اعداد مختلط در ریاضی — به زبان ساده

۴۵۸۰۰ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۹ شهریور ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۶ دقیقه
اعداد مختلط در ریاضی — به زبان ساده

اعداد مختلط دسته ویژه‌ای از اعداد هستند که از ترکیب یک عدد حقیقی و یک عدد موهومی به دست می‌آیند. در مبحث معادله درجه دو عنوان شد که در دلتای منفی پاسخی برای معادله وجود ندارد. این گذاره با این فرض بیان شد که با اعداد مختلط آشنا نبودیم. اما بایستی گفت در این حالت نیز معادله پاسخ دارد ولی این پاسخ، عددی مختلط است. برای این که با این اعداد آشنا باشید، باید با اعداد حقیقی و همچنین اعداد موهومی قبلاً آشنا شده باشید. در ادامه این مطلب از مجله فرادرس& این دو دسته از اعداد را مختصراً توضیح می‌دهیم:

  • اعداد حقیقی: تقریباً هر عددی که به ذهن‌تان برسد یک عدد حقیقی است. به طور خلاصه اعداد حقیقی شامل اعداد صحیح، اعداد گویا و اعداد گنگ هستند. در ادامه مثال‌هایی از اعداد حقیقی ارائه شده است:

1   ,   12.38   ,   -0.8625   ,   3/4   ,   √2   ,   1998

  • اعداد موهومی دسته ویژه‌ای از اعداد هستند چون اگر این اعداد را به توان 2 برسانیم، برخلاف اعداد صحیح ، حاصل توان یک عدد منفی خواهد بود.

باید توجه داشته باشید که این اتفاق در حالت عادی رخ نمی‌دهد، چون در مورد اعداد حقیقی قاعده‌های زیر برقرار هستند:

  • هنگامی که یک عدد مثبت را به توان 2 می‌رسانیم، پاسخ مثبت می‌گیریم، و
  • هنگامی که یک عدد منفی را به توان 2 برسانیم، باز هم یک عدد مثبت به دست می‌آوریم، چون ضرب منفی در منفی، مثبت می شود.

اما باید فرض کنیم که چنین عددی (عدد موهومی) داریم، چون به آن نیاز خواهیم داشت. کمترین واحد برای اعداد موهومی (مانند 1 برای اعداد حقیقی) برابر i است، که همان جذر عدد 1- است.

اعداد مختلط

زیرا وقتی i را به توان برسانیم، عدد 1- را به دست می‌آوریم. نمونه هایی از اعداد موهومی شامل موارد زیر هستند:

3i , 1.04i , −2.8i , 3i/4 , (√2)i , 1998i

دلیل این که در همه اعداد موهومی نماد i استفاده می‌شود، این است که به خاطر بسپاریم باید عدد را در  1-√ ضرب کنیم. اینک که با اعداد موهومی نیز آشنا شدیم نوبت به اعدداد مختلط می‌رسد.

اعداد مختلط

عدد مختلط، ترکیبی از یک عدد حقیقی و یک عدد موهومی است.

اعداد مختلط

در ادامه چند عدد مختلط را به عنوان مثال ارائه کرده‌ایم:

1 + i   ,   39 + 3i   ,   0.8 - 2.2i   ,   -2 + πi   ,   √2 + i/2

آیا ممکن است یک عدد ترکیبی از دو عدد دیگر باشد؟

پاسخ سوال فوق مثبت است. این همان کاری است که همواره در مورد کسرها انجام می‌دهیم.

برای مثال کسر 3/8 یک عدد تشکیل شده از 3 و 8 است. می دانیم که این عدد به معنی «سه تا از هشت تکه برابر» است.

بنابراین به خاطر بسپارید که یک عدد مختلط، صرفاً ترکیب عادی دو عدد است، به طوری که یک عدد حقیقی و یک عدد موهومی با هم ترکیب می‌شوند.

هر یک از دو عدد تشکیل دهنده عدد مختلط می‌توانند صفر باشد

تا اینجا متوجه شدیم که یک عدد مختلط یک قسمت حقیقی و یک قسمت موهومی دارد. اما هر قسمت از این عدد مختلط می‌تواند برابر با  0 باشد، پس تمامی اعداد حقیقی و موهومی به تنهایی نیز می‌توانند عدد مختلط باشند.

برای این که درک بهتری از اعداد مختلط داشته باشیم در ادامه مفهوم صفحه مختلط را معرفی می‌کنیم.

صفحه مختلط

اعداد مختلط را می‌توانیم روی صفحه مختلط نشان دهیم. صفحه مختلط دو محور دارد که بخش موهومی عدد مختلط روی محور عمودی و بخش حقیقی آن وی محور افقی نمایش می‌یابد.

  • قسمت حقیقی عدد به چپ و راست می رود
  • قسمت موهومی نیز به بالا یا پایین می رود

مثال: عدد مختلط  4 + 3 به صورت زیر نمایش می‌یابد.

جمع

برای جمع دو عدد مختلط، هر عضو را جداگانه باهم جمع می کنیم:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

مثال:

(3 + 2i) + (1 + 7i)

             = 3 + 1 + (2 + 7)i

= (4 + 9i)

به عنوان یک مثال دیگر سعی می‌کنیم دو عدد مختلط زیر را با هم جمع کنیم:

(3 + 5i) + (4 − 3i)

              = 3 + 4 + (5 − 3)i

= 7 + 2i

جمع فوق را بر روی صفحه اعداد مختلط به صورت زیر می‌توان نمایش داد:

جمع برداری اعداد مختلطضرب

برای ضرب اعداد مختلط، هر بخش از یک عدد مختلط، در هر دو بخش عدد مختلط دیگر ضرب می شود. دقیقاً همانند ضرب دو جمله‌ای، باید هر جمله عدد مختلط اول در همه جملات عدد مختلط دوم ضرب شود.

ضرب اعداد مختلط

  • جمله‌های اول:    a × c
  • جمله‌های بیرونی:     a × di
  • جمله‌های داخلی:     bi × c
  • جمله‌های آخر:     bi × di

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2

مثال: 

(3 + 2i)(1 + 7i)

         (3 + 2i)(1 + 7i) = 3 × 1 + 3 × 7i + 2× 1+ 2× 7i

              = 3 + 21i + 2i + 14i2

                                                    = 3 + 21i + 2i - 14 (منفی یک است i چون مجذور)

= -11 + 23i

و یک مثال دیگر:

(1 + i)2

(1 + i)2 = (1 + i)(1 + i) = 1×1 + 1×i + 1×i + i2

                                                           = 1 + 2i - 1 (منفی یک است i چون مجذور)

            = 0 + 2i

راه حل سریعتری هم هست

از این قاعده استفاده کنید:

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

مثال:

(3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 - 2×7) + (3×7 + 2×1)i = -11 + 23i

این قاعده چگونه عمل می‌کند؟

این همان روش ضرب دو جمله‌ای است که کمی تغییر یافته است:

(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2      ضرب دو جمله ای

                                 = ac + adi + bci - bd    منفی یک است i چون مجذور

                      = (ac - bd) + (ad + bc)i   پس از دسته بندی

و بدین ترتیب الگوی زیر به دست می آید:

(ac − bd) + (ad + bc)i

این قاعده قطعاً سریع‌تر است؛ اما اگر آن را فراموش کردید کافی است روش ضرب دو جمله‌ای را به خاطر بیاورید.

استفاده از i2

برای سرگرمی از این روش برای محاسبه i2 استفاده کنیم. می‌دانیم که i را می‌توان با یک قسمت حقیقی و یک قسمت موهومی به صورت زیر تعریف کرد:

0 + i

بنابراین

                              i2 = (0 + i)2 = (0 + i)(0 + i)
= (0×0 - 1×1) + (0×1 + 1×0)i
= -1 + 0i
= -1

و این محاسبه به طور کامل تعریف را که 1- = i2 می‌داند، تایید می‌کند.

مزدوج عدد مختلط

مزدوج عدد مختلط به عددی گفته می‌شود که علامت بین دو بخش عدد مختلط، معکوس شده باشد. به شکل زیر توجه کنید:

مزدوج اعداد مختلط

معمولاً برای نشان دادن مزدوج بودن یک عدد، خطی روی آن رسم می‌شود:

مثال:

اعداد مختلط

تقسیم

از مزدوج عدد مختلط برای تقسیم این اعداد استفاده می‌شود. کافی است تقسیم را ابتدا به صوت کسری بنویسیم و سپس صورت و مخرج این کسر را در کسری که صورت و مخرج آن مزدوح مخرج کسر اول است ضرب نماییم.

مثال: تقسیم را انجام دهید.

    تقسیم اعداد مختلط

صورت و مخرج کسر را بر مزدوج مخرج ضرب می‌کنیم:

به یاد داریم که 1- = i2، پس:

جملات مشابه را با هم جمع می‌کنیم. دقت کنید که 20i - 20i در مخرج حذف می‌شود:

در نهایت آن را به فرم یک عدد مختلط در می‌آوریم:

می‌بینید که تقسیم انجام یافته است. گرچه به مقداری محاسبات نیاز دارد، اما کار دشواری محسوب نمی‌شود.

ضرب در مزدوج

البته روش سریع‌تری نیز برای ضرب وجود دارد. در مثال قبل، اتفاق جالبی در مخرج افتاد:

(4 - 5i)(4 + 5i) = 16 + 20i - 20i - 25i2

جملات وسط حذف شدندو و از آنجایی که 1- = i2 است، به این نتیجه رسیدیم که:

(4 - 5i)(4 + 5i) = 42 + 52

این یک نتیجه واقعاً ساده است و در واقع یک ضابطه کلی برای این مسئله به دست می‌دهد:

(a + bi)(a - bi) = a2 + b2

بدین ترتیب می‌بینیم که از این طریق می‌توان سریع‌تر به جواب رسید، برای مثال سعی کنید مقدار کسر زیر را به دست آورید.

صورت و مخرج کسر را به مزدوج مخرج ضرب می کنیم:

و به شکل عدد مختلط تبدیل می کنیم:

مجموعه مندلبرو

مجموعه زیبای مندلبرو (Mandelbrot) که در تصویر زیر نشان داده شده، بر اساس اعداد مختلط است.

این نمودار نشان دهنده نتایجی است که با برابر گرفتن مکرر پاسخ معادله ساده z2 + c  (که هردو عدد مختلط هستند) با z و حل مجدد معادله به دست می‌آید. رنگ‌ها نیز سرعت رشد این معادله را نشان می‌دهند. رنگ سیاه به این معنی است که معادله در یک محدوده مشخصی باقی می‌ماند.با بزرگنمایی لبه‌های تصویر فوق از مجموعه مندلبرو به تصویر زیر می‌رسیم:

 تصویر زیر نیز مجدداً بزرگنمایی تصویر فوق است و می‌توان مرکز تصویر قبل را مشاهده کرد.

شاید این تصویر بتواند به خوبی توضیح دهد که چرا می‌گویند زیبایی‌های ریاضیات بی‌نهایت است.

بر اساس رای ۷۰۵ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
mathsisfun
۸۶ دیدگاه برای «اعداد مختلط در ریاضی — به زبان ساده»

خیلی ممنون بابت توضیحات خوب و شفافتون🙏🏻

عالی بود🙏خدا خیرتون بده

سلام
من شنیدم نمیشه عدد غیر حقیقی رو با روابط رادیکالی به اعداد حقیقی تبدیل کرد.
به طور مثال (رادیکال a) به توان b میشه رادیکال (a به توان b)
به شرطی که باعث تبدیل شدن عدد غیر حقیقی به حقیقی نشه.
یعنی نمیتونیم بگیم( رادیکال -1 )به توان 2 میشه رادیکال( -1 به توان 2) که میشه رادیکال یک یا همون یک
در حالی که شما اعداد غیر حقیقی یا همون موهومی رو گفتید اعدادی هستند که اگر به توان 2 برسند میشند اعداد حقیقی
حالا نمیدونم کدومش درسته

سلام
من شنیدم نمیشه عدد غیر حقیقی رو با روابط رادیکالی به اعداد حقیقی تبدیل کرد.
به طور مثال (رادیکال a) به توان b میشه رادیکال (a به توان b)
به شرطی که باعث تبدیل شدن عدد غیر حقیقی به حقیقی نشه.
یعنی نمیتونیم بگیم( رادیکال -1 )به توان 2 میشه رادیکال( -1 به توان 2) که میشه رادیکال یک یا همون یک
در حالی که شما اعداد غیر حقیقی یا همون موهومی رو گفتید اعدادی هستند که اگر به توان 2 برسند میشند اعداد حقیقی
حالا نمیدونم کدومش درسته

واقعا نمیدونم چطور از شما تشکر کنم . مدتها با این قضیه مشکل داشتم. عالی بود سپاس

واقعا عالی بود .👏ساده و قابل فهم

ممنون از شما واقعا محتوای خوب و آموزنده و قابل فهمی بود. ممنون از مجموعه خوب فرادرس

بسیار عالی

بسیار عالی وممنون که انقدر ساده و روان توضیح دادید

عالیی ?

اعداد مختلط تفریق نداشتن؟

خدا خیرتون بده

خیلی ممنون ریاضی درس شیرینیه به شرطی که استادت شیرین یادت بده مثل شما یک دنیا ممنون

عالی بود واقعا هیچی بارم نبود ولی با این مطالب خوب یاد گرفتم

بسیار عالی

خیلی عالی و ساده توضیح داده شد. ممنون

فک کنم حالم بهتر شد

با تشکر از زحماتتون.

خیلی ممنونم.عالیییییییییی

خیلی ممنونم

خیلی عالیییییییییی✔✔✔✔✔✔✔✔✔✔✔????
من خیلی خوب یاد گرفتم
خسته نباشید

با سلام و تشکر
مطلب ساده و روان بیان شده، استفاده کردم

خیلی خوب بود لطفن این آموزش ها رو متوقف نکنید

دمتون گرم??.کلا ناامید شده بودم از رسیدن به جواب. خدا خیرتون بده.

واقعا عالی بود به ساده ترین زبان توضیح دادید ?????

شما مثل همیشه بهترین هستید .واقعا عالی .

خسته نباشین خیلیییییی گویا و روان بود
عالییی

ان شاءالله خدا خیرتون بده.خدا قوت. عالیتر از این نمیشد?

خدا قوت
بیان عالی دارید

وای خیلی عالی بود مااستادمون خوب درس نمیده من ازاول ترم تاحالابا سایت شما جلو میرم ممنون ازتون واقعا

سلام ببخشید میشه اثبات کنید هارو هم بگیدهمشونو مثلا مثلا زد با زدبار برابره / Rez برابر زد +زد بار تقسیم ۲ و تفکیکا و…. ?؟

خیلی واضح توضیح داده بودید ، دستتون درد نکنه
فقط یک سوال باقی می مونه …
اونم اینه که توی فیلم گفتید اعداد موهومی و اعداد مختلط توی دنیای حقیقی کاربرد ( وجود ) نداره ، اما توی فیزیک و … کاربرد داره !
در حالی که اصلا تعریف علم فیزیک میشه قوانین حاکم بر طبیعت !
چجوری در دنیای حقیقی و طبیعت کاربرد ( وجود ) نداره اما روی قوانین طبیعت تاثیر گذاره ؟!؟

در واقع برای توصیف پدیده ها کاربرد دارند
مثلا ما در فیزیک از اعداد منفی خیلی استفاده میشند ولی مگر شما در طبیعیت وجود دارند؟ شما تاحالا منفی چندتا درخت دیدی؟

سلام.ببخشید یه سوال داشتم اینکه ما در دبیرستان خونده بودیم که اصلا رادیکال منفی 1 ماهیت وجودی نداره پس چجوری تو اعداد مختلط اونو ضرب میکنیم در یک عدد حقیقی؟

سلام.
ما با توجه به $$i^2=-1$$ روی اعداد مختلط به فرم $$a+bi$$ عملیات ریاضی انجام می‌دهیم. اینکه عدد ماهیت وجودی دارد یا ما آن را تعریف کرده‌ایم، خللی در انجام عملیات ریاضی ایجاد نمی‌کند. عملیات روی هر عددی، تا زمانی که اصول و فرضیات را نقض نکند، قابل انجام است.
از همراهی‌تان با مجله فرادرس خوشحالیم.

ممنونم راستش اطلاعت زیادی راجع به این اعدادنداشتم والان به خوبی یاد گرفتم♥

این اعداد در دنیای واقعی وجود دارند. برای همین گاوس با نام موهومی مشکل داشت و گفت که باید این اعداد را اعداد جانبی ( Lateral numbers) نامید.

واقعا دست شما درنکنه خیلی عالی بود

سلام عالی بود البته به اون ایراد کوچولو که دوستان بهش اشاره کردن اگه میشه اصلاحش کنین

خیلی ممنون مطالبتون عالی بود

خیلی کامل ومفید و با جزئیات بود.
تشکر از شما.

بسیار عالی

واقعا عالی بود…توضیح ساده و روان شما باعث میشه همه ی افرادی که این مطلبو میخونن با هر سطح علمی متوجه بشن و دیگر نیازی نست که به سایت های دیگر مرجعه کنند.

بسیار عالی، مفید و مختصر. دمتون گرم!

سلام به استاد گرامی
بسیار عالی بود
مممنونمممممم ????

خیلی مفید بود
واقعا ریاضیات زیباست…
من رشته دبیرستانیم ریاضی _ فیزیک بود.
دانشگاه هم ریاضیات قبول شدم.
و فقط میتونم بگم احسنت.

سلام ببخشید اگر صورت و مخرج توان داشته باشند چطور حل میشه ؟

سلام. در مطلب «توان و ریشه اعداد مختلط — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)» این موضوع آموزش داده شده است.
از همراهی شما با مجله فرادرس خوشحالیم.

خیلی ممنون از زحماتتون

سلام خسته نباشی
چقدددددررر مختصر وعالی بود دستتون درد نکنه
استادمون هشت بار تخترو پاک کرد ولی نتونست توضیح بده
فقط کاش میشدتو واتساپ به اشتراک گذاشت

میتونید لینک شو کپی کنید و ارسال کنید

فقط میتونم بگم دمتون گرم که این همه مطالب رو رایگان در اختیار ما میگذارین…. اجرتون با خدا (:

عالی و مفید مرسی

مقاله اي بسيار تامل برانگيز و جذاب حتي براي دبيرستاني ها رياضي زيباست:)

مختصر و مفید ترین جزوه ممکن بود
خسته نباشید.

سلام ما چگونه میتونیم این اعداد رو درصورتی که i در کنارشون نبود تشخیص بدیم؟ توی انگلیسی بهشون میگن imaginary numbers و من یه سوال پیدا کردم که نوشته بود اعداد موهومی را پیدا کنید گزینه ها هم به ای صورت بودن
a) √-9
b)7i
c)4^1/2
d)-√5
1/2^(e)(-3
f)i√2
g)ریشه سوم 64-

واقعا دمتون گرم خیلی کمکم کردید

با سلام و خسته نباشید

چند بار این اعداد مختلط رو جاهای دیگه خونده بودم ولی یاد نگرفتم

ولی امروز این روش بیان عالی شما
معجزه کرد
و خیلی خوب فهمیدم و یاد گرفتم

واقعا خسته نباشید و خیلی خیلی ممنون

واقعا ممنون ازتون فوق العاده عالی و مختصر و مفید بود امیدوارم از خدا هرچی میخاید بهتون بده کار ما رو راه انداختید با توضیحات فوق العاده تون?????????

لطفا در ادامه حل معادله درجه ۲ با دلتای منفی رو بگید
تشکر

کافیه دلتای به دست اومده زیر رادیکال رو به یک عدد موهومی تبدیل کنید. مثلا اگه دلتا منفی دو باشه، ریشه ی دوم -2 همان ریشه ی دوم 2 ضرب در ریشه ی دوم -1 است که میدهد رادیکال دو ضرب در i. بعد از اون تقسیم مربوط به راه حل رو انجام میدید و درپایان ریشه ی به دست آمده ( x ) عددی مخطلط خواهد بود.

فوق العاده بود، دستتون درد نکنه

بسیار عالی ✌❤

عالی بود

عالییی بود مرسی

یک ساعت و نیم دیگه امتحان پایانترم دارم..با نهایت ناامیدی یه سرچ زدم تو نت ببینم یاد میگیرم مختلط رو یا نه…شما معجزه کردین.جامع و مفید..الهی دست به خاکستر میزنین طلا بشه

سلام دوستان یک سوال داشتم
شرط هم نوایی مدارهای عموی چیست؟
۱-ضریب موهومی برابر یک شود
۲-ضریب موهومی مخالف صفر شود
۳-ضریب موهومی دارای توان دو شود
۴-ضریب موهومی صفر شود

واقعا استادی شما فک نمی کردم انقدر راحت باشه .استادمون چقد سخت توضیح داد.بازم دمتون گرم

درمزدوج اعداد علامت بین دو عدد قرینه میشود نه معکوس
لطفا ویرایش شود

با سلام و تشکر از توجه شما. در متن اشاره شده که «علامت بین دو بخش عدد مختلط،‌ معکوس می‌شود» و این یک عبارت رایج در ریاضیات است. در واقع اصطلاح قرینه شدن برای اعداد و اصطلاح معکوس شدن برای علامت این اعداد به کار می‌رود.

بســـــــــیار عالـــــی متشـــــــــــکرم

خیلی عالی بود.ممنووووون

خیلی مفید بود مرسی از استاد گرامی

Thank you for every thing:)

فقط میتونم بگ دمتون گرمممممممممممممممممممممممم

واقعا عالی بود ♥

بسيار عالي شاد باشيد

خیلی خوب

بشدت عالی بهتون تبریک میگم

تشکر از شما
واقعا مختصر و مفید.

عالییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییییی

خیلی خوب و مفید بود.

سلام با تشکر . مختصر و عالی

خیلی ممنونم.
این مطلب واقعن مفید بود برام و کارم رو راه انداخت.

درسته ایول

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *