مشتق ln x برابر با $$ \frac { ۱ } { x } $$ است. توابع لگاریتمی بر مبنای e (ثابت عددی اویلر برابر با ۲/۷۱۸۲۸)، با عنوان لگاریتم‌های طبیعی شناخته می‌شوند. این لگاریتم‌ها را معمولا با ln نمایش می‌دهند. فرمول‌های مختلفی برای تعیین مشتق لگاریتم‌های طبیعی وجود دارند. در این مقاله، به معرفی فرمول‌های مشتق ln به همراه حل چندین مثال و تمرین می‌پردازیم. علاوه بر این، حالت‌های مختلف مشتق‌گیری از تابع ln و معکوس این تابع (تابع نمایی ex) را نیز مورد بررسی قرار می‌دهیم.

لگاریتم چیست ؟

در ریاضیات، لگاریتم، تابع معکوس عبارت توانی است. برای درک مفهوم لگاریتم، عدد ۸ را در نظر بگیرید. این عدد، با ۲۳ برابری می‌کند. به عبارت دیگر، اگر عدد ۲ را ۳ بار در خودش ضرب کنیم، عدد ۸ به دست می‌آید. معادل این جمله به زبان ریاضی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\log _ { ۲ } ( ۸ ) = ۳
$$

به عدد ۲، مبنا و به عدد ۳، توان می‌گویند. بنابراین، لگاریتم ۸ بر مبنای ۲ برابر با ۳ است. ارتباط بین این سه عدد را می‌توان به دو فرم لگاریتمی و توانی بیان کرد:

$$
\log _ { ۲ } ( ۸ ) = ۳ \longleftrightarrow ۲ ^ ۳ = ۸
$$

عبارت‌های زیر، فرم کلی لگاریتم و عدد توان‌دار را نمایش می‌دهند:

$$
\log _ { a } ( y ) = x \longleftrightarrow a ^ x = y
$$

مطلب پیشنهادی:
لگاریتم و ویژگی های آن – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
شروع مطالعه

 مشتق لگاریتم چیست ؟

در حالت کلی، مشتق توابع لگاریتمی با فرم $$ \log _ { a } ( x ) $$، از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$
\frac { d } { d x } \log _ a ( x ) = \frac { ۱ } { x \ln ( a ) }
$$

اگر به جای x در فرمول بالا، تابعی مانند f(x) قرار داشته باشد، رابطه مشتق به شکل زیر درمی‌آید:

$$
\frac { d } { d x } \log _ a [ f ( x ) ] = \frac { f ' ( x ) } { f ( x ) \ln ( a ) }
$$

مطلب پیشنهادی:
مشتق لگاریتم و تابع نمایی — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
شروع مطالعه

لگاریتم طبیعی چیست ؟

عدد اویلر، یک ثابت عددی و برابر ۲/۷۱۸۲۸ است. در ریاضیات، این ثابت را با حرف e نمایش می‌دهند. اگر مبنای لگاریتم را برابر با عدد اویلر (e) قرار دهیم، لگاریتم طبیعی به وجود می‌آید. فرم کلی لگاریتم طبیعی به صورت زیر نشان داده می‌شود:

$$
\log _ { e } ( x ) = \ln ( x )
$$

یا

$$
\log _ { ۲/۷۱۸۲۸ } ( x ) = \ln ( x )
$$

به عنوان مثال، لگاریتم طبیعی عدد ۷/۳۸۹ یا $$ \ln ( ۷/۳۸۹ ) $$ تقریبا برابر با ۲ است:

$$
\ln ( ۷/۳۸۹ ) = \log _ { e } ( ۷/۳۸۹ ) \approx ۲
$$

به عبارت دیگر:

$$
۲/۷۱۸۲۸ ^ { ۲ } = ۷/۳۸۹
$$

$$
\log _ { ۲/۷۱۸۲۸ } ( ۷/۳۸۹ ) \approx ۲ \longleftrightarrow ۲/۷۱۸۲۸ ^ { ۲ } \approx ۷/۳۸۹
$$

مطلب پیشنهادی:
لگاریتم طبیعی (ln) چیست؟ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
شروع مطالعه

تعریف حدی عدد e

ثابت e، به صورت حد زیر تعریف می‌شود:

$$
e = \lim _ { n \rightarrow ۰ } ( ۱ + n ) ^ { \frac { ۱ } { n } }
$$

این تعریف، در اثبات فرمول مشتق ln کاربرد دارد.

مشتق نقطه ای از نمودار (تصویر تزئینی مبحث مشتق ln)
مشتق، شیب خط مماس بر هر نقطه از نمودار است.

مشتق ln چگونه بدست می آید ؟

فرمول محاسبه مشتق ln، تفاوتی با فرمول محاسبه مشتق لگاریتم ندارد. مطابق با فرمول کلی مشتق توابع لگاریتمی، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \log _ a ( x ) = \frac { ۱ } { x \ln ( a ) }
$$

ln، لگاریتمی بر مبنای e است. با در نظر داشتن این ویژگی، فرمول بالا را به شکل زیر تغییر می‌دهیم:

$$
\frac { d } { d x } \log _ e ( x ) = \frac { ۱ } { x \ln ( e ) }
$$

$$
\frac { d } { d x } \log _ e ( x ) = \frac { ۱ } { x \log _ { e } ( e ) }
$$

لگاریتم هر عددی بر مبنای خودش، برابر با عدد ۱ می‌شود. با قرار دادن عدد ۱ به جای عبارت $$ \log _ { e } ( e ) $$، فرمول مشتق ln به دست می‌آید:

$$
\frac { d } { d x } \log _ e ( x ) = \frac { ۱ } { x }
$$

$$
\frac { d } { d x } \ln ( x ) = \frac { ۱ } { x }
$$

بنابراین، مشتق ln x برابر با ۱ به روی x است. اگر به جای x، تابعی مانند f(x) قرار داشته باشد، فرمول مشتق لگاریتم طبیعی، عبارت خواهد بود با:

$$
\frac { d } { d x } \ln [ f ( x ) ] = \frac { f ' ( x ) } { f ( x ) }
$$

مثال ۱: تعیین مشتق ln ax

مشتق تابع $$ \ln ( a x ) $$ را به دست بیاورید.

به منظور تعیین مشتق تابع $$ \ln ( a x ) $$، ابتدا عبارت درون لگاریتم (ax) را به صورت حاصل‌ضرب عدد ثابت a در متغیر x می‌نویسیم:

$$
\ln ( a \times x )
$$

بر اساس خواص لگاریتم، لگاریتم حاصل‌ضرب دو عدد را می‌توان به صورت مجموع لگاریتم‌های آن دو عدد نوشت. بنابراین داریم:

$$
\ln ( a \times x ) = \ln ( a ) + \ln ( x )
$$

اکنون، از عبارت‌های سمت راست مشتق می‌گیریم. حاصل $$ \ln ( a ) $$، یک عدد ثابت است. بنابراین، مشتق آن برابر با صفر می‌شود:

$$
\frac { d } { d x } \ln ( a ) = ۰
$$

با توجه به فرمول کلی مشتق ln نیز می‌دانیم:

$$
\frac { d } { d x } \ln ( x ) = \frac { ۱ } { x }
$$

به این ترتیب:

$$
\ln ( a \times x ) = \ln ( a ) + \ln ( x )
$$

$$
\ln ( a \times x ) = ۰ + \frac { ۱ } { x }
$$

$$
\ln ( a \times x ) = \frac { ۱ } { x }
$$

در نتیجه، مشتق تابع $$ \ln ( a x ) $$ برابر با $$ \frac { ۱ } { x } $$ است. از این مثال نتیجه می‌گیریم که ضریب ثابت x، تاثیری بر روی نتیجه مشتق ln ندارد.

مشتق تابع $$ \ln ( e x ) $$ کدام گزینه است؟ (e، عدد اویلر است.)

$$
\frac { e } { x }
$$

$$
e
$$

 

$$
\frac { ۱ } { x }
$$

$$
x
$$

شرح پاسخ

برای به دست آوردن مشتق تابع مورد سوال، ابتدا آن را باز می‌کنیم:

$$
\ln ( e x ) = \ln ( e ) + \ln ( x )
$$

با توجه به قانون جمع، مشتق جمع دو عبارت، برابر با جمع مشتق‌های آن دو عبارت است. بنابراین، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \ln ( e x ) = \frac { d } { d x } \ln ( e ) + \frac { d } { d x } \ln ( x )
$$

مشتق ln e برابر با عدد ۱ است (به دلیل برابر بودن عدد و مبنای لگاریتم). از طرفی، مشتق عر عدد ثابت برابر با ۰ می‌شود. به این ترتیب:

$$
\frac { d } { d x } \ln ( e ) = \frac { d } { d x } ( ۱ ) = ۰
$$

مشتق $$ \ln (x) $$ نیز از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\frac { d } { d x } \ln ( x ) = \frac { ۱ } { x }
$$

در نتیجه، مشتق تابع $$ \ln ( e x ) $$ برابر است با:

$$
\ln ( e x ) = \ln ( e ) + \ln ( x )
$$

$$
\ln ( e x ) = ۰ + \frac { ۱ } { x }
$$

$$
\ln ( e x ) = \frac { ۱ } { x }
$$

مثال ۲: تعیین مشتق ln x^۲

مشتق تابع $$ f (x ) = \ln ( x ^ { ۲ } ) $$ کدام گزینه است؟

فرم کلی تابع f(x)، عبارت است از:

$$
f (x ) = \ln [ g (x ) ] $$

برای به دست آوردن مشتق این ln توان دار، می‌توانیم از رابطه زیر استفاده کنیم:

$$
f ' ( x ) = \frac { g ' ( x ) } { g ( x ) }
$$

مطابق با صورت سوال داریم:

$$ g ( x ) = x ^ ۲ $$

مشتق g(x) برابر است با:

$$ g ' ( x ) = ۲ x $$

این عبارت را درون فرمول مشتق ln قرار می‌دهیم:

$$
f ' ( x ) = \frac { ۲ x } { x ^ { ۲ } }
$$

$$
f ' ( x ) = \frac { ۲ } { x }
$$

در نتیجه، مشتق $$ \ln ( x ^ { ۲ } ) $$ برابر با $$ \frac { ۲ } { x } $$ است. البته با یک روش دیگر نیز می‌توانستیم به این نتیجه برسیم. تابع f(x) را در نظر بگیرید:

$$ f ( x ) = \ln ( x ^ { ۲ } ) $$

بر اساس خواص لگاریتم، انتقال توان x به پشت ln، مانعی ندارد. از این‌رو، فرم دیگر f(x) به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
f ( x ) = ۲ \ln ( x )
$$

با توجه به قانون ضریب ثابت، مشتق تابع بالا برابر است با:

$$
f ' ( x ) = ۲ [ \frac { d } { d x } \ln ( x ) ] $$

عبارت داخل کروشه، مشتق ln یا همان $$ \frac { ۱ } { x } $$ است. بنابراین، داریم:

$$
f ' ( x ) = ۲ [ \frac { ۱ } { x } ] $$

$$
f ' ( x ) = \frac { ۲ } { x }
$$

در صورت تمایل به یادگیری در مورد نحوه مشتق‌گیری از توابع مختلف و قوانین اصلی مشتق‌گیری، مطالعه مطلب «فرمول‌های مشتق مهم + سوال با جواب و دانلود PDF» را به شما پیشنهاد می‌کنیم.

مشتق تابع $$ f ( x ) = \ln { ( x ^ ۲ - ۲ x + ۴ ) } $$ کدام گزینه است؟

$$ \frac { x ^ ۲ - ۲ x + ۴ } { ۲x - ۲ } $$

$$\frac { ۲x - ۲ } { x ^ ۲ - ۲ x + ۴ } $$

$$ \frac { ۲ } { x ^ ۲ - ۲ x + ۴ } $$

$$ \frac { ۲ } { ۲ x - ۲ } $$

شرح پاسخ

برای محاسبه مشتق تابع مورد سوال، دو روش داریم. روش اول، توسط باز کردن عبارت‌های داخل ln با استفاده خواص لگاریتم و حل مسئله با توجه به قوانین مشتق‌گیری (جمع، تفریق، ضرب و غیره) انجام می‌گیرد. روش دوم (روش مورد استفاده در اینجا)، با کمک رابطه زیر و به طور مستقیم انجام می‌شود:

$$
f ' ( x ) = \frac { g ' ( x ) } { g ( x ) }
$$

عبارت داخل ln، همان تابع g(x) است:

$$ g ( x ) = x ^ ۲ - ۲ x + ۴ $$

ابتدا، مشتق این تابع را تعیین می‌کنیم:

$$ g ' ( x ) = ۲x - ۲ $$

سپس، با جایگذاری g(x) و g'(x) در رابطه f'(x)، مشتق تابع مورد نظر را به دست می‌آوریم:

$$
f ' ( x ) = \frac { ۲x - ۲ } { x ^ ۲ - ۲ x + ۴ }
$$

مثال ۳: تعیین مشتق ln cos x

مشتق تابع $$ f ( x ) = \ln [ \cos ( x ) ] $$ را به دست بیاورید.

به منظور تعیین مشتق تابع مورد سوال، باید با مشتق توابع مثلثاتی آشنا باشیم. فرم تابع f(x) به صورت زیر است:

$$ f ( x ) = \ln [ g ( x ) ] $$

مشتق این تابع از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
f ' ( x ) = \frac { g ' ( x ) } { g ( x ) }
$$

مطلب پیشنهادی:
مشتق توابع مثلثاتی | به زبان ساده
شروع مطالعه

عبارت $$ \cos ( x ) $$، را به عنوان تابع g(x) در نظر می‌گیریم:

$$ g ( x ) = \cos ( x ) $$

مشتق این تابع برابر است با:

$$ g ' ( x ) = \frac { d } { dx } \cos ( x ) = - \sin ( x ) $$

عبارت‌های بالا را درون فرمول مشتق ln f(x) قرار می‌دهیم:

$$
f ' ( x ) = \frac { - \sin ( x ) } { \cos ( x ) } = - \tan x
$$

مشتق $$\ln [ \sin ( x ) . \cos ( x ) ] $$ کدام گزینه است؟

$$
\frac { \cos ^ ۲ x - \sin ^ ۲ x
} { \sin ( x ) . \cos ( x ) }
$$

$$
\frac { \cos x - \sin x
} { \sin ( x ) . \cos ( x ) }
$$

$$
\frac { \cos ^ ۲ x + \sin ^ ۲ x
} { \sin ( x ) . \cos ( x ) }
$$

$$
\frac { \cos ^ ۲ x - \sin ^ ۲ x
} { \sin ( x ) + \cos ( x ) }
$$

شرح پاسخ

برای حل این سوال، دو روش کلی داریم. در روش اول، می‌توانیم مشتق عبارت $$ \sin ( x ) . \cos ( x ) $$ را استفاده از قانون ضرب تعیین کرده و سپس مشتق ln را با استفاده از فرمول مشتق ln f(x) به دست بیاوریم. در روش دوم، می‌توانیم به کمک خواص لگاریتم، ln ضرب دو تابع را به جمع lnهای دو تابع تبدیل کرده و سپس با استفاده قانون جمع، مشتق ln را تعیین کنیم. در اینجا، روش اول را پیش می‌گیریم. بر اساس این روش، مشتق تابع مورد سوال عبارت است از:

$$
\frac { d } { dx } \ln [ \sin ( x ) . \cos ( x ) ] = \frac { \frac { d } { dx } \sin ( x ) . \cos ( x )} { \sin ( x ) . \cos ( x ) }
$$

برای تعیین مشتق عبارت $$ \sin ( x ) . \cos ( x ) $$، قانون ضرب را می‌نویسیم:

$$ \frac { d } { d x } [ f ( x ) g ( x ) ] = f ( x ) g' ( x ) + g ( x ) f' ( x ) $$

سینوس و کسینوس را به صورت زیر در نظر می‌گیریم:

$$ f ( x ) = \sin x $$

$$ g ( x ) = \cos x $$

مشتق عبارت‌های بالا عبارت هستند از:

$$ f ' ( x ) = \cos x $$

$$ g ' ( x ) = - \sin x $$

این مشتق‌ها را درون قانون ضرب قرار می‌دهیم:

$$
\frac { d } { d x } [ f ( x ) g ( x ) ] = - \sin x .\sin x + \cos x .\cos x
$$

$$
= \cos ^ ۲ x - \sin ^ ۲ x
$$

با جایگذاری این عبارت در فرمول مشتق ln، خواهیم داشت:

$$
\frac { d } { dx } \ln [ \sin ( x ) . \cos ( x ) ] = \frac { \cos ^ ۲ x - \sin ^ ۲ x
} { \sin ( x ) . \cos ( x ) }
$$

مثال ۴: تعیین مشتق ln کسری

مشتق تابع $$ f ( x ) = \ln ( \frac { ۱ } { x } ) $$ را به دست بیاورید.

بر اساس خواص لگاریتم، عبارت $$ \ln ( \frac { ۱ } { x } ) $$ معادل عبارت زیر است:

$$
\ln ( \frac { ۱ } { x } ) = \ln ( ۱ ) - \ln ( x )
$$

بنابراین، می‌توانیم مشتق f(x) را به صورت زیر بنویسیم:

$$
f ' ( x ) = \frac { d } { d x } [ \ln ( ۱ ) - \ln ( x ) ] $$

مطلب پیشنهادی:
مشتق جزئی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
شروع مطالعه

با توجه به قانون تفریق در مشتق، داریم:

$$
\frac { d } { d x } [ \ln ( ۱ ) - \ln ( x ) ] = \frac { d } { d x } [ ln ( ۱ ) ] - \frac { d } { d x } [ ln ( x ) ] $$

حاصل عبارت $$ ln ( ۱ ) $$، یک عدد ثابت است. از این‌رو، مشتق آن بر حسب x برابر با ۰ می‌شود. مشتق $$ \ln ( x ) $$ بر حسب x نیز برابر با $$ \frac { ۱ } { x } $$ است. این نتایج را درون رابطه بالا قرار می‌دهیم:

$$
= \frac { d } { d x } [ ln ( ۱ ) ] - \frac { d } { d x } [ ln ( x ) ] = ۰ - \frac { ۱ } { x }
$$

در نتیجه، مشتق f(x) برابر است با:

$$
f ' ( x ) = - \frac { ۱ } { x }
$$

مشتق جزئی تابع $$ f ( x , y ) = \ln { ( \frac { y } { x } ) } $$ کدام گزینه است؟

$$
f ' ( x ) = - \frac { ۱ } { x } ; \space f ' ( y ) = \frac { ۱ } { y }
$$

$$
f ' ( x ) = \frac { ۱ } { x } ; \space f ' ( y ) = \frac { ۱ } { y }
$$

$$
f ' ( x ) = - \frac { ۱ } { x } ; \space f ' ( y ) = - \frac { ۱ } { y }
$$

$$
f ' ( x ) = - \frac { ۱ } { x } ; \space f ' ( y ) = y
$$

شرح پاسخ

برای حل این مثال، یک بار از تابع بر حسب x و بار دیگر بر حسب y مشتق می‌گیریم. مشتق تابع f(x,y) بر حسب x برابر است با:

$$
f ' _ { x } = \frac { d } { d x } \ln { ( \frac { y } { x } ) }
$$

$$
= \frac { d } { d x } [ \ln { ( y ) } - \ln { ( x ) } ]
$$

$$
= \frac { d } { d x } [ \ln { ( y ) } ] - \frac { d } { d x } [ \ln { ( x ) } ]
$$

$$
= ۰ - \frac { ۱ } { x }
$$

$$
= - \frac { ۱ } { x }
$$

مشتق تابع f(x,y) بر حسب y را نیز به روش مشابه به دست می‌آوریم:

$$
f ' _ { y } = \frac { d } { d y } \ln { ( \frac { y } { x } ) }
$$

$$
= \frac { d } { d y } [ \ln { ( y ) } - \ln { ( x ) } ]
$$

$$
= \frac { d } { d y } [ \ln { ( y ) } ] - \frac { d } { d y } [ \ln { ( x ) } ]
$$

$$
= \frac { ۱ } { y } - ۰
$$

$$
= \frac { ۱ } { y }
$$

مثال 5: تعیین مشتق ln رادیکال x

مشتق تابع $$ f ( x ) = \ln ( \sqrt { x } ) $$ را به دست بیاورید؟

برای به دست آوردن مشتق تابع مورد سوال، عبارت $$ \sqrt { x } $$ را به صورت عدد توان‌دار زیر می‌نویسیم:

$$
\sqrt { x } = x ^ { \frac { ۱ } { ۲ } }
$$

به این ترتیب، تابع f(x) به شکل زیر درمی‌آید:

$$
f ( x ) = \ln (x ^ { \frac { ۱ } { ۲ } } )
$$

بر اساس خواص رادیکال، می‌توانیم توان x را از درون ln خارج کنیم:

$$
f ( x ) = \frac { ۱ } { ۲ } \ln ( x )
$$

کسر $$ \frac { ۱ } { ۲ } $$، یک ضریب ثابت بوده و مشتق ln(x) برابر با $$ \frac { ۱ } { x } $$ است. بنابراین، داریم:

$$
f ' ( x ) = \frac { ۱ } { ۲ } \times \frac { ۱ } { x }
$$

$$
f ' ( x ) = \frac { ۱ } { ۲ x }
$$

مشتق معکوس ln چگونه بدست می آید ؟

در ابتدای مقاله، بیان کردیم که لگاریتم، روشی برای نمایش معکوس عبارت‌های توانی است. اگر تابع ln را معکوس کنیم، به عبارت زیر می‌‌رسیم:

$$
f ( x ) = \log _ { e } ( x ) \longrightarrow f ^ { - ۱ } ( x ) = e ^ { x }
$$

معکوس ln، یا همان ex، یکی از انواع توابع نمایی است که با عنوان تابع نمایی طبیعی شناخته می‌شود. این تابع نمایی، یک ویژگی منحصر به فرد دارد. مشتق ex، با خودش برابری می‌کند:

$$
\frac { d } { dx } e ^ x = e ^ x
$$

اگر توان x دارای ضریب ثابت باشد، رابطه مشتق معکوس ln به شکل زیر درمی‌آید:

$$
\frac { d } { dx } e ^ { cx } = c e ^ x
$$

در صورتی که توان e به صورت تابعی از x باشد، مشتق معکوس ln به شکل زیر درمی‌آید:

$$
\frac { d } { dx } e ^ { f ( x ) } = f ' ( x ) e ^ { f ( x ) }
$$

مطلب پیشنهادی:
مرجع تابع نمایی – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
شروع مطالعه

مثال 6: تعیین مشتق e

مشتق تابع $$ f ( x ) = e ^ { x ^ ۲ } $$ را به دست بیاورید.

برای به دست آوردن مشتق f(x)، ابتدا فرم کلی آن را می‌نویسیم:

$$
f ( x ) = e ^ { g ( x ) }
$$

با توجه به فرم بالا، توان e، تابعی از متغیر x است:

$$ g ( x ) = x ^ ۲ $$

در این حالت، مشتق f(x)، از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
f ' ( x ) = g ' ( x ) e ^ { g ( x ) }
$$

g'(x) برابر است با:

$$
g ' ( x ) = \frac { d } { d x } x ^ ۲ = ۲ x
$$

عبارت بالا را در فرمول مشتق e قرار می‌دهیم:

$$
f ' ( x ) = ۲ x e ^ { x ^ ۲ }
$$

اثبات فرمول مشتق ln با حد و پیوستگی

مشتق، مفهومی است که ارتباط بسیار نزدیکی با مبحث حد و پیوستگی دارد. در حالت کلی، مشتق هر تابع مانند f(x)، با استفاده از حد زیر به دست می‌آید:

$$
f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x }
$$

اگر فرض کنیم:

$$
f ( x ) = \ln ( x )
$$

خواهیم داشت:

$$
f ( x + \Delta x ) = \ln ( x + \Delta x )
$$

عبارت‌های بالا را در رابطه مشتق قرار می‌دهیم:

$$
f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { \ln ( x + \Delta x ) - \ln ( x ) } { \Delta x }
$$

بر اساس خواص لگاریتم، می‌دانیم که تفریق دو عبارت لگاریتمی با مبنای یکسان، با لگاریتم تقسیم آن دو عدد بر هم برابری می‌کند. بنابراین:

$$
\ln ( x + \Delta x ) - \ln ( x ) = \ln { ( \frac { x + \Delta x } { x } ) }
$$

$$
= \ln { ( ۱ + \frac { \Delta x } { x } ) }
$$

این عبارت را درون رابطه حدی مشتق جایگذاری می‌کنیم:

$$
f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { \ln { ( ۱ + \frac { \Delta x } { x } ) } } { \Delta x }
$$

مخرج کسر را به صورت یک ضریب به پشت ln می‌بریم:

$$
f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { ۱ } { \Delta x } \ln { ( ۱ + \frac { \Delta x } { x } ) }
$$

با توجه به یکی دیگر از خواص لگاریتم، می‌توانیم ضریب پشت لگاریتم را به توان عدد داخل لگاریتم تبدیل کنیم:

$$
f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \ln [ ( ۱ + \frac { \Delta x } { x } ) ^ { \frac { ۱ } { \Delta x } } ] $$

به منظور حل رابطه حدی بالا، متغیرها را به صورت زیر تغییر می‌دهیم:

$$ n = \frac { \Delta x } { x } $$

$$ \space \Delta x = n x $$

$$ \space \frac { ۱ } { \Delta x } = \frac { ۱ } { nx } = \frac { ۱ } { n } . \frac { ۱ } { x } $$

$$
\Delta x \rightarrow ۰, \space n \rightarrow ۰
$$

تغییر متغیرهای بالا را بر روی رابطه حدی مشتق اعمال می‌کنیم:

$$
\lim _ { n \rightarrow ۰ } \ln [ ( ۱ + n ) ^ { \frac { ۱ } { n } . \frac { ۱ } { x } }] $$

بر اساس خواص لگاریتم و حد، عبارت $$ \frac { ۱ } { x } $$ را به پشت لگاریتم و سپس به پشت حد انتقال می‌دهیم:

$$
\frac { ۱ } { x } \lim _ { n \rightarrow ۰ } \ln [ ( ۱ + n ) ^ { \frac { ۱ } { n } }] $$

بر اساس تعریف، حد عبارت داخل ln، برابر با ثابت e است:

$$
\lim _ { n \rightarrow ۰ } ( ۱ + n ) ^ { \frac { ۱ } { n } } = e
$$

بنابراین داریم:

$$
\frac { ۱ } { x } \lim _ { n \rightarrow ۰ } \ln ( e )
$$

ln (e) برابر با عدد ۱ است. در نتیجه، عبارت بالا، برابر می‌شود با:

$$
\frac { ۱ } { x }
$$

این عبارت، مشتق ln را نمایش می‌دهد:

$$
f ' ( x ) = \frac { ۱ } { x }
$$

خلاصه روند اثبات رابطه مشتق لگاریتم طبیعی در ادامه آورده شده است:

$$
\begin {aligned}
\frac { d } { d x } \ln x & = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { \ln ( x + \Delta x ) - \ln x } { \Delta x } \\
& = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \left ( \frac { ۱ } { \Delta x } \ln \left ( \frac { x + \Delta x } { x }\right ) \right ) \\
& = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \ln \left ( ۱ + \frac { \Delta x } { x } \right ) ^ { \frac { ۱ }{ \Delta x } } \\
& = \ln \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \left ( ۱ + \frac { \Delta x } { x }\right ) ^ { \frac { ۱ } { \Delta x } } \\
& = \ln e ^ { ۱ / x } \\
& = \frac { ۱ } { x }
\end {aligned}
$$

سوالات متداول در رابطه با مشتق ln

در این بخش، به برخی از پرتکرارترین سوالات در رابطه با مبحث مشتق ln به طور مختصر پاسخ می‌دهیم.

ln چیست ؟

ln، علامت مخصوص نمایش لگاریتم‌های طبیعی (لگاریتم بر مبنای ثابت e) است.

مشتق ln x چیست ؟

مشتق ln x برابر با یک بر روی x (یک x ام) است.

فرمول مشتق ln f(x) چیست ؟

فرمول مشتق ln f(x)، برابر با تقسیم f'(x) بر f(x) است.

معکوس ln x چیست ؟

معکوس ln x، تابع نمایی ex است.

مشتق معکوس ln x چیست ؟

مشتق معکوس ln x (مشتق ex) برابر با خودش (ex) است.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای ۱۱ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیت‌های علمی او در زمینه تحلیل عددی سازه‌های مهندسی بوده و در حال حاضر آموزش‌های مهندسی عمران، معدن و ژئوتکنیک مجله فرادرس را می‌نویسد.

2 نظر در “مشتق ln – به زبان ساده + مثال و حل تمرین

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *