شعاع چیست؟ — شعاع دایره به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با برخی شکل‌های هندسی مانند مستطیل، مثلث، مربع، لوزی، بیضی و دایره آشنا شدیم. در این آموزش، می‌خواهیم با یکی از مشخصات مهم دایره، یعنی شعاع دایره آشنا شویم. پیش از مطالعه این مطلب از مجله فرادرسو برای آشنایی بیشتر با دایره، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «دایره چیست» مراجعه کنید.

دایره چیست؟

دایره مجموعه‌ای از نقاط روی یک صفحه دو بعدی است که فاصله یکسانی از نقطه‌ای به نام مرکز دارند.

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم در فرادرس

کلیک کنید

این فاصله نقاط از مرکز دایره، شعاع نامیده می‌شود. اندازه دایره با تغییر طول شعاع تغییر می‌کند.

شعاع چیست ؟

در مطالب پیشین از سری مطالب ریاضی مجله فرادرس با تعریف شعاع دایره آشنا شدیم. تعریف دقیق شعاع دایره، طول یک پاره‌خط از مرکز دایره تا نقطه‌ای روی محیط یا همان مرز آن است. شعاع را معمولاً با $$r$$ نمایش می‌دهند که حرف اول معادل انگلیسی شعاع، یعنی Radius است.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

به شکل زیر توجه کنید:

نقاط $$ A $$، $$B$$، $$M$$، $$N$$، $$P$$، $$Q$$، $$X$$ و $$Y$$ روی مرز دایره قرار داشته و فاصله یکسانی از مرکز $$O$$ دارند:

$$ \large OA=OB=OM=ON=OP=OQ=OX=OY $$

شعاع دایره و قطر دایره

قطر بزرگ‌ترین وتر دایره است. وتر، پاره‌خطی است که دو نقطه روی محیط دایره را به هم وصل می‌کند.

فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم در فرادرس

کلیک کنید

در واقع، می‌توان چنین گفت که قطر پاره‌خطی است که دو نقطه دایره را به هم وصل می‌کند و از مرکز دایره نیز عبور می‌کند. از تعریف شعاع دایره می‌توان برای درک قطر دایره استفاده کرد.

قطر دو برابر شعاع است. قطر را معمولاً با $$ D $$ نشان می‌دهیم که حرف اول معادل انگلیسی آن، یعنی Diameter است.

$$ D = 2  r $$

• مطالب پیشنهادی برای مطالعه:
  • دایره چند شعاع دارد ؟ — تصویری و به زبان ساده
  • نسبت محیط دایره به قطر آن چیست؟ — به زبان ساده

شعاع و محیط دایره

محیط دایره، همان مرز دایره است و آن را با $$ C $$ که ابتدای معادل انگلیسی Circumference است، نشان می‌دهند. فرمول محیط دایره به صورت زیر بیان می‌شود:

$$ \large C = 2\pi r $$

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم در فرادرس

کلیک کنید

که در آن، $$ C $$ محیط دایره، $$ r $$ شعاع دایره و $$ \pi $$ عدد ثابت و اندازه تقریبی آن $$ 3.14 $$ است. این عدد ثابت با عنوان عدد پی شناخته می‌شود. نسبت محیط دایره به شعاع آن برابر 2π است. این نسبت را می‌توانید در فرمول بالا نیز مشاهده کنید.

شعاع و مساحت دایره

مساحت دایره سطحی است که دایره در بر می‌گیرد. مساحت را معمولاً با $$A$$ که حرف اول کلمه Area است نشان می‌دهند. فرمول مساحت دایره برابر است با:

$$A= \large \pi r ^ 2 $$

که در آن، $$ r $$ شعاع دایره و $$ \pi $$ همان عدد پی و مقدار تقریبی‌اش $$ 3. 14 $$ است.

• مطالب پیشنهادی مجله فرادرس برای مطالعه:
  • محیط و مساحت دایره چیست؟ — به زبان ساده + حل تمرین و مثال
  • فرمول محیط و مساحت دایره چیست؟ — به زبان ساده + حل مثال

شعاع دایره در محاسبات مربوط به قطاع نیز مورد استفاده قرار می‌گیرد. برای آشنایی با نحوه محاسبه محیط و مساحت قطاع‌های متداول دایره نیز نیم‌دایره و ربع دایره، مطالعه مطالب زیر را به شما پیشنهاد می‌کنیم:

• محیط نیم دایره چیست؟ — به زبان ساده + حل تمرین و مثال
• مساحت نیم دایره چگونه بدست می‌آید؟ — به زبان ساده + حل مثال
• محیط ربع دایره چیست؟ — به زبان ساده + حل تمرین و مثال
• مساحت ربع دایره چیست؟ — به زبان ساده + حل تمرین و مثال

فرمول‌های شعاع دایره

شعاع دایره را می‌توان با داشتن قطر، محیط یا مساحت دایره به دست آورد. با توجه به فرمول‌هایی که در بالا گفتیم، این کار امکان‌پذیر است.

شعاع دایره برحسب قطر ($$ D $$) دایره به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \boxed {r = \frac D 2 }$$

شعاع دایره برحسب محیط ($$C$$) دایره به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \boxed{r = \frac { C } { 2 \pi}} $$

شعاع دایره از مساحت دایره به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \boxed{r = \sqrt { \small {A}/{\pi}}}$$

بسیاری از سایت‌های اینترنتی تخصصی ریاضی نیز امکان محاسبه اندازه شعاع دایره با استفاده از فرمول‌های مختلف را فراهم می‌کنند. مطالعه مطالب «محاسبه محیط دایره آنلاین — بهترین سایت‌ها + حل تمرین» و «محاسبه‌گر مساحت دایره آنلاین — بهترین سایت‌ها + حل تمرین و مثال» از مجله فرادرس می‌تواند به شما در یادگیری نحوه استفاده از این سایت‌ها کمک کند.

شعاع یک قطعه

قسمت زرد شکل زیر، یک قطعه از دایره را نشان می‌دهد. شعاع این قطعه، شعاع دایره‌ای است که این قطعه بخشی از آن دایره است.

فرمول یافتن شعاع، وقتی وتر قاعده قطعه ($$ w $$) و ارتفاع ($$H$$) عمود بر وتر را در نقطه میانی قاعده کمان داریم، به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large \text{r}= \frac{\text{H}}{2} +\frac{\text{W}^2}{8\text{H}} $$

مثال‌های شعاع دایره

در این بخش، چند مثال را از شعاع دایره حل می‌کنیم.

مثال اول شعاع دایره

مساحت دایره‌ای برابر با $$ 12.56\: \text{cm}^2 $$ است. قطر این دایره را به دست آورید ($$ \pi = 3.14$$).

حل: از فرمول مساحت دایره استفاده کرده و شعاع را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align}
A &= \pi r ^ 2 \\
\therefore 12.56 & = ( \pi \times r ^ 2 ) \\
12.56 & = \text {r} ^ 2 \times 3.14 \\
r ^ 2 & = \frac {12.56} {3.14} \\
r & = \sqrt { \frac {12.56} {3.14} } \\
r & = \sqrt { 4 } \\
r & = 2 \: \text {cm}
\end {align} $$

اکنون که اندازه شعاع را می‌دانیم، می‌توانیم قطر دایره را محاسبه کنیم:

$$ \large \begin{align} D & = 2 r \\
& = 2 \times 2 \\
& = 4 \: \text {cm}
\end {align} $$

مثال دوم شعاع دایره

قطر دایره‌ای برابر با $$ D = 55 \; \text{cm}$$ است. اندازه شعاع این دایره چقدر است؟

حل: همان‌طور که می‌دانیم، اندازه شعاع یک دایره، نصف اندازه قطر آن است. بنابراین، شعاع برابر است با:

$$ \large r = \frac D 2 = \frac {55}{2} = 27.5 \; \text{cm}$$

مثال سوم شعاع دایره

با توجه به شکل زیر، شعاع منحنی را محاسبه کنید.

حل: شعاع منحنی به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large r = \frac { \text {H}} { 2 } +\frac { \text {W} ^ 2 }{ 8 \text {H}} $$

با توجه به شکل، مقادیر زیر را داریم:

$$ \large \begin{align}
\text{W} &= 8\\
\text{H}&=4
\end{align} $$

با جایگذاری این مقادیر در فرمول، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align}
r & = \frac { { 4 } } { 2 } + \frac { 8 ^ 2 } { 8 \times \text {4} } \\
& = 2 + \frac { 6 4 } { 3 2 } \\
& = 2 + 2 \\
& = 4 \end {align} $$