ریاضی، علوم پایه 27049 بازدید

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد دایره، تعریف و محاسبات آن در هندسه صحبت کردیم. در مطلب مذکور تنها در مورد محاسبه مساحت و محیط دایره و هم‌چنین نحوه ترسیم آن صحبت شد. با این حال در این مطلب قصد داریم تا ارتباط بین طول‌ها و زوایا در دایره را توضیح دهیم.

فهرست مطالب این نوشته

مقدمه

دایره به مجموعه نقاطی از صفحه گفته می‌شود که فاصله تمامی آن‌ها از یک نقطه ثابت برابر با عددی ثابت باشد. نقطه ثابت را مرکز و فاصله آن تا نقاط روی دایره را برابر با شعاع در نظر می‌گیرند. بدین منظور در ابتدا لازم است تا پارامتر‌های مربوط به مشخصه‌های هندسی دایره را به‌صورت زیر تعریف کنیم.

  • شعاع دایره: $$ R $$
  • قطر دایره: $$ D $$
  • طول وتر: $$ a $$
  • بخش‌های وتر: $$ a _ 1 , a _ 2 , b _ 1 , b _ 2 $$
  • طول کمان: $$ s , s _ 1 , s _ 2 $$
  • بخش‌های سکانت: $$ e , e _ 1  , f , f _ 1 $$
  • مختصات مرکز دایره: $$ x _ 0 , y _ 0 $$
  • مختصات یک نقطه از دایره: $$ x , y $$
  • ارتفاع بین وتر و کمان دایره: $$ h $$
  • زوایای مرکزی: $$ \alpha , x $$
  • زاویه محاطی: $$ \beta $$
  • زاویه بین دو وتر: $$ φ $$
  • زاویه بین دو سکانت: $$ \gamma $$
  • زاویه بین سکانت و تانژانت: $$δ$$
  • زاویه بین تانژانت و وتر: $$η$$
  • محیط: $$ P $$
  • مساحت: $$ S $$

در ادامه و در قالب تصویر، مفاهیم مربوط به نماد‌های ارائه شده در بالا را توضیح خواهیم داد.

مفاهیم مربوط به دایره

به خطی که دو نقطه از یک دایره را به هم متصل می‌کند، وتر گفته می‌شود. حال اگر این وتر از مرکز نیز گذر کند، قطر دایره بدست خواهد آمد. توجه داشته باشید که قطر یک دایره دو برابر شعاع آن است. بنابراین می‌توان رابطه زیر را بین قطر (D) و شعاع (R) بیان کرد:

$$ \large D = 2 R $$

زاویه مرکزی، زاو‌‌یه‌ای است که نقاط آن منطبق بر مرکز دایره هستند. رابطه میان طول وترِ $$ a $$ و زاویه مرکزی $$ \alpha $$ به‌صورت زیر است.

$$ \large a = 2 R \sin { \large \frac { \alpha } { 2 } \normalsize } $$

در شکل زیر دایره به همراه وتر و زاویه مرکزی در آن نشان داده شده‌‌اند.

circle

کمان، به کسری از دایره گفته می‌شود که بین دو نقطه قرار دارد. اندازه این کمان برابر با اندازه زاویه قرار گرفته روبروی آن است که معمولا بر حسب درجه یا رادیان بیان می‌شود. هم‌چنین اندازه طولی این کمان برابر است با:

$$ \large s = \alpha R $$

در رابطه فوق $$\alpha$$ برابر با زاویه مرکزی بوده و $$R$$، شعاع دایره است. زاویه محاطیِ یک دایره، زاویه‌ای است که نقاط بوجود آورنده آن روی دایره قرار گرفته و ضلع‌های مجاور تشکیل‌دهنده آن، وتر‌های دایره هستند. اگر زاویه محاطی و مرکزی یک دایره، نشان دهنده کمان یکسانی باشند، در این صورت زاویه محاطی برابر با نصف زاویه مرکزی است.

$$ \large \beta = \frac { \alpha } { 2 } $$

Circle

تقاطع دو وتر با یکدیگر، چهار وتر را ایجاد می‌کند. در این حالت حاصل‌ضرب طول دو خط، برابر با عددی ثابت است. در ادامه شکل مربوط به این حالت ارائه شده است.

$$ \large { a _ 1 } { a _ 2 } = { b _1 } { b _ 2 } $$

segment

زاویه بین دو وتر برابر با نصف حاصل جمعِ کمان‌هایی است که روبروی وتر‌ها قرار گرفته‌اند. با توجه به شکل فوق، می‌توان گفت:

$$ \large \varphi = { \large \frac { { { s _ 1 } + { s _ 2 } } } { 2 } \normalsize } $$

در رابطه بالا $$ s _ 1 $$ و $$ s _ 2 $$ نشان‌دهنده اندازه کمان‌ها به درجه هستند. سکانت نشان‌دهنده خطی است که از نقطه‌ای بیرون دایره ترسیم شده و دایره را در دو نقطه قطع می‌کند. به ازای هر دو سکانتی که ترسیم می‌شوند، حاصل ضربِ بخش خارجی سکانت در کلِ طول سکانت برابر با عددی ثابت است.

secant

زاویه بین دو سکانت که از نقطه بیرون دایره ترسیم می‌شود برابر با نصف اختلاف کمان‌های روبروی آن‌ها است. در شکل زیر نیز این زوایا نشان داده شده‌اند.

$$ \gamma = { \large \frac { { { s _ 1 } – { s _ 2 } } }{ 2 } \normalsize } $$

arc

به ازای هر سکانت و تانژانتی که از نقاط بیرون دایره رسم می‌شوند، حاصل‌ضرب بخش خارجی سکانت در کلِ سکانت برابر با توان دوم تانژانت است. در ادامه رابطه مربوط به این گزاره و هم‌چنین شکل آن ارائه شده‌اند.

$$ \large f { f _ 1 } = { g ^ 2 } $$

secant-tangent

زاویه بین سکانت و تانژانتی که از نقطه‌ای بیرون دایره ترسیم می‌شود، برابر با میانگین اختلاف دو کمان $$ s _ 1 $$ و $$ s _ 2 $$ است. در حقیقت می‌توان با توجه به شکل فوق، رابطه زیر را بیان کرد:

$$ \large \delta = { \large \frac { { { s _ 1 } – { s _ 2 } } } { 2 } \normalsize}$$

زاویه بین تانژانت و وتر مماس به دایره برابر با نصف زاویه کمان است.

$$ \large \theta = { \large \frac { s } { 2 } \normalsize } = { \large \frac { \alpha } { 2 } \normalsize } $$

tangent

هم‌چنین بدیهی است که مماس ترسیم شده به دایره،‌ به شعاع آن عمود است. نکته دیگر در مورد تانژانت این است که هرگاه دو تانژانت از بیرون بر دایره مماس شوند، اختلاف زاویه کمان‌های تشکیل شده، دو برابر زاویه بین دو تانژانت است. در ادامه دو کمان تشکیل‌شده و رابطه مربوط به آن‌ها ارائه شده‌اند.

$$ \large \eta = { \large \frac { { { s _ 1 } – { s _ 2 } } }{ 2 } \normalsize } $$

دایره

معادله یک دایره در دستگاه مختصات را می‌توان به روش‌های مختلفی بیان کرد. در دستگاه مختصات دکارتی این معادله به‌صورت زیر قابل بیان است.

$$ \large { \left ( { x – { x _ 0 } } \right ) ^ 2 } + \; { \left ( { y – { y _0 } } \right ) ^ 2 } = R^2 $$

توجه داشته باشید که $$ x _  0 , y _ 0 $$، مختصات‌های مرکز بوده و $$ R $$ نشان‌دهنده شعاع دایره است. با توجه به معادله فوق و با استفاده از انتگرال می‌توان محیط دایره را بدست آورد. در حقیقت محیط دایره‌ای به شعاع $$ R $$ برابر است با:

$$ \large P = 2 \pi R = \pi D $$

هم‌چنین مساحت دایره مذکور نیز به‌صورت زیر قابل محاسبه است.

$$ \large S = \pi { R ^ 2 } = { \large \frac { { \pi { D ^ 2 } } }{ 4 } \normalsize } $$

در برخی از مسائل ممکن است نیاز باشد تا بخشی از محیط یا مساحت یک دایره محاسبه شود. قطاعی از یک دایره، بخشی از ان است که توسط دو شعاع محدود شده باشد. در ادامه دو بخش یا همان قطاع از یک دایره نشان داده شده‌‌ است.

circle-sector

بدیهی است که قطاع‌های یک دایره از دو شعاع و یک کمان تشکیل شده‌اند. بنابراین محیط آن برابر است با:

$$ P = s + 2 R $$

در رابطه فوق $$ s $$ نشان‌دهنده طول کمان بوده و $$ R $$ شعاع دایره را نشان می‌دهد. هم‌چنین مساحت این قطاع نیز به‌صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large S = { \large \frac { { R s } } { 2 } \normalsize } = { \large \frac { { { R ^ 2 } x } } { 2 } \normalsize } $$

در رابطه فوق $$ s $$، طول کمان، $$ R $$، شعاع قطاع، $$ x $$، زاویه مرکزی به رادیان و $$ \alpha $$ زاویه مرکزی به درجه است. علاوه بر قطاعی که در بالا نشان داده شد، نوعی دیگر از قطاع نیز تحت عنوانِ قطاع دایره‌ای وجود دارد. این قطاع محدود به وتر و کمانی است که توسط دو شعاع، تشکیل شده‌اند. در ادامه یک قطاع دایره‌ای نشان داده شده است.

دایره

با توجه به قانون فیثاغورث می‌توان رابطه زیر را نیز برای ارتفاعِ $$ h $$ بیان کرد.

$$ -\; { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } \sqrt { 4 { R ^ 2 } – { a ^ 2 } } h \lt R $$

مقدار $$ a $$ نیز مشابه با همین روش، برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

$$ \large a = 2 \sqrt { 2 h R – { h ^ 2 } } $$

نهایتا محیط (P) و مساحت (S) قطاع دایره‌ای برابرند با:

$$ P = s + a $$

در رابطه فوق $$s$$ برابر با طول کمان و $$ a $$ نشان‌دهنده طول وتر هستند. مساحت این قطاع را نیز می‌توان مطابق با رابطه زیر بدست آورد.

$$ S = { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } \left[ { s R – a \left ( { R – h } \right ) } \right] = {\large\frac { { { R^ 2 } } } { 2 } \normalsize}\left ( { { \large \frac { { \alpha \pi } } { { 180 ^ \circ } } \normalsize } – \sin \alpha } \right) = { \large \frac { { { R ^ 2 } } } { 2 } \normalsize } \left ( {x – \sin x} \right ) $$

در رابطه فوق $$ s $$ نیز برابر با طول کمان، $$ h $$، ارتفاع و $$ R $$ شعاع دایره است. البته رابطه تقریبی مربوط به محاسبه مساحت برابر است با:

$$ \large S \approx { \large \frac { {2 h a }} { 3 } \normalsize } $$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 49 نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *