مشتق تقسیم – توضیح به زبان ساده + مثال و تمرین

۵۶۳۵ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۳ مرداد ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۴۰ دقیقه
دانلود PDF مقاله
مشتق تقسیم – توضیح به زبان ساده + مثال و تمرینمشتق تقسیم – توضیح به زبان ساده + مثال و تمرین

مشتق تقسیم دو تابع، با استفاده از یک قاعده مشخص تعیین می‌شود. اگر تابعی مانند f در صورت یک کسر قرار داشته و تابع دیگری مانند g در مخرج آن کسر قرار داشته باشد، مشتق این عبارت برابر با fggfg۲\frac { f ^ { \prime } g – g ^ { \prime } f }{ g ^ ۲ } خواهد بود. این فرمول با عنوان قاعده خارج قسمت شناخته می‌شود. در این مقاله قصد داریم به آموزش نحوه محاسبه مشتق تقسیم انواع توابع با استفاده قاعده خارج قسمت و حل چندین مثال و تمرین متنوع در رابطه با این موضوع بپردازیم.

997696

مشتق توابع مهم

پیش از شروع آموزش تعیین مشتق تقسیم دو یا چند تابع، ابتدا باید با نحوه مشتق‌گیری از توابع مختلف آشنا شد.

جدول زیر، فرمول‌های مشتق برخی از مهم‌ترین انواع تابع در ریاضی را نمایش می‌دهد.

نوع تابعفرم کلی تابعفرمول مشتق در حالت کلی
چندجمله‌ای توان‌دارf(x)=xnf ( x ) = x ^ nf(x)=nxn۱f ^ { \prime } ( x ) = n x ^ { n - ۱ }
چندجمله‌ای توان‌دار با ضریب ثابتf(x)=axbf ( x ) = a x ^ bf(x)=baxb۱f ^ { \prime } ( x ) = b a x ^ { b - ۱ }
مثلثاتیf(x)=sin(x)f ( x ) = \sin ( x )f(x)=cos(x)f ^ { \prime } ( x ) = \cos ( x )
f(x)=cos(x)f ( x ) = \cos ( x )f(x)=sin(x)f ^ { \prime } ( x ) = - \sin ( x )
مشتق دیگر توابع مثلثاتی
هذلولی یا هیپربولیکf(x)=sinh(x)f ( x ) = \sinh ( x )f(x)=cosh(x)f ^ { \prime } ( x ) = \cosh ( x )
f(x)=cosh(x)f ( x ) = \cosh ( x )f(x)=sinh(x)f ^ { \prime } ( x ) = \sinh ( x )
مشتق دیگر توابع هذلولی
وارون-g(x)=۱f(g(x))\large g’ \left ( x \right ) = \frac { ۱ } { { f’ \left ( { g \left ( x \right ) } \right ) } }

در مبحث مشتق، یک‌سری قواعد وجود دارند که مهم‌ترین آن‌ها را به طور خلاصه در جدول زیر آورده‌ایم.

قانون مشتق‌گیریفرمول مشتق‌گیری
قانون عدد ثابتddx(c)=۰\frac { d } { dx } ( c ) = ۰
قانون ضریب ثابت$$ frac { d } { d x } x ^ c = c x ^ { c - ۱ }\ $$
قانون توان$$ frac { d } { d x } x ^ c = c x ^ { c - ۱ }\ $$
قانون جمع$$ frac { d } { d x } f ( x ) + g ( x ) = f ' ( x ) + g ' ( x )\ $$
قانون تفریق$$ frac { d } { d x } f ( x ) - g ( x ) = f ' ( x ) - g ' ( x )\ $$
قانون ضرب$$ frac { d } { d x } [ f ( x ) g ( x ) ] = f ( x ) g' ( x ) + g ( x ) f' ( x )\ $$
قانون تقسیم$$ frac { d } { d x } [ frac { f ( x ) } { g ( x ) } ] = frac { g ( x ) f' ( x ) - f ( x ) g' ( x ) } { [ g ( x ) ] ^ { ۲ } }\ $$
قانون زنجیره‌ایddxf[g(x)]=f[g(x)]g(x)\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] =f' [ g ( x ) ] g' (x )

در صورت علاقه به یادگیری بیشتر راجع به مشتق توابع ریاضی، مطالعه مطلب «فرمول های مشتق مهم + سوال با جواب و دانلود PDF» را به شما پیشنهاد می‌کنیم. علاوه بر این، مطالعه مطالب زیر نیز می‌تواند به شما در تسلط بر مبحث مشتق‌گیری کمک کند:

فرمول مشتق تقسیم دو تابع چیست ؟

مشتق تقسیم دو تابع، با استفاده از «قاعده خارج قسمت» (Quotient Rule) به دست می‌آید. فرمول این قاعده به صورت زیر نوشته می‌شود:

fggfg۲\frac { f ^ { \prime } g – g ^ { \prime } f }{ g ^ ۲ }

معلم در حال رسم نمودار

برای درک این فرمول، کسر زیر را در نظر بگیرید:

f(x)g(x)\frac { f ( x ) } { g ( x ) }

f و g، تابعی از متغیر x هستند. می‌خواهیم مشتق تقسیم f(x)f ( x ) بر g(x)g ( x ) را تعیین کنیم. به عبارت دیگر، به دنبال حاصل عبارت زیر هستیم:

ddx(f(x)g(x))=(f(x)g(x))\frac { d } { d x } \left ( \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ) = \left ( \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ) ^ { \prime }

بر اساس قاعده خارج قسمت، برای به دست آوردن حاصل عبارت بالا، به مشتق f(x)f ( x ) و g(x)g ( x ) نیاز داریم. این مشتق‌ها به صورت زیر نوشته می‌شوند:

ddxf(x)=f(x)\frac { d } { d x } f ( x ) = f ^ { \prime } ( x )

ddxg(x)=g(x)\frac { d } { d x } g ( x ) = g ^ { \prime } ( x )

با جایگذاری توابع f(x)f ( x ) و g(x)g ( x ) به همراه مشتق‌هایشان در قاعده خارج قسمت، خواهیم داشت:

f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)۲\frac { f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) – g ^ { \prime } ( x ) f ( x ) }{ g ( x ) ^ ۲ }

به همین ترتیب، اگر مشتق تقسیم تابع g(x)g ( x ) بر f(x)f ( x ) را بخواهیم، از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

ddx(g(x)f(x))=(g(x)f(x))=g(x)f(x)f(x)g(x)f(x)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { g ( x ) } { f ( x ) } \right ) = \left ( \frac { g ( x ) } { f ( x ) } \right ) ^ { \prime } = \frac { g ^ { \prime } ( x ) f ( x ) – f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) }{ f ( x ) ^ ۲ }

در مبحث مشتق، قاعده خارج قسمت با عبارت‌های جبری مختلفی نوشته می‌شود. برخی از رایج‌ترین روش‌های نمایش این قاعده عبارت هستند از:

y=u(x)v(x)y = \frac { u ( x ) } { v ( x ) }

ddx(uv)=vuuvv۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { u } { v } \right ) = \frac { v u ^ { \prime } – u v ^ { \prime } }{ v ^ ۲ }

dydx=vdudxudvdxv۲\frac { d y } { d x } = \frac { v \frac { d u } { d x } – u \frac { d v } { d x } } { v ^ ۲ }

مثال ۱: اثبات فرمول مشتق تقسیم ۱ بر x

اثبات کنید مشتق f(x)=۱xf ( x ) = \frac { ۱ } { x } برابر با f(x)=۱x۲f ^ { \prime } ( x ) = \frac { ۱ } { x ^ ۲ } است.

به منظور اثبات مشتق تقسیم یک بر ایکس، از قاعده خارج قسمت کمک می‌گیریم. بر اساس این قاعده داریم:

ddx(uv)=vuuvv۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { u } { v } \right ) = \frac { v u ^ { \prime } – u v ^ { \prime } }{ v ^ ۲ }

برای استفاده از رابطه بالا، صورت کسر ۱x\frac { ۱ } { x } را برابر با uu و مخرج آن را برابر با vv قرار می‌دهیم:

u=۱u = ۱

v=xv = x

از هر دو عبارت بالا مشتق می‌گیریم:

u=ddx۱=۰u ^ { \prime } = \frac { d } { d x } ۱ = ۰

v=ddxx=۱v ^ { \prime } = \frac { d } { d x } x = ۱

اکنون، توابع و مشتق‌هایشان را درون فرمول قاعده خارج قسمت جایگذاری می‌کنیم، خواهیم داشت:

ddx(۱x)=(x×۰) –(۱×۱)x۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = \frac { ( x \times ۰ ) \space – ( ۱ \times ۱ ) }{ x ^ ۲ }

ddx(۱x)=۰ –۱x۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = \frac { ۰ \space – ۱ }{ x ^ ۲ }

ddx(۱x)=۱x۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = \frac { - ۱ }{ x ^ ۲ }
ddx(۱x)=۱x۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = - \frac { ۱ }{ x ^ ۲ }

به این ترتیب، مشتق تقسیم ۱ بر x را به دست آوردیم.

مشتق تقسیم توابع چند جمله ای

فرم کلی مشتق توابع چندجمله‌ای به صورت زیر نوشته می‌شود:

ddx(axn±bxn۱± ... ±cx±d)=naxn۱±(n۱)bxn۱± ... ±c\frac { d } { d x } \left ( a x ^ n \pm b x ^ { n - ۱ } \pm \space ... \space \pm c x \pm d \right ) = n a x ^ { n - ۱ } \pm ( n - ۱ ) b x ^ { n - ۱ } \pm \space ... \space \pm c

برای تعیین مشتق تقسیم دو چندجمله‌ای، به رابطه بالا نیاز خواهیم داشت.

مثال ۲: محاسبه مشتق تقسیم دو چند جمله ای

مقدار f(x)f ^ { \prime } ( x ) را در نقطه x=۱x = ۱ به دست بیاورید.

f(x)=x۳x+۱f ( x ) = \frac { \sqrt { x } }{ ۳ x + ۱ }

روند محاسبه مشتق تابع بالا، هیچ تفاوتی با مشتق‌گیری از تقسیم یک بر x ندارد. در اینجا نیز مانند مثال ۱، ابتدا رابطه زیر را می‌نویسیم:

ddx(uv)=vuuvv۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { u } { v } \right ) = \frac { v u ^ { \prime } – u v ^ { \prime } }{ v ^ ۲ }

صورت کسر را برابر با uu و مخرج را برابر با vv قرار می‌دهیم:

u=xu = \sqrt { x }

v=۳x۲+۱v = ۳ x ^ ۲ + ۱

در ادامه، از دو تابع بالا مشتق می‌گیریم. برای مشتق uu داریم:

u=(x)=(x۱۲)u ^ { \prime } = \left ( \sqrt { x } \right ) ^ { \prime } = \left ( x ^ { \frac { ۱ } { ۲ } } \right ) ^ { \prime }

u=۱۲x۱۲۱u ^ { \prime } = \frac { ۱ } { ۲ } x ^ { \frac { ۱ } { ۲ } - ۱ }

u=۱۲x۱۲u ^ { \prime } = \frac { ۱ } { ۲ } x ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } }

برای مشتق vv نیز داریم:

v=(۳x۲+۱)=۶xv ^ { \prime } = \left ( ۳ x ^ ۲ + ۱ \right ) ^ { \prime } = ۶ x

اکنون، uu و vv را به همراه مشتق‌هایشان درون فرمول مشتق تقسیم دو تابع قرار می‌دهیم:

f(x)=ddx(uv)=vuuvv۲f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } \left ( \frac { u } { v } \right ) = \frac { v u ^ { \prime } – u v ^ { \prime } }{ v ^ ۲ }

f(x)=ddx(x۳x۲+۱)f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } \left ( \frac { \sqrt { x } } { ۳ x ^ ۲ + ۱ } \right )

f(x)=(۳x۲+۱)(۱۲x۱۲)(x)(۶x)(۳x۲+۱)۲f ^ { \prime } ( x ) = \frac { ( ۳ x ^ ۲ + ۱ ) \left ( - \frac { ۱ } { ۲ } x ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } } \right ) – \left ( \sqrt { x } \right ) ( ۶ x ) }{ \left ( ۳ x ^ ۲ + ۱ \right ) ^ ۲ }

f(x)=(۳x۲+۱)(۱۲x)(۶xx)(۳x۲+۱)۲f ^ { \prime } ( x ) = \frac { ( ۳ x ^ ۲ + ۱ ) \left ( - \frac { ۱ } { ۲ \sqrt { x } } \right ) – \left ( ۶ x \sqrt { x } \right ) }{ \left ( ۳ x ^ ۲ + ۱ \right ) ^ ۲ }

f(x)=۳x۲+۱۲x۶xx(۳x۲+۱)۲f ^ { \prime } ( x ) = \frac { - \frac { ۳ x ^ ۲ + ۱ } { ۲ \sqrt { x } } – ۶ x \sqrt { x } }{ \left ( ۳ x ^ ۲ + ۱ \right ) ^ ۲ }

f(x)=۳x۲+۱۲x۱۲x۲۲x(۳x۲+۱)۲f ^ { \prime } ( x ) = \frac { - \frac { ۳ x ^ ۲ + ۱ } { ۲ \sqrt { x } } – \frac { ۱۲ x ^ ۲ } { ۲ \sqrt { x } } }{ \left ( ۳ x ^ ۲ + ۱ \right ) ^ ۲ }

f(x)=۳x۲+۱۱۲x۲۲x(۳x۲+۱)۲f ^ { \prime } ( x ) = \frac { - \frac { ۳ x ^ ۲ + ۱ - ۱۲ x ^ ۲ } { ۲ \sqrt { x } } }{ \left ( ۳ x ^ ۲ + ۱ \right ) ^ ۲ }

f(x)=۱+۹x۲۲x(۳x۲+۱)۲f ^ { \prime } ( x ) = \frac { - ۱ + ۹ x ^ ۲ }{ ۲ \sqrt { x }\left ( ۳ x ^ ۲ + ۱ \right ) ^ ۲ }

اکنون، x=۱x = ۱ را درون رابطه مشتق تابع f(x)f ( x ) جایگذاری می‌کنیم:

f(۱)=۱+۹(۱)۲۲۱(۳(۱)۲+۱)۲f ^ { \prime } ( ۱ ) = \frac { - ۱ + ۹ ( ۱ ) ^ ۲ }{ ۲ \sqrt { ۱ }\left ( ۳ ( ۱ ) ^ ۲ + ۱ \right ) ^ ۲ }

f(۱)=۱+۹۲(۳+۱)۲f ^ { \prime } ( ۱ ) = \frac { - ۱ + ۹ }{ ۲ \left ( ۳ + ۱ \right ) ^ ۲ }

f(۱)=۸۲(۴)۲f ^ { \prime } ( ۱ ) = \frac { ۸ }{ ۲ \left ( ۴ \right ) ^ ۲ }

f(۱)=۸۲×۱۶f ^ { \prime } ( ۱ ) = \frac { ۸ }{ ۲ \times ۱۶ }

f(۱)=۸۳۲f ^ { \prime } ( ۱ ) = \frac { ۸ }{ ۳۲ }

f(۱)=۱۴f ^ { \prime } ( ۱ ) = \frac { ۱ }{ ۴ }

در نتیجه، f(x)f ^ { \prime } ( x ) در نقطه x=۱x = ۱ برابر با یک‌چهارم است.

مشتق تقسیم توابع مثلثاتی

توابع مثلثاتی، رابطه بین اندازه ضلع‌ها و زاویه‌های داخلی یک مثلث قائم‌الزویه را نشان می‌دهند. این توابع، با عنوان نسبت‌های مثلثاتی نیز شناخته می‌شوند. جدول زیر، مشتق توابع مثلثاتی اصلی را نمایش می‌دهد.

تابع مثلثاتیمشتق تابع مثلثاتی
sin(x)sin ( x )cos(x)cos ( x )
cos(x)cos ( x )sin(x)- sin ( x )
tan(x)tan ( x )sec۲(x)sec ^ ۲ ( x )
cot(x)cot ( x )csc۲(x)- csc ^ ۲ ( x )
sec(x)sec ( x )sec(x)tanxsec ( x ) tan x
csc(x)csc ( x )csc(x)cot(x)- csc ( x ) cot ( x )

روابط مختلفی بین نسبت‌های مثلثاتی وجود دارد. به عنوان مثال، تانژانت یک زاویه برابر با نسبت عکس کتانژانت آن زاویه است. سکانت و کسکانت نیز به ترتیب عکس کسینوس و سینوس هستند.  همان‌طور که می‌دانید، تانژانت از تقسیم سینوس بر کسینوس و کتانژانت، از تقسیم کسینوس بر سینوس به دست می‌آید. بنابراین، مفهوم مشتق تقسیم دو تابع، می‌تواند کاربرد زیادی در اثبات مشتق توابع مثلثاتی داشته باشد.

مثال ۳: اثبات فرمول مشتق تانژانت

با استفاده از مشتق توابع مثلثاتی sin(x)\sin ( x ) و cos(x)\cos ( x )، ثابت کنید که مشتق تابع مثلثاتی tan(x)\tan ( x) برابر با sec۲(x)\sec ^۲ ( x ) است.

بر اساس روابط و قوانین مثلثات، می‌دانیم که تانژانت یک زاویه از تقسیم سینوس بر کسینوس آن زاویه به دست می‌آید. بنابراین:

tan(x)=sin(x)cos(x)\tan ( x ) = \frac { \sin ( x ) }{ \cos ( x ) }

از طرفی، مشتق تانژانت برابر با مربع سکانت است:

ddxtan(x)=sec۲(x)\frac { d } { d x } \tan ( x ) = \sec ^ ۲ ( x )

بنابراین، باید رابطه زیر را اثبات کنیم:

ddx(sin(x)cos(x))=sec۲(x)\frac { d } { d x } \left ( \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right )= \sec ^ ۲ ( x )

دانش آموزان در کلاس

مشتق تقسیم سینوس بر روی کسینوس با استفاده از فرمول زیر (قاعده خارج قسمت) تعیین می‌شود:

ddx(f(x)g(x))=f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)۲\frac { d } { d x }\left ( \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ) = \frac { f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) – g ^ { \prime } ( x ) f ( x ) }{ g ( x ) ^ ۲ }

سینوس را برابر با f(x)f ( x ) و کسینوس را برابر با g(x)g ( x ) قرار می‌دهیم:

f(x)=sin(x)f ( x ) = \sin ( x )

g(x)=cos(x)g ( x ) = \cos ( x )

مشتق توابع بالا برابر است با:

f(x)=sin(x)=cos(x)f ^ { \prime } ( x ) = \sin ^ { \prime } ( x ) = \cos ( x )

g(x)=cos(x)=sin(x)g ^ { \prime } ( x ) = \cos ^ { \prime } ( x ) = - \sin ( x )

اکنون، توابع و مشتق‌ها را درون فرمول مشتق تقسیم جایگذاری می‌کنیم:

ddx(f(x)g(x))=f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)۲\frac { d } { d x }\left ( \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ) = \frac { f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) – g ^ { \prime } ( x ) f ( x ) }{ g ( x ) ^ ۲ }

ddx(sin(x)cos(x))=cos(x)cos(x)(sin(x)sin(x))cos۲(x)\frac { d } { d x }\left ( \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right ) = \frac { \cos ( x ) \cos ( x ) – ( - \sin ( x ) \sin ( x ) )}{ \cos ^ ۲( x ) }

ddx(sin(x)cos(x))=cos۲(x)+sin۲(x)cos۲(x)\frac { d } { d x }\left ( \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right ) = \frac { \cos ^ ۲ ( x ) + \sin ^ ۲ ( x ) }{ \cos ^ ۲ ( x ) }

با توجه به قوانین مثلثات، می‌دانیم:

cos۲(x)+sin۲(x)=۱\cos ^ ۲ ( x ) + \sin ^ ۲ ( x ) = ۱

sec(x)=۱cos(x)\sec ( x ) = \frac { ۱ } { \cos ( x ) }

بنابراین:

ddx(sin(x)cos(x))=۱cos۲(x)\frac { d } { d x }\left ( \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right ) = \frac { ۱ }{ \cos ^ ۲ ( x ) }

ddx(sin(x)cos(x))=sec۲(x)\frac { d } { d x }\left ( \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right ) = \sec ^ ۲ ( x )

در نتیجه:

ddxtan(x)=sec۲(x)\frac { d } { d x } \tan ( x ) = \sec ^ ۲ ( x )

به این ترتیب و با استفاده از قانون مشتق در تقسیم توابع اثبات کردیم که مشتق تانژانت برابر با مربع سکانت است.

مشتق تقسیم توابع معکوس

توابع معکوس یا وارون، توابعی هستند که عملکرد آن‌ها در گرفتن ورودی و خروجی، عکس توابع معمولی است. به عبارت دیگر، این توابع با گرفتن مقادیر خروجی، مقادیر ورودی را مشخص می‌کنند. اگر دو تابع f(x)f ( x ) و g(x)g ( x ) معکوس یکدیگر باشند، مشتق آن‌ها از رابطه  زیر به دست می‌آید:

g(x)=۱f(g(x))\large g’ \left ( x \right ) = \frac { ۱ } { { f’ \left ( { g \left ( x \right ) } \right ) } }

f(x)=۱g(f(x))\large f’ \left ( x \right ) = \frac { ۱ } { { g’ \left ( { f \left ( x \right ) } \right ) } }

مثال ۴: تعیین مشتق از روی تابع معکوس

تابع زیر را در نظر بگیرید:

g(x)=x+۲xg ( x ) = \frac { x + ۲ } { x }

معکوس این تابع عبارت است از:

f(x)=۲x۱f ( x ) = \frac { ۲ } { x - ۱ }

می‌خواهیم مشتق g(x)g ( x ) را از روی تابع معکوس آن مشخص کنیم. به این منظور، ابتدا رابطه مشتق تابع معکوس را می‌نویسیم:

g(x)=۱f(g(x))\large g’ \left ( x \right ) = \frac { ۱ } { { f’ \left ( { g \left ( x \right ) } \right ) } }

بر اساس رابطه بالا، برای به دست آوردن g(x)g ' ( x )، ابتدا باید f(g(x))f ' ( g ( x ) ) را تعیین کنیم. f(x)f ( x )، یک تابع کسری است. بنابراین، مشتق آن از رابطه زیر دست می‌آید:

f(x)=ddx(۲x۱)f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ } { x - ۱ } \right )

ddx(۲x۱)=(x۱)(ddx۲)(۲)(ddx(x۱))(x۱)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ } { x - ۱ } \right ) = \frac { ( x - ۱ ) (\frac { d } { d x } ۲ ) - ( ۲ ) \left ( \frac { d }{ d x } ( x -۱ ) \right ) }{ ( x - ۱ ) ^ ۲ }

ddx(۲x۱)=(x۱)(۰)(۲)(۱)(x۱)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ } { x - ۱ } \right ) = \frac { ( x - ۱ ) ( ۰ ) - ( ۲ ) \left ( ۱ \right ) }{ ( x - ۱ ) ^ ۲ }

ddx(۲x۱)=۰۲(x۱)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ } { x - ۱ } \right ) = \frac { ۰ - ۲ }{ ( x - ۱ ) ^ ۲ }

ddx(۲x۱)=۲(x۱)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ } { x - ۱ } \right ) = -\frac { ۲ }{ ( x - ۱ ) ^ ۲ }

f(x)=۲(x۱)۲f ^ { \prime } ( x ) = -\frac { ۲ }{ ( x - ۱ ) ^ ۲ }

به این ترتیب، f(g(x))f ^ { \prime } ( g ( x ) ) عبارت است از:

f(g(x))=۲(g(x)۱)۲f ^ { \prime } ( g ( x ) ) = -\frac { ۲ }{ ( g ( x ) - ۱ ) ^ ۲ }

f(g(x))=۲(x+۲x۱)۲f ^ { \prime } ( g ( x ) ) = -\frac { ۲ }{ ( \frac { x + ۲ } { x } - ۱ ) ^ ۲ }

f(g(x))=x۲۲f ^ { \prime } ( g ( x ) ) = - \frac { x ^ ۲ } { ۲ }

اکنون، عبارت بالا را درون رابطه مشتق معکوس تابع قرار می‌دهیم:

g(x)=۱f(g(x))\large g’ \left ( x \right ) = \frac { ۱ } { { f’ \left ( { g \left ( x \right ) } \right ) } }

g(x)=۱x۲۲\large g’ \left ( x \right ) = \frac { ۱ } { - \frac { x ^ ۲ } { ۲ } }

g(x)=۲x۲\large g’ \left ( x \right ) = - \frac { ۲ } { x ^ ۲ }

به این ترتیب، توانستیم مشتق تابع g(x)g ( x ) را با استفاده از تابع معکوس آن به دست بیاوریم. برای اعتبارسنجی این جواب، مشتق g(x)g ( x ) را به روش مستقیم و توسط قاعده خارج قسمت نیز تعیین می‌کنیم. در این روش، داریم:

g(x)=x+۲xg ( x ) = \frac { x + ۲ } { x }

g(x)=(x)(x+۲)(x+۲)(x)x۲g ^ { \prime } ( x ) = \frac { ( x ) ( x + ۲ ) ^ { \prime } - ( x + ۲ ) ( x ) ^ { \prime } } { x ^ ۲ }

g(x)=(x)(۱)(x+۲)(۱)x۲g ^ { \prime } ( x ) = \frac { ( x ) ( ۱ ) - ( x + ۲ ) ( ۱ ) } { x ^ ۲ }

g(x)=x(x+۲)x۲g ^ { \prime } ( x ) = \frac { x - ( x + ۲ ) } { x ^ ۲ }

g(x)=xx۲x۲g ^ { \prime } ( x ) = \frac { x - x - ۲ } { x ^ ۲ }

g(x)=۲x۲g ^ { \prime } ( x ) = \frac { - ۲ } { x ^ ۲ }

g(x)=۲x۲g ^ { \prime } ( x ) = - \frac { ۲ } { x ^ ۲ }

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، با استفاده از هر دو روش، به یک خروجی برای مشتق g(x)g ( x ) دست پیدا کردیم.

حل تمرین مشتق تقسیم

به منظور آشنایی بیشتر و بهتر با نحوه محاسبه مشتق تقسیم توابع، در این بخش به حل چندین تمرین می‌‌پردازیم.

تمرین ۱

مشتق تابع زیر را در نقطه x=۴x = ۴ محاسبه کنید.

f(x)=x۴+۳x+۵f ( x ) = \frac { x ^ ۴ + ۳ }{ \sqrt { x + ۵ } }

تابع f(x)f ( x ) از تقسیم یک تابع چند جمله‌ای بر یک تابع گنگ تشکیل شده است. برای تعیین مشتق این تابع، می‌توانیم از رابطه زیر (قاعده خارج قسمت) استفاده کنیم:

(u(x)v(x))=v(x)u(x)u(x)v(x)v۲(x)\left ( \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ) ^ { \prime }= \frac { v ( x ) u ^ { \prime } ( x ) – u ( x ) v ^ { \prime } ( x )}{ v ^ ۲ ( x ) }

بر اساس فرمول بالا (فرمول مشتق تقسیم)، صورت و مخرج تابع کسری به صورت دو تابع مجزا در نظر گرفته می‌شوند که باید مشتق هر یک از آن‌ها را نیز به دست بیاوریم. به این ترتیب، داریم:

u(x)=x۴+۳u ( x ) = x ^ ۴ + ۳

u(x)=۴x۳u ^ { \prime } ( x ) = ۴ x ^ ۳

v(x)=x+۵v ( x ) = \sqrt { x + ۵ }

v(x)=۱۲x+۵v ^ { \prime } ( x ) = \frac { ۱ } { ۲ \sqrt { x + ۵ } }

پارامترهای بالا را درون فرمول جایگذاری می‌کنیم:

(x۴+۳x+۵)=(x+۵)(۴x۳)(x۴+۳)(۱۲x+۵)(x+۵)۲\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { (\sqrt { x + ۵ }) ( ۴ x ^ ۳ ) – ( x ^ ۴ + ۳ ) (\frac { ۱ } { ۲ \sqrt { x + ۵ }}) }{ \left ( \sqrt { x + ۵ } \right ) ^ ۲ }

(x۴+۳x+۵)=۴x۳x+۵x۴۲x+۵۳۲x+۵x+۵\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { ۴ x ^ ۳ \sqrt { x + ۵ } – \frac { x ^ ۴ } { ۲ \sqrt { x + ۵ }} - \frac { ۳ } { ۲ \sqrt { x + ۵ }} }{ x + ۵ }

از عبارت‌های موجود در صورت کسر، مخرج مشترک می‌گیریم:

(x۴+۳x+۵)=۸x۳(x+۵)x۴۳۲x+۵x+۵\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { \frac { ۸ x ^ ۳ ( x + ۵ ) - x ^ ۴ - ۳ } { ۲ \sqrt { x + ۵ }} }{ x + ۵ }

(x۴+۳x+۵)=۸x۴+۴۰x۳x۴۳۲x+۵x+۵\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { \frac { ۸ x ^ ۴ + ۴۰ x ^ ۳ - x ^ ۴ - ۳ } { ۲ \sqrt { x + ۵ }} }{ x + ۵ }

(x۴+۳x+۵)=۷x۴+۴۰x۳۳۲x+۵x+۵\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { \frac { ۷ x ^ ۴ + ۴۰ x ^ ۳ - ۳ } { ۲ \sqrt { x + ۵ }} }{ x + ۵ }

با استفاده از روش دور در دور نزدیک در نزدیک، کسر بالا را ساده می‌کنیم:

(x۴+۳x+۵)=۷x۴+۴۰x۳۳۲(x+۵)۳۲\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { ۷ x ^ ۴ + ۴۰ x ^ ۳ - ۳ }{ ۲ (x + ۵ ) ^ { \frac { ۳ } { ۲ }}}

اکنون، برای پاسخگویی به سوال، عدد ۴ را به جای x‌ در رابطه بالا قرار می‌دهیم:

(x۴+۳x+۵)=(۷×۴۴)+(۴۰×۴۳)۳۲(۴+۵)۳۲\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { ( ۷ \times ۴ ^ ۴ ) + ( ۴۰ \times ۴ ^ ۳ ) - ۳ }{ ۲ (۴ + ۵ ) ^ { \frac { ۳ } { ۲ }}}

(x۴+۳x+۵)=(۱۷۹۲)+(۲۵۶۰)۳۲×۲۷\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { ( ۱۷۹۲ ) + ( ۲۵۶۰ ) - ۳ }{ ۲ \times ۲۷ }

(x۴+۳x+۵)=۴۳۴۹۵۴\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { ۴۳۴۹ }{ ۵۴ }

(x۴+۳x+۵)=۸۰/۵۳\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = ۸۰/۵۳

تمرین ۲

مشتق سینوس برابر با کسینوس است. با دانستن این موضوع، مشتق کسکانت را به دست بیاورید.

کسکانت یک زاویه، از تقسیم عدد ۱ بر سینوس آن زاویه به دست می‌آید. رابطه بین سینوس و کسکانت بر حسب متغیری مانند x به صورت زیر نوشته می‌شود:

csc(x)=۱sin(x)\csc ( x ) = \frac { ۱ } { \sin ( x ) }

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، امکان نوشتن کسکانت به صورت یک تابع کسری وجود دارد. بنابراین می‌توانیم مشتق این تابع مثلثاتی را با استفاده از قانون مشتق تقسیم به دست بیاوریم. به این منظور، رابطه مربوط به قاعده خارج قسمت را می‌نویسیم:

(u(x)v(x))=v(x)u(x)u(x)v(x)v۲(x)\left ( \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ) ^ { \prime }= \frac { v ( x ) u ^ { \prime } ( x ) – u ( x ) v ^ { \prime } ( x )}{ v ^ ۲ ( x ) }

دانش آموزان در کلاس

صورت کسر معرف کانت برابر با ۱ و مخرج آن برابر با سینوس است. از این‌رو، تغییر متغیر زیر می‌تواند به ما در محاسبه مشتق سکانت کمک کند:

u(x)=۱u ( x ) = ۱

v(x)=sin(x)v ( x ) = \sin ( x )

با توجه به فرمول مشتق تقسیم، باید از توابع بالا مشتق بگیریم. حاصل این مشتق‌ها عبارت هستند از:

u(x)=۰u ^ { \prime } ( x ) = ۰

v(x)=cos(x)v ^ { \prime } ( x ) = \cos ( x )

اکنون، عبارت‌های بالا را درون فرمول قرار می‌دهیم:

(۱sin(x))=sin(x)×۰۱×cos(x)sin۲(x)\left ( \frac { ۱ } { \sin ( x ) } \right ) ^ { \prime }= \frac { \sin ( x ) \times ۰ – ۱ \times \cos ( x ) }{ \sin ^ ۲ ( x ) }

(۱sin(x))=۰cos(x)sin۲(x)\left ( \frac { ۱ } { \sin ( x ) } \right ) ^ { \prime }= \frac { ۰ – \cos ( x ) }{ \sin ^ ۲ ( x ) }

(۱sin(x))=cos(x)sin۲(x)\left ( \frac { ۱ } { \sin ( x ) } \right ) ^ { \prime }= \frac { \cos ( x ) }{ \sin ^ ۲ ( x ) }

sec(x)=cos(x)sin۲(x)\sec ^ { \prime } ( x )= \frac { \cos ( x ) }{ \sin ^ ۲ ( x ) }

به این ترتیب، مشتق سکانت را توسط قاعده مشتق گیری از تقسیم به دست آوردیم. البته جواب مشتق بالا معمولا ساده‌سازی شده و به صورت زیر نوشته می‌شود:

sec(x)=۱sin(x)cos(x)sin(x)\sec ^ { \prime } ( x )= \frac { ۱ }{ \sin ( x ) } \cdot \frac { \cos ( x ) }{ \sin ( x ) }

sec(x)=sec(x)tan(x)\sec ^ { \prime } ( x )= \sec ( x ) \cdot \tan ( x )

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، سکانت در مشتق خودش ظاهر می‌شود. این ویژگی، یکی از نکات مورد استفاده برای تعیین انتگرال سکانت است.

تمرین ۳

مشتق f(x)=exx۲f ( x ) = \frac { e ^ x } { x ^ ۲ } را به دست بیاورید.

برای حل این تمرین، ابتدا صورت و مخرج کسر تابع f(x)f ( x ) را به طور مجزا مورد بررسی قرار می‌دهیم. صورت کسر، یک تابع نمایی (exe ^ x) است. مشتق تابع نمایی exe ^ x، برابر با خودش می‌شود. به عبارت دیگر:

ddxex=ex\frac { d } { d x } e ^ x = e ^ x

مخرج کسر، یک تابع توانی درجه دو است. مشتق این تابع از رابطه زیر به دست می‌آید:

ddxxn=nxx۱\frac { d } { d x } x ^ n = n x ^ { x - ۱ }

با دانستن این نکات، به سراغ مشتق‌گیری از f(x)f ( x ) می‌رویم. می‌دانیم:

ddx(u(x)v(x))=v(x)u(x)u(x)v(x)v۲(x)\frac { d } { d x } \left ( \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ) = \frac { v ( x ) u ^ { \prime } ( x ) – u ( x ) v ^ { \prime } ( x )}{ v ^ ۲ ( x ) }

صورت کسر را برابر با u(x)u ( x ) و مخرج را برابر با v(x)v ( x ) قرار می‌دهیم و از هر کدام مشتق می‌گیریم:

u(x)=exu ( x ) = e ^ x

v(x)=x۲v ( x ) = x ^ ۲

u(x)=exu ^ { \prime } ( x ) = e ^ x

v(x)=۲xv ^ { \prime } ( x ) = ۲ x

عبارت‌های به دست آمده را درون فرمول قرار می‌دهیم:

ddx(exx۲)=x۲exex۲x(x۲)۲\frac { d } { d x } \left ( \frac { e ^ x } { x ^ ۲ } \right ) = \frac { x ^ ۲ e ^ x – e ^ x ۲ x }{ ( x ^ ۲ ) ^ ۲ }

ddx(exx۲)=x۲ex۲xexx۴\frac { d } { d x } \left ( \frac { e ^ x } { x ^ ۲ } \right ) = \frac { x ^ ۲ e ^ x – ۲ x e ^ x }{ x ^ ۴ }

تمرین ۴

مشتق xe۲xcot(x)\frac { x e ^ { ۲x } } { \cot ( x ) } را تعیین کنید.

xe۲xsin(x)\frac { x e ^ ۲x } { sin ( x ) }، یک عبارت کسری است که صورت آن از ضرب دو تابع xx و e۲xe ^ { ۲ x } تشکیل می‌شود. در مخرج این کسر، تابع مثلثاتی cot(x)\cot ( x ) قرار دارد. صورت کسر را برابر با f(x)f ( x ) و مخرج را برابر با g(x)g ( x ) قرار می‌دهیم:

f(x)=xe۲xf ( x ) = x e ^ { ۲ x }

g(x)=cot(x)g ( x ) = \cot ( x )

f(x)f ^ { \prime } ( x )، با استفاده از قاعده مشتق ضرب دو تابع به دست می‌آید. این قاعده به صورت زیر نوشته می‌شود:

(uv)=uv+uv( u \cdot v ) ^ { \prime } = u ^ { \prime } \cdot v + u \cdot v ^ { \prime }

اگر xx را برابر با uu‌ و e۲xe ^ { ۲ x }‌ را برابر با vv‌ قرار دهیم، خواهیم داشت:

u=xu = x

v=e۲xv = e ^ { ۲ x }

u=۱u ^ { \prime } = ۱

v=۲e۲xv ^ { \prime } = ۲ e ^ { ۲ x }

(xe۲x)=(۱×e۲x)+(x×۲e۲x)( x \cdot e ^ { ۲ x } ) ^ { \prime } = ( ۱ \times e ^ { ۲ x } ) + ( x \times ۲ e ^ { ۲ x } )

(xe۲x)=e۲x+۲xe۲x( x \cdot e ^ { ۲ x } ) ^ { \prime } = e ^ { ۲ x } + ۲ x e ^ { ۲ x }

بنابراین:

f(x)=e۲x+۲xe۲xf ^ { \prime } ( x ) = e ^ { ۲ x } + ۲ x e ^ { ۲ x }

برای مشتق کتانژانت داریم:

g(x)=ddxcot(x)=csc(x)g ^ { \prime } ( x ) = \frac { d }{ d x } \cot ( x ) = - \csc ( x )

با داشتن f(x)f ^ { \prime } ( x ) و g(x)g ^ { \prime } ( x ) می‌توانیم مشتق تقسیم مورد سوال را توسط رابطه زیر به دست بیاوریم:

ddx(f(x)g(x))=f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)۲\frac { d } { d x }\left ( \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ) = \frac { f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) – g ^ { \prime } ( x ) f ( x ) }{ g ( x ) ^ ۲ }

ddx(xe۲xcot(x))=e۲xcot(x)+۲xe۲xcot(x)+xe۲xcsc۲(x)cot۲(x)\frac { d } { d x }\left ( \frac { x e ^ { ۲x } } { \cot ( x ) } \right ) = \frac { e ^ { ۲ x } \cot ( x ) + ۲ x e ^ { ۲ x }\cot ( x ) + x e ^ { ۲x } \csc ^ ۲ ( x ) }{ \cot ^ ۲ ( x )}

تمرین ۵

مشتق تابع ln(x)x\frac { \ln ( x ) } { x } را به دست بیاورید.

مشتق تابع مورد سوال، به صورت زیر تعیین می‌‌شود:

(ln(x)x)=ddx(ln(x))xln(x)ddx(x)x2\left ( \frac { \ln ( x ) } { x } \right ) ^ { \prime } = \frac { \frac { d } { d x } \left ( \ln ( x ) \right ) \cdot x - \ln ( x ) \cdot \frac { d } { d x } ( x ) }{ x ^ 2}

مشتق تابع لگاریتم طبیعی برابر است با:

ddx(ln(x))=1x\frac { d } { d x } \left ( \ln ( x ) \right ) = \frac { 1 } { x }

به علاوه:

ddx(x)=1\frac { d } { d x } ( x ) = 1

بنابراین:

(ln(x)x)=1xxln(x)x2\left ( \frac { \ln ( x ) } { x } \right ) ^ { \prime } = \frac { \frac { 1 } { x } \cdot x - \ln ( x ) }{ x ^ 2}

(ln(x)x)=1ln(x)x2\left ( \frac { \ln ( x ) } { x } \right ) ^ { \prime } = \frac { 1 - \ln ( x ) }{ x ^ 2}

تمرین ۶

تابع زیر را در نظر بگیرید:

f(x)=x+1x1f ( x ) = \frac { x + 1 } { x - 1 }

مشتق f(f(x))f ( f ( x ) ) را تعیین کنید.

f(f(x))f ( f ( x ) )، یک تابع تو در تو است. مشتق این نوع تابع با استفاده از قاعده مشتق زنجیره‌ای به دست می‌آید. این قاعده به صورت زیر نوشته می‌شود:

ddxf[g(x)]=f[g(x)]g(x)\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] = f ^ { \prime } [ g ( x ) ] g ^ { \prime } (x )

بر اساس رابطه بالا، در این سوال داریم:

f(x)=f(x)f ( x ) = f ( x )

g(x)=f(x)g ( x ) = f ( x )

تابع f(x)f ( x )، یک تابع کسری است. به این ترتیب:

f(x)=(x1)ddx(x+1)(x+1)ddx(x1)(x1)2f ^ { \prime } ( x ) = \frac { ( x - 1 ) \cdot \frac { d } { d x } ( x + 1 ) - ( x + 1 ) \cdot \frac { d } { d x } ( x - 1 ) }{ ( x - 1 ) ^ 2 }

f(x)=(x1)(x+1)(x1)2f ^ { \prime } ( x ) = \frac { ( x - 1 ) - ( x + 1 ) }{ ( x - 1 ) ^ 2 }

f(x)=2(x1)2f ^ { \prime } ( x ) = \frac { - 2 }{ ( x - 1 ) ^ 2 }

f(x)=2(x1)2f ^ { \prime } ( x ) = - \frac { 2 }{ ( x - 1 ) ^ 2 }

در این سوال، g(x)g ( x ) همان f(x)f ( x ) است. بنابراین:

g(x)=f(x)=2(x1)2g ^ { \prime } ( x ) = f ^ { \prime } ( x ) = - \frac { 2 }{ ( x - 1 ) ^ 2 }

با جایگذاری g(x)g ( x) در f6(x)f 6 { \prime } ( x )، عبارت f(g(x))f ^ { \prime } ( g ( x ) ) را به دست می‌آوریم:

f(g(x))=2(g(x)1)2f ^ { \prime } ( g ( x ) ) = - \frac { 2 }{ ( g ( x ) - 1 ) ^ 2 }

f(g(x))=2(x+1x11)2f ^ { \prime } ( g ( x ) ) = - \frac { 2 }{ ( \frac { x + 1 } { x - 1 } - 1 ) ^ 2 }

پارامترهای به دست آمده را درون فرمول مشتق زنجیره‌ای قرار می‌دهیم:

ddxf[g(x)]=(2(x+1x11)2)(2(x1)2)\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] = \left ( - \frac { 2 }{ ( \frac { x + 1 } { x - 1 } - 1 ) ^ 2 } \right ) \cdot \left ( - \frac { 2 }{ ( x - 1 ) ^ 2 } \right )

ddxf[g(x)]=4(x+1x1x1x1)2(x1)2\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] = \frac { 4 }{ ( \frac { x + 1 } { x - 1 } - \frac { x - 1}{ x - 1} ) ^ 2 \cdot ( x - 1 ) ^ 2 }

ddxf[g(x)]=4(x+1x+1x1)2(x1)2\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] = \frac { 4 }{ ( \frac { x + 1 - x + 1} { x - 1} ) ^ 2 \cdot ( x - 1 ) ^ 2 }

ddxf[g(x)]=4(2x1)2(x1)2\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] = \frac { 4 }{ ( \frac { 2 } { x - 1} ) ^ 2 \cdot ( x - 1 ) ^ 2 }

ddxf[g(x)]=44(x1)2(x1)2\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] = \frac { 4 }{ \frac { 4 } { ( x - 1 ) ^ 2 } \cdot ( x - 1 ) ^ 2 }

ddxf[g(x)]=44\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] = \frac { 4 }{ 4 }

ddxf[g(x)]=1\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] = 1

مشتق f(f(x))f ( f ( x ) ) برابر با عدد ثابت 1 است. 

دانش آموزان در کلاس

اثبات قانون تقسیم در مشتق گیری

مفهوم مشتق، با حد و پیوستگی ارتباط مستقیم دارد. بر اساس این مفهوم، مشتق یک تابع از رابطه زیر به دست می‌آید:

f(x)=limh۰f(x+h)f(x)hf ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { f ( x + h ) - f ( x ) }{ h }

اگر تابع ff، برابر با تقسیم دو تابع نظیر uu و vv باشد، حد بالا به صورت زیر بازنویسی می‌شود:

(uv)(x)=limh۰(uv)(x+h)(uv)(x)h\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { \left ( \frac { u }{ v } \right ) ( x + h ) - \left ( \frac { u }{ v } \right ) ( x ) }{ h }

(uv)(x)=limh۰u(x+h)v(x+h)u(x)v(x)h\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { \frac { u ( x + h ) }{ v ( x + h ) } - \frac { u ( x ) }{ v ( x ) } }{ h }

از کسرهای صورت، مخرج مشترک می‌گیریم:

(uv)(x)=limh۰u(x+h)v(x)u(x)v(x+h)v(x+h)v(x)h\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { \frac { u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x + h ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } }{ h }

۱h\frac { ۱ } { h } را به صورت ضریب از کسر جدا می‌کنیم:

(uv)(x)=limh۰۱h(u(x+h)v(x)u(x)v(x+h)v(x+h)v(x))\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۱ }{ h } \left ( \frac { u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x + h ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right )

برای فراهم کردن امکان ساده‌سازی کسر، عبارت u(x)v(x)u ( x ) \cdot v ( x ) را به صورت اضافه کرده و سپس همان عیارت را از صورت کم می‌کنیم:

(uv)(x)=limh۰۱h(u(x+h)v(x)u(x)v(x+h)+u(x)v(x)u(x)v(x)v(x+h)v(x))\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۱ }{ h } \left ( \frac { u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x + h ) + u ( x ) \cdot v ( x ) - u ( x ) \cdot v ( x ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right )

اکنون، حد بالا را به صورت مجموع دو حد زیر می‌نویسیم:

(uv)(x)=limh۰۱h(u(x+h)v(x)u(x)v(x)v(x+h)v(x))limh۰۱h(u(x)v(x+h)u(x)v(x)v(x+h)v(x))\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۱ }{ h } \left ( \frac { u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) \cdot v ( x ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right ) - \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۱ }{ h } \left ( \frac { u ( x ) v ( x + h ) - u ( x ) \cdot v ( x ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right )

در حد اول از v(x)v ( x ) و در حد دوم از u(x)u ( x ) فاکتور می‌گیریم:

(uv)(x)=limh۰۱h(v(x)(u(x+h)u(x))v(x+h)v(x))limh۰۱h(u(x)(v(x+h)v(x))v(x+h)v(x))\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۱ }{ h } \left ( \frac { v ( x ) ( u ( x + h ) - u ( x ) ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right ) - \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۱ }{ h } \left ( \frac { u ( x ) ( v ( x + h ) - v ( x ) ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right )

در حد اول، v(x)v ( x ) را از صورت و مخرج می‌زنیم:

(uv)(x)=limh۰۱h(u(x+h)u(x)v(x+h))limh۰۱h(u(x)(v(x+h)v(x))v(x+h)v(x))\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۱ }{ h } \left ( \frac { u ( x + h ) - u ( x ) }{ v ( x + h ) } \right ) - \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۱ }{ h } \left ( \frac { u ( x ) ( v ( x + h ) - v ( x ) ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right )

اکنون، hh را به مخرج کسرها بازمی‌گردانیم:

(uv)(x)=limh۰(u(x+h)u(x)hv(x+h))limh۰(u(x)(v(x+h)v(x))hv(x+h)v(x))\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \left ( \frac { u ( x + h ) - u ( x ) }{ h \cdot v ( x + h ) } \right ) - \lim _ { h \to ۰ } \left ( \frac { u ( x ) ( v ( x + h ) - v ( x ) ) }{ h \cdot v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right )

حدهای بالا را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

(uv)(x)=limh۰(۱v(x+h)u(x+h)u(x)h)limh۰(u(x)v(x+h)v(x)v(x+h)v(x)h)\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \left ( \frac { ۱ }{ v ( x + h ) } \cdot\frac { u ( x + h ) - u ( x ) }{ h } \right ) - \lim _ { h \to ۰ } \left ( \frac { u ( x ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \cdot\frac { v ( x + h ) - v ( x ) }{ h } \right )

حد ضرب دو تابع برابر با ضرب حد هر یک از توابع است. بر اساس این قانون، داریم:

(uv)(x)=limh۰(۱v(x+h))limh۰(u(x+h)u(x)h)limh۰(u(x)v(x+h)v(x))limh۰(v(x+h)v(x)h)\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \left ( \frac { ۱ }{ v ( x + h ) } \right ) \lim _ { h \to ۰ } \left (\frac { u ( x + h ) - u ( x ) }{ h } \right ) - \lim _ { h \to ۰ } \left ( \frac { u ( x ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right ) \lim _ { h \to ۰ } \left ( \frac { v ( x + h ) - v ( x ) }{ h } \right )

اگر hh‌ به صفر میل کند، داریم:

limh۰(۱v(x+h))=۱v(x)\lim _ { h \to ۰ } \left ( \frac { ۱ }{ v ( x + h ) } \right ) = \frac { ۱ }{ v ( x ) }

limh۰(u(x)v(x+h)v(x))=u(x)v(x)v(x)=u(x)v۲(x)\lim _ { h \to ۰ } \left ( \frac { u ( x ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right ) = \frac { u ( x ) }{ v ( x ) \cdot v ( x ) } = \frac { u ( x ) }{ v ^ ۲( x ) }

در نتیجه:

(uv)(x)=۱v(x)limh۰(u(x+h)u(x)h)u(x)v۲(x)limh۰(v(x+h)v(x)h)\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \frac { ۱ }{ v ( x ) } \lim _ { h \to ۰ } \left (\frac { u ( x + h ) - u ( x ) }{ h } \right ) - \frac { u ( x ) }{ v ^ ۲( x ) }\lim _ { h \to ۰ } \left ( \frac { v ( x + h ) - v ( x ) }{ h } \right )

حاصل حد سمت چپ، مشتق u(x)u ( x ) یا همان u(x)u ^ { \prime } ( x ) است. حد سمت راست نیز با مشتق v(x)v ( x ) یا همان v(x)v ^ { \prime } ( x ) برابری می‌کند. بنابراین:

(uv)(x)=u(x)v(x)u(x)v(x)v۲(x)\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \frac { u ^ { \prime } ( x ) }{ v ( x ) } - \frac { u ( x ) \cdot v ^ { \prime } ( x ) }{ v ^ ۲( x ) }

از کسرها مخرج مشترک می‌گیریم:

(uv)(x)=v(x)u(x)u(x)v(x)v۲(x)\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \frac { v ( x ) \cdot u ^ { \prime } ( x ) - u ( x ) \cdot v ^ { \prime } ( x ) }{ v ^ ۲( x ) }

به این ترتیب، فرمول مشتق تقسیم دو تابع یا همان قاعده خارج قسمت اثبات می‌شود.

اثبات فرمول مشتق تقسیم با استفاده از قانون مشتق ضرب

مشتق ضرب دو تابع از رابطه زیر به دست می‌آید:

fracddx[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+g(x)f(x)frac { d } { d x } [ f ( x ) g ( x ) ] = f ( x ) g' ( x ) + g ( x ) f' ( x )

به عبارت دیگر، مشتق ضرب دو تابع، مجموع حاصلضرب تابع اول در مشتق تابع دوم با حاصلضرب تابع دوم در مشتق تابع اول است. تابع کسری زیر را در نظر بگیرید:

f(x)=u(x)v(x)f ( x ) = \frac { u ( x ) }{ v ( x ) }

با طرفین وسطین این تابع، داریم:

u(x)=f(x)v(x)u ( x ) = f ( x ) v ( x )

همان‌طور که می‌بینید، u(x)u ( x ) تابعی برابر با ضرب دو تابع دیگر است. بر اساس فرمول مشتق ضرب دو تابع، u(x)u ^ { \prime } ( x ) به صورت زیر تعیین می‌شود:

u(x)=f(x)v(x)+f(x)v(x)u ^ { \prime } ( x ) = f ^ { \prime } ( x ) v ( x ) + f ( x ) v ^ { \prime } ( x )

رابطه بالا را برای به دست آوردن f(x)f ^ { \prime } ( x ) بازنویسی می‌کنیم:

f(x)v(x)=u(x)f(x)v(x)f ^ { \prime } ( x ) v ( x ) = u ^ { \prime } ( x ) - f ( x ) v ^ { \prime } ( x )

f(x)=u(x)f(x)v(x)v(x)f ^ { \prime } ( x ) = \frac { u ^ { \prime } ( x ) - f ( x ) v ^ { \prime } ( x ) }{ v ( x ) }

به جای f(x)f ( x )، کسر معرف آن (u(x)v(x)\frac { u ( x ) }{ v ( x ) }) را قرار می‌دهیم:

f(x)=u(x)u(x)v(x)v(x)v(x)f ^ { \prime } ( x ) = \frac { u ^ { \prime } ( x ) - \frac { u ( x ) v ^ { \prime } ( x ) }{ v ( x ) } }{ v ( x ) }