ریاضی 34514 بازدید

complex-numbers

اعداد مختلط دسته ویژه‌ای از اعداد هستند که از ترکیب یک عدد حقیقی و یک عدد موهومی به دست می‌آیند. در مبحث معادله درجه دو عنوان شد که در دلتای منفی پاسخی برای معادله وجود ندارد. این گذاره با این فرض بیان شد که با اعداد مختلط آشنا نبودیم. اما بایستی گفت در این حالت نیز معادله پاسخ دارد ولی این پاسخ، عددی مختلط است. برای این که با این اعداد آشنا باشید، باید با اعداد حقیقی و همچنین اعداد موهومی قبلاً آشنا شده باشید. در ادامه این دو دسته از اعداد را مختصراً توضیح می‌دهیم:

  • اعداد حقیقی: تقریباً هر عددی که به ذهن‌تان برسد یک عدد حقیقی است. به طور خلاصه اعداد حقیقی شامل اعداد صحیح، اعداد گویا و اعداد گنگ هستند. در ادامه مثال‌هایی از اعداد حقیقی ارائه شده است:

1   ,   12.38   ,   -0.8625   ,   3/4   ,   √2   ,   1998

  • اعداد موهومی دسته ویژه‌ای از اعداد هستند چون اگر این اعداد را به توان 2 برسانیم، برخلاف اعداد صحیح ، حاصل توان یک عدد منفی خواهد بود.

باید توجه داشته باشید که این اتفاق در حالت عادی رخ نمی‌دهد، چون در مورد اعداد حقیقی قاعده‌های زیر برقرار هستند:

  • هنگامی که یک عدد مثبت را به توان 2 می‌رسانیم، پاسخ مثبت می‌گیریم، و
  • هنگامی که یک عدد منفی را به توان 2 برسانیم، باز هم یک عدد مثبت به دست می‌آوریم، چون ضرب منفی در منفی، مثبت می شود.

اما باید فرض کنیم که چنین عددی (عدد موهومی) داریم، چون به آن نیاز خواهیم داشت. کمترین واحد برای اعداد موهومی (مانند 1 برای اعداد حقیقی) برابر i است، که همان جذر عدد 1- است.

اعداد مختلط

زیرا وقتی i را به توان برسانیم، عدد 1- را به دست می‌آوریم. نمونه هایی از اعداد موهومی شامل موارد زیر هستند:

3i , 1.04i , −2.8i , 3i/4 , (√2)i , 1998i

دلیل این که در همه اعداد موهومی نماد i استفاده می‌شود، این است که به خاطر بسپاریم باید عدد را در  1-√ ضرب کنیم. اینک که با اعداد موهومی نیز آشنا شدیم نوبت به اعدداد مختلط می‌رسد.

اعداد مختلط

عدد مختلط، ترکیبی از یک عدد حقیقی و یک عدد موهومی است.

اعداد مختلط

در ادامه چند عدد مختلط را به عنوان مثال ارائه کرده‌ایم:

1 + i   ,   39 + 3i   ,   0.8 – 2.2i   ,   -2 + πi   ,   √2 + i/2

آیا ممکن است یک عدد ترکیبی از دو عدد دیگر باشد؟

پاسخ سوال فوق مثبت است. این همان کاری است که همواره در مورد کسرها انجام می‌دهیم. برای مثال کسر 3/8 یک عدد تشکیل شده از 3 و 8 است. می دانیم که این عدد به معنی «سه تا از هشت تکه برابر» است.

بنابراین به خاطر بسپارید که یک عدد مختلط، صرفاً ترکیب عادی دو عدد است، به طوری که یک عدد حقیقی و یک عدد موهومی با هم ترکیب می‌شوند.

هر یک از دو عدد تشکیل دهنده عدد مختلط می‌توانند صفر باشد

تا اینجا متوجه شدیم که یک عدد مختلط یک قسمت حقیقی و یک قسمت موهومی دارد. اما هر قسمت از این عدد مختلط می‌تواند برابر با  0 باشد، پس تمامی اعداد حقیقی و موهومی به تنهایی نیز می‌توانند عدد مختلط باشند.

برای این که درک بهتری از اعداد مختلط داشته باشیم در ادامه مفهوم صفحه مختلط را معرفی می‌کنیم.

صفحه مختلط

اعداد مختلط را می‌توانیم روی صفحه مختلط نشان دهیم. صفحه مختلط دو محور دارد که بخش موهومی عدد مختلط روی محور عمودی و بخش حقیقی آن وی محور افقی نمایش می‌یابد.

  • قسمت حقیقی عدد به چپ و راست می رود
  • قسمت موهومی نیز به بالا یا پایین می رود

مثال: عدد مختلط  4 + 3 به صورت زیر نمایش می‌یابد.

جمع

برای جمع دو عدد مختلط، هر عضو را جداگانه باهم جمع می کنیم:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

مثال:

(3 + 2i) + (1 + 7i)

             = 3 + 1 + (2 + 7)i

= (4 + 9i)

به عنوان یک مثال دیگر سعی می‌کنیم دو عدد مختلط زیر را با هم جمع کنیم:

(3 + 5i) + (4 − 3i)

              = 3 + 4 + (5 − 3)i

= 7 + 2i

جمع فوق را بر روی صفحه اعداد مختلط به صورت زیر می‌توان نمایش داد:

ضرب

برای ضرب اعداد مختلط، هر بخش از یک عدد مختلط، در هر دو بخش عدد مختلط دیگر ضرب می شود. دقیقاً همانند ضرب دو جمله‌ای، باید هر جمله عدد مختلط اول در همه جملات عدد مختلط دوم ضرب شود.

  • جمله‌های اول:    a × c
  • جمله‌های بیرونی:     a × di
  • جمله‌های داخلی:     bi × c
  • جمله‌های آخر:     bi × di

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2

مثال: 

(3 + 2i)(1 + 7i)

         (3 + 2i)(1 + 7i) = 3 × 1 + 3 × 7i + 2× 1+ 2× 7i

              = 3 + 21i + 2i + 14i2

                                                    = 3 + 21i + 2i – 14 (منفی یک است i چون مجذور)

= -11 + 23i

و یک مثال دیگر:

(1 + i)2

(1 + i)2 = (1 + i)(1 + i) = 1×1 + 1×i + 1×i + i2

                                                           = 1 + 2i – 1 (منفی یک است i چون مجذور)

            = 0 + 2i

راه حل سریعتری هم هست

از این قاعده استفاده کنید:

(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

مثال:

(3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 2×7) + (3×7 + 2×1)i = 11 + 23i

این قاعده چگونه عمل می‌کند؟

این همان روش ضرب دو جمله‌ای است که کمی تغییر یافته است:

(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2      ضرب دو جمله ای

                                 = ac + adi + bci – bd    منفی یک است i چون مجذور

                      = (ac – bd) + (ad + bc)i   پس از دسته بندی

و بدین ترتیب الگوی زیر به دست می آید:

(ac − bd) + (ad + bc)i

این قاعده قطعاً سریع‌تر است؛ اما اگر آن را فراموش کردید کافی است روش ضرب دو جمله‌ای را به خاطر بیاورید.

استفاده از i2

برای سرگرمی از این روش برای محاسبه i2 استفاده کنیم. می‌دانیم که i را می‌توان با یک قسمت حقیقی و یک قسمت موهومی به صورت زیر تعریف کرد:

0 + i

بنابراین

                              i2 = (0 + i)2 = (0 + i)(0 + i)
= (0×0 1×1) + (0×1 + 1×0)i
= 1 + 0i
= -1

و این محاسبه به طور کامل تعریف را که 1- = i2 می‌داند، تایید می‌کند.

مزدوج عدد مختلط

مزدوج عدد مختلط به عددی گفته می‌شود که علامت بین دو بخش عدد مختلط، معکوس شده باشد. به شکل زیر توجه کنید:

معمولاً برای نشان دادن مزدوج بودن یک عدد، خطی روی آن رسم می‌شود:

مثال:

اعداد مختلط

تقسیم

از مزدوج عدد مختلط برای تقسیم این اعداد استفاده می‌شود. کافی است تقسیم را ابتدا به صوت کسری بنویسیم و سپس صورت و مخرج این کسر را در کسری که صورت و مخرج آن مزدوح مخرج کسر اول است ضرب نماییم.

مثال: تقسیم را انجام دهید.

   

صورت و مخرج کسر را بر مزدوج مخرج ضرب می‌کنیم:

به یاد داریم که 1- = i2، پس:

جملات مشابه را با هم جمع می‌کنیم. دقت کنید که 20i 20i در مخرج حذف می‌شود:

در نهایت آن را به فرم یک عدد مختلط در می‌آوریم:

می‌بینید که تقسیم انجام یافته است. گرچه به مقداری محاسبات نیاز دارد، اما کار دشواری محسوب نمی‌شود.

ضرب در مزدوج

البته روش سریع‌تری نیز برای ضرب وجود دارد. در مثال قبل، اتفاق جالبی در مخرج افتاد:

(4 5i)(4 + 5i) = 16 + 20i – 20i – 25i2

جملات وسط حذف شدندو و از آنجایی که 1- = i2 است، به این نتیجه رسیدیم که:

(4 – 5i)(4 + 5i) = 42 + 52

این یک نتیجه واقعاً ساده است و در واقع یک ضابطه کلی برای این مسئله به دست می‌دهد:

(a + bi)(a – bi) = a2 + b2

بدین ترتیب می‌بینیم که از این طریق می‌توان سریع‌تر به جواب رسید، برای مثال سعی کنید مقدار کسر زیر را به دست آورید.

صورت و مخرج کسر را به مزدوج مخرج ضرب می کنیم:

و به شکل عدد مختلط تبدیل می کنیم:

مجموعه مندلبرو

مجموعه زیبای مندلبرو (Mandelbrot) که در تصویر زیر نشان داده شده، بر اساس اعداد مختلط است.

این نمودار نشان دهنده نتایجی است که با برابر گرفتن مکرر پاسخ معادله ساده z2 + c  (که هردو عدد مختلط هستند) با z و حل مجدد معادله به دست می‌آید. رنگ‌ها نیز سرعت رشد این معادله را نشان می‌دهند. رنگ سیاه به این معنی است که معادله در یک محدوده مشخصی باقی می‌ماند.با بزرگنمایی لبه‌های تصویر فوق از مجموعه مندلبرو به تصویر زیر می‌رسیم:

 تصویر زیر نیز مجدداً بزرگنمایی تصویر فوق است و می‌توان مرکز تصویر قبل را مشاهده کرد.

شاید این تصویر بتواند به خوبی توضیح دهد که چرا می‌گویند زیبایی‌های ریاضیات بی‌نهایت است. اگر به این نوشته علاقه‌مند بودید، موارد زیر نیز احتمالاً مورد توجه شما واقع خواهند شد:

==

بر اساس رای 132 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

24 نظر در “اعداد مختلط – به زبان ساده

    1. با سلام و تشکر از توجه شما. در متن اشاره شده که «علامت بین دو بخش عدد مختلط،‌ معکوس می‌شود» و این یک عبارت رایج در ریاضیات است. در واقع اصطلاح قرینه شدن برای اعداد و اصطلاح معکوس شدن برای علامت این اعداد به کار می‌رود.

  1. سلام دوستان یک سوال داشتم
    شرط هم نوایی مدارهای عموی چیست؟
    1-ضریب موهومی برابر یک شود
    2-ضریب موهومی مخالف صفر شود
    3-ضریب موهومی دارای توان دو شود
    4-ضریب موهومی صفر شود

  2. یک ساعت و نیم دیگه امتحان پایانترم دارم..با نهایت ناامیدی یه سرچ زدم تو نت ببینم یاد میگیرم مختلط رو یا نه…شما معجزه کردین.جامع و مفید..الهی دست به خاکستر میزنین طلا بشه

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *