مشتق کسری توان دار – به زبان ساده + مثال و تمرین

$$ f ( x ) $$، یک تابع کسری است که از تقسیم دو تابع دیگر به دست می‌آید. فرمول مشتق کسری برای این تابع به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } \left [ \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ] = \frac { u ^ { \prime } ( x ) v ( x ) – v ^ { \prime } ( x ) u ( x ) }{ v ^ ۲ ( x ) }
$$

$$ u ( x ) $$ و $$ v ( x ) $$، از انواع توابع ریاضی با شرایط زیر هستند:

مشتق $$ u ( x ) $$ و $$ v ( x ) $$ در نقطه مورد نظر وجود داشته باشد ($$ u ( x ) $$ و $$ v ( x ) $$ در نقطه مورد نظر، مشتق‌پذیر باشند).
$$ v ( x ) $$ و مشتق آن برابر با صفر نباشد.

مشتق توابع کسری — به زبان ساده

مثال ۱: مشتق تقسیم دو تابع

مشتق $$ \frac { ۳ x + ۹ }{ ۲ - x } $$ را به دست بیاورید.

عبارت $$ \frac { ۳ x + ۹ }{ ۲ - x } $$، از تقسیم دو تابع خطی (با توان ۱) تشکیل شده است. برای تعیین مشتق این تابع کسری می‌توانیم از قاعده تقسیم در مشتق‌گیری استفاده کنیم. این قاعده به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ] = \frac { u ^ { \prime } ( x ) v ( x ) – v ^ { \prime } ( x ) u ( x ) }{ v ^ ۲ ( x ) }
$$

به منظور استفاده از رابطه بالا، صورت $$ \frac { ۳ x + ۹ }{ ۲ - x } $$ را برابر با $$ u ( x ) $$ و مخرج آن را برابر با $$ v ( x ) $$ در نظر گرفته و از آن‌ها به طور جداگانه مشتق می‌گیریم:

$$ u ( x ) = ۳ x + ۹ $$

$$ v ( x ) = ۲ - x $$

$$ u ^ { \prime } ( x ) = ۳ $$

$$ v ^ { \prime } ( x ) = - ۱ $$

اکنون، پارامترهای بالا را درون فرمول مشتق تقسیم دو تابع قرار می‌دهیم:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۳ x + ۹ }{ ۲ - x } \right ) = \frac { ۳ ( ۲ - x ) – ( - ۱ ) ( ۳ x + ۹ ) }{ ( ۲ - x ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۳ x + ۹ }{ ۲ - x } \right ) = \frac { ( ۶ - ۳ x ) – ( - ۳ x - ۹ ) }{ ( ۲ - x ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۳ x + ۹ }{ ۲ - x } \right ) = \frac { ۶ - ۳ x + ۳ x + ۹ }{ ( ۲ - x ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۳ x + ۹ }{ ۲ - x } \right ) = \frac { ۱۵ }{ ( ۲ - x ) ^ ۲ }
$$

به این ترتیب، مشتق تقسیم دو تابع خطی را به دست آوردیم.

فرمول های مشتق مهم + سوال با جواب و دانلود PDF

فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – حل تمرین در فرادرس

مشتق کسری توان دار چگونه بدست می آید؟

در بخش قبلی، فرمول مشتق توابع کسری را با یک مثال ساده توضیح دادیم. در این بخش، به آموزش نحوه تعیین مشتق کسری توان دار به همراه حل چند مثال متنوع می‌پردازیم.

مثال ۲: مشتق کسری دو تابع چند جمله ای توان دار

توابع زیر را در نظر بگیرید:

$$ f ( x ) = x ^ ۴ - ۶ x $$

$$ g ( x ) = ۲ x ^ ۲ + ۷ x - ۲ $$

مشتق $$ \frac { f ( x ) } { g ( x ) } $$ را به دست بیاورید.

این مثال، مشتق کسری توان دار زیر را از ما می‌خواهد:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ]= \frac { d } { d x } \left ( \frac { x ^ ۴ - ۶ x } { ۲ x ^ ۲ + ۷ x - ۲ } \right )
$$

به مظور تعیین مشتق خواسته شده، ابتدا فرمول مشتق‌گیری از توابع کسری را می‌نویسیم:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ] = \frac { u ^ { \prime } ( x ) v ( x ) – v ^ { \prime } ( x ) u ( x ) }{ v ^ ۲ ( x ) }
$$

برای سادگی فرآیند حل، این فرمول را با $$ f ( x ) $$ و $$ g ( x ) $$ بازنویسی می‌کنیم:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ] = \frac { f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) – g ^ { \prime } ( x ) f ( x ) }{ g ^ ۲( x ) }
$$

در این رابطه، علاوه بر $$ f ( x ) $$ و $$ g ( x ) $$، به مشتق آن‌ها نیز نیاز داریم. مشتق این توابع چندجمله‌ای عبارت است از:

$$ f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } ( x ^ ۴ - ۶ x ) = ۴ x^ ۳ - ۶ $$

$$ g ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } ( ۲ x ^ ۲ + ۷ x - ۲ ) = ۴ x + ۷ $$

به این ترتیب، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ] = \frac { ( ۴ x^ ۳ - ۶ ) ( ۲ x ^ ۲ + ۷ x - ۲ ) – ( ۴ x + ۷ ) ( x ^ ۴ - ۶ x ) }{ ( ۲ x ^ ۲ + ۷ x - ۲ ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ] = \frac { ۴ x ^ ۵ + ۲۱ x ^ ۴ - ۸ x ^ ۳ + ۱۲ x ^ ۲ + ۱۲ }{ ( ۲ x ^ ۲ + ۷ x - ۲ ) ^ ۲ }
$$

مثال ۳: مشتق کسری توابع توان دار

مشتق کسری توان دار تابع $$ F ( x ) = \frac { x ^ ۲ } { \sin ^ ۲ \left ( x \right ) } $$ چه می‌شود؟

برای مشتق‌گیری از تابع $$ F ( x ) $$، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ] = \frac { u ^ { \prime } ( x ) v ( x ) – v ^ { \prime } ( x ) u ( x ) }{ v ^ ۲ ( x ) }
$$

با توجه به فرمول، داریم:

$$ u ( x ) = x ^ ۲ $$

$$ v ( x ) = \sin ^ ۲ ( x ) $$

$$ u ^ { \prime } ( x ) = ۲ x $$

$$ v ^ { \prime } ( x ) = ۲ \sin ( x ) \cos ( x ) $$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { x ^ ۲ } { \sin ^ ۲ \left ( x \right ) } \right ] = \frac {۲ x \sin ^ ۲ ( x ) – ۲ \sin ( x ) \cos ( x ) ( x ^ ۲ ) }{ \left [ \sin ^ ۲ ( x ) \right ] ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { x ^ ۲ } { \sin ^ ۲ \left ( x \right ) } \right ] = \frac {۲ x \sin ^ ۲ ( x ) – ۲ x ^ ۲ \sin ( x ) \cos ( x ) }{ \sin ^ ۴ ( x ) }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { x ^ ۲ } { \sin ^ ۲ \left ( x \right ) } \right ] = \frac { \sin ( x ) \left [ ۲ x \sin ( x ) – ۲ x ^ ۲ \cos ( x ) \right ] }{ \sin ^ ۴ ( x ) }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { x ^ ۲ } { \sin ^ ۲ \left ( x \right ) } \right ] = \frac { ۲ x \sin ( x ) – ۲ x ^ ۲ \cos ( x ) }{ \sin ^ ۳ ( x ) }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { x ^ ۲ } { \sin ^ ۲ \left ( x \right ) } \right ] = \frac { ۲ x \sin ( x ) }{ \sin ^ ۳ ( x ) } - \frac { ۲ x ^ ۲ \cos ( x ) }{ \sin ^ ۳ ( x ) }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { x ^ ۲ } { \sin ^ ۲ \left ( x \right ) } \right ] = \frac { ۲ x }{ \sin ^ ۲ ( x ) } - \frac { ۲ x ^ ۲ }{ \sin ^ ۲ ( x ) }\frac { \cos ( x ) }{ \sin ( x ) }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { x ^ ۲ } { \sin ^ ۲ \left ( x \right ) } \right ] = ۲ x \csc ^ ۲ ( x ) - ۲ x ^ ۲ \csc ^ ۲ ( x ) \cot ( x )
$$

مشتق سینوس – محاسبه و فرمول مشتق Sin + مثال و تمرین

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

مثال ۴: مشتق کسری توان دار

مشتق کسری توان دار $$ \frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲ $$ را به دست بیاورید.

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$ F ( x ) = u ^ n ( x ) $$

مشتق تابع بالا با استفاده از رابطه زیر (قاعده زنجیره‌ای) تعیین می‌شود:

$$ F ^ { \prime } ( x ) = n u ^ { \prime } ( x ) u ^ { n - ۱ } ( x ) $$

با کمک این رابطه، برای به دست آوردن $$ \frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲ $$، ابتدا تغییر متغیر زیر را انجام می‌دهیم:

$$ \frac { ۱ } { x } = u ( x ) $$

به این ترتیب:

$$ \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = u ^ ۲ ( x ) $$

از دو طرف معادله بالا مشتق می‌گیریم:

$$ \frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = \frac { d } { d x } u ^ ۲ ( x ) $$

بر اساس قاعده زنجیره‌ای، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = ۲ \frac { d } { d x } u ( x ) u ^ {( ۲ - ۱ ) } ( x )
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = ۲ \frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ {( ۲ - ۱ ) }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = ۲ \frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) \left ( \frac{ ۱ } { x } \right )
$$

رابطه به دست آمده را تا به اینجا به خاطر بسپارید. بر اساس فرمول مشتق کسری، مشتق یک به روی ایکس برابر است با:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) = \frac { \frac { d }{ d x } ۱ \times x - \frac { d }{ d x } x \times ۱}{ x ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) = \frac { ۰ \times x - ۱ \times ۱}{ x ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) = \frac { ۰ - ۱ }{ x ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) = - \frac { ۱ }{ x ^ ۲ }
$$

در نتیجه:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = ۲ \left (- \frac { ۱ }{ x ^ ۲ } \right ) \left ( \frac{ ۱ } { x } \right )
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac{ ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = - \frac { ۲ }{ x ^ ۳ }
$$

مشتق کسری رادیکالی

فرمول‌های مشتق توابع رادیکالی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ f ( x ) = \sqrt { x } $$

$$ f ^ { \prime } ( x ) = \frac { ۱ } { ۲ \sqrt { x } } $$

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی در فرادرس

$$ F ( x ) = \sqrt { u ( x ) } $$

$$ F ^ { \prime } ( x ) = \frac { u ^ { \prime } ( x ) }{ ۲ \sqrt { u ( x ) } } $$

مثال ۵: مشتق رایکالی

مشتق $$ \sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } $$ را تعیین کنید.

مشتق مورد سوال به صورت زیر تعیین می‌شود:

$$ \frac { d } { d x } \left ( \sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } \right ) = \frac { \frac { d } { d x } \left ( x ^ ۲ + ۴ x \right ) }{ ۲ \sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } } $$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } \right ) = \frac { ۲ x + ۴ }{ ۲ \sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } \right ) = \frac { ۲ ( x + ۲ ) }{ ۲ \sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } \right ) = \frac { x + ۲ }{ \sqrt { x ^ ۲ + ۴ x } }
$$

مثال ۶: مشتق کسری زیر رادیکال

مشتق تابع $$ F ( x ) = \sqrt { \frac { e ^ x} { \cos \left ( x \right ) } } $$ را تعیین کنید.

به منظور تعیین مشتق $$ F ( x ) $$، عبارت زیر رادیگال را برابر با تابعی مانند $$ u ( x ) $$ در نظر می‌گیریم:

$$ u ( x ) = \frac { e ^ x} { \cos \left ( x \right ) } $$

می‌دانیم که مشتق $$ F ( x ) = \sqrt { u ( x ) } $$ از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$ F ^ { \prime } ( x ) = \frac { u ^ { \prime } ( x ) }{ ۲ \sqrt { u ( x ) } } $$

بنابراین، برای استفاده از رابطه بالا، باید مشتق $$ u ( x ) $$ را به دست بیاوریم. این مشتق برابر است با:

$$
u ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } \left [ \frac { e ^ x} { \cos \left ( x \right ) } \right ]
$$

بر اساس رابطه مشتق کسری، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { e ^ x} { \cos \left ( x \right ) } \right ] = \frac { \left [ \frac { d } { d x } e ^ x \right ] \cos ( x ) - \left [ \frac { d } { d x }\cos ( x ) \right ] e ^ x }{ \cos ^ ۲ ( x )}
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { e ^ x} { \cos \left ( x \right ) } \right ] = \frac { e ^ x \cos ( x ) - \left [ - \sin ( x ) \right ] e ^ x }{ \cos ^ ۲ ( x )}
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { e ^ x} { \cos \left ( x \right ) } \right ] = \frac { e ^ x \cos ( x ) + e ^ x \sin ( x ) }{ \cos ^ ۲ ( x )}
$$

$$ u ( x ) $$ و $$ u ^ { \prime } ( x ) $$ را درون فرمول $$ F ^ { \prime } $$ قرار می‌دهیم:

$$ F ^ { \prime } ( x ) = \frac { u ^ { \prime } ( x ) }{ ۲ \sqrt { u ( x ) } } $$

$$
F ^ { \prime } ( x ) = \frac { \frac { e ^ x \cos ( x ) + e ^ x \sin ( x ) }{ \cos ^ ۲ ( x )} }{ ۲ \sqrt { \frac { e ^ x} { \cos \left ( x \right ) } } }
$$

پس از ساده‌سازی عبارت‌های صورت و مخرج، به جواب زیر می‌رسیم:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { e ^ x} { \cos \left ( x \right ) } \right ] = \frac { e ^ x + e ^ x \tan ( x ) }{ ۲ \sqrt { e ^ x \cos ( x ) } }
$$

مثال ۷: مشتق با توان کسری

حاصل $$ \frac { d } { d x } \left ( x ^ { \frac { ۳ } { ۲ } } \right ) $$ را به دست بیاورید.

مشتق مورد سوال، با استفاده از قانون توان تعیین می‌شود. بر اساس این قانون، اگر $$ f ( x ) = x ^ n $$ باشد، $$ f ^ { \prime } ( x ) $$ برابر خواهد بود با:

$$ f ^ { \prime } ( x ) = n x ^ { n - ۱ } $$

برای این مثال، داریم:

$$ f ( x ) = x ^ { \frac { ۳ } { ۲ } } $$

$$ n = \frac { ۳ } { ۲ } $$

در نتیجه:

$$ f ^ { \prime } ( x ) = \frac { ۳ } { ۲ } x ^ { \frac { ۳ } { ۲ } - ۱ } $$

$$ f ^ { \prime } ( x ) = \frac { ۳ } { ۲ } x ^ { \frac { ۱ } { ۲ } } $$

توجه داشته باشید که $$ x ^ { \frac { ۱ } { ۲ } } $$، همان $$ \sqrt { x } $$ است.

مشتق کسری جزئی

مشتق‌گیری توابع دارای دو یا چند متغیر مستقل، با استفاده از مفهوم مشتق جزئی انجام می‌گیرد. به عنوان مثال، تابع زیر در نظر بگیرد:

$$ f ( x , \; y ) = \frac { x - y } { x + y } $$

$$ f ( x , \; y ) $$، تابعی از دو متغیر مستقل $$ x $$ و $$ y $$ است. برای مشتق‌گیری از این تابع، ابتدا مشتق جزئی آن را بر حسب $$ x $$ به دست می‌آوریم:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right )
$$

در این حالت، $$ y $$ یک پارامتر ثابت در نظر گرفته می‌شود. مشتق بالا را به کمک فرمول مشتق کسری حل می‌کنیم. بر اساس این فرمول، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { ( x + y ) \frac { d }{ d x } ( x - y ) - ( x - y ) \frac { d }{ d x } ( x + y ) }{ ( x + y ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d }{ d x } ( x - y ) = \frac { d }{ d x } x - \frac { d }{ d x } y = ۱ - ۰ = ۱
$$

$$
\frac { d }{ d x } ( x + y ) = \frac { d }{ d x } x + \frac { d }{ d x } y = ۱ + ۰ = ۱
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { ( x + y ) \times ۱- ( x - y ) \times ۱ }{ ( x + y ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { ( x + y ) - ( x - y ) }{ ( x + y ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { x + y - x + y }{ ( x + y ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { ۲ y }{ ( x + y ) ^ ۲ }
$$

در مرحله بعد، $$ f ( x , \; y ) $$ بر حسب $$ y $$ مشتق می‌گیریم. در این حالت، $$ x $$، به عنوان پارامتر ثابت در نظر گرفته می‌شود. به این ترتیب، داریم:

$$
\frac { d } { d y } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { ( x + y ) \frac { d }{ d y } ( x - y ) - ( x - y ) \frac { d }{ d y } ( x + y ) }{ ( x + y ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d }{ d y } ( x - y ) = \frac { d }{ d y } x - \frac { d }{ d y } y = ۰ - ۱ = - ۱
$$

$$
\frac { d }{ d y } ( x + y ) = \frac { d }{ d y } x + \frac { d }{ d y } y = ۰ + ۱ = ۱
$$

$$
\frac { d } { d y } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { ( x + y ) \times ( - ۱ ) - ( x - y ) \times ۱ }{ ( x + y ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d y } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { - x - y - x + y }{ ( x + y ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d y } \left ( \frac { x - y } { x + y } \right ) = \frac { - ۲ x }{ ( x + y ) ^ ۲ }
$$

در نتیجه، مشتق جزئی $$ f ( x , \; y ) $$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\frac { d } { d x } f ( x , \; y ) = \frac { ۲ y }{ ( x + y ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d y } f ( x , \; y ) = - \frac { ۲ x }{ ( x + y ) ^ ۲ }
$$

مشتق جزئی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

مثال ۸: مشتق جزئی تابع کسری توان دار

مشتق $$ f ( x , \; y ) =\frac { x y }{ x ^ ۲ + y ^ ۲ } $$ را بر حسب $$ x $$ به دست بیاورید.

مشتق جزئی $$ f ( x , \; y ) $$ بر حسب متغیر $$ x $$ با استفاده از فرمول مشتق کسری و طی مراحل زیر تعیین می‌شود:

$$
\frac { d } { d x } f ( x , \; y ) = \frac { d } { d x } \left ( \frac { x y }{ x ^ ۲ + y ^ ۲ } \right )
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { x y }{ x ^ ۲ + y ^ ۲ } \right ) = \frac { \left ( x ^ ۲ + y ^ ۲ \right ) \frac { d } { d x } ( x y ) - ( x y ) \frac { d } { d x } \left ( x ^ ۲ + y ^ ۲\right ) }{ \left ( x ^ ۲ + y ^ ۲ \right ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } ( x y ) = y
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( x ^ ۲ + y ^ ۲\right ) = \frac { d } { d x } ( x ^۲ ) + \frac { d } { d x } ( y ^ ۲ ) = ۲ x + ۰ = ۲ x
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { x y }{ x ^ ۲ + y ^ ۲ } \right ) = \frac { \left ( x ^ ۲ + y ^ ۲ \right ) ( y ) - ( x y ) \left ( ۲ x \right ) }{ \left ( x ^ ۲ + y ^ ۲ \right ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { x y }{ x ^ ۲ + y ^ ۲ } \right ) = \frac { x ^ ۲ y + y ^ ۳ - ۲ x ^ ۲ y }{ \left ( x ^ ۲ + y ^ ۲ \right ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { x y }{ x ^ ۲ + y ^ ۲ } \right ) = \frac { y ^ ۳ - x ^ ۲ y }{ \left ( x ^ ۲ + y ^ ۲ \right ) ^ ۲ }
$$

مشتق کسری توان دار مراتب بالاتر

جواب مشتق یک تابع، با عنوان مشتق مرتبه اول نیز شناخته می‌شود. در صورت مشتق‌گیری از این جواب، مشتق مرتبه دوم به دست می‌آید. با ادامه دادن فرآیند مشتق‌گیری، مشتق مرتبه سوم، مرتبه چهارم و غیره تعیین می‌شود. بنابراین، منظور از مشتق مراتب بالاتر یک تابع، تکرار مشتق‌گیری از خروجی مشتق مرتبه اول به بالا است.

روش به دست آوردن مشتق کسری مراتب بالاتر، دشوار نبوده و تنها چالش آن، احتمال طولانی و پیچیده‌تر شدن فرآیند مشتق‌گیری است. در مثال ۹، نحوه تعیین این نوع مشتق را توضیح می‌دهیم.

مشتق مراتب بالاتر — از صفر تا صد

فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – حل تمرین در فرادرس

مثال ۹: مشتق مرتبه سوم تابع کسری توان دار

مشتق مرتبه سوم $$ \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ $$ را تعیین کنید.

برای به دست آوردن مشتق مرتبه سوم یک تابع، ابتدا مشتق مرتبه اول آن را به دست می‌آوریم. مشتق مرتبه اول تابع مورد سوال در اینجا عبارت است از:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲
$$

بر اساس قاعده مشتق زنجیره‌ای، داریم:

$$ f ( x ) = u ^ n $$

$$ f ^ { \prime } ( x ) = n u ^ { \prime } u ^ { n - ۱ } $$

بنابراین:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = ۲ \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ { ۲ - ۱ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = ۲ \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) \left ( \frac { ۱ } { x } \right )
$$

بر اساس فرمول مشتق کسری، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = \frac { x \times \frac { d } { d x } ۱ - ۱ \times \frac { d } { d x }x }{ x ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = \frac { x \times ۰ - ۱ \times ۱ }{ x ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = \frac { ۰ - ۱ }{ x ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = - \frac { ۱ }{ x ^ ۲ }
$$

به این ترتیب:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = ۲ \times \left ( - \frac { ۱ }{ x ^ ۲ } \right ) \times \frac { ۱ } { x }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ = - \frac { ۲ }{ x ^ ۳ }
$$

پس از تعیین مشتق مرتبه اول، به سراغ مشتق مرتبه دوم می‌رویم. به این منظور، از حاصل مشتق مرتبه اول (یعنی $$ - \frac { ۲ }{ x ^ ۳ } $$) مشتق می‌گیرم:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ \right ) = \frac { d } { d x } \left ( - \frac { ۲ }{ x ^ ۳ } \right ) = - \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ }{ x ^ ۳ } \right )
$$

حاصل $$ \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ }{ x ^ ۳ } \right ) $$، با استفاده از فرمول مشتق کسری به دست می‌آید. بر اساس این فرمول، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ }{ x ^ ۳ } \right ) = \frac { x ^ ۳ \times \frac { d } { d x } ۲ - ۲ \times \frac { d } { d x } x ^ ۳ }{ \left ( x ^ ۳ \right ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ }{ x ^ ۳ } \right ) = \frac { x ^ ۳ \times ۰ - ۲ \times ۳ x ^ ۲ }{ x ^ ۶ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ }{ x ^ ۳ } \right ) = \frac { ۰ - ۶ x ^ ۲ }{ x ^ ۶ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ }{ x ^ ۳ } \right ) = - \frac { ۶ }{ x ^ ۴ }
$$

در نتیجه:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ \right ) = - \left ( - \frac { ۶ }{ x ^ ۴ } \right )
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ \right ) = \frac { ۶ }{ x ^ ۴ }
$$

با به دست آوردن مشتق مرتبه دوم، تنها یک مشتق دیگر تا رسیدن به مشتق مرتبه سوم فاصله داریم. برای تعیین مشتق مرتبه سوم، کافی است که از عبارت بالا به صورت زیر مشتق بگیرم:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ \right ) \right ) = \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۶ }{ x ^ ۴ } \right )
$$

$$ \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۶ }{ x ^ ۴ } \right ) $$ نیز مانند مشتق دو مرتبه پایین‌تر، با استفاده از فرمول مشتق کسری حاصل می‌شود. بنابراین، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۶ }{ x ^ ۴ } \right ) = \frac { x ^ ۴ \times \frac { d } { d x } ۶ - ۶ \times \frac { d } { d x } x ^ ۴ }{ \left ( x ^ ۴ \right ) ^ ۲}
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۶ }{ x ^ ۴ } \right ) = \frac { x ^ ۴ \times ۰ - ۶ \times ۴ x ^ ۳ }{ x ^ ۸ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۶ }{ x ^ ۴ } \right ) = \frac { ۰ - ۲۴ x ^ ۳ }{ x ^ ۸ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۶ }{ x ^ ۴ } \right ) = - \frac { ۲۴ }{ x ^ ۵ }
$$

در نتیجه:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) ^ ۲ \right ) \right ) = - \frac { ۲۴ }{ x ^ ۵ }
$$

حل تمرین مشتق کسری توان دار

به منظور آشایی بیشتر و بهتر با نحوه به دست آوردن مشتق کسری توان دار، در ادامه چند تمرین را حل می‌کنیم.

تمرین ۱: مشتق یک به روی ایکس دو

مشتق تابع کسری $$ g ( x ) = \frac { ۱ } { x ^ ۲ } $$ را تعیین کنید.

مشتق تابع $$ g ( x ) $$، با استفاده از فرمول مشتق تقسیم دو تابع به دست می‌آید. این فرمول عبارت است از:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ] = \frac { u ^ { \prime } ( x ) v ( x ) – v ^ { \prime } ( x ) u ( x ) }{ v ^ ۲ ( x ) }
$$

به این ترتیب، داریم:

$$ u ( x ) = ۱ $$

$$ v ( x ) = x ^ ۲ $$

$$ u ^ { \prime } ( x ) = ۰ $$

$$ v ^ { \prime } ( x ) = ۲ x $$

در نتیجه:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x ^ ۲ } \right ) = \frac { ۰ \times x ^ ۲- ۲ x \times ۱ } { \left ( x ^ ۲ \right ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x ^ ۲ } \right ) = - \frac { ۲ x } { x ^ ۴ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x ^ ۲ } \right ) = - \frac { ۲ } { x ^ ۳ }
$$

تمرین ۲: مشتق یک به روی رادیکال ایکس

مشتق ۱ به روی رادیکال x چه می‌شود؟

$$ \frac { ۱ } { \sqrt { x } } $$، یک تابع کسری است. روش‌های مختلفی برای به دست آوردن مشتق این تابع وجود دارد. برای تمرین، در روش اول از فرمول مشتق تقسیم دو تابع استفاده می‌کنیم. بر اساس این فرمول، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ] = \frac { u ^ { \prime } ( x ) v ( x ) – v ^ { \prime } ( x ) u ( x ) }{ v ^ ۲ ( x ) }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ] = \frac { \frac { d } { d x } ۱ \times \sqrt { x } – \frac { d } { d x } \sqrt { x } \times ۱ }{ \left ( \sqrt { x } \right ) ^ ۲ }
$$

$$ \frac { d } { d x } ۱ = ۰ $$

$$ \frac { d } { d x } \sqrt { x } = \frac { ۱ } { ۲ \sqrt { x } } $$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ] = \frac { ۰ \times \sqrt { x } – \frac { ۱ } { ۲ \sqrt { x } } \times ۱ }{ x }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ] = \frac {۰ – \frac { ۱ } { ۲ \sqrt { x } } }{ x }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ] = - \frac { ۱ } { ۲ x \sqrt { x } }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ] = - \frac { ۱ } { ۲ \sqrt { x ^ ۳ } }
$$

روش دوم برای به دست آوردن مشتق $$ \frac { ۱ } { \sqrt { x } } $$، استفاده از قانون توان در مشتق‌گیری است. برای استفاده از این قانون، ابتدا عبارت زیر رادیکال را به صورت یک عبارت توانی بازنویسی می‌کنیم:

$$
\frac { ۱ } { \sqrt { x } } = \frac { ۱ } { x ^ { \frac { ۱ }{ ۲ } } } = x ^ { - \frac { ۱ }{ ۲ } }
$$

به این ترتیب:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ) = \frac { d } { d x } x ^ { - \frac { ۱ }{ ۲ } }
$$

با توجه به قانون توان در مشتق‌گیری، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ) = - \frac { ۱ }{ ۲ } x ^ { - \frac { ۱ }{ ۲ } - ۱ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ) = - \frac { ۱ }{ ۲ } x ^ { - \frac { ۳ }{ ۲ } }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ) = - \frac { ۱ }{ ۲ } \times \frac { ۱ } { x ^ { \frac { ۳ }{ ۲ } } }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ) = - \frac { ۱ }{ ۲ x ^ { \frac { ۳ }{ ۲ } }}
$$

$$ x ^ { \frac { ۳ }{ ۲ } } $$، همان $$ \sqrt { x ^ ۳ } $$ است. در نتیجه:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { \sqrt { x } } \right ) = - \frac { ۱ }{ ۲ \sqrt { x ^ ۳ }}
$$

تمرین ۳: مشتق تابع نمایی با توان کسری

مشتق $$ e ^ { \frac { ۱ } { \tan ( x ) } } $$ را به دست بیاوردید.

فرمول کلی مشتق تابع نمایی عبارت است از:

$$ \frac { d } { dx } e ^ { f ( x ) } = f ' ( x ) e ^ { f ( x ) } $$

بر اساس صورت سوال، می‌توانیم $$ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } $$ را برابر با $$ f ( x ) $$ در نظر بگیریم:

$$
f ( x ) = \frac { ۱ } { \tan ( x ) }
$$

به این ترتیب:

$$
\frac { d } { dx } e ^ { \frac { ۱ } { \tan ( x ) } } = \frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] e ^ { \frac { ۱ } { \tan ( x ) } }
$$

$$ \frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] $$ با استفاده از فرمول مشتق کسری به دست می‌آید. بر اساس این فرمول، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] = \frac { \tan ( x ) \times \frac { d } { d x } ۱ - ۱ \times \frac { d } { d x } \tan ( x ) }{ \tan ^ ۲ ( x )}
$$

مشتق‌های موجود در این رابطه برابر هستند با:

$$ \frac { d } { d x } ۱ = ۰ $$

$$ \frac { d } { d x } \tan ( x ) = \sec ^ ۲ ( x ) $$

جواب این مشتق‌ها را در رابطه $$ \frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] $$ قرار می‌‌دهیم:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] = \frac { \tan ( x ) \times ۰ - ۱ \times \sec ^ ۲ ( x ) }{ \tan ^ ۲ ( x )}
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] = \frac { ۰ - \sec ^ ۲ ( x ) }{ \tan ^ ۲ ( x )}
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] = - \frac { \sec ^ ۲ ( x ) }{ \tan ^ ۲ ( x )}
$$

با توجه به رابطه بین نسبت‌های مثلثاتی، داریم:

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] = - \frac { \frac { ۱ }{ \cos ^ ۲ ( x ) } }{ \frac { \sin ^ ۲ ( x ) }{ \cos ^ ۲ ( x ) } }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] = - \frac { ۱ }{ \sin ^ ۲ ( x ) }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } \right ] = -\csc ^ ۲ ( x )
$$

با جایگذاری این جواب در رابطه $$ \frac { d } { dx } e ^ { \frac { ۱ } { \tan ( x ) } } $$، به نتیجه زیر می‌رسیم:

$$
\frac { d } { dx } e ^ { \frac { ۱ } { \tan ( x ) } } = - \csc ^ ۲ ( x ) e ^ { \frac { ۱ } { \tan ( x ) } }
$$

توجه داشته باشید که $$ \frac { ۱ } { \tan ( x ) } $$، همان $$ \cot ( x ) $$ است. در این تمرین، به منظور مرور روابط مشتق‌گیری کسری، از مشتق $$ \cot ( x ) $$ استفاده نکردیم اما طی فرآیند حل به آن رسیدیم.

مشتق e – به زبان ساده + مثال و حل تمرین

فیلم مجموعه آموزش دروس متوسطه دوم و کنکور – درس، تمرین، حل مثال و تست در فرادرس

تمرین ۴: مشتق جزئی تابع کسری

مشتق تابع کسری زیر را تعیین کنید:

$$ f ( x , \; y , \; z) = \frac { x y ^ ۲ } { x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ } $$

تابع f، به سه متغیر y ،x و z وابسته است. برای مشتق‌گیری از این تابع، باید از قاعده مشتق جزئی استفاده کنیم. به این منظور، ابتدا مشتق $$ f ( x , \; y , \; z) $$ بر حسب $$ x $$ را به دست می‌آوریم:

$$
\frac { \partial }{ \partial x} f ( x , \; y , \; z) = \frac { \partial }{ \partial x} \left ( \frac { x y ^ ۲ } { x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ } \right )
$$

بر اساس فرمول مشتق تقسیم دو تابع، داریم:

$$
\frac { \partial }{ \partial x} \left ( \frac { x y ^ ۲ } { x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ } \right ) = \frac { \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) \frac { \partial }{ \partial x } \left ( x y ^ ۲\right ) - \left ( x y ^ ۲ \right ) \frac { \partial } { \partial x } \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right )}{ \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) ^ ۲ }
$$

هنگام مشتق‌گیری بر حسب $$ x $$، متغیرهای دیگر (در اینجا $$ y $$ و $$ z $$)، ثابت در نظر گرفته می‌شوند. بنابراین:

$$
\frac { \partial }{ \partial x } \left ( x y ^ ۲\right ) = y ^ ۲
$$

$$
\frac { \partial } { \partial x } \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) = ۲ x
$$

در نتیجه:

$$
\frac { \partial }{ \partial x} \left ( \frac { x y ^ ۲ } { x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ } \right ) = \frac { \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) \left ( y ^ ۲\right ) - \left ( x y ^ ۲ \right ) \left ( ۲ x \right )}{ \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { \partial }{ \partial x} \left ( \frac { x y ^ ۲ } { x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ } \right ) = \frac { x ^ ۲ y ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ y ^ ۲ - ۲ x ^ ۲ y ^ ۲ }{ \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { \partial }{ \partial x} \left ( \frac { x y ^ ۲ } { x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ } \right ) = \frac { ۲ z ^ ۳ y ^ ۲ - x ^ ۲ y ^ ۲ }{ \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) ^ ۲ }
$$

به همین ترتیب، برای مشتق جزئی تابع $$ f ( x , \; y , \; z) $$ بر حسب $$ y $$ داریم:

$$
\frac { \partial }{ \partial y } \left ( \frac { x y ^ ۲ } { x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ } \right ) = \frac { \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) \frac { \partial }{ \partial y } \left ( x y ^ ۲\right ) - \left ( x y ^ ۲ \right ) \frac { \partial } { \partial y } \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right )}{ \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) ^ ۲ }
$$

در اینجا، متغیرهای $$ x $$ و $$ z $$ به عنوان متغیرهای ثابت در نظر گرفته می‌شوند. از این‌رو:

$$
\frac { \partial }{ \partial y } \left ( x y ^ ۲\right ) = ۲ x y
$$

$$
\frac { \partial } { \partial y } \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) = ۰
$$

در نتیجه:

$$
\frac { \partial }{ \partial y } \left ( \frac { x y ^ ۲ } { x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ } \right ) = \frac { \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) \left ( ۲ x y \right ) - \left ( x y ^ ۲ \right )\times ۰}{ \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { \partial }{ \partial y } \left ( \frac { x y ^ ۲ } { x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ } \right ) = \frac { \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) \left ( ۲ x y \right ) }{ \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { \partial }{ \partial y } \left ( \frac { x y ^ ۲ } { x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ } \right ) = \frac { ۲ x y }{ x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ }
$$

در مرحله آخر، به سراغ مشتق جزئی $$ f ( x , \; y , \; z) $$ بر حسب $$ z $$ می‌رویم:

$$
\frac { \partial }{ \partial z } \left ( \frac { x y ^ ۲ } { x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ } \right ) = \frac { \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) \frac { \partial }{ \partial z } \left ( x y ^ ۲\right ) - \left ( x y ^ ۲ \right ) \frac { \partial } { \partial z } \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right )}{ \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) ^ ۲ }
$$

به دلیل ثابت بودن $$ x $$ و $$ y $$ در محاسبه این مشتق، خواهیم داشت:

$$
\frac { \partial }{ \partial z } \left ( x y ^ ۲\right ) = ۰
$$

$$
\frac { \partial } { \partial z } \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) = ۶ z ^ ۲
$$

در نتیجه:

$$
\frac { \partial }{ \partial z } \left ( \frac { x y ^ ۲ } { x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ } \right ) = \frac { \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) \times ۰ - \left ( x y ^ ۲ \right ) \left ( ۶ z ^ ۲ \right )}{ \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { \partial }{ \partial z } \left ( \frac { x y ^ ۲ } { x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ } \right ) = \frac { ۰ - ۶ x y ^ ۲ z ^ ۲ }{ \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { \partial }{ \partial z } \left ( \frac { x y ^ ۲ } { x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ } \right ) = - \frac { ۶ x y ^ ۲ z ^ ۲ }{ \left ( x ^ ۲ + ۲ z ^ ۳ \right ) ^ ۲ }
$$

تمرین ۵: مشتق کسری مرتبه دوم

مشتق مرتبه دوم تابع زیر را به دست بیاورید:

$$ f ( x ) = \frac { x ^ ۲ } { ۱ + e ^ x } $$

برای به دست آوردن مشتق مرتبه دوم ($$ f ^ { \prime \prime } ( x ) $$ یا $$ \frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } f ( x ) \right ) $$)، ابتدا باید مشتق مرتبه اول ($$ f ^ { \prime } $$ یا $$ \frac { d } { d x } f ( x ) $$) را تعیین کنیم. با توجه به فرم تابع مورد سوال، فرمول مشتق کسری را برای آن می‌نویسیم:

$$
\frac { d } { d x } f ( x ) = \frac { d } { d x } \left ( \frac { x ^ ۲ } { ۱ + e ^ x } \right )
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { x ^ ۲ } { ۱ + e ^ x } \right ) = \frac { \left ( ۱ + e ^ x \right ) \frac { d } { d x } x ^ ۲ - x ^ ۲ \frac { d } { d x } \left ( ۱ + e ^ x \right ) }{ \left ( ۱ + e ^ x \right ) ^ ۲}
$$

مشتق‌های موجود در صورت کسر عبارت هستند از:

$$ \frac { d } { d x } x ^ ۲ = ۲ x $$

$$
\frac { d } { d x } \left ( ۱ + e ^ x \right ) = \frac { d } { d x } ۱ + \frac { d } { d x } e ^ x = ۰ + e ^ x = e ^ x
$$

عبارت‌های بالا را درون رابطه مشتق مرتبه اول قرار می‌دهیم:

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { x ^ ۲ } { ۱ + e ^ x } \right ) = \frac { \left ( ۱ + e ^ x \right ) ( ۲ x ) - x ^ ۲ e ^ x }{ \left ( ۱ + e ^ x \right ) ^ ۲ }
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( \frac { x ^ ۲ } { ۱ + e ^ x } \right ) = \frac { ۲ x + ۲ x e ^ x - e ^ x x ^ ۲ }{ \left ( ۱ + e ^ x \right ) ^ ۲ }
$$

به این ترتیب، مشتق مرتبه اول تابع $$ f ( x ) $$ را به دست آوردیم. برای تعیین مشتق مرتبه دوم، از عبارت بالا مشتق می‌گیریم:

$$
f ^ { \prime \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } \left ( \frac { d } { d x } \left ( \frac { x ^ ۲ } { ۱ + e ^ x } \right ) \right ) = \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ x + ۲ x e ^ x - e ^ x x ^ ۲ }{ \left ( ۱ + e ^ x \right ) ^ ۲ } \right )
$$

مشتق کسری بالا نیز با استفاده از قانون تقسیم و قانون ضرب در مشتق‌گیری حل می‌شود:

$$
f ^ { \prime \prime } ( x ) = \frac { \left ( ۱ + e ^ x \right ) ^ ۲ \frac { d } { d x } \left ( ۲ x + ۲ x e ^ x - e ^ x x ^ ۲ \right ) - \left ( ۲ x + ۲ x e ^ x - e ^ x x ^ ۲ \right ) \frac { d } { d x } \left [ \left ( ۱ + e ^ x \right ) ^ ۲ \right ] }{ \left [ \left ( ۱ + e ^ x \right ) ^ ۲ \right ] ^ ۲ }
$$

هر یک از مشتق‌های موجود در صورت کسر را به صورت جداگانه به دست می‌آوریم:

$$
\frac { d } { d x } \left ( ۲ x + ۲ x e ^ x - e ^ x x ^ ۲ \right )
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( ۲ x + ۲ x e ^ x - e ^ x x ^ ۲ \right ) = \frac { d } { d x } ( ۲ x ) + \frac { d } { d x } \left ( ۲ x e ^ x \right ) - \frac { d } { d x } \left ( e ^ x x ^ ۲ \right )
$$

$$
\frac { d } { d x } ( ۲ x ) = ۲
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( ۲ x e ^ x \right ) = ۲ e ^ x + ۲ x e ^ x
$$

$$
\frac { d } { d x } \left ( e ^ x x ^ ۲ \right ) = ۲ e ^ x x + e ^ x x ^ ۲
$$

$$
\frac { d } { d x } \left [ \left ( ۱ + e ^ x \right ) ^ ۲ \right ] = ۲ e ^ x + e ^ { ۲ x }
$$

در نهایت، با جایگذاری عبارت‌های بالا در فرمول مشتق مرتبه دوم و ساده‌سازی آن، به جواب زیر خواهیم رسید:

$$
f ^ { \prime \prime } ( x ) = \frac { e ^ { ۲ x } x ^ ۲ - e ^ x x ^ ۲ - ۴ e ^ { ۲ x } x - ۴ e ^ x x + ۴ e ^ x + ۲ e ^ { ۲ x } + ۲ } { \left ( ۱ + e ^ x \right ) ^ ۳ }
$$

سوالات متداول در رابطه با مشتق کسری توان دار

در بخش آخر این مقاله از مجله فرادرس، به برخی از سوالات مرتبط با مشتق کسری توان دار به طور مختصر پاسخ می‌دهیم.