عدد پی (Π) چیست؟ – کاربردها به زبان ساده

عدد پی یکی از اعداد جالب و رمزآلود است که احتمالاً نام آن را از ریاضیات دوران مدرسه به یاد دارید و با شنیدن آن عدد ۳٫۱۴ در ذهنتان متبادر می‌شود. در این مطلب از مجله فرادرس عدد پی را با بیان تاریخچه مختصری از آن معرفی می‌کنیم، روش‌های تقریب این عدد را ارائه می‌کنیم و درباره کاربردهایش بحث خواهیم کرد.

عدد پی چیست؟

نمادی که ریاضی‌دانان برای نشان دادن نسبت دور یک دایره به قطر آن استفاده می‌کنند، حرف یونانی $$\pi$$ است. این حرف (و بنابراین خود عدد پی) را می‌توان با کلمه لاتین pi نشان داد. در انگلیسی، $$\pi$$ به صورت «پای» تلفظ می‌شود. حروف کوچک $$\pi$$ را نباید با حرف بزرگ $$\Pi$$ اشتباه گرفت، که نماد ضرب دنباله‌ها است.

تاریخچه عدد پی

اولین تقریب‌های مکتوب مربوط به عدد پی از مصر باستان و بابل گرفته شده است و نزدیک به ۴۰۰۰ سال قدمت دارد. به عنوان مثال، یک لوح سفالین بابل از حدود ۱۹۰۰ سال قبل از میلاد، عدد ۳٫۱۲۵ را نشان داده، در حالی که «پاپیروس ریاضی ریند» (Rhind Mathematical Papyrus) در مصر از ۱۶۵۰ سال قبل از میلاد این مقدار را ۳٫۱۶۰۵ مشخص کرده است.

فیلم آموزش خلاقیت و هوش‌مالی کودکان و نوجوانان در فرادرس

کلیک کنید

در حدود سال ۴۸۰ میلادی، ریاضی‌دان برجسته چینی «تسو چونگچی» (Zu Chongzhi) - که با روش ارشمیدس آشنا نبود - موفق شد با استفاده از یک رویکرد مبتنی بر الگوریتم، تقریب ۳٫۱۴۱۵۹۲۹۲۰ را برای عدد پی محاسبه کند. این رقم دقیق‌ترین تخمین تا ۸۰۰ سال بعد بود.

سپس، در قرن شانزدهم و هفدهم، تکنیک‌های سری نامتناهی در محاسبه پی متحول شدند و این امکان را دادند که تعداد اعشار به طور دقیق‌تر به دست آید. در سال 1706، «ویلیام جونز» (William Jones)، آموزگار ریاضی بریتانیایی، در کتاب "A New Introduction to the Mathematics" از یک حرف یونانی برای نشان دادن عدد پی استفاده کرد. قبل از آن، به طور معمول از تقریب‌های کسری مانند ۲۲/۷ و ۳۵۵/۱۱۳ برای بیان این عدد استفاده می‌شد.

جالب است بدانید که در ایران نیز در قرن نهم هجری، غیاث‌الدین جمشید کاشانی، ریاضی‌دان ایرانی، در «رسالة المحیطیه» که عدد پی را تا ۱۶ رقم اعشار درست اراسه کرد و تا ۱۸۰ سال بعد کسی نتوانست تقریب بهتری معرفی کند.

در سال‌های اخیر، ظهور رایانه‌ها این امکان را فراهم کرده است که عدد پی با دقتی نجومی و بسیار زیاد محاسبه شود، چیزی فراتر از آنچه آرشیمیدس و امثال او می‌توانستند تصور کنند.

تقریب عدد پی

در این بخش، روش‌هایی را بیان می‌کنیم که با استفاده از آن‌ها عدد پی تقریب زده می‌شود و تعریف می‌گردد.

تقریب عدد پی با چند ضلعی ها

محیط $$n$$ضلعی‌ها را می‌توان از هندسه معمولی مربوط به چند‌ضلعی‌ها به دست آورد و از تقریب زاویه‌ کوچک برای یافتن حد $$2 \pi$$ استفاده کرد.

$$\large C \approx \frac { P _ 1 + P _ 2 } { 2 } .$$

$$\large \begin {aligned} P _ 1 & = 4 d \\ P _ 2 & = 2 \sqrt { 2 } d . \end {aligned}$$

بنابراین، تقریب محیط دایره $$C \approx \big ( 2 + \sqrt { 2 } \big ) d$$ است. با تقسیم محیط بر قطر، مقدار تقریبی $$\pi$$ به دست می‌آید:

$$\large \pi \approx 2 + \sqrt { 2 } .$$

البته این یک تقریب عملاً مناسب نیست. با وجود این، به روش مشابه و با چندضلعی‌های معمولی با ضلع‌های بیشتر، می‌توان تقریب بهتری به دست آورد.

• مطالب پیشنهادی از مجله فرادرس برای مطالعه:
  • نسبت محیط دایره به قطر آن چیست؟ — به زبان ساده
  • نسبت محیط دایره به شعاع آن چیست؟ — به زبان ساده
  • شعاع چیست؟ — شعاع دایره به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)
  • محیط دایره با چی متناسب است؟ — به زبان ساده + حل تمرین و مثال

تقریب عدد پی با روش‌های آماری

شبیه‌سازی‌ها و تکنیک‌های آماری بسیاری وجود دارد که می‌توان از آن‌ها برای تقریب $$\pi$$ استفاده کرد. مدت‌ها قبل از اختراع رایانه‌ها، ریاضیدانان فرانسوی «بوفون» (1707-1788) و «لاپلاس» (1749-1827) یک شبیه‌سازی تصادفی را برای تخمین مقدار $$\pi$$ پیشنهاد کردند.

روش «سوزن بوفون» با استفاده از این واقعیت که یک سوزن ممکن است هنگام انداخته شدن روی صفحه هر زاویه‌ای داشته باشد، تقریبی از عدد $$\pi$$ را ارائه می‌دهد.

اثبات: اصل اثبات این ایده آن است که هر سوزن را به قسمت‌های کوچک تقسیم کنیم. طبق خاصیت خطی بودن امید ریاضی، تعداد مورد انتظاری که سوزن مرز دو نوار چوب را قطع می‌کند، متناسب با طول سوزن است.

تعریف دقیق عدد پی با سری نامتناهی

$$\large \frac { 2 } { \pi } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \times \frac { \sqrt { 2 + \sqrt { 2 } } } { 2 } \times \frac { \sqrt { 2 + \sqrt { 2 + \sqrt { 2 } } } } { 2 } \times \cdots$$

که در آن، از آنجا که جمله $$n$$اُم ضرب نامتناهی با به کار بردن مکرر فرمول نصف زاویه $$\cos \frac { \pi } { 2 ^ n }$$ است، داریم:

$$\large \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 2 ^ n \sin \frac { \pi } { 2 ^ { n + 1 } } } = \frac { 2 } { \pi }$$

زیرا وقتی $$n$$ به بینهایت میل می‌کند، $$\sin \frac { \pi } { 2 ^ { n + 1 } } \approx \frac { \pi }{ 2 ^ { n + 1 } }$$ است.

$$\large \frac { \pi } { 4 } = 1 - \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 5 } - \frac { 1 } { 7 } + \cdots .$$

$$\large \begin {aligned} \frac { \pi } { 4 } & = 4 \arctan \frac { 1 } { 5 } - \arctan \frac { 1 } { 2 3 9 } \\ \frac { \pi } { 4 } & = 2 2 \arctan \frac { 2 4 4 7 8 } { 8 7 3 1 21 } + 1 7 \arctan \frac { 6 8 5 6 0 1 } { 6 9 0 4 9 9 9 3 } . \end {aligned}$$

در عصر رایانه‌های مدرن، سری‌های حتی بهتری نیز برای تقریب عدد پی شناخته شده‌اند. مانندِ

$$\large \frac { 1 } { \pi } = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 98 0 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( 4 k ) ! ( 1 1 0 3 + 2 6 3 9 0 k) } { k ! ^ 4 ( 3 9 6 ^ { 4 k } ) }$$

که با استفاده از آن می‌توان عدد پی را تا میلیون‌ها رقم اعشار تقریب زد.

تعریف دقیق عدد پی با انتگرال

$$\large \int _ { - 1 } ^ 1 \sqrt { 1 - x ^ 2 } d x = \frac { \pi }{ 2 }$$

که $$\left ( x , \sqrt { 1 - x ^ 2 } \right )$$ نیمه بالایی دایره در بازه $$[-1,1]$$ است.

$$\large \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - x ^ 2 } d x = \sqrt { \pi }$$

$$\large \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } {x ^ 2 + 1 } d x = \pi .$$

$$\large \Gamma ( t ) = \int _ 0 ^ { \infty } x ^ { t - 1 } e ^ { - x } d x$$

که وقتی مقدار آن را در $$\frac12$$ به دست آوریم، خواهیم داشت:

$$\large \Gamma \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) = \sqrt { \pi } , ~ ~ \Gamma \left ( \frac { 5 } { 2} \right ) = \frac { 3 } { 4 } \sqrt { \pi } .$$

تقریب عدد پی تا ۵۰۰ رقم اعشار به صورت زیر است:

$$\begin{align*}\small 3. &141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825\\ \small &3421170679 82148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559\\ \small &64462294895493038196 4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610\\ \small &454326648213393607260249141273 724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360\\ \small &0113305305488204665213841469519415116094 33057270365759591953092186117381932611793105118548\\ \small & 07446237996274956735188575272489122793818301194912... \end {align*}$$

کاربردهای عدد پی

عدد پی در زندگی واقعی در زمینه‌های مختلفی از قبیل هندسه، علوم، مثلثات، طبیعت و غیره کاربرد دارد.

فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

با استفاده از عدد پی می‌توان مواردی مانند موج اقیانوس، امواج نور، امواج صوتی، توزیع ذرات رادیواکتیو و احتمالاتی مانند توزیع سکه‌ها و.. را با استفاده از یک دنباله از دایره‌ها اندازه‌گیری کرد.

چند نمونه از کاربردهای متداول عدد پی به ضرح زیر است:

• در مهندسی برق برای حل مسئله‌های مختلف از $$\pi$$ استفاده می‌شود.
• در آمار از عدد پی برای ردیابی دینامیک جمعیت استفاده می‌شود.
• در علم پزشکی، هنگام مطالعه ساختار چشم عدد پی مورد استفاده قرار می‌گیرد.
• در بیوشیمی و برای درک ساختار و عملکرد DNA عدد پی کاربرد دارد.
• فیزیکدانانی که رفتار موج‌های سیال را بررسی می‌کنند، در محاسبات خود از عدد پی بهره می‌برند.
• طراحان ساعت هنگام طراحی آونگ‌های ساعت‌ها از عدد پی استفاده می‌برند.
• طراحان هواپیما عدد پی را برای محاسبه مساحت پوسته هواپیما به کار می‌برند.
• در پردازش سیگنال و تحلیل طیف (پیدا کردن فرکانس موجی که استفاده می‌کنیم) از عدد پی استفاده می‌شود، زیرا تناوب پایه موج سینوسی $$2 \pi$$ است.
• در ناوبری، مانند موقعیت‌یابی جهانی (GPS) از عدد پی استفاده می‌شود.
• در حل مسائل ریاضیات در هندسه مانند پیدا کردن مساحت دایره و غیره، عدد پی به کار می‌رود.

عدد $$\pi$$ در مثلثات مهم است، زیرا تفسیر طبیعی‌تری از زاویه‌ها ارائه می‌دهد (نسبت به درجه‌ها). به طور خاص، رادیان به گونه‌ای تعریف شده است که $$2\pi$$ رادیان معادل یک دایره کامل است (به عبارت دیگر، $$\pi$$، که به عنوان $$\pi$$ رادیان درک می‌شود، معمولاً برابر با ۱۸۰ درجه است که در مثلثات استفاده می‌شود).

به این ترتیب، زاویه $$\theta$$ با طول کمان $$\theta \cdot r$$ متناظر است که در آن، $$r$$ شعاع دایره است. به طور معادل، رادیان به گونه‌ای تعریف می‌شود که یک رادیان متناظر با طول قوس برابر با شعاع دایره است.

$$\large r e ^ { i \theta } = r ( \cos \theta + i \sin \theta )$$

همان‌طور که هر دو طرف یک نقطه را در صفحه مختلط نشان می‌دهند. با قراردادن $$\theta = \pi$$ اتحاد معروف زیر حاصل می‌شود:

$$\large e ^ { i \pi } + 1 = 0 .$$

• مطالب پیشنهادی از مجله فرادرس برای مطالعه:
  • فرمول محیط دایره چیست؟ + حل تمرین و مثال
  • فرمول مساحت دایره چیست؟ — به زبان ساده + حل تمرین و مثال

روز پی

«روز پی» (Pi Day) یک جشن سالانه برای عدد پی است. این روز هر ساله در 14 مارس (۳/۱۴ در قالب روز/ماه میلادی) گرامی داشته می‌شود، زیرا ۳، ۱ و ۴ سه رقم نخست و مهم $$\pi$$ هستند. در سال ۲۰۰۹، مجلس نمایندگان ایالات متحده از تعیین «روز پی» حمایت كرد. همچنین، در چهلمین کنفرانس عمومی یونسکو در نوامبر ۲۰۱۹، روز پی به عنوان روز جهانی ریاضیات معرفی شد.

فیلم آموزش هندسه پایه دهم 1 در فرادرس

کلیک کنید

«روز تقریب پی» (Pi Approximation Day) نیز ۲۲ ماه ژوئیه است (۲۲/۷ در قالب ماه/روز میلادی)، زیرا کسر ۲۲/۷ تقریبی از $$\pi$$ است که تا دو رقم اعشار دقت دارد و ارشمیدس آن را معرفی کرده است.

عدد پی در اکسل

1. اکسل خود را باز کرده و "=" را در یک سلول خالی تایپ کنید تا محتویات آن به عنوان یک فرمول ریاضی برچسب‌گذاری شود.

2. عبارت "PI ()" را تایپ کنید که معادل ۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵۸۹۷۹ در فرمول اکسل است.

3. باقیمانده فرمول خود را تایپ کنید. به عنوان مثال، برای محاسبه محیط یک دایره با شعاع 5 متر، عبارت "۵*۲*" را داخل سلول تایپ کنید.

4. برای اجرای فرمول کلید اینتر را فشار دهید.

عدد پی در متلب

عدد پی در پایتون

عدد پی در پایتون به صورت "math.pi" تعریف می‌شود. برای مثال، اگر برنامه زیر را بنویسیم، نتیجه آن عدد 3٫141592653589793 خواهد بود.

عدد پی در کیبورد

برای تایپ نماد عدد پی با کیبورد و در یک محیط ادیتور، کافی است ابتدا Num Lock را روشن کنید، سپس با نگه داشتن کلید Alt عدد ۲۲۷ را در قسمت اعداد کیبورد وارد کنید. دقت کنید که با اعداد ردیف بالای حروف در کیبورد نمی‌توانید این کار را انجام دهید.

راز عدد پی

در این بخش، چند مورد جالب را درباره حقایق و رازهای مربوط به عدد پی بیان می‌کنیم.

• علی‌رغم آنچه در تاریخچه عدد پی گفتیم، منشأ دقیق کشف آن هنوز ناشناخته اشت، هرچند آن را به بابلیان یا مصری‌ها نسبت می‌دهند.
• جشن سالانه پی در تاریخ ۳/۱۴ و از ساعت ۱:۵۹ بعد از ظهر آغاز می‌شود. این‌ها در واقع عدد پی را با پنج رقم اعشار می‌سازند: ۳٫۱۴۱۵۹.
• انسان‌ها ۳۵۰۰ سال است که در جست‌وجوی پایان رقم‌های نامحدود عدد پی هستند که هنوز هم با کامپیوتر قابل حل نیست.
• آلبرت انیشتین در روز پی، یعنی ۱۴ مارس ۱۸۷۹ متولد شده است.
• در همه جای جهان عدد پی وجود دارد، حتی در چشمانمان.
• در دادگاه محاکمه «او. جی. سیمپسون» (O. J. Simpson)، قاضی و نماینده FBI سعی کردند با بحث درباره مقدار پی هوشمندی خود را نشان دهند.
• در سال ۲۰۱۰، مهندس سیستم ژاپنی، «شیجرو کوندو» (Shigeru Kondo)، و مهندس کامپیوتر آمریکایی، «الكساندر یی» (Alexander Yee)، ركورد بیشترین رقم‌های محاسبه شده عدد پی را شکستند. آن‌ها این كار را با استفاده رایانه‌های رومیزی، ۲۰ هارد دیسک اکسترنال و نبوغ عجیب و غریب خود انجام دادند و عدد پی را تا پنج تریلیون اعشار تقریب زدند.
• «سورش کومار شرما» (Suresh Kumar Sharma) علاقه‌مند ریاضی اهل هند در حال حاضر رکورد جهانی را برای بیشترین ارقام حفظ شده در اختیار دارد. وی در 17 ساعت و 14 دقیقه، 70 هزار و ۳۰ رقم را گفت.
• رمز مخفی در فیلم «پرده پاره» (Torn Curtain) محصول سال ۱۹۶۶ آلفرد هیچکاک، پی بود.
• رقم‌های بعد از اعشار عدد پی هیچ الگوی منظمی ندارند.