفاده می‌کنیم سپس از روش دلتا یا هر روش مناسب دیگری برای بدست آوردن جواب متغیر استفاده خاوهیم کرد. برای درک بهتر این موضوع به مثال‌های زیر توجه کنید.

مثال اول حل معادله کسری درجه دوم

می‌خواهیم معادله کسری درجه دوم زیر را حل کنیم.

$$\frac{x^2}{5}=4$$

پاسخ:

برای درک بهتر سمت راست معادله را به شکل زیر می‌نویسیم.

$$\frac{x^2}{5}=\frac{4}{1}$$

در مرحله بعد طرفین وسطین انجام می‌دهیم.

$$x^2 \times 1= 4 \times 5$$

$$x^2 =20$$

بنابراین جواب معادله به صورت زیر خواهد بود:

$$x =\pm2 \sqrt 5$$

مثال دوم حل معادله کسری درجه دوم

معادله کسری درجه دوم زیر را حل کنید.

$$\frac{x^2}{4}-2=3$$

پاسخ:

برای حل این مثال ابتدا ۲- را به سمت راست معادله می‌بریم.

$$\frac{x^2}{4}=3+2=5$$

سپس برای بهتر فهمیدن حل این مثال در سمت راست این معادله مخرج را یک می‌نویسیم و بعد طرفین وسطین می‌کنیم.

$$\frac{x^2}{4}=\frac{5}{1}$$

$$x^2 \times 1= 4 \times 5$$

$$x^2 =20$$

در نتیجه جواب معادله به شکل زیر است:

$$x =\pm2 \sqrt 5$$

چگونه حل معادلات کسری را یاد بگیریم؟

برای فهم بهتر معادلات کسری بهتر است که ابتدا مفاهیم پایه‌ای مانند انواع توابع، عملیات جبری و غیره را بیاموزید. پس از درک مفاهیم پایه می‌توانید معادلات کسری پیچیده‌تری را حل کنید که شامل توابع نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی و غیره هستند.

در مرحله بعد می‌توانید به سراغ مباحث پیشرفته‌تری بروید مانند حل معادلات کسری درجه دوم که روش‌های مختلفی برای آن وجود دارد. در نهایت، با استفاده از فیلم‌های آموزشی موجود در فرادرس، می‌توانید مفاهیم مورد نیاز برای حل معادله کسری را بیاموزید و مهارت‌های خود در این زمینه را گسترش بدهید.

• فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم فرادرس
• فیلم آموزش ریاضی پایه نهم فرادرس
• فیلم آموزش ریاضی پایه یازدهم فرادرس

همچنین فرادرس دروس متنوع و کاربردی را در زمینه ریاضی منتشر کرده است که اگر به این موصوع علاقه‌مند هستید می‌توانید آن‌ها را از طریق لینک زیر مشاهد کنید.

• مجموعه فیلم آموزش ریاضیات فرادرس

حل معادله کسری با محاسبه مخرج مشترک

در این بخش حل معادله کسری با روش محاسبه مخرج مشترک توضیح داده خواهد شد.

مخرج مشترک گرفتن در معادله درجه اول

اگر در معادله داده شده، توان یا درجه متغیر حداکثر یک باشد و بیش از دو کسر وجود داشت آنگاه با مخرج مشترک گرفتن می‌توان مخرج تمام کسر‌ها را از بین برد و معادله را ساده‌تر کرد بدین منظور از کوچکترین مضرب مشترک یا (ک.م.م) بین مخرج‌ها استفاده می‌کنیم و مقدار بدست آمده را در کل عبارت ضرب می‌کنیم تا مخرج‌ها از بین بروند.

برای فهم بهتر این موضوع به مثال‌های زیر توجه کنید.

مثال اول حل معادله کسری درجه اول با روش مخرج مشترک

معادله کسری زیر را حل کنید.

$$\frac{x}{6}+\frac{2}{3 x}=\frac{2}{3}$$

پاسخ:

در سمت چپ مثال فوق دو کسر داریم که هردو شامل متغیر هستند و در سمت راست معادله کسری با عدد ثابت داریم. برای حل اینگونه مثال‌ها باید مخرج مشترک برای  کسرهای سمت چپ را محاسبه کرد که در اینجا $$6x$$ به عنوان مخرج مشترک در نظر گرفته شده است.

$$\frac{x \times x}{6 x}+\frac{2 \times 2}{6 x}=\frac{2}{3}$$

$$\frac{x^{2}+4}{6 x}=\frac{2}{3}$$

$$\left(x^{2}+4\right) \times 3=6 x \times 2$$

پس از مرتب کردن و ساده‌سازی عبارت فوق به یک معادله درجه دوم می‌رسیم.

$$3 x^{2}+12=12 x$$

$$3 x^{2}-12 x+12=0$$

عدد ۳ را از معادله فوق فاکتور می‌گیریم.

$$3\left(x^{2}-4 x+4\right)=0$$

معادله درجه دوم فوق را می‌توانیم با استفاده از اتحاد جمله مشترک ساده کنیم و به جای حل یک معادله درجه دوم، دو معادله درجه یک حل کنیم.

$$3(x-2)(x-2)=0$$

طرفین معادله را تقسیم بر ۳ می‌کنیم.

$$\frac{3(x-2)(x-2)}{3}=\frac{0}{3}$$

$$(x-2)(x-2)=0$$

بنابراین جواب معادله به صورت زیر خواهد بود.

$$x=2$$

مثال دوم حل معادله کسری درجه اول با روش مخرج مشترک

می‌خواهیم معادله زیر را حل کنیم.

$$\frac{3}{2}-\frac{9}{2 x}=\frac{3}{5}$$

پاسخ:

در این مثال سه کسر داریم که فقط یکی از آن‌ها شامل متغیر درجه اول است. برای حل این معادله کسری باید برای همه‌ی کسرها مخرج بگیریم. مقدار $$10x$$ را به عنوان مخرج مشترک در نظر می‌گیریم و در کل جملات ضرب می‌کنیم.

$$\frac{10 x \times 3}{2}-\frac{10 x \times 9}{2 x}=\frac{10 x \times 3}{5}$$

سپس با کمی ساده‌سازی مخرج همه کسرها را حذف می‌کنیم.

$$\frac{5 x \times 3}{1}-\frac{5 \times 9}{1}=\frac{2 x \times 3}{1}$$

$$5 x \times 3-5 \times 9=2 x \times 3$$

با مرتب کردن کردن جملات به یک معادله ساده درجه اول می‌رسیم.

$$15 x-45=6 x$$

$$15 x-6 x=45$$

در نتیجه پاسخ نهایی معادله به شکل زیر خواهد بود.

$$x=5$$

مثال سوم حل معادله کسری درجه اول با روش مخرج مشترک

معادله کسری زیر را با مخرج مشترک گرفتن حل کنید.

$$\frac{2}{x}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$$

پاسخ:

در این مثال نیز سه کسر داریم که فقط یکی از آن‌ها متغیر دارد. مقدار $$$$ را به عنوان مخرج مشترک هر سه کسر تعیین می‌کنیم و در کل عبارت ضرب می‌کنیم.

$$(6x)\frac{2}{x}+(6x)\frac{1}{3}=(6x)\frac{1}{2}$$

$$\frac{12x}{x}+\frac{6x}{3}=\frac{6x}{2}$$

در مرحله بعد با کمی ساده‌سازی مخرج تمام کسرها را حذف می‌کنیم.

$$12+2x=3x$$

با مرتب کردن کردن جملات به یک معادله ساده درجه اول می‌رسیم.

$$12=3x-2x$$

در نهایت، جواب معادله به صورت زیر است.

$$12=x$$

مثال چهارم حل معادله کسری درجه اول با روش مخرج مشترک

می‌خواهیم معادله کسری $$\dfrac{3}{4}x - \dfrac{7}{2} = \dfrac{5}{6}$$ را با مخرج مشترک گرفتن حل کنیم.

پاسخ:

در این مثال می‌توان ۱۲ را به عنوان مخرج مشترک در نظر گرفت و در همه جملات ضرب کرد تا مخرج کل کسرها حذف شود.

$$\dfrac{3}{4}x(12) - \dfrac{7}{2}(12) = \dfrac{5}{6}(12)$$

با ساده‌سازی و مرتب کردن جملات به یک معادله درجه اول می‌رسیم.

$$3x(3) - 7(6) = 5(2)$$

$$9x-42=10$$

$$9x=10+42=52$$

بنابراین جواب معادله به صورت زیر خواهد بود.

$$x=\dfrac{52}{9}$$

مثال پنجم حل معادله کسری درجه اول با روش مخرج مشترک

معادله کسری $$\dfrac{3\left(\dfrac{5}{9}x+\dfrac{4}{27}\right)}{2}=3$$ را با مخرج مشترک گرفتن حل کنید.

پاسخ:

در اینجا ابتدا ۲ را در کل معادله ضرب می‌کنیم.

$$\left(2\right) \dfrac{3 \left(\dfrac{5}{9}x+ \dfrac{4}{27} \right)}{2}= 3(2)$$

$$3 \left( \dfrac{5}{9}x+ \dfrac{4}{27} \right)=6$$

سپس کل عبارت فوق را بر ۳ تقسیم می‌کنیم.

$$\dfrac{5}{9}x + \dfrac{4}{27} = 2$$

برای حذف ۹ و ۲۷ در مخرج باید مخرج مشترک بگیریم که در اینجا ۲۷ به عنوان مخرج مشترک تعیین می‌شود و آن را در کل عبارت ضرب می‌کنیم.

$$\dfrac{5}{9}x \left(27 \right) + \dfrac{4}{27} \left(27 \right) = 2(27)$$

در نتیجه با ساده‌سازی جملات فوق به یک معادله درجه اول می‌رسیم.

$$5x(3)+4=54$$

$$15x=50$$

بنابراین پاسخ این مثال به شکل زیر خواهد بود.

$$x= \dfrac{50}{15}= \dfrac{10}{3}$$

مثال ششم حل معادله کسری درجه اول با روش مخرج مشترک

می‌خواهیم معادله زیر را حل کنیم.

$$\dfrac{3}{5}\left(1 + p\right) = \dfrac{21}{20}$$

پاسخ:

ابتدا کل عبارت فوق را در عدد ۲۰ ضرب می‌کنیم، با این کار مخرج تمام کسرها حذف می‌شود.

$$\left( \dfrac{3}{5} \left(1 + p \right) = \dfrac{21}{20} \right)(20)$$

$$\dfrac{3}{1} \times 4(1 + p) = \dfrac{21}{1}$$

با ضرب کردن و ساده‌سازی به معادله زیر می‌رسیم.

$$12+12p=\phantom{-}21$$

$$12p=\phantom{-}21-12=9$$

در نتیجه پاسخ نهایی معادله به شکل زیر خواهد بود.

$$p= \dfrac{3}{4}$$

مثال هفتم حل معادله کسری درجه اول با روش مخرج مشترک

معادله کسری زیر را حل کنید.

$$-\dfrac{1}{2} = \dfrac{3k}{2} + \dfrac{3}{2}$$

پاسخ:

برای اینکه بتوانیم مخرج کل عبارت را حذف کنیم، کل عبارت فوق را در ۲ ضرب می‌کنیم.

$$\left(-\dfrac{1}{2} = \dfrac{3k}{2} + \dfrac{3}{2} \right)(2)$$

با این کار به یک معادله درجه اول ساده رسیدیم.

$$-1=3k+3$$

با کمی ساده‌سازی جواب نهایی به صورت زیر خواهد بود.

$$k=- \dfrac{4}{3}$$

مثال هشتم حل معادله کسری

می‌خواهیم معادله کسری زیر حل کنیم.

$$0 = -\dfrac{5}{4} \left(x- \dfrac{6}{5} \right)$$

پاسخ:

در این مثال مقدار ۲۰ را به عنوان مخرج مشترک در کل عبارت فوق ضرب می‌کنیم.

$$(20)0 = -\dfrac{5}{4} \left(x- \dfrac{6}{5} \right)(20)$$

$$0=-25(20x-24)=-1000x+600$$

معادله درجه یک را به شکل زیر حل می‌کنیم.

$$600=1000x \rightarrow x= \frac{600}{1000}=0.6$$

مثال نهم حل معادله کسری

مقدار $$x$$ را در معادله زیر حساب کنیم.

$$\dfrac{41}{9} = \dfrac{5}{2} \left(x+ \dfrac{2}{3} \right) - \dfrac{1}{3}x$$

پاسخ:

با توجه به مقادیر موجود در مخرج کسرها، عدد ۱۸ کوچک‌ترین مضرب مشترک بین آن‌ها است و آن را در کل عبارت ضرب می‌کنیم.

$$\left( \dfrac{41}{9} = \dfrac{5}{2}x+ \dfrac{10}{6} - \dfrac{1}{3}x \right)(18)$$

$$41 \times 2=5x \times 9+10 \times 3-x \times 6$$

$$82=45x+30-6x$$

$$\dfrac{52}{39}=\dfrac{39x}{39}$$

در نتیجه مقدار $$x$$ به صورت زیر است.

$$x= \dfrac{4}{3}$$

مثال دهم حل معادله کسری

می‌خواهیم مقدار $$a$$ را در معادله کسری زیر حساب کنیم.

$$-a - \dfrac{5}{4} \left(- \dfrac{8}{3}a+ 1 \right) = - \dfrac{19}{4}$$

پاسخ:

ابتدا کسر $$ \dfrac{5}{4}$$ را در پرانتز ضرب می‌کنیم.

$$-a + \dfrac{40}{12}a- \dfrac{5}{4} = - \dfrac{19}{4}$$

عدد ۱۲ کوچک‌ترین مضرب مشترک بین آن‌ها است در نتیحه آن را در کل عبارت ضرب می‌کنیم تا مخرج همه کسرها حذف شود.

$$\left(-a + \dfrac{40a}{12}- \dfrac{5}{4}= - \dfrac{19}{4} \right)(12)$$

$$ -12a+40a-15=-57$$

$$\dfrac{28a}{28}=\dfrac{-42}{28}$$

بنابراین مقدار $$a$$ به صورت زیر است.

$$a=- \dfrac{3}{2}$$

مثال یازدهم حل معادله کسری

معادله کسری زیر را محاسبه کنید.

$$\dfrac{1}{3} \left(- \dfrac{7}{4}k + 1 \right) - \dfrac{10}{3}k = -\dfrac{13}{8}$$

پاسخ:

برای محاسبه مقدار $$k$$ باید ابتدا کسر $$ \dfrac{1}{3}$$ را در پرانتز ضرب می‌کنیم. بنابراین خواهیم داشت:

$$-\dfrac{7k}{12}+ \dfrac{1}{3}- \dfrac{10k}{3}=- \dfrac{13}{8} $$

برای از بین بردن مخرج همه کسرها باید عدد ۲۴ که کوچک‌ترین مضرب مشترک بین آن‌ها است در کل عبارت ضرب کنیم.

$$\left(- \dfrac{7k}{12}+ \dfrac{1}{3}- \dfrac{10k}{3}=- \dfrac{13}{8}  \right)(24)$$

$$-14k+8-80k=-39$$

$$\dfrac{-94k}{-94}= \dfrac{-47}{-94}$$

در نتیجه مقدار $$k$$ به صورت زیر است.

$$k= \dfrac{1}{2}$$

مثال دوازدهم حل معادله کسری

می‌خواهیم مقدار $$x$$ را در معادله کسری زیر بدست آوریم.

$$\frac{4}{x}+\frac{2}{6}=\frac{5}{x}$$

پاسخ:

برای مخرج مشترک گرفتن باید کوچکترین مضرب مشترک بین همه کسرها را پیدا کنیم که در اینجا $$6x$$ است که آن را در کل عبارت ضرب می‌کنیم.

$$(6x) \left( \frac{4}{x} \right) + (6x) \left( \frac{2}{6} \right) = (6x) \left( \frac{5}{x} \right)$$

پس از ساده کردن عبارت فوق خواهیم داشت:

$$24 + 2x = 30$$

در نتیجه جواب این معادله به صورت زیر خواهد بود:

$$2x = 6$$

$$x=3$$

مثال سیزدهم حل معادله کسری

مقدار $$x$$ را در معادله کسری $$\frac{2}{x} + \frac{1}{4} = \frac{5}{3x}$$ محاسبه کنید.

پاسخ:

جهت از بین بردن مخرج همه کسرها کل عبارت را در $$12x$$ ضرب می‌کنیم.

$$ 12(x)\left(\frac{2}{x}\right) + 12(x)\left(\frac{1}{4}\right) = 12(x)\left(\frac{5}{3x}\right)$$

سپس عبارت فوق را ساده می‌کنیم تا به یک معادله خطی درجه اول ساده برسیم.

$$24 + 3x = 20$$

$$ 3x = -4$$

بنابراین جواب نهایی این معادله به شکل زیر است.

$$ x = \frac{-4}{3}$$

مثال چهاردهم حل معادله کسری

مقدار $$m$$ را در معادله کسری زیر حساب کنید.

$$\frac{3}{4} - \frac{5m}{4} = \frac{108}{24}$$

پاسخ:

در این مثال کوچکترین مضرب مشترک بین مخرج کسرها عدد ۲۴ است. در نتیجه آن را در کل عبارت ضرب می‌کنیم.

$$24\left(\frac{3}{4}\right) - 24\left(\frac{5m}{4}\right) = 24\left(\frac{108}{24}\right)$$

پس از ساده‌سازی به یک معادله خطی درجه یک ساده می‌رسیم.

$$6(3) - 6(5m) = 108$$

$$18 - 30m = 108$$

$$ -30m = 90$$

در نهایت، جواب معادله به صورت زیر است:

$$m = -3$$

مخرج مشترک گرفتن در معادله درجه دوم

اگر بیش از دو تابع کسری داشتیم و بیشترین توان یا درجه متغیر دو بود، باید ابتدا با مخرج مشترک گرفتن بین کسرها عبارت را تا جای ممکن ساده کرد و سپس معادله درجه دوم را با روش دلتا یا هر روش مناسب دیگری حل کنیم تا مقدار متغیر را بدست آوریم.

مثال اول حل معادله کسری

معادله کسری درجه دوم زیر را حل کنید.

$$\dfrac{55}{6} = - \dfrac{5}{2} \left( \dfrac{3}{2}p^2- \dfrac{5}{3} \right)$$

پاسخ:

اولین مرحله برای ساده کردن و بدست آوردن مقدار $$p$$، ضرب کسر $$- \dfrac{5}{2}$$ در پرانتز است.

$$\dfrac{55}{6} = - \dfrac{15p^2}{4}+ \dfrac{25}{6}$$

سپس عدد ۱۲ که کوچک‌ترین مضرب مشترک بین آن‌ها است در کل عبارت ضرب کنیم تا مخرج تمام کسرها را حذف کنیم.

$$\left(\dfrac{55}{6} = -\dfrac{15p^2}{4}+\dfrac{25}{6}\right)(12)$$

$$110=-45p^2+50$$

$$60=-45p^2$$

$$p^2=-\dfrac{4}{3}$$

از آنجا که $$p^2$$ منفی شد، در نتیجه معادله فاقد جواب حقیقی است.

مثال دوم حل معادله کسری

می‌خواهیم معادله کسری درجه دوم $$- \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{2}{3}x^2- \dfrac{3}{4} \right)- \dfrac{7}{2}x^2=- \dfrac{83}{24}$$ را حل کنیم.

پاسخ:

برای حل این مثال باید کسر $$- \dfrac{1}{2}$$ را در پرانتز ضرب کنیم.

$$\left (- \dfrac{2x^2}{6}+ \dfrac{3}{8}- \dfrac{7x^2}{2}=- \dfrac{83}{24} \right)(24)$$

.برای حذف مخرج کسرها عدد ۲۴ را که کوچک‌ترین مضرب مشترک بین آن‌ها است در کل عبارت ضرب کنیم. در نتیجه خواهیم داشت:

$$\left (- \dfrac{2x^2}{6}+ \dfrac{3}{8}- \dfrac{7x^2}{2}=- \dfrac{83}{24} \right)(24)$$

$$-8x^2+9-84x^2=-83$$

$$\dfrac{-92x^2}{-92}= \dfrac{-92}{-92}$$

$$x^2=1$$

بنابراین جواب معادله درجه دوم به صورت زیر خواهد بود:

$$x= \pm 1$$

مثال سوم حل معادله کسری

می‌خواهیم معادله کسری درجه دوم زیر را حل کنیم.

$$- \dfrac{5}{8}= \dfrac{5}{4} \left(r^2- \dfrac{3}{2} \right)$$

جهت ساده‌سازی معادله فوق باید کسر $$\dfrac{5}{4}$$ را ذز پرانتز ضرب کنیم.

$$- \dfrac{5}{8}= \dfrac{5}{4}r^2- \dfrac{15}{8}$$

در مرحله بعد باید مخرج مشترک بگیریم که چون عدد ۸ کوچک‌ترین مضرب مشترک بین آن‌ها است باید آن را در کل عبارت فوق ضرب کنیم.

$$\left(- \dfrac{5}{8}= \dfrac{5}{4}r^2- \dfrac{15}{8} \right)(8)$$

$$-5=10r^2-15$$

$$10=10r^2$$

در نتیجه جواب معادله درجه دوم به شکل زیر خواهد بود:

$$r^2= \pm 1$$

مثال چهارم حل معادله کسری

معادله کسری درجه دوم زیر را محاسبه کنید.

$$\dfrac{1}{12}= \dfrac{4}{3}x^2+ \dfrac{5}{3} \left(x^2- \dfrac{7}{4} \right)$$

پاسخ:

کسر $$\dfrac{5}{3}$$ را در پرانتز معادله فوق ضرب می‌کنیم تا ساده‌تر شود.

$$\dfrac{1}{12}= \dfrac{4x^2}{3}+ \dfrac{5x^2}{3}- \dfrac{35}{12}$$

سپس برای مخرج مشترک گرفتن باید عدد ۱۲ که کوچک‌ترین مضرب مشترک بین آن‌ها است در کل عبارت ضرب می‌کنیم تا مخرج کل کسرها حذف شود.

$$\left( \dfrac{1}{12}= \dfrac{4x^2}{3}+ \dfrac{5x^2}{3}- \dfrac{35}{12} \right)(12)$$

$$ 1=16x^2+20x^2-35$$

$$36x^2=36$$

در نهایت، جواب معادله به صورت زیر لست:

$$x^2= \pm 1$$

مثال پنجم حل معادله کسری

می‌خواهیم معادله کسری درجه دوم $$- \dfrac{11}{3}+ \dfrac{3}{2}b^2= \dfrac{5}{2} \left(b^2- \dfrac{5}{3} \right)$$ را حل کنیم.

پاسخ:

به منظور ساده کردن معادله فوق ابتدا کسر $$\dfrac{5}{2} $$ را در پرانتز ضرب می‌کنیم.

$$- \dfrac{11}{3}+ \dfrac{3b^2}{2}= \dfrac{5b^2}{2}- \dfrac{25}{6}$$

در مرحله بعد باید عدد ۶ که کوچک‌ترین مضرب مشترک بین تمام مخرج‌ها است در کل عبارت ضرب می‌کنیم تا مخرج کسرها حذف شود.

$$\left(- \dfrac{11}{3}+ \dfrac{3b^2}{2}= \dfrac{5b^2}{2}- \dfrac{25}{6} \right)(6)$$

$$ -22+9b^2=15b^2-25$$

$$ 3=6b^2$$

بنابراین جواب معادله به شکل زیر است:

$$b^2= \dfrac{1}{2}$$

$$b^2= \pm \dfrac{1}{\sqrt2}$$

مثال ششم حل معادله کسری

معادله کسری درجه دوم زیر را حل کنید.

$$\dfrac{7}{6}- \dfrac{4}{3}n^2=- \dfrac{3}{2}n^2+2 \left(n^2+ \dfrac{3}{2} \right)$$

پاسخ:

عدد ۲ در معادله فوق را در پرانتز ضرب می‌کنیم سپس ساده‌سازی می‌کنیم.

$$\dfrac{7}{6}- \dfrac{4n^2}{3}=- \dfrac{3n}{2}+2n^2+3$$

در مرحله بعد عدد ۶ را در کل عبارت فوق ضرب می‌کنیم تا مخرج تمام کسرها حذف شود.

$$\left( \dfrac{7}{6}- \dfrac{4n^2}{3}=- \dfrac{3n}{2}+2n^2+3 \right)(6)$$

$$7-8n^2=-9n^2+12n^2+18$$

$$n^2=-1$$

از آنجا که حاصل $$n^2$$ منفی شد، در نتیجه معادله فاقد جواب حقیقی است.

نتیجه‌گیری

به طور معمول به معادله‌هایی که شامل توابع کسری هستند یعنی در صورت یا مخرج شامل متغیر هستند، معادله کسری گفته می‌شود. در این مطلب از مجله فرادرس آموختیم که با انجام طرفین وسطین یا مخرج مشترک گرفتن می‌توان مخرج کسرها را حذف کرد و به یک معادله خطی ساده رسید. در تکمیل این موضوع مثال‌های گوناگونی نیز ارائه شد.