مساحت نیم دایره چگونه بدست می آید؟ – به زبان ساده + حل مثال

مساحت نیم دایره، نصف مساحت دایره کامل است. مساحت دایره کامل از فرمول «شعاع دایره × شعاع دایره × عدد پی» به دست می‌آید. در این مطلب از مجله فرادرس، به معرفی فرمول مساحت نیم دایره با شعاع و قطر به همراه حل چندین مثال متنوع و کاربردی می‌پردازیم.

نیم دایره چیست ؟

در مطالب پیشین مجله فرادرس فهمیدیم دایره چیست. بر روی یک کاغذ، یک دایره کشیده و سپس یکی از قطرهای آن را مشخص کنید. کاغذ را از محل قطر دایره تا بزنید و دو طرف خط تا را جدا کنید.

با انجام این مراحل، دو شکل هم اندازه، مشابه با تصویر بالا به وجود می‌آیند. این دو شکل، نیم‌دایره هستند. نیم‌دایره، یکی از قطاع‌های دایره محسوب می‌شود.

مساحت نیم دایره چیست ؟

مساحت هر شکل، اندازه سطح آن شکل است. مساحت نیم دایره نیز برابر اندازه سطح آن است. نیم‌دایره از تقسیم یک دایره کامل به دو قسمت مساوی به وجود می‌آید. در نتیجه، مساحت این شکل برابر نصف مساحت دایره کامل است.

برای محاسبه مساحت نیم دایره باید با نحوه محاسبه مساحت دایره کامل و فرمول‌های آن آشنا باشید.

مساحت دایره چگونه بدست می‌آید؟

مساحت دایره از رابطه «شعاع × شعاع × عدد پی» به دست می‌آید. عدد پی برابر 3/14 است. این عدد، نسبت محیط دایره به قطر آن را نشان می‌دهد. فرمول مساحت دایره به صورت زیر نوشته می‌شود:

شعاع × شعاع × 3/14 = مساحت دایره

مساحت نیم دایره چگونه بدست می آید ؟

مساحت نیم دایره، نصف مساحت دایره کامل است. بنابراین، این مساحت از تقسیم مساحت دایره بر عدد دو به دست می‌آید:

2 ÷ (شعاع × شعاع × 3/14) = مساحت نیم دایره

مثال 1: محاسبه مساحت میز دایره ای شکل

تصویر زیر، یک میز دایره‌ای شکل با قطر ۱ متر را نمایش می‌دهد. این میز، قابلیت جدا شدن به دو قسمت مساوی را دارد. مساحت میز را در حالت کامل و مساحت هر میز جدا شده را حساب کنید. (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

بر اساس اطلاعات مسئله، قطر میز برابر 1 متر است. بنابراین، شعاع میز برابر با 0/5 متر خواهد بود. برای محاسبه مساحت میز کامل، از فرمول مساحت دایره استفاده می‌کنیم:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

اندازه عدد پی و شعاع را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم و آن را حل می‌کنیم:

0/5 × 0/5 × 3 = مساحت میز

0/5 × 1/5 = مساحت میز

0/75 = مساحت میز

در نتیجه، مساحت میز کامل برابر 0/75 متر مربع است. اگر بخواهیم مساحت هر میز نیم‌دایره‌ای را به دست بیاوریم، باید اندازه میز کامل را تقسیم بر دو کنیم:

2 ÷ مساحت میز = مساحت میز نیم دایره

2 ÷ 0/75 = مساحت میز نیم دایره

0/375 = مساحت میز نیم دایره

در نتیجه، مساحت هر میز در حالت جدا شده برابر 0/375 متر مربع است.

فرمول مساحت نیم دایره چیست ؟

فرمول ریاضی مساحت نیم دایره به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$A_s = \frac {1} {2} \times \pi r^2$$

• A_s: مساحت نیم دایره
• π: عدد ثابت پی برابر 3/14
• r: شعاع نیم‌دایره

البته فرمول بالا را می‌توان بر حسب قطر نیز بازنویسی کرد. در بخش‌های بعدی، فرمول محیط نیم‌دایره با قطر را نیز معرفی می‌کنیم.

مثال 2: محاسبه مساحت نیم دایره با شعاع

مساحت نیم‌دایره‌ای به شعاع 2 سانتی‌متر چند است؟ (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

به منظور محاسبه مساحت نیم‌دایره، فرمول مخصوص آن را می‌نویسیم و اندازه‌های معلوم آن را تعیین می‌کنیم:

$$A_s = \frac {1} {2} \times \pi r^2$$

• A_s: مساحت نیم دایره
• π: عدد ثابت پی برابر 3 (بر اساس فرض مسئله)
• r: شعاع نیم‌دایره برابر 2 سانتی‌متر

اندازه‌های معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$A_s = \frac {1} {2} \times 3 \times 2^2$$

$$A_s = \frac {1} {2} \times 3 \times 2 \times 2$$

$$A_s = \frac {1} {2} \times 3 \times 4$$

$$A_s = \frac {1} {2} \times 12$$

$$A_s = 6$$

در نتیجه، مساحت نیم دایره به شعاع 2 سانتی متر برابر 6 سانتی متر مربع است.

فرمول مساحت نیم دایره با قطر چیست ؟

قطر دایره، دو برابر شعاع آن است. به همین دلیل، فرمول ریاضی مساحت نیم دایره به صورت زیر نیز نوشته می‌شود:

$$A_s = \frac {\pi} {2} \times \frac {d^2} {4}$$

• A_s: مساحت نیم دایره
• π: عدد ثابت پی برابر 3
• d: قطر نیم‌دایره

انجام محاسبات توسط فرمول بالا، کمی پیچیده‌تر از فرمول قبلی است. از این‌رو، برای محاسبه مساحت نیم‌دایره، معمولا از فرمول دارای شعاع استفاده می‌شود.

مثال 3: محاسبه مساحت باغچه نیم‌دایره‌ای

شخصی در حیاط خانه خود، یک باغچه نیم‌دایره‌ای به قطر 2 متر ساخته است. مساحت این باغچه را محاسبه کنید.

حل تمرین و مثال مساحت نیم دایره

در این بخش، به حل چند مثال بیشتر در رابطه با مساحت نیم دایره و شکل‌های ترکیب شده با آن می‌پردازیم.

 مثال 4: محاسبه مساحت نقاله

نقاله، وسیله‌ای برای اندازه‌گیری زاویه است. این وسیله معمولا به شکل نیم‌دایره ساخته می‌شود. تصویر زیر، نمونه‌ای از یک نقاله را نمایش می‌دهد. اگر قطر نقاله برابر 6 سانتی‌متر باشد، اندازه سطح آن چقدر است؟ (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

اندازه سطح نقاله بالا، مساحت نیم‌دایره‌ای به قطر 6 سانتی‌متر است. به منظور تعیین مساحت این نیم‌دایره، فرمول مساحت آن را می‌نویسیم:

2 ÷ مساحت دایره کامل = مساحت نیم دایره

بر اساس فرمول، ابتدا باید مساحت دایره کامل را به دست بیاوریم. فرمول مساحت دایره برابر است با:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

شعاع × شعاع × 3 = مساحت دایره

قطر نقاله برابر 6 سانتی‌متر است. از این‌رو، شعاع آن برابر ۳ سانتی‌متر خواهد بود. این عدد را در بالا قرار می‌دهیم:

3 × 3 × 3 = مساحت دایره

3 × 9 = مساحت دایره

27 = مساحت دایره

بنابراین، مساحت دایره کامل برابر 27 سانتی‌متر مربع است. مساحت نیم دایره به صورت زیر محاسبه می‌شود:

2 ÷ 27 = مساحت نیم دایره

13/5 = مساحت نیم دایره

در نتیجه، مساحت نقاله برابر 13/5 سانتی‌متر مربع است.

مثال 5: محاسبه مساحت نیم دایره در مستطیل

تصویر زیر، دو نیم‌دایره داخل یک مستطیل را نمایش می‌دهد. اگر طول و عرض مستطیل، به ترتیب برابر 80 میلی‌متر و 40 میلی‌متر باشد، مساحت بخش رنگی مستطیل چقدر است؟ (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

مساحت بخش رنگی نمایش داده شده در تصویر بالا برابر است با:

نیم‌دایره - نیم‌دایره - مستطیل = بخش رنگی

مساحت مستطیل از ضرب طول در عرض آن به دست می‌آید:

عرض × طول = مساحت مستطیل

40 × 80 = مساحت مستطیل

3200 = مساحت مستطیل

مساحت هر نیم‌دایره توسط رابطه زیر محاسبه می‌شود:

2 ÷ مساحت دایره = مساحت نیم دایره

مساحت دایره برابر است با:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

بر اساس تصویر، شعاع دایره برابر نصف عرض مستطیل، یعنی 20 میلی‌‌متر است. این عدد را در رابطه بالا قرار می‌دهیم:

20 × 20 × 3 = مساحت دایره

1200 = مساحت دایره

به این ترتیب، مساحت نیم دایره برابر است با:

2 ÷ 1200 = مساحت نیم دایره

600 = مساحت نیم دایره

مساحت نیم دایره و مستطیل را درون رابطه مساحت بخش رنگی قرار می‌دهیم:

600 - 600 - 3200 = مساحت بخش رنگی

1200 - 3200 = مساحت بخش رنگی

2000 = مساحت بخش رنگی

در نتیجه، مساحت بخش رنگی برابر 2000 میلی‌متر مربع است. البته توجه داشته باشید که به دلیل وجود دو نیم‌دایره، مساحت جمع آن‌ها برابر با مساحت یک دایره کامل است. با این وجود، به منظور تمرین روند حل، مساحت نیم دایره را پس از مساحت دایره محاسبه کردیم.

مثال 6: محاسبه مساحت نیم دایره با قطر

مساحت نیم دایره ای به قطر 20 سانتی متر را توسط فرمول مخصوص آن محاسبه کنید. (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

برای حل مسئله، ابتدا فرمول مساحت نیم دایره با قطر را می‌نویسیم و اندازه‌های معلوم آن را مشخص می‌کنیم:

$$A_s = \frac {\pi} {2} \times \frac {d^2} {4}$$

• A_s: مساحت نیم دایره
• π: عدد ثابت پی برابر 3 (بر اساس فرض مسئله)
• d: قطر نیم‌دایره برابر 20 سانتی‌متر

اندازه‌های معلوم را در فرمول بالا قرار می‌دهیم:

$$A_s = \frac {3} {2} \times \frac {20 \times 20} {4}$$

$$A_s = \frac {3 \times 20 \times 20} {2 \times 4}$$

$$A_s = 150$$

در نتیجه، مساحت نیم دایره برابر 150 سانتی‌متر مربع است.

مثال 7: محاسبه مساحت قسمت رنگ شده دایره

با قرار دادن دو شکل مساوی در کنار یکدیگر، یک دایره تشکیل می‌شود. تصویر زیر، ترکیب این دو شکل را نمایش می‌دهد. قطر دایره تشکیل را با خط چین نمایش داده‌ایم. مساحت قسمت سبز رنگ را حساب کنید. مساحت قسمت رنگی زیر قطر چند است؟ (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

اگر به شکل بالا دقت کنید، متوجه خواهید شد که بخش سفید رنگ بالای خط چین و بخش سبز رنگ پایین خط چین، دو نیم‌دایره مساوی هستند. به عبارت دیگر، مساحت بخش سبز رنگ، مساحت نیم‌دایره‌ای به شعاع 5 بوده و مساحت قسمت رنگ شده، به مساحت کل برابر یک دوم است. بنابراین، فرمول مساحت نیم دایره بر حسب شعاع را می‌نویسیم:

$$A_s = \frac {1} {2} \times \pi r^2$$

• A_s: مساحت نیم دایره
• π: عدد ثابت پی برابر 3 (بر اساس فرض مسئله)
• r: شعاع نیم‌دایره برابر 5

$$A_s = \frac {1} {2} \times 3 \times 5 \times 5$$

$$A_s = \frac {1} {2} \times 3 \times 25$$

$$A_s = \frac {1} {2} \times 75$$

$$A_s = 37.5$$

مساحت کل قسمت رنگی برابر 37/5 است. مساحت بخش رنگی زیر قطر نیز نصف یک دایره کامل به قطر 5 است. مساحت این بخش از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$A_s = \frac {\pi} {2} \times \frac {d^2} {4}$$

• A_s: مساحت نیم دایره
• π: عدد ثابت پی برابر 3 (بر اساس فرض مسئله)
• d: قطر نیم‌دایره برابر 5

$$A_s = \frac {3} {2} \times \frac {5 \times 5} {4}$$

$$A_s = \frac {3 \times 5 \times 5} {2 \times 4}$$

$$A_s = 9.375$$

مساحت بخش رنگی زیر قطر برابر 9/375 است.

سوالات متداول در رابطه با مساحت نیم دایره

در این مطلب از مجله فرادرس با مساحت نیم‌دایره آشنا شدیم. در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه با نیم‌دایره و مساحت آن پاسخ می‌دهیم.

تعریف نیم دایره چیست؟

نیم‌دایره، شکلی است که از تقسیم دایره به دو قسمت مساوی ساخته می‌شود.

مساحت نیم دایره چگونه محاسبه می‌شود؟

مساحت نیم دایره از تقسیم مساحت دایره کامل بر عدد 2 به دست می‌آید.

فرمول مساحت نیم دایره با شعاع چیست؟

فرمول مساحت نیم دایره با شعاع به صورت (2÷شعاع×شعاع×3/14) نوشته می‌شود.

مساحت نیم دایره با قطر چگونه بدست می‌آید؟

مساحت نیم دایره با قطر توسط فرمول «8÷قطر×قطر×3/14» به دست می‌آید.