قطعه دایره چیست؟ — فرمول محیط و مساحت + حل مثال

قطعه دایره قسمتی از دایره است که از یک وتر و یک کمان تشکیل می‌شود. هر وتر، دایره را به دو قطعه کوچک و بزرگ تقسیم می‌کند. در این آموزش، به معرفی ویژگی‌ها، اجزا و فرمول‌های محاسبه محیط و مساحت قطعه دایره به همراه حل چند مثال می‌پردازیم.

اجزای دایره چه هستند؟

به منحنی بسته تشکیل‌دهنده دایره، محیط آن می‌گویند. شعاع، وتر، قطر، کمان، مماس، قطعه و قطاع، شناخته شده‌ترین اجزای دایره هستند.

قطعه دایره چیست؟

«قطعه» (Segment)، سطحی از دایره است که به یک وتر و کمان متناظر آن محدود می‌شود. تصویر زیر، قطعه دایره را نمایش می‌دهد.

اجزای نمایش داده شده در تصویر بالا عبارت هستند از:

• کمان: منحنی محدود به دو نقطه بر روی دایره
• وتر: خط واصل بین دو نقطه انتهایی کمان

با رسم هر وتر، دایره به دو قطعه تقسیم می‌شود. به عبارت دیگر، وتر، دایره را به دو قطعه کوچک و بزرگ تبدیل می‌کند. البته اگر قطر دایره (بزرگ‌ترین وتر دایره) را رسم کنیم، دو قطعه با اندازه‌های برابر به وجود می‌آید.

خواص قطعه دایره چه هستند؟

برخی از مهم‌ترین خواص قطعه دایره عبارت هستند از:

• زاویه مرکزی روبه‌رو به قطعه دایره با زاویه مرکزی روبه‌رو به کمان متناظر آن برابر است.
•  قطر، دایره را به دو قطعه مساوی (نیم‌دایره) تقسیم می‌کند.
• نیم‌دایره، بزرگ‌ترین قطعه دایره است.
• خط عمود بر وتر قطعه، از مرکز دایره عبور می‌کند.

زاویه قطعه دایره چیست؟

از هر انتهای کمان قطعه، یک پاره‌خط تا مرکز دایره رسم می‌کنیم. زاویه محل برخورد این پاره‌خط‌ها، به عنوان زاویه متناظر قطعه در نظر گرفته می‌شود. این زاویه، به منظور تعیین محیط و مساحت قطعه مورد استفاده قرار می‌گیرد.

قطعه و قطاع دایره چه تفاوتی دارند؟

قطاع و قطعه دایره، دو بخش از دایره هستند که به دلیل شباهت اسمی، امکان اشتباه گرفتن آن‌ها وجود دارد. قطاع، سطح محدود به یک کمان و دو شعاع دایره است. قطعه را می‌توان به عنوان بخشی از یک قطاع در نظر گرفت. تصویر زیر، یک قطاع دایره را نمایش می‌دهد.

اگر دو انتهای کمان قطاع مشخص شده در تصویر بالا را توسط یک پاره‌خط (وتر) به یکدیگر وسط کنیم، قطعه متناظر با کمان قطاع تشکیل می‌شود.

در نتیجه، قطاع، ترکیبی از قطعه و یک مثلث متساوی الساقین است.

نیم دایره چیست ؟

نیم‌دایره، یکی از قطعه‌ها و قطاع‌های خاص دایره محسوب می‌شود. قطر، دایره را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. به هر یک از این قسمت‌ها، نیم‌دایره می‌گویند. قطر، بزرگ‌ترین وتر دایره به شمار می‌رود. به عبارت دیگر، هر نیم‌دایره، از یک کمان و یک وتر تشکیل می‌شود. در نتیجه، نیم‌دایره، یکی از قطعه‌های دایره است.

علاوه بر این، هر قطر دایره را می‌توان به عنوان دو شعاع هم‌راستا در نظر گرفت. به عبارت دیگر، هر نیم‌دایره از یک کمان و دو شعاع تشکیل می‌شود. بنابراین، نیم‌دایره، یکی از قطاع‌های دایره نیز هست. در صورت تمایل به یادگیری در مورد محیط و مساحت نیم‌دایره، مطالعه مطالب زیر را به شما پیشنهاد می‌کنیم:

• محیط نیم‌دایره چیست؟
• مساحت نیم‌دایره چیست؟

محیط قطعه دایره چگونه بدست می آید ؟

محیط قطعه دایره، اندازه دور آن است. این اندازه با جمع طول وتر و کمان تشکیل‌دهنده قطعه به دست می‌آید:

وتر + کمان = محیط قطعه

با توجه به رابطه بالا، برای تعیین محیط قطعه باید اندازه کمان و وتر را داشته باشیم. طول کمان دایره توسط فرمول زیر محاسبه می‌شود:

زاویه مرکزی × شعاع = طول کمان

زاویه مرکزی در این رابطه، بر حسب رادیان است. بنابراین، در صورت اندازه‌گیری زاویه بر حسب درجه باید آن را به کمک نسبت زیر به رادیان تبدیل کرد یا همین نسبت را به طور مستقیم در رابطه بالا قرار داد:

180 ÷ (π × درجه) = رادیان

طول وتر قطعه نیز به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$
c = ۲ r \sin {\frac {\theta} {۲}}
$$

• c: وتر
• r: شعاع دایره
• θ: زاویه مقابل کمان وتر بر حسب درجه

در نتیجه، محیط قطعه دایره از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$
P = (r \times rad) +(۲ r \sin {\frac {\theta} {۲}})
$$

• P: محیط قطعه
• r: شعاع دایره
• rad: زاویه مقابل کمان وتر بر حسب رادیان

اگر فاصله عمودی مرکز دایره تا وتر قطعه و شعاع دایره را داشته باشیم، می‌توانیم طول وتر را توسط فرمول زیر محاسبه کنیم:

$$
c = ۲ \sqrt {r^۲ + d^۲}
$$

• c: وتر
• r: شعاع دایره
• d: فاصله عمودی مرکز دایره تا شعاع

مثال 1: محاسبه محیط قطعه

دایره‌ای به شعاع 12 سانتی‌متر را در نظر بگیرید. اگر زاویه مقابل یکی از وترهای آن برابر 60 درجه باشد، محیط آن قطعه چقدر خواهد بود؟ (عدد پی را برابر ۳ قرار دهید.)

به منظور تعیین محیط یک قطعه، به اندازه وتر و کمان آن نیاز داریم. کمان متناظر قطعه از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
l = r \times rad
$$

• l: طول کمان
• r: شعاع دایره برابر 12 سانتی‌متر
• rad: زاویه مقابل کمان بر حسب رادیان

زاویه مرکزی کمان مورد نظر بر حسب درجه داده شده است. بنابراین، برای قرار دادن اندازه آن درون فرمول بالا، ابتدا آن را با استفاده از رابطه زیر به رادیان تبدیل می‌کنیم:

$$
rad = \frac {\theta \times \pi}{۱۸۰}
$$

• rad: زاویه بر حسب رادیان
• θ: زاویه بر حسب درجه برابر 60 درجه
• π: عدد پی برابر 3 (بر اساس فرض مسئله)

$$
rad = \frac {۶۰ \times ۳}{۱۸۰}
$$

$$
rad = \frac {۱۸۰}{۱۸۰}
$$

$$
rad = ۱
$$

این عدد را به همراه اندازه شعاع، درون فرمول طول کمان قرار می‌‌دهیم:

$$
l = r \times rad
$$

$$
l = ۱۲ \times ۱
$$

$$
l = ۱۲
$$

طول کمان قطعه برابر 12 سانتی‌متر است. اکنون، برای تکمیل محاسبه محیط، به اندازه وتر نیاز داریم. طول وتر دایره از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$
c = ۲ r \sin {\frac {\theta} {۲}}
$$

• c: وتر
• r: شعاع دایره برابر 12 سانتی‌متر
• θ: زاویه مقابل کمان وتر برابر 60 درجه

$$
c = ۲ \times ۱۲ \times \sin {\frac {۶۰} {۲}}
$$

$$
c = ۲ \times ۱۲ \times \sin {۳۰}
$$

سینوس زاویه 30 درجه برابر یک‌دوم است:

با$$
c = ۲ \times ۱۲ \times \frac {۱}{۲}
$$

$$
c = ۱۲
$$

حاصل‌جمع این عدد با طول کمان، محیط قطعه دایره است:

$$
P = (r \times rad) +(۲ r \sin {\frac {\theta} {۲}})
$$

$$
P = (۱۲) +(۱۲)
$$

$$
P = ۲۴
$$

در نتیجه، محیط قطعه مورد سوال برابر 24 سانتی‌متر است.

مساحت قطعه دایره

مساحت قطعه دایره، اندازه سطح درون وتر و کمان آن است. امکان محاسبه مستقیم این اندازه وجود ندارد. با این حال، می‌توانیم مساحت قطعه دایره را با استفاده از مساحت مثلث و قطاع دایره به دست بیاوریم. فرمول مساحت قطعه دایره به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A=r^{۲}\left(\frac{\pi \theta}{۳۶۰}-\frac{\sin \theta}{۲}\right)
$$

• A: مساحت قطعه
• r: شعاع دایره
• π: عدد ثابت پی (3/14)
• θ: زاویه مقابل کمان وتر بر حسب درجه

اگر زاویه مقابل کمان وتر بر حسب رادیان داده شود، فرمول بالا به شکل زیر در می‌آید:

$$
A=\frac{r^{۲}}{۲}(\theta-\sin \theta)
$$

• A: مساحت قطعه
• r: شعاع دایره
• θ: زاویه مقابل کمان وتر بر حسب رادیان

اثبات مساحت قطعه دایره

در بخش قبلی اشاره کردیم که مساحت قطعه دایره به کمک مساحت قطاع و مثلث محاسبه می‌شود. در این بخش، قصد داریم فرمول مساحت قطعه دایره را اثبات کنیم. به این منظور، قطعه کوچک در تصویر زیر را در نظر بگیرید.

اگر نقاط P و Q را به مرکز دایره وصل کنیم، مثلث OPQ تشکیل می‌شود.

حاصل‌جمع مثلث OPQ با قطعه، یک قطاع است. با توجه به شکل می‌توانیم رابطه بین مساحت این قطاع با مثلث و قطعه را بنویسیم:

مساحت مثلث + مساحت قطعه = مساحت قطاع

به این ترتیب، مساحت قطعه برابر است با:

مساحت مثلث - مساحت قطاع = مساحت قطعه

فرمول مساحت قطعه به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A_{sec}=\frac{۱}{۲}r^۲\theta
$$

• A_sec: مساحت قطاع
• r: شعاع دایره
• θ: زاویه مقابل کمان وتر بر حسب رادیان

مساحت مثلث، برابر «ارتفاع ضربدر قاعده تقسیم بر دو» است. بر اساس روابط مثلثاتی، فرمول مساحت مثلث OPQ برابر است با:

$$
A_{tri}=\frac{۱}{۲}r^۲ \sin {\theta}
$$

• A_tri: مساحت مثلث
• r: شعاع دایره
• θ: زاویه مقابل کمان وتر بر حسب رادیان

در نتیجه، مساحت قطعه از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$
A=A_{sec}-A_{tri}
$$

$$
A=\frac{۱}{۲}r^۲\theta-\frac{۱}{۲}r^۲ \sin {\theta}
$$

از عبارت‌های مشترک فاکتور می‌گیریم:

$$
A=\frac{r^{۲}}{۲}(\theta-\sin \theta)
$$

مثال 2: محاسبه مساحت قطعه

مساحت قطعه مثال 1 را حساب کنید. (عدد پی را برابر 3/14 در نظر بگیرید و محاسبات را تا سه رقم اعشار انجام دهید.)

در مثال 1، محیط قطعه‌ای به شعاع 12 سانتی‌متر و زاویه مرکزی 60 درجه را به دست آوردیم. مساحت این قطعه، با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$
A=\frac{r^{۲}}{۲}(\theta-\sin \theta)
$$

• A: مساحت قطعه
• r: شعاع دایره برابر 12 سانتی‌متر
• θ: زاویه مقابل کمان وتر بر حسب رادیان

نکته مهم در فرمول بالا، محاسبه سینوس بر حسب رادیان است. در همین راستا، زاویه را از درجه به رادیان تبدیل می‌کنیم:

180 ÷ (π × درجه) = رادیان

180 ÷ (۱۸۸/4) = رادیان

۱/۰۴۷ = رادیان

عدد بالا را به همراه اندازه شعاع درون فرمول مساحت قطعه قرار می‌دهیم:

$$
A=\frac{۱۲^{۲}}{۲}[۱/۰۴۷\sin {(۱/۰۴۷)}]
$$

سینوس ۱/۰۴۷ بر حسب رادیان، همان سینوس زاویه ۶۰ درجه است. به عبارت دیگر، از نظر محاسباتی، نیازی به قرار دادن مقدار زاویه بر حسب رادیان وجود ندارد:

$$
A=\frac{۱۴۴}{۲}[۱/۰۴۷-(۰/۸۶۶)]
$$

$$
A=۷۲ \times ۰/۱۸۱
$$

$$
A=۱۳/۰۳۲
$$

در نتیجه، مساحت قطعه دایره برابر ۱۳/۰۳۲ سانتی‌متر مربع است.

قضیه زاویه و قطعه متبادل

با رسم یک وتر، دایره به دو قطعه مقابل هم تبدیل تقسیم می‌شود. هر یک از این دو قطعه، قطعه متبادل یکدیگر هستند. بر اساس «قضیه قطعه متبادل» (Alternate Segment Theorem)، زاویه بین مماس با وتر رسم شده از نقطه تماس، با زاویه محاطی مقابل وتر در قطعه متبادل برابر است. در تصویر زیر، خط مماس بر دایره در نقطه P را در نظر بگیرید.

از نقطه P، یک وتر تا نقطه دیگری مانند Q‌ رسم می‌کنیم. زاویه بین وتر PQ و خط مماس را برابر α در نظر می‌گیریم.

وتر PQ، دایره را به قطعه کوچک (قطعه سمت راست) و بزرگ (قطعه سمت چپ) تقسیم می‌کند. این دو قطعه، متبادل هستند. نقطه‌ای مانند R را بر روی کمان قطعه بزرگ در نظر بگیرید. از این نقطه، دو پاره‌خط به سمت نقاط P و Q رسم می‌کنیم.

سوالات متداول در رابطه با قطعه دایره

در این بخش، به برخی از سوالات مرتبط با قطعه دایره، به طور خلاصه پاسخ می‌دهیم.

تعریف قطعه دایره چیست؟

قطعه یا دیسک دایره، بخشی از دایره است که از یک وتر و یک کمان تشکیل می‌شود.

دایره چند قطعه دارد؟

دایره، بی‌نهایت قطعه دارد.

آیا نیم دایره یک قطعه است؟

بله. نیم‌دایره از یک وتر (قطر دایره) و یک کمان تشکیل می‌شود. بنابراین، این شکل هندسی، یک قطعه است.

آیا ربع دایره یک قطعه است؟

خیر. ربع دایره یک قطاع است.

قطعه و قطاع دایره چه فرقی دارند؟

قطاع دایره، از دو شعاع و یک کمان تشکیل می‌شود.

محاسبه محیط قطعه دایره چگونه انجام می‌شود؟

تعیین اندازه دور قطعه دایره، با جمع طول کمان و وتر آن انجام می‌شود.

مساحت قطعه دایره چقدر است؟

اندازه سطح درون یک قطعه از دایره، اختلاف مساحت قطاع متناظر آن و مساحت مثلث متساوی الساقین تشکیل شده از وتر و دو شعاع قطاع متناظر است.