سری همگرا و واگرا — از صفر تا صد

۱۸۱۰۴ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۳ بهمن ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۶ دقیقه
سری همگرا و واگرا — از صفر تا صد

پیش‌تر در بلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به دنباله‌های عددی، دنباله‌های حسابی، هندسی و ... توضیح داده شده‌اند. در این مطلب قصد داریم تا در مورد حاصل جمع جملات یک دنباله صحبت کرده و شما را با سری همگرا و واگرا آشنا کنیم.

997696

سری مفهومی بسیار پرکاربرد در نوشتن الگوریتم‌ها است. برای نمونه مفهوم بسط تیلور که در ریاضیات بسیار پرکاربرد است،‌ در حقیقت یک سری محسوب می‌شود.

تعاریف

فرض کنید {an} \left \{ { { a _ n } } \right \} دنباله‌ای از اعداد باشد.

در این صورت حاصل جمع زیر را سری بینهایت یا به طور ساده‌تر سری می‌نامند.

n=1an=a1+a2++an+\large { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } } = { { a _ 1 } + { a _ 2 } + \ldots } + { { a _ n } + \ldots }

جمع بخشی از دنباله an را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

n=1nan=a1+a2++an \large { \sum \limits _ { n = 1 } ^ n { { a _ n } } } = { { a _ 1 } + { a _ 2 } + \ldots + { a _ n } }

یک کلاس درس با استاد ایستاده مقابل تخته سیاه و دانشجویان نشسته (تصویر تزئینی مطلب سری همگرا و واگرا)

حاصل عبارت فوق را با Sn نشان می‌دهند. در حالتی که n n \to \infty برقرار بوده و Sn به L میل کند، در این صورت سری Sn را همگرا می‌نامند. بنابراین می‌توان گفت:

n=1an=L    if    limnSn=L { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } = L \; \; } \kern -0.3pt { \text {if} \; \; \lim \limits _ { n \to \infty } { S _ n } = L }

اگر به هر نحوی رابطه فوق برقرار نباشد، سری واگرا نامیده می‌شود. به منظور تشخیص واگرا یا همگرا بودن یک سری، آزمون‌هایی وجود دارد که در ادامه آن‌ها را توضیح داده‌ایم.

آزمون جمله nام

این آزمون می‌گوید اگر سری n=1an \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } همگرا باشد در این صورت حد an در بینهایت صفر است. به عبارتی اگر سری n=1an \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } همگرا باشد، حد زیر نیز برقرار باشد.

limnan=0 \large \lim \limits _ { n \to \infty } { a _ n } = 0

نکته: عکس این آزمون الزاما درست نیست. در حقیقت صفر بودن حد an در بینهایت همگرا بودن سری را نتیجه نمی‌دهد. برای نمونه حاصل حد 1n \frac {1}{n} برابر با صفر است. این در حالی است که سری n=11n \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \large \frac { 1 } { n } \normalsize } واگرا است. به طور معادل اگر، limnan0 \lim\limits_{n \to \infty } {a_n} \ne 0 یا حد نداشته باشد، سری ana_n واگرا است.

آزمون دالامبر یا آزمون نسبت

برای به‌‌کارگیری این آزمون بایستی حاصل حد limnan+1an=r { \displaystyle \lim _ { n \to \infty } \left| { \frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } } \right| = r } را بیابیم. در این رابطه اگر  r < 1 باشد، در این صورت سری همگرا است. در حالتی که r=1 باشد، نمی‌توان در مورد همگرا یا واگرا بودن سری نظری قطعی داد.

ویژگی‌های سری‌های همگرا

فرض کنید دو سری n=1an=A \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { a _ n } } = A و n=1bn=B \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { { b _ n } } = B همگرا بوده و c عددی ثابت باشد.

در این صورت دو گذاره‌ زیر نیز برقرار خواهند بود.

  • n=1(an+bn) \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \left ( { { a _ n } + { b _ n } } \right ) }
  • n=1can=cA \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { c { a _ n } } = c A

مثال‌ها

در ادامه مثال‌هایی ذکر شده که مطالعه آن‌ها را به منظور درک بهتر مطلب، توصیه می‌کنیم.

مثال ۱

وضعیت همگرایی سری n=13n \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \sqrt [ \large n \normalsize ] { 3 } } را مشخص کنید.

جهت تعیین وضعیت همگرایی سری، می‌توان از آزمون جمله nام استفاده کرد. در حقیقت حاصل حد limn3n=limn31n=1 \lim \limits _ { n \to \infty } \sqrt [ \large n \normalsize ] { 3 } = \lim \limits _ { n \to \infty } { 3 ^ { \large \frac { 1 } { n } \normalsize} } = 1 متناهی است. بنابراین سری تشکیل شده از جملات آن نیز واگرا خواهد بود.

یک دانشجو نشسته در کلاس خالی در حال کتاب خواندن (تصویر تزئینی مطلب سری همگرا و واگرا)

مثال ۲

نشان دهید که حاصل سری n=11n \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \large \frac { 1 } { n } \normalsize } واگرا است.

حاصل حد 1n \frac { 1 } { n } در بینهایت برابر با صفر است. بنابراین نمی‌توان به‌طور قطعی گفت سری واگرا است. حاصل حد limnan+1an=r { \displaystyle \lim _ { n \to \infty } \left| { \frac { a _ { n + 1 } } { a _ { n } } } \right| = r } نیز برابر با ۱ است. بنابراین از این آزمون نیز نمی‌توان استفاده کرد. به منظور تشخیص وضعیت سری، می‌توان جملات آن را به صورت زیر جمع زد.

\large { \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \frac { 1 } { n } } } = { 1 + \frac { 1 } { 2 } + \underbrace {\left( { \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 4 } } \right)}_{\frac{7}{{12}} > \frac{1}{2}} } + { \underbrace { \left ( { \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 7 } + \frac { 1 } { 8 } } \right ) } _ { \frac { { 5 3 3 } } { { 8 4 0 } } > \frac { 1 } { 2 } } } + { \ldots \; }

از استدلال فوق می‌توان نامساوی زیر را نتیجه گرفت.

\large \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \large \frac { 1 } { n } \normalsize } > \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } = \infty

بنابراین سری واگرا بوده و حاصل آن به بینهایت میل می‌کند.

مثال ۳

وضعیت همگرایی سری n=11(n+π)(n+π+1) \sum \limits _ { n = 1 } ^ \infty { \large \frac { 1 } { { \left ( { n + \pi } \right ) \left ( { n + \pi + 1 } \right ) } } \normalsize } به چه صورت است؟

در برخی از موارد، جملات یک سری دو به دو همدیگر را خنثی می‌کنند. برای نمونه جمله عمومی این سری را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

1(n+π)(n+π+1)=1n+π1n+π+1\large { \frac { 1 } { { \left ( { n + \pi } \right ) \left ( { n + \pi + 1 } \right ) } } } = { \frac { 1 } { { n + \pi } } } - { \frac { 1 } { { n + \pi + 1 } } }

اگر عبارت فوق را به صورت زیر باز کنید خواهید دید که جملات سری دو به دو همدیگر را خنثی می‌کنند.

Sn=(11+π12+π)+(12+π13+π)++(1n+π1n+π+1)=11+π1n+π+1 \large { { S _ n } = \left ( { \frac { 1 } { { 1 + \pi } } – \frac { 1 } { { 2 + \pi } } } \right ) } + { \left ( { \frac { 1 } { { 2 + \pi } } – \frac { 1 } { { 3 + \pi } } } \right ) + \ldots } + { \left ( { \frac { 1 } { { n + \pi } } – \frac { 1 } { { n + \pi + 1 } } } \right ) } = { \frac { 1 } { { 1 + \pi } } } - { \frac { 1 } { { n + \pi + 1 } } }

بنابراین حاصل حد Sn در حالتی که n n \to \infty میل کند، برابر است با:

limnSn=limn(11+π1n+π+1)=11+π0,24\large { \lim \limits _ { n \to \infty } { S _ n } } = { \lim \limits _ { n \to \infty } \left ( { \frac { 1 } { { 1 + \pi } } – \frac { 1 } { { n + \pi + 1 } } } \right ) } = { \frac { 1 } { { 1 + \pi } } } \approx { 0 , 2 4 }

در نتیجه سری ارائه شده به عدد ۰.۲۴ همگرا است.

بر اساس رای ۱۶۳ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24.net
۷ دیدگاه برای «سری همگرا و واگرا — از صفر تا صد»

سلام و خسته نباشید
آموزش‌هایی که تو سایت برای مباحث ریاضی گذاشته میشه واقعا کمک بزرگیه.
فقط اگر توی فیلم‌های کوتاه به جای صرفا روخوانی اسلایدها توضیحات واضح‌تر و بهتر هم ارائه بشه خیلی آموزک‌ها مفیدتر میشن.
سپاس

سلام بهتر است که شرط همگرا و واگرایی سری ها را اثبات کنید

سلام وقت بخیر،من میخوام کاربرد سری های همگرا و واگرا رو در رشته ی علوم پایه یاهمون زیست شناسی سلولی ومولکولی بدونم امانمیدونم باید به کجامراجعه کنم ،میشه راهنماییم کنید؟

آخرین فرمول قبل مثال ۳ ایراد داره
در عبارت سمت راست نامساوی، n کجای جمله عمومی قرار داره؟

سلام و روز شما به خیر؛

مطلب مورد بازبینی قرار گرفت اما مطلبی که شما به آن اشاره کردید صحیح است. در حقیقت همان طور که در معادله بالاتر آن نیز نشان داده شده، مجموع جملات مختلف دنباله با جمله دوم مقایسه شده و روند صعودی مجموع جملات نشان داده شده است که نشان دهنده واگرا بودن سری است.

از همراهی شما با فرادرس خرسندیم.

خاستم بدونم اگه بخوایم واگرا وهمگرا رو یاد بگیریم چه مباحثی رو در اولویت اول باید یاد بگیریم

سلام. برای یادگیری مبحث واگرایی و همگرایی سری‌ها، باید با دنباله‌ها و همچنین مفهوم حد آشنا باشید. برای یادگیری این موضوعات می‌توانید به آموزش‌های «مجموع یابی دنباله ها — به زبان ساده»، «حد در ریاضی و محاسبه آن — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» و «حد در بینهایت — به زبان ساده» مراجعه کنید.
همچنین، درصورت نیاز به مطالعه بیشتر می‌توانید مطالب مورد نظرتان را از فهرست مطالب ریاضی مجله فرادرس بیابید.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *