ریاضی , علوم پایه , فیزیک 338 بازدید

دستگاه مختصات، مفهومی است که با استفاده از آن مکان نقاط در یک صفحه تعیین می‌شوند. معمولا در فیزیک و ریاضیات دو یا سه محور عمود بر هم در نظر گرفته شده و فاصله نقطه‌ی مفروض از محور‌ها به‌عنوان مختصات نقطه در نظر گرفته می‌شود. به چنین دستگاه مختصاتی، دستگاه مختصات کارتزینی (Cartesian Coordinate System) گفته می‌شود. احتمالا تاکنون با این نوع از دستگاه مختصات آشنا شده‌اید. از این رو در این مطلب قصد داریم تا دستگاه مختصاتی پرکاربرد، تحت عنوان مختصات قطبی را معرفی کنیم.

بیان نقطه در مختصات قطبی

همان‌طور که احتمالا می‌دانید،‌ در دستگاه مختصات کارتزینی، فاصله افقی تا محور y را x و فاصله عمودی تا محور x را y می‌نامند. در شکل زیر این فواصل نشان داده شده‌اند.

polar-coordinate

از طرفی می‌توان نقطه بالا را به شکلی متفاوت نیز نشان داد. در این روش مختصات نقطه را با استفاده از دو پارامتر نشان می‌دهند. این دو پارامتر، فاصله از مرکز مختصات و زاویه با محور افقی هستند. در شکل زیر مختصات قطبی نقطه، فاصله و زاویه آن نشان داده شده‌اند. برای نمونه مختصات دو نقطه‌ی نشان داده شده در شکل زیر به‌ترتیب برابر با $$(2,\pi /6)$$ و $$(-2,\pi /6)$$ هستند. همان‌طور که احتمالا متوجه شده‌اید، عدد سمت چپ، فاصله از مبدا مختصات و عدد سمت راست، زاویه خط متصل‌کننده مبدا و نقطه، با محور افقی است.

polar-coordinate

توجه داشته باشید که زمانی r و θ هم‌علامت هستند که هر دو در یک ربع قرار گیرند. برای نمونه در شکل زیر نقطه مربوط به خط‌چین را می‌توان به‌صورت $$(2,7\pi /6)$$ نیز بیان کرد. در حقیقت در این حالت زاویه و اندازه به‌شکل زیر در نظر گرفته ‌شده‌اند.

polar-coordinate

در حالت کلی یک نقطه در دستگاه مختصات قطبی را می‌توان به 4 طریق بیان کرد. برای نمونه نقطه‌‌ی زیر را در نظر بگیرید.

polar-coordinate

همان‌طور که در شکل نیز مشخص شده زاویه این نقطه با محور افقی برابر با ۶۰ درجه و فاصله نقطه تا مبدا برابر با ۵ است. از این رو مختصات نقطه فوق برابر با $$(5,\pi /3)$$ در نظر گرفته می‌شود. اما در حالت کلی نقطه‌ی مفروض را می‌توان به شکل‌های زیر نمایش داد.

polar-coordinate

همان‌طور که می‌دانید اگر هر زاویه‌ای را با 3۶۰ درجه ($$2\pi$$) جمع کنیم، دایره را یک دور زده و به مکان اولیه می‌رسیم. در نتیجه مختصات (r,θ) برابر با $$(r,\theta+2\pi)$$ است.

تبدیل مختصات قطبی و کارتزینی به یکدیگر

در شکل زیر یک نقطه در دو مختصات قطبی و کارتزینی نشان داده شده است. با توجه به این شکل و مفاهیم مثلثات، مختصات x و y را می‌توان بر حسب r و θ، به شکل زیر بیان کرد.

polar-coordinate
رابطه 1

البته گاهی اوقات یک معادله یا نقطه در دستگاه مختصاتی قطبی بیان شده و نیاز است آن را در مختصات کارتزینی بیان کنیم. با توجه به عبارت‌های x و y ارائه شده در رابطه بالا، اندازه r برابر است با:

polar-coordinate

هم‌چنین با تقسیم کردن عبارت‌های x و y به یکدیگر داریم:

polar-coordinate

در نتیجه زاویه مختصات قطبی بر حسب مختصاتِ کارتزینی با استفاده از رابطه زیر بدست می‌آید.

توجه داشته باشید که در رابطه بالا مقدار زاویه در بازه‌ی $$-\pi/2<\theta < \pi/2$$ بیان می‌شود. معمولا راحت‌تر آن است که همواره مقدار r، مثبت بیان شود. نهایتا مختصات کارتزینی را می‌توان با استفاده از رابطه زیر بر حسب مختصات قطبی بیان کرد:

polar-coordinate
رابطه 2

برای درک بهتر به مثالی که در ادامه آمده توجه فرمایید.

مثال 1

  1. $$(-4,2\pi/3) $$ را در مختصات کارتزینی بیان کنید.
  2. (1-,1-) در مختصات قطبی به چه صورت است.

(1): با استفاده از رابطه 1، مختصات x و y برابرند با:

polar-coordinate

در نتیجه مختصات نقطه $$(-4,2\pi/3) $$ در دستگاه کارتزینی برابر با $$(2,-2\sqrt{3}) $$ است.

(2): جهت بدست آوردن مختصات قطبی نیز می‌توان از رابطه 2 استفاده کرد. با قرار دادن 1- به‌جای مقادیر x و y در رابطه 2، داریم:

polar-coordinate

در نتیجه مختصات (1-,1-) در دستگاه کارتزینی برابر با $$(\sqrt2,\pi/4) $$ در دستگاه قطبی است. البته این مختصات را برابر با $$(-\sqrt{2},\pi+\pi/4) $$ نیز می‌توان نشان داد.

مثال 2

  1. رابطه $$2x-5x^3=1+xy$$ را در مختصات قطبی بیان کنید.
  2. رابطه r=-8cos θ را بر حسب x و y، در مختصات کارتزینی بنویسید.

(1): جهت بیان کردن رابطه کارتزینی بر حسب قطبی، کافی است از تبدیل x=rcos θ و y=rsin θ استفاده کنید [این تبدیل همان رابطه 1 است]. با جایگذاری تبدیل مذکور داریم:

polar-coordinate

رابطه بالا بر حسب r و θ بیان شده بنابراین رابطه مذکور در دستگاه قطبی بیان شده است.

(2): با جایگذاری r2=x2+y2 در صورت سوال، رابطه ارائه شده در مختصات قطبی به‌شکل زیر بدست می‌آید.

polar-coordinate

با توجه به مطلب معادله دایره، رابطه بالا نشان دهنده یک دایره است، چراکه با اضافه کردن 1۶ به طرفینِ رابطه و مرتب کردن، می‌توان آن را به‌صورت زیر بازنویسی کرد.

polar-coordinate

مرکز این دایره در مختصات (4,0-) و اندازه شعاع دایره مذکور برابر با 4 است. انیمشین زیر مراحل تبدیل شدن یک نمودار از مختصات کارتزینی به قطبی را نشان می‌دهد. در مرحله اولِ حرکت، تابع در مختصات کارتزینی معکوس شده، پس از آن محور x به‌شکل زاویه‌ای در می‌آید.مختصات قطبی

نمودار‌های پرکاربرد در مختصات قطبی

در این قسمت برخی از نمودار‌های شناخته شده در مختصات کارتزینی را در مختصات قطبی بیان خواهیم کرد.

1. θ=β

رابطه بالا شکل یک منحنی را در مختصات قطبی نشان می‌دهد. در این رابطه θ متغیر و مقدار β، عددی ثابت است. جهت درک شکل نمودار این رابطه بهتر است آن را در مختصات کارتزینی بیان کنیم. از این رو از رابطه 2 استفاده می‌کنیم. بنابراین با استفاده از رابطه 2 داریم:

polar-coordinate

عبارت tan β عددی ثابت است. از این رو رابطه θ=β خطی با شیب ثابت tan β را نشان می‌دهد. شکل زیر چنین نموداری را نشان می‌دهد.

polar-coordinate
$$\theta=\beta$$ خطی با شیب $$tan\beta$$ را نشان می‌دهد.

2. r=2a cosθ

جهت بیان کردن رابطه بالا در مختصات کارتزینی، بایستی طرفین رابطه را ابتدا در r ضرب کرد. با انجام این کار داریم:

polar-coordinate

مطابق با رابطه 1، rcos θ در معادله بالا برابر با x است. در نتیجه رابطه بالا را می‌توان به‌صورت زیر بازنویسی کرد.

polar-coordinate

با اضافه کردن عبارت a2 به طرفین معادله بالا داریم:

polar-coordinate

رابطه بالا دایره‌ای به شعاع a و مرکز (a,0) را نشان می‌دهد.

3. r=2b sinθ

مشابه با حالت قبل می‌توان اثبات کرد که این رابطه نیز نشان دهنده تابعی به مرکز $$(0,b)$$ و شعاع b است. البته بهتر است به‌جای حفظ کردن رابطه مربوط به هر نمودار، روش تبدیل مختصات‌ها به یکدیگر را تمرین کنید.

مثال 3

نمودار‌های زیر را در یک دستگاه مختصات x-y رسم کنید.

  1. r=7
  2. r=4cos θ
  3. r=-7sin θ

همان‌طور که می‌دانید رابطه r=7 نشان دهنده دایره‌ای به شعاع ۷ است. از طرفی روابط b و c به‌ترتیب نشان دهنده دایره‌هایی به شعاع‌های 2 و 3.۵ هستند. در شکل زیر هر سه‌ نمودار رسم شده‌اند.

polar-coordinate

مختصات قطبی مبحث مهمی در رشته‌های ریاضیات، علوم پایه و مهندسی محسوب می‌شود. بسیاری از معادلات مرتبط با پدیده‌های فیزیکی را می‌توان در این دستگاه مختصات بیان کرده و حل آن‌ها را آسان‌تر کرد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات پایه و مهندسی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 1 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *