علوم پایه , فیزیک 4181 بازدید

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد مفاهیم پایه‌ای الکتریسیته هم‌چون میدان الکتریکی، پتانسیل الکتریکی و قانون گاوس صحبت کردیم. با استفاده از این مفاهیم قطعاتی الکترونیکی ساخته شده که امروزه تکنولوژی را متحول کرده است. دیود‌ها و ترانزیستور‌ها نیز نمونه‌ای از این قطعات هستند. در این مطلب قصد داریم تا در مورد یکی از کلیدی ترینِ این قطعات یعنی «خازن» (Capacitor) صحبت کنیم.

مقدمه

یک خازن به جزئی گفته می‌شود که وظیفه آن ذخیره بار و در نتیجه انرژی الکتریکی است. خازن‌ها از نظر ظاهر و اندازه متفاوت هستند اما مکانیزم کارکرد آن‌ها یکسان است. اصول کارکرد خازن به این صورت است که دو ناحیه با بار مخالف در معرض یکدیگر قرار می‌گیرند. دو بار مخالف، میدانی الکتریکی را ایجاد می‌کنند که در خود انرژی الکتریکی را ذخیره کرده و می‌توان در صورت لزوم از آن استفاده کرد. در شکل زیر میدان ناشی از دو بار با اندازه برابر و علامت مخالف نشان داده شده است.

Capacitor

خازن‌ها کاربرد بسیاری در صنعت الکترونیک دارند. مهم‌ترین استفاده از آن‌ها به عنوان فیلتر کننده فرکانس‌ و ذخیره‌ کننده بار‌های الکتریکی در مدار‌های الکتریکی است.

زمانی که یک خازن در حالت تعادل الکتریکی قرار دارد،‌ هیچ‌یک از صفحات آن دارای بار الکتریکی نیستند. وقتی که آن را شارژ کنیم، بار الکتریکی Q میان صفحات جابجا می‌شود. این جابجایی منجر به باردار شدن یک صفحه به اندازه Q+ و صفحه دیگر به اندازه Q- خواهد شد. با توجه به اینکه با دو صحفه باردار مواجه هستیم، بنابراین می‌توان یک اختلاف پتانسیل برای آن تعریف کرد. توجه داشته باشید که در ادامه این اختلاف پتانسیل را با ΔV نشان خواهیم داد. هم‌چنین بدیهی‌ است که بار خالص موجود در یک خازن همواره برابر با صفر است و این تنها توزیع بار است که منجر به ایجاد اختلاف پتانسیل می‌شود.

در شکل زیر شماتیکی از ساده‌ترین نوع خازن نشان داده شده است. در این نوع از خازن از دو صفحه رسانای موازی استفاده شده که مساحت هرکدام از آن‌ها برابر با A است و با فاصله d از یکدیگر قرار گرفته‌اند.

Capacitor

آزمایشات نشان می‌دهند که مقدار بار Q ذخیره شده در خازن با اختلاف پتانسیل ΔV دو صفحه رابطه‌ای خطی دارد. بنابراین مقدار بار ذخیره شده در خازن را می‌توان در قالب فرمول زیر بیان کرد:

Capacitor

در رابطه بالا C را تحت عنوان «ظرفیت خازن» (Capacitance) می‌شناسند. از نظر فیزیکی، این ضریب نشان دهنده میزان توانایی خازن در ذخیره بار الکتریکی است. واحد اندازه‌گیری ظرفیت در سیستم SI فاراد است که با F نشان داده می‌شود. در حقیقت ا فاراد معادل با مقدار زیر است.

Capacitor

معمولا ظرفیت خازن‌ها از مرتبه پیکوفاراد تا میلی فاراد است. 1 پیکوفاراد برابر با 12-1۰ فاراد در نظر گرفته می‌شود. در مدارات الکتریکی نیز از دو خط موازی به‌منظور نشان دادن محل خازن استفاده می‌شود. البته حالت‌های مختلفی از نشان دادن خازن در یک مدار وجود دارد. در شکل زیر دو روش مرسوم جهت نشان دادن خازن رسم شده.

Capacitor

نحوه محاسبه ظرفیت خازن

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، مهم‌ترین مشخصه هر خازن ظرفیت آن است. از این رو در این قسمت نحوه بدست آوردن ظرفیت خازن را با استفاده از مثال توضیح خواهیم داد.

مثال 1: خازنی با دو صفحه موازی

مطابق با شکل زیر، دو صفحه تخت را تصور کنید که مساحت سطح هرکدام از آن‌ها برابر با A و فاصله آن‌ها برابر با d باشد. همان‌گونه که در شکل نیز مشخص شده، صفحه بالا دارای بار Q+ است و صفحه پایین بار Q- را در خود دارد.

Capacitor

می‌توان با استفاده از یک باتری، حالت توصیف شده را ایجاد کرد. در حقیقت باتری اختلاف پتانسیلی در دو سر خازن ایجاد می‌کند که منجر به جداسازی بارها از یکدیگر می‌شود. هدف ما محاسبه ظرفیت خازن مفروض است. به‌منظور یافتن ظرفیت C، در ابتدا بایستی میدان الکتریکی بین دو صفحه را تحلیل کنیم. توجه داشته باشید که یک خازن واقعی دارای اندازه‌ای محدود است. بنابراین خطوط میدان الکتریکی در لبه آن به صورت خط راست نخواهند بود. در حقیقت میدان الکتریکی را نمی‌توان در نزدیکی لبه صفحات فقط به صورت خطوط راست تصور کرد. به این پدیده «اثر لبه» (Edge Effect) گفته می‌شود. در شکل بالا نیز مشاهده می‌کنید که میدان الکتریکی در نزدیکی لبه بصورت منحنی در آمده است. این انحنا همان اثر لبه را نشان می‌دهد.

توصیفات بالا مربوط به حالت واقعی است. این در حالی است که به‌منظور استخراج فیزیک خازن، مطابق با شکل 1، میدان را بصورت خطوطی راست در نظر می‌گیریم که کاملا بین صفحات قرار گرفته‌اند. برای ایجاد چنین شرایطی دو صفحه موازی را فرض کنید که روبروی هم قرار گرفته و طول آن‌ها بینهایت است. چگالی سطحی الکتریکی این دو صفحه را برابر با σ فرض کنید. قانون گاوس در نزدیکی این دو صفحه را می‌توان به شکل زیر بیان کرد:

Capacitor

سطح گاوسی را مطابق با شکل زیر به نحوی در نظر بگیرید که در آن سطحی به مساحت ‘A از صفحه مثبت را در بر گیرد. (برای درک بهتر به شکل زیر توجه کنید).

Capacitor
شکل 1

با توجه به سطح گاوسی در نظر گرفته شده، میدان الکتریکیِ E میان دو صفحه برابر است با:

Capacitor

با بدست آمدن میدان الکتریکی می‌توان اختلاف پتانسیل دو صفحه را نیز یافت. اگر به یاد داشته باشید در مطلب پتانسیل الکتریکی رابطه میان میدان الکتریکی و اختلاف پتانسیل را بیان کردیم. در این‌جا نیز می‌توان با استفاده از میدان الکتریکی میان دو صفحه، اختلاف پتانسیل بین آن‌ها را نیز بدست آورد. در نتیجه با توجه به مفاهیم عنوان شده داریم:

Capacitor

توجه داشته باشید که در رابطه بالا مسیر انتگرال‌گیری از صفحه مثبت به سمت منفی در نظر گرفته شده است. در تمامی این مسیر بردار دیفرانسیلی جابجایی و بردار میدان الکتریکی هم‌جهت هستند. بایستی بدانید که جهت میدان الکتریکی همواره از پتانسیل بیشتر به سمت پتانسیل کمتر است (V> V)؛ بنابراین به‌منظور محاسبه ظرفیت خازن تنها از اندازه اختلاف پتانسیل استفاده می‌کنیم و علامت آن مهم نیست. در نتیجه اختلاف پتانسیل میان این دو صفحه برابر است با:

Capacitor

در بالا عنوان کردیم که ظرفیت یک خازن برابر است با  مقدار باری که با اعمال اختلاف ولتاژ 1 ولت بین دو صفحه جابجا می‌شود. بنابراین ظرفیت خازن در این حالت با استفاده از رابطه زیر قابل توصیف است.

Capacitor

همان‌طور که از رابطه بالا نیز برداشت می‌شود، ظرفیت یک خازن تنها به ویژگی‌های فیزیکی آن وابسته است. برای نمونه در حالتی که دو صفحه تخت وجود داشته باشد، این پارامتر به مساحت سطح دو صفحه (A) و هم‌چنین فاصله آن‌ها (d) مرتبط است. بنابراین هر‌چه فاصله دو صفحه کمتر و یا مساحت آن‌ها بیشتر باشد، خازن ظرفیت بیشتری خواهد داشت.

مثال 2: خازن استوانه‌ای

مطابق با شکل زیر استوانه‌ای به شعاع a را تصور کنید که توسط استوانه‌ای توخالی به شعاع داخلی b احاطه شده است. طول هر دو استوانه را برابر با L فرض کنید که بسیار بسیار از a-b بزرگ‌تر نیز در نظر گرفته شده (L>>a-b). با توجه به این فرض، می‌توان از اثر لبه در این خازن نیز صرف‌ نظر کرد.

Capacitor

اگر این خازن را به اختلاف پتانسیل ΔV متصل کنیم، باری به اندازه Q+ روی سطح داخلی و Q- روی سطح خارجی قرار می‌گیرد. با این فرض ظرفیت این خازن چقدر است؟

مطابق با مثال قبل در این مسئله نیز بایستی در ابتدا اندازه میدان الکتریکی را بین دو صفحه بدست آوریم. با توجه به تقارن مسئله، سطحی گاوسی را تصور می‌کنیم که طول آن l و بسیار کم‌تر از L است. مطابق با شکل 2 شعاع سطح گاوسی را نیز برابر با r فرض می‌کنیم که اندازه آن بین a و b قرار گرفته. در نتیجه، میدان الکتریکی بین دو صفحه را می‌توان با استفاده از قانون گاوس و به شکل زیر بدست آورد.

Capacitor

در رابطه بالا λ معرف چگالی بار طولی استوانه است که به صورت λ=Q/L تعریف می‌شود. توجه داشته باشید که میدان الکتریکی E تنها در فاصله a تا b وجود دارد. با توجه به میدان بدست آمده، اختلاف پتانسیلی که بین دو صفحه وجود دارد را می‌توان با استفاده از رابطه زیر بدست آورد.

Capacitor

در این انتگرال‌گیری نیز مشابه مثال قبل،‌ از صفحه مثبت به سمت صفحه منفی حرکت می‌کنیم. با داشتن بار Q و اختلاف پتانسیل V ظرفیت خازن استوانه‌ای را می‌توان با استفاده از رابطه زیر بدست آورد.

Capacitor

با توجه به رابطه بالا مشاهده می‌کنیم که در این حالت نیز، ظرفیت خازن فقط به ویژگی‌های هندسی وابسته است.

مثال 3: خازن کروی

برای مثال سوم، مطابق شکل زیر دو پوسته کروی را  تصور کنید که بار‌های Q+ و Q- را در خود نگه داشته‌اند. بار‌های الکتریکی در این دو پوسته به صورت کاملا یکنواخت توزیع شده‌اند.

Capacitor
شکل 2

مطابق شکل بالا سطح گاوسی را به صورت کره‌ای به شعاع r فرض کنید که اندازه آن عددی بین a و b است. میدان الکتریکی نیز تنها در این ناحیه وجود دارد، بنابراین می‌توان قانون گاوس را به صورت زیر بیان کرد:

Capacitor

با توجه به رابطه بالا میدان الکتریکی برابر با مقدار زیر بدست می‌آید.

Capacitor

با بکارگیری میدان بدست آمده اختلاف پتانسیل میان دو پوسته برابر است با:

Capacitor

نهایتا ظرفیت C برابر با مقدار زیر بدست می‌آید.

Capacitor

در این حالت نیز ظرفیت C فقط تابعی از هندسه خازن بدست آمده است. بایستی بدانید که اگر طول a را در رابطه بالا به بینهایت میل دهیم ظرفیتی خازنی بدست می‌آید که تنها از یک سطح باردار تشکیل شده. بنابراین ظرفیتی خازنی تک صفحه‌ای برابر است با:

Capacitor

از این رو ظرفیت خازنِ ناشی از یک پوسته‌ کروی برابر است با:

Capacitor

مجموعه‌ای از خازن‌ها در یک مدار

یک خازن می‌تواند توسط یک باتری که در اختلاف پتانسیل V∆ قرار گرفته، شارژ شود. در شکل زیر شماتیک فرآیند شارژ شدن خازن نشان داده شده است.

Capacitor

اتصالات بین باتری و خازن منجر به ذخیره شدن بار Q± روی صفحات می‌شود. صفحه‌ای که به قطب مثبت باتری متصل است، بار Q+ و صفحه متصل به قطب منفی، بار Q- را در خود ذخیره می‌کنند. در حقیقت باتری نقش یک پمپ الکتریکی را ایفا می‌کند که وظیفه‌ آن جابجایی بارهای Q از یک صفحه به صفحه دیگر است.

در حالت کلی خازن‌ها را می‌توان به دو صورت در مدار‌های الکتریکی قرار داد که در ادامه به آن‌ها اشاره می‌کنیم.

خازن‌های موازی

مطابق شکل زیر تصور کنید که خازنی با ظرفیت C1 و بار Q1 به خازنی دیگر با ظرفیت C2 و بار Q2 متصل شده.

Capacitor

صفحات سمت چپ خازن‌ها به پایه مثبت باتری متصل شده‌اند؛ بنابراین هر دوی این صفحات دارای پتانسیل الکتریکی یکسانی هستند. به‌طور مشابه صفحات سمت راست، به پایه منفی باتری متصل شده‌اند، از این رو این دو صفحه نیز از پتانسیل یکسانی برخوردار هستند. در نتیجه می‌توان گفت که اختلاف پتانسیل هر دو خازن با هم برابر است. بنابراین ظرفیت خازن‌ها را می‌توان بصورت زیر بیان کرد:

Capacitor

از طرفی می‌توان این دو خازن را با یک خازن معادل جایگزین کرد. اختلاف پتانسیل دو سر این خازن برابر با ΔV و بار آن را Q می‌نامیم. در این صورت می‌توان گفت:

Capacitor

بنابراین می‌توان با تقسیم بار الکتریکی به اختلاف پتانسیل دو سر خازن، ظرفیت خازن معادل را به صورت زیر بدست آورد.

Capacitor

رابطه بالا مربوط به حالتی است که دو خازن با یکدیگر موازی شده باشند. در حالت عمومی و زمانی که چندین خازن با یکدیگر موازی‌اند، ظرفیت خازن معادل آن‌ها را می‌توان به صورت زیر بدست آورد.

Capacitor

خازن‌های سری (متوالی)

دو خازن با ظرفیت‌های C1 و C2 را به نحوی در نظر بگیرید که در حالت اولیه بدون بار الکتریکی هستند. این دو خازن را بصورت متوالی و مطابق با شکل زیر به یکدیگر متصل می‌کنیم. از این رو پس از متصل کردن آن‌ها به باتری، اختلاف پتانسیل ΔV1 و ΔV2 به دو سر آن‌ها اعمال می‌شود. صفحه سمت چپ خازن شماره 1 به قطب مثبت باتری متصل شده و دارای بار Q+ می‌شود. به همین شکل صفحه سمت راست خازن شماره 2 نیز به قطب منفی باتری وصل شده و بار Q- را در خود نگه خواهد داشت.

Capacitor

در این حالت به نظر شما بار صفحات داخلی این دو خازن چقدر است؟ همان‌طور که در بالا نیز بیان کردیم، هرگاه یک خازن به اختلاف پتانسیلی متصل شود، بار الکتریکی با اندازه‌ای یکسان و علامتی مخالف روی دو صفحه آن پخش خواهد شد. بنابراین در این مسئله نیز بار صفحات داخلی برابر با Q خواهد بود. در نتیجه بارِ صفحه سمت راست خازن شماره 1 برابر با Q- و با صفحه چپ خازن شماره 1 برابر با Q+ است. از این رو در یک کلام می‌توان گفت که بار تمامی صفحات برابر با Q است. با این فرضیات و مراجعه به شکل بالا اختلاف پتانسیل دو سر خازن 1 و 2 را می‌توان به شکل زیر بیان کرد:

Capacitor

از طرفی بدیهی است که اختلاف پتانسیل کل دو خازن برابر است با:

خازن

با جایگذاری بار الکتریکی و ظرفیت خازن‌ها در رابطه بالا داریم:

خازن

با حذف Q از رابطه بالا، مقدار Ceq به شکل زیر بدست می‌آید.

Capacitor

از این رو در حالتی که چندین خازن با یکدیگر سری شده باشند، می‌توان از رابطه زیر جهت محاسبه ظرفیت معادل آن‌ها استفاده کرد.

Capacitor

مثال 4

مطابق شکل زیر سه خازن با ظرفیت‌های C1، C2 و C3 به یکدیگر متصل شده‌اند. ظرفیت معادل این خازن‌ها را بیابید.

Capacitor

همان‌طور که در شکل بالا نیز مشخص شده، خازن‌های C1 و C2 به شکلی موازی به یکدیگر متصل شده‌اند؛ بنابراین خازن معادل آن‌ها برابر است با:

Capacitor

در حقیقت پس از معادل‌سازی انجام شده در بالا، مدار معادل به شکل زیر در می‌آید.

Capacitor

در این مرحله C12 با C3 سری شده، بنابراین می‌توان خازن معادل C12 و C3 را به صورت زیر بدست آورد.

Capacitor-40.JPG

در نتیجه نهایتا می‌توان خازن معادل کل مدار را به شکل زیر بدست آورد.

Capacitor-41.JPG

در شکل زیر نحوه ساده شدن این مدار نشان داده شده است.

Capacitor

همانند این مثال می‌توان خازن‌ها را به شکل‌های مختلفی به یکدیگر متصل کرد. در این لینک مثال‌هایی توسط مهندس زندی حل شده که به‌منظور تسلط بیشتر به مفهوم خازن‌ها می‌توانید از آن استفاده کنید.

انرژی ذخیره شده در خازن

همان‌طور که در مقدمه نیز بیان شد، می‌توان از خازن‌ها به‌منظور ذخیره انرژی الکتریکی استفاده کرد. مقدار انرژی ذخیره شده در خازن برابر با کار انجام شده برای شارژ آن است. مطابق با شکل زیر میدان الکتریکی با صرف انرژی، باری به اندازه dq+ را از یک صفحه جدا کرده و به صفحه دیگر منتقل می‌کند.

Capacitor

خازنی را تصور کنید که در حالت اولیه بدون بار است. در هر کدام از این صفحات بیشمار بار مثبت و منفی وجود دارد،‌ اما تعداد آن‌ها با یکدیگر برابر است، بنابراین بار‌های مذکور همدگیر را خنثی می‌کنند. این خنثی کردن به این معنی است که بار خالص مثبت یا منفی روی هیچ‌یک از صفحات وجود ندارد. مطابق با شکل بالا فرض کنید که شخصی بار‌ dq+ را از صفحه پایین به بالا منتقل می‌کند. پس از انجام این کار بار صفحه پایین برابر با dq- و صفحه بالا برابر با dq+ خواهد شد. پس از تکرار این فرآیند، نهایتا بار صفحه پایین برابر با q- و صفحه بالا برابر با q+ خواهد شد.

بنابراین فرض کنید در لحظه‌ای مشخص بار روی صفحه بالا برابر با q+ باشد؛ در نتیجه اختلاف پتانسیل میان دو صفحه برابر با $$|\Delta V| = \frac qC$$ خواهد بود. به‌منظور جابجایی باری به اندازه dq+، بایستی به اندازه $$dW= |\Delta V|dq$$ کار انجام داد. اگر در حالت نهایی بار روی صفحه برابر با Q+ باشد، کار انجام شده در طی فرآیند برابر است با:

Capacitor

کار محاسبه شده در بالا، به‌صورت انرژی پتانسیل الکتریکی ذخیره شده در خازن ذخیره خواهد شد. بنابراین انرژی پتانسیل خازنی با بار Q، ظرفیت C و اختلاف پتانسیل ΔV برابر است با:

Capacitor
رابطه 1

چگالی انرژیِ میدان الکتریکی

انرژی ذخیره شده در یک خازن را می‌توان به‌صورت انرژی ذخیره شده در میدانِ خازن تصور کرد. در حالتی که با خازنی با صفحات موازی مواجه هستیم، ظرفیت و اختلاف پتانسیل دو سر آن برابر است با:

Capacitor

با جایگذاری این مقادیر در رابطه 1، انرژی ذخیره شده بر حسب میدان الکتریکی موجود در خازن، به شکل زیر بدست خواهد آمد.

Capacitor

اگر توجه داشته باشید، Ad حجم بین دو صفحه را نشان می‌دهد. از این رو می‌توان با تقسیم رابطه بالا به حجم میان دو صفحه خازن، به مقداری تحت عنوان چگالی انرژی الکتریکی دست یافت.

Capacitor

همان‌طور که از رابطه بالا معلوم می‌شود، uE یا همان چگالی انرژی، با توان دوم میدان الکتریکی رابطه‌ای مستقیم دارد. بنابراین مثلا با دو برابر کردن میدان الکتریکی چگالی انرژی الکتریکی 4 برابر خواهد شد.

مثال 5: چگالی انرژی الکتریکی هوای خشک

هوای خشک توانایی عایق بودن خود را در میدان Eb=3×10۶ V/m از دست می‌دهد. چگالی انرژی الکتریکی در این میدان چقدر است؟

با جایگذاری مقادیر ضریب گذردهی مربوط به هوای خشک و میدان ارائه شده در صورت مسئله، در رابطه مربوط به چگالی میدان الکتریکی، داریم:

Capacitor

مثال 6: انرژی ذخیره شده در پوسته کروی

پوسته‌ای کروی با بار Q و شعاع a را مطابق با شکل زیر در نظر بگیرید. انرژی ذخیره شده در پوسته مفروض چقدر است؟

Capacitor

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس و در مطلب میدان الکتریکی، میدان ناشی از پوسته کروی را برابر با مقدار زیر بدست آوردیم.

Capacitor

از این رو چگالی انرژی الکتریکی ناشی از این میدان برابر است با:

Capacitor

با بدست آمدن چگالی میدان، می‌توان با انتگرال‌گیری از آن، به کل انرژی ذخیره شده در میدان مفروض دست یافت. بدین منظور در ابتدا پوسته‌ای دیفرانسیلی را به ضخامت dr فرض می‌کنیم. حجم این پوسته برابر با dV=4πr2dr خواهد بود. نهایتا با انتگرال‌گیری رابطه بالا روی این جزء حجم،‌ داریم:

Capacitor

در رابطه بالا $$V= \frac {Q}{4 \pi \epsilon_0 a}$$ برابر با پتانسیل الکتریکی در سطح پوسته است. ما می‌توانیم ثابت کنیم که انرژی ذخیره شده در میدان برابر با کار انجام شده جهت باردار کردن پوسته به اندازه Q است. برای محاسبه کار مذکور فرض کنید که پوسته در لحظه مشخصی بار q را در بر دارد. پتانسیل ناشی از این بار برابر با $$V= \frac {q}{4 \pi \epsilon_0 a}$$ بدست می‌آید. از این رو کار جزئی انجام شده جهت اضافه کردن بار dq به سیستم، برابر با dW=Vdq است؛ بنابراین می‌توان از dW در بازه ۰ تا Q انتگرال‌گیری کرد و کار لازم جهت قرار دادن بار Q روی پوسته را به شکل زیر بدست آورد.

Capacitor

در آینده به مفهومی تحت عنوان «دی‌الکتریک» (Dielectric) خواهیم پرداخت که با استفاده از آن می‌توان ظرفیت خازن‌ها را افزایش داد. پیشنهاد می‌شود جهت تسلط کامل‌تر به موضوع به این لینک مراجعه کنید.

در صورت علاقه‌مندی به موضوعات مربوط به الکتریسیته، احتمالا آموزش‌های زیر برایتان کاربردی خواهند بود:

بر اساس رای 3 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *