محیط و مساحت دایره چیست؟ — به زبان ساده + حل تمرین و مثال

محیط و مساحت دایره از مشخصات هندسی مهم دایره هستند. محیط به عنوان اندازه دور دایره و مساحت، به عنوان اندازه سطح دایره تعریف می‌شود. محیط و مساحت دایره با اندازه شعاع، قطر و عدد پی تناسب دارند. فرمول محیط و مساحت دایره نیز با استفاده از این اندازه‌ها نوشته می‌شود. در این مطلب، به تعریف و معرفی فرمول‌های مورد استفاده برای تعیین محیط و مساحت دایره با حل چند مثال متنوع و کاربردی می‌پردازیم. علاوه بر این، روابط مربوط به محیط و مساحت قطاع دایره را نیز ارائه می‌کنیم.

دایره چیست؟

دایره، یکی از اشکال هندسی پایه است که تمام نقاط تشکیل دهنده آن، در فاصله ثابتی از یک نقطه مشخص قرار دارند. به نقطه مشخص، «مرکز دایره» و به فاصله نقاط تا آن، «شعاع دایره» می‌گویند.

اجزای دایره چه هستند؟

بخش‌های مختلف دایره با عنوان‌های متفاوت شناخته می‌شوند. در بخش قبلی، مرکز و شعاع دایره را تعریف کردیم.

تصویر زیر، برخی دیگر از اجزای مهم دایره نظیر کمان، قطر، وتر و غیره را نمایش می‌دهد.

در بین موارد نمایش داده شده در تصویر بالا، محیط دایره را نیز مشاهده می‌کنید. فلش در تصویر محیط، به نقاط تشکیل دهنده دایره اشاره می‌کند.

محیط دایره چیست؟

محیط دایره، اندازه دور آن است. دایره، از یک منحنی بسته تشکیل می‌شود. قلم و کاغذ بردارید و یک دایره دلخواه رسم کنید. قلم را بر روی یک نقطه از دایره قرار دهید. سپس، آن را یک دور کامل بر روی دایره بکشید تا به نقطه شروع برسید. با این کار، قلم به اندازه محیط دایره حرکت کرده است.

محیط دایره چگونه بدست می‌آید؟

محیط دایره با استفاده از اندازه قطر یا شعاع و عدد پی به دست می‌آید. به منظور آشنایی با نحوه محاسبه محیط دایره، ابتدا باید با مفهوم عدد پی آشنا شوید.

عدد پی چیست؟

نسبت محیط دایره به قطر آن، همواره عددی ثابت و برابر با 3/14 است. در ریاضیات، این عدد را «عدد پی» می‌نامند و آن را با حرف یونانی π نمایش می‌دهند.

3/14 = قطر دایره ÷ محیط دایره

3/14 = π

عدد پی به ما کمک می‌کند تا محیط و مساحت دایره را حساب کنیم.

• مطلب پیشنهادی برای مطالعه:
  • محیط دایره با چی متناسب است؟ — به زبان ساده + حل تمرین و مثال

فرمول محیط دایره چیست؟

فرمول محیط دایره، رابطه‌ای است که بر اساس نسبت محیط دایره به قطر آن یا نسبت محیط دایره به شعاع آن نوشته می‌شود.

فرمول محیط دایره با قطر چیست؟

فرمول محیط دایره با قطر به صورت «قطر × عدد پی» یا «قطر × 3/14» نوشته می‌شود. البته فرمول ریاضی محیط دایره با قطر برابر با عبارت جبری زیر است:

$$
C = \pi d
$$

• C: محیط دایره
• π: عدد ثابت برابر 3/14
• d: قطر دایره (دو برابر شعاع)

برخلاف محیط دیگر شکل‌های هندسی که با حرف «P» نشان داده می‌شود، محیط دایره با حرف «C»، ابتدای کلمه «Circumference»، در فرمول به نمایش در می‌آید.

فرمول محیط دایره با شعاع چیست؟

فرمول محیط دایره با شعاع برابر «شعاع × عدد پی × 2» یا «شعاع × 3/14 × 2» است. فرمول ریاضی محیط دایره با شعاع به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
P = 2 \pi r
$$

• C: محیط دایره
• π: عدد ثابت پی برابر 3/14
• r: شعاع دایره

مثال 1: محاسبه محیط باغچه دایره ای شکل

بخشی از یک باغچه به صورت دایره‌ای ساخته شده است. اگر قطر این بخش برابر 1/5 متر باشد، محیط آن چقدر است؟ (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

به منظور تعیین محیط باغچه دایره‌ای شکل بالا، فرمول محیط دایره را می‌نویسیم و اندازه‌های معلوم را مشخص می‌کنیم:

قطر × عدد پی = محیط باغچه

$$
C = \pi d
$$

• C: محیط باغچه
• π: عدد ثابت برابر 3 (بر اساس فرض مسئله)
• d: قطر دایره برابر 1/5 متر

اندازه‌‌های معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$
C = 3 \times 1.5
$$

$$
C = 4.5
$$

در نتیجه، مساحت بخش دایره‌ای شکل باغچه برابر 4/5 متر مربع است.

مساحت دایره چیست؟

مساحت هر شکلی برابر اندازه سطح آن است. مساحت دایره، اندازه سطح درون محیط آن را نمایش می‌دهد. یک دایره به اندازه دلخواه رسم کرده و درون آن را رنگ کنید. محدوده رنگ شده، مساحت دایره است.

مساحت دایره چگونه بدست می‌آید؟

مساحت دایره نیز مانند محیط آن، به شعاع یا قطر و عدد پی بستگی دارد. البته می‌توان مساحت دایره را بر حسب محیط آن نیز محاسبه کرد. با این وجود، در این بخش، فقط فرمول‌های مساحت دایره با شعاع و مساحت دایره با قطر را معرفی می‌کنیم. در بخش‌های بعدی، رابطه بین محیط و مساحت دایره را مورد بررسی قرار خواهیم داد.

فرمول مساحت دایره با شعاع چیست؟

فرمول مساحت دایره با شعاع برابر «شعاع × شعاع × عدد پی» است. فرمول ریاضی این عبارت به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A = \pi r^ { 2 }
$$

• A: مساحت دایره
• π: عدد ثابت 3/14
• r: شعاع دایره

فرمول مساحت دایره با قطر چیست؟

فرمول مساحت دایره با قطر را می‌توان به صورت «4 ÷ قطر × قطر × عدد پی» بیان کرد. البته فرمول ریاضی این عبارت برابر است با:

$$
A = \pi \frac {d^ { 2 } } { 4 }
$$

• A: مساحت دایره
• π: عدد ثابت 3/14
• d: قطر دایره

مثال 2: محاسبه مساحت سطح بشقاب

اگر شعاع بشقاب زیر برابر 10 سانتی‌متر باشد، محیط و مساحت آن چقدر است؟

محیط و مساحت بشقاب بالا از فرمول محیط و مساحت دایره به دست می‌آید. به منظور تعیین محیط می‌توانیم از رابطه زیر استفاده کنیم:

شعاع × عدد پی × 2 = محیط بشقاب

10 × 3/14 × 2 = محیط بشقاب

31/4 × 2 = محیط بشقاب

62/8 = محیط بشقاب

محیط بشقاب برابر 62/8 سانتی‌متر است. مساحت بشقاب توسط رابطه زیر محاسبه می‌شود:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت بشقاب

10 × 10 × 3/14 = مساحت بشقاب

100 × 3/14 = مساحت بشقاب

314 = مساحت بشقاب

در نتیجه مساحت بشقاب برابر 314 سانتی متر مربع است. اگر به فرمول‌های مورد استفاده برای محاسبه محیط و مساحت دایره توجه کنید، متوجه شباهت‌هایی بین عبارت‌های درون آن‌ها می‌شوید. رابطه‌ای بین محیط و مساحت دایره وجود دارد که در بخش‌های بعدی به معرفی آن خواهیم پرداخت.

محیط و مساحت قطاع دایره

قطاع، بخشی از دایره است که از یک کمان و دو شعاع تشکیل می‌شود. تصویر زیر، یک قطاع را نمایش می‌دهد. مساحت قطاع دایره را می‌توان به صورت نسبتی از مساحت کل دایره تعریف کرد.

با این وجود، محیط قطاع، به طور مستقیم با محیط کل دایره ارتباط ندارد و محاسبه آن با فرمول مخصوص به خود انجام می‌گیرد.

محیط بخشی از دایره چگونه بدست می آید ؟

محیط قطاع دایره، با استفاده از اندازه‌های شعاع و کمان محاسبه می‌شود:

شعاع + شعاع + طول کمان = محیط قطاع

(شعاع × 2) + طول کمان = محیط قطاع

طول کمان قطاع، نسبتی از کل محیط دایره است و به زاویه قطاع بستگی دارد. این اندازه از رابطه زیر به دست می‌آید:

زاویه × شعاع = طول کمان

زاویه مقابل کمان قطاع بر حسب رادیان نوشته می‌شود. اگر زاویه بر حسب درجه داده شد، باید آن را توسط فرمول زیر به رادیان تبدیل کرد:

180 ÷ (عدد پی × درجه) = رادیان

فرمول ریاضی محیط دایره برابر است با:

$$
C_{ s } = l_{ a } + 2r
$$

یا

$$
C_{ s } = l_{ a } + d
$$

• C_s: محیط قطاع دایره
• l_a: طول کمان
• r: شعاع دایره
• d: قطر دایره

مساحت بخشی از دایره چگونه بدست می آید ؟

مساحت قطاع دایره، از رابطه زیر به دست می‌آید:

شعاع × شعاع × (2 ÷ زاویه) = مساحت قطاع

در رابطه بالا نیز زاویه بر حسب رادیان است. به این ترتیب، در صورت داشتن زاویه بر حسب درجه، باید آن را به رادیان تبدیل کرد. فرمول ریاضی مساحت قطاع دایره به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A_s=\frac{ \theta}{2} r^2
$$

• A_s: مساحت قطاع دایره
• r: شعاع دایره
• θ: زاویه رو به روی کمان قطاع بر حسب رادیان

انواع خاص قطاع دایره کدام هستند؟

برخی از قطاع‌ها، نسبت مشخصی از کل دایره هستند. از انواع خاص قطاع‌های دایره می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

• نیم دایره: نصف دایره
• ثلث دایره: یک سوم دایره
• ربع دایره: یک چهارم دایره

در محاسبه محیط و مساحت قطاع‌های بالا و قطاع‌هایی با نسبت‌های مشخص، نیازی به دانستن زاویه مقابل کمان نیست. به عنوان مثال، محیط نیم دایره از فرمول زیر به دست می‌آید:

شعاع + شعاع + طول کمان = محیط نیم دایره

قطر + نصف محیط دایره = محیط نیم دایره

طول کمان نیم دایره، نصف محیط دایره کامل است. مساحت نیم‌دایره برابر است با:

نصف مساحت دایره = مساحت نیم دایره

برای محیط و مساحت ثلث دایره و ربع دایره نیز داریم:

شعاع + شعاع + یک سوم محیط دایره = محیط ثلث دایره

یک سوم مساحت دایره = مساحت نیم دایره

شعاع + شعاع + یک چهارم محیط دایره = محیط ربع دایره

یک چهارم مساحت دایره = مساحت ربع دایره

در صورت علاقه به یادگیری بیشتر در رابطه با محیط و مساحت ربع دایره، مطالعه مطالب «محیط ربع دایره چیست؟» و «مساحت ربع دایره چیست؟» را به شما پیشنهاد می‌کنیم.

مثال 3: محاسبه محیط و مساحت بخشی از پیتزا

تصویر زیر، یک پیتزای دایره‌ای شکل به شعاع 10 سانتی متر را نمایش می‌دهد. محیط و مساحت دو تکه از این پیتزا چقدر است؟ (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

پیتزای بالا، از هشت تکه برابر تشکیل می‌‌شود. دو تکه از این هشت تکه، یک چهارم از آن یا ربع آن است. بنابراین، به منظور تعیین محیط و مساحت این دو تکه، باید از فرمول محیط و مساحت ربع دایره استفاده کنیم:

شعاع + شعاع + یک چهارم محیط دایره = محیط ربع دایره

یک چهارم مساحت دایره = مساحت ربع دایره

برای استفاده از هر دو فرمول بالا، به مساحت دایره نیاز داریم. محیط دایره از رابطه زیر به دست می‌آید:

شعاع × عدد پی × 2 = محیط دایره

10 × 3 × 2 = محیط دایره

60 = محیط دایره

محیط دایره کامل برابر 60 سانتی‌متر است. مساحت دایره کامل توسط فرمول زیر محاسبه می‌شود:

شعاع × شعاع × 3/14 = مساحت دایره

10 × 10 × 3/14 = مساحت دایره

314 = مساحت دایره

مساحت دایره کامل برابر 314 سانتی‌متر مربع است. اکنون می‌توانیم محیط و مساحت ربع دایره را محاسبه کنیم:

شعاع + شعاع + یک چهارم محیط دایره = محیط ربع دایره

10 + 10 + (4 ÷ 60) = محیط ربع دایره

10 + 10 + (15) = محیط ربع دایره

35 = محیط ربع دایره

یک چهارم مساحت دایره = مساحت ربع دایره

4 ÷ 314 = مساحت ربع دایره

78/5 = مساحت ربع دایره

در نتیجه، محیط ربع پیتزا برابر 35 سانتی‌متر و مساحت ربع پیتزا برابر 78/5 سانتی‌متر مربع است.

رابطه بین محیط و مساحت دایره

محاسبه محیط و مساحت دایره با استفاده از اندازه شعاع یا قطر و عدد پی انجام می‌گیرد. به دلیل مشترک بودن اندازه‌های مورد استفاده در فرمول‌های این محیط و مساحت، رابطه زیر بین این دو برقرار است:

شعاع × نصف محیط دایره = مساحت دایره

اگر بخواهیم رابطه بالا را بر حسب محیط دایره بازنویسی کنیم، خواهیم داشت:

(شعاع ÷ مساحت دایره) × 2 = محیط دایره

البته در صورت مشخص بودن اندازه شعاع، نیازی به نوشتن رابطه بین محیط و مساحت دایره نیست؛ چراکه به منظور محاسبه محیط و مساحت دایره، دانستن اندازه شعاع یا قطر کافی است.

محاسبه آنلاین محیط و مساحت دایره

یکی از روش‌های محاسبه محیط و مساحت دایره، استفاده از سایت‌های اینترنتی است. از بهترین سایت‌ها و ابزارهای محاسبه محیط دایره آنلاین و محاسبه گر مساحت دایره آنلاین می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

• موتور جستجوی گوگل
• سایت Omni Calculator (+)
• سایت Calculator.net (+)
• سایت Calculator Soup (+)

سایت‌های بالا از قابلیت‌های ساده تا پیشرفته در انجام محاسبات ریاضی بهره می‌برند. در ادامه، نحوه کار با ابزار گوگل برای محاسبه محیط و مساحت دایره را توضیح می‌دهیم.

محاسبه محیط و مساحت دایره توسط ماشین حساب گوگل

به منظور دسترسی به ماشین حساب محیط و مساحت دایره، به سایت گوگل بروید و عبارت «دایره» یا «circle» را در کادر جستجو تایپ کنید.

پس از تایپ عبار‌ت‌های مذکور، کلید Enter را فشار دهید یا بر روی گزینه «Google Search» در پایین کادر جستجو کلیک کنید. به این ترتیب، صفحه نتایج، به همراه کادری مشابه تصویر زیر برایتان به نمایش در می‌آید.

ماشین حساب بالا، از سه بخش اصلی تشکیل می‌شود:

• بخش 1: انتخاب اندازه مورد نظر برای محاسب (محیط، مساحت، قطر و شعاع)
• بخش 2: فرمول محاسبه اندازه مورد نظر
• بخش 3: کادر وارد کردن اندازه مشخص (شعاع، محیط و مساحت)

اگر بر روی فلش بخش 1 کلیک کنید، گزینه‌های موجود برای انجام محاسبات به نمایش در می‌آیند.

گزینه‌های موجود در تصویر بالا عبارت هستند از:

1. area: مساحت
2. radius: شعاع
3. diameter: قطر
4. circumference: محیط

پس از انتخاب یکی از گزینه‌های مورد نظر برای محاسبه، باید اندازه معلوم را در کادر پایین ماشین حساب وارد کرد. به این ترتیب، نتیجه نهایی به همراه مراحل محاسبه در پایین کادر به نمایش در می‌آید.

مثال: محاسبه محیط و مساحت میز

محیط و مساحت فضای سبز زیر را محاسبه کنید. شعاع این فضای سبز برابر 4 متر است.

به منظور تعیین محیط و مساحت فضای سبز بالا، از محاسبه گر گوگل استفاده می‌کنیم. به این ترتیب، به سایت گوگل می‌رویم و پس از جستجوی عبارت دایره، ماشین حساب گوگل را بر روی گزینه «circumference» تنظیم می‌کنیم.

با تایپ عدد 4 در کادر مقابل «r Radius»، محیط دایره محاسبه می‌شود و نتیجه آن در بالا و پایین کادر به نمایش در می‌آید.

بنابراین، محیط فضای سبز برابر 25/13 متر است. اکنون، گزینه محاسبه را بر روی «area» قرار می‌دهیم و عدد 4 را در کادر مخصوص شعاع تایپ می‌کنیم.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، بر اساس خروجی ماشین حساب گوگل، مساحت فضای سبز برابر 50/27 متر مربع است.

• مطالب پیشنهادی برای مطالعه:
  • محاسبه محیط دایره آنلاین — بهترین سایت‌ها + حل تمرین
  • محاسبه‌گر مساحت دایره آنلاین — بهترین سایت‌ها + حل تمرین و مثال

سوالات متداول در رابطه با محیط و مساحت دایره

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه با تعریف محیط و مساحت دایره و فرمول‌های مورد استفاده برای محاسبه آن‌ها به طور خلاصه پاسخ می‌دهیم.

تعریف محیط دایره چیست؟

محیط دایره، اندازه دور آن است.

تعریف مساحت دایره چیست؟

مساحت دایره، اندازه سطح آن است.

محیط دایره چگونه محاسبه می‌شود؟

محیط دایره با استفاده از رابطه «شعاع × عدد پی × 2» محاسبه می‌شود.

مساحت دایره چگونه محاسبه می‌شود؟

مساحت دایره توسط فرمول «شعاع × شعاع × عدد پی» محاسبه می‌شود.

فرمول محیط دایره با شعاع چیست؟

عبارت جبری یا فرمول ریاضی محیط دایره با شعاع برابر 2πr است. π، عدد ثابت 3/14 و r، شعاع دایره را نمایش می‌دهد.

فرمول محیط دایره با قطر چیست؟

عبارت جبری یا فرمول ریاضی محیط دایره با قطر برابر πd است. π، عدد ثابت 3/14 و d، قطر دایره را نمایش می‌دهد.

فرمول مساحت دایره با شعاع چیست؟

عبارت جبری یا فرمول ریاضی مساحت دایره با شعاع برابر πr² است. π، عدد ثابت 3/14 و r، شعاع دایره را نمایش می‌دهد.

فرمول مساحت دایره با قطر چیست؟

عبارت جبری یا فرمول ریاضی مساحت دایره با قطر برابر 4/πd² است. π، عدد ثابت 3/14 و d، قطر دایره را نمایش می‌دهد.

نسبت محیط و مساحت دایره چیست؟

رابطه بین محیط و مساحت دایره به صورت «شعاع × نصف محیط دایره = مساحت دایره» نوشته می‌شود.

محیط قطاع دایره چگونه به دست می‌آید؟

محیط قطاع دایره از رابطه «شعاع + شعاع + طول کمان» به دست می‌آید.

مساحت قطاع دایره چگونه به دست می‌آید؟

مساحت قطاع دایره از رابطه «شعاع × شعاع × (2 ÷ زاویه)» به دست می‌آید.