مشتق e – به زبان ساده + مثال و حل تمرین

۲۲۹۷۴ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۰۳ آبان ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۲ دقیقه
مشتق e – به زبان ساده + مثال و حل تمرین

مشتق e به توان x، برابر با خودش است. عبارت $$ e ^ x $$، یک تابع نمایی را نمایش می‌دهد. اگر بخواهیم مشتق این تابع را بر حسب x به دست بیاوریم، به عبارت $$ e ^ x $$ می‌رسیم. این نتیجه، یکی از ویژگی‌های مخصوص توابع نمایی است. در این مقاله، مفاهیم مرتبط با مشتق e به توان x و نحوه مشتق‌گیری از شکل‌های دیگر این تابع نمایی را به همراه چندین مثال و تمرین آموزش می‌دهیم.

e چیست ؟

e، یکی از ثابت‌های عددی معروف در دنیای ریاضی و برابر با ۲/۷۱۸۲۸ است. با محاسبه حد عبارت $$ ( ۱ + \frac { ۱ } { n } ) ^ { n } $$ زمانی که n به بی‌نهایت میل می‌کند، مقدار این ثابت به دست می‌آید. امکان محاسبه e از روی جمع عبارت‌های سری بی‌نهایت زیر نیز وجود دارد:

$$
e = \sum _ { n = ۰ } ^ { \infty } \frac { ۱ } { n \! } = ۱ + \frac { ۱ } { ۱ } + \frac{ ۱ }{ ۱ \cdot ۲ } + \frac{ ۱ } { ۱ \cdot ۲ \cdot ۳ } + \cdots
$$

ثابت e، با عنوان عدد اویلر یا عدد نپر نیز شناخته می‌شود. این عدد، مبنای لگاریتم‌های طبیعی است.

تابع نمایی و تابع نمایی e چیست ؟

تابع نمایی، یکی از مهمترین توابع ریاضی به شمار می‌رود. در توابع نمایی، متغیر به صورت توان در عبارت‌ها ظاهر می‌شود. این توان می‌تواند هر عدد حقیقی باشد. فرم کلی توابع نمایی به صورت زیر است:

$$
f ( x ) = a ^ { x }
$$

تصویر زیر، نمودار تابع نمایی $$ f ( x ) = ۲ ^ { x } $$ را نمایش می‌‌دهد.

مثال تابع نمایی

اگر عدد ثابت در فرم کلی تابع نمایی را برابر با عدد اویلر قرار دهیم، تابع نمایی به شکل زیر درمی‌آید:

$$
f ( x ) = e ^ { x }
$$

این تابع به صورت زیر نیز نوشته می‌شود:

$$
f ( x ) = \exp ( x )
$$

فرم کلی تابع e به شکل زیر است:

$$
f ( x ) = ae ^ { x } + c
$$

a، ضریب عددی و c، ثابت عددی را نمایش می‌دهد. مشتق e، یک ویژگی جالب دارد که در بخش بعدی به آن می‌پردازیم.

مشتق e چیست ؟

مشتق تابع نمایی $$ e ^ { x } $$، یکی از ویژگی‌های منحصر به فرد این تابع است. مشتق $$ f ( x ) = e ^ { x } $$ برابر با خودش می‌شود. به عبارت دیگر:

$$
\frac { d } { dx } e ^ { x } = e ^ x
$$

این ویژگی را می‌توان به شکل‌های دیگر نیز بیان کرد:

  • شیب نمودار در هر نقطه، برابر با ارتفاع تابع در همان نقطه است.
  • نرخ افزایش تابع در نقطه x، برابر با مقدار تابع در نقطه x است.

مشتق e با ضریب ثابت

تابع نمایی زیر را در نظر بگیرید:

$$ f ( x ) = a e ^ x $$

c ضریب عدد ثابت را نمایش می‌دهد. مشتق تابع بالا عبارت است از:

$$
f ' ( x ) = ( a e ^ x ) ' = a e ^ x
$$

به عبارت دیگر، مشتق e به توان x با ضریب ثابت نیز با خودش برابر می‌شود.

مثال ۱: تعیین مشتق e با ضریب ثابت

مشتق تابع $$ ۳ e ^ x $$ را به دست بیاورید.

تابع $$ ۳ e ^ x $$، از یک ضریب ثابت (عدد ۳) و عبارت نمایی $$ e ^ x $$ تشکیل می‌شود. مشتق این تابع، از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\frac { d } { d x } a e ^ x = a e ^ x
$$

$$
\frac { d } { d x } ۳ e ^ x = ۳ e ^ x
$$

در نتیجه، مشتق $$ ۳ e ^ x $$، برابر با خودش، یعنی $$ ۳ e ^ x $$ است.

مشتق تابع $$ f ( x ) = ( y ^ ۲ + ۱۷ ) e ^ { x } $$ کدام گزینه است؟

$$ ( ۲ y ) e ^ x $$

$$ ( y ^ ۲ + ۱۷ ) e ^ x $$

$$ ( y ^ ۲ ) e ^ x $$

$$ e ^ x $$

شرح پاسخ

تابع مورد سوال، به صورت تابعی از متغیر x یا همان f(x) نمایش داده شده است. به همین دلیل، هر علامت و حرف دیگری در آن، به عنوان یک ثابت در نظر گرفته می‌شود. بنابراین می‌توانیم عبارت پشت ex را برابر با ثابتی مانند a قرار دهیم:

$$
a = ( y ^ ۲ + ۱۷ )
$$

مشتق e با ضریب ثابت از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\frac { d } { d x } a e ^ x = a e ^ x
$$

به این ترتیب داریم:

$$
\frac { d } { d x } ( y ^ ۲ + ۱۷ ) e ^ x = ( y ^ ۲ + ۱۷ ) e ^ x
$$

در نتیجه، مشتق $$ ( y ^ ۲ + ۱۷ ) e ^ x $$ برابر با خودش شد.

چندین کتاب روی هم روی میز (تصویر تزئینی مطلب مشتق e)

فرمول کلی مشتق e به توان f(x)

اگر توان تابع e، تابعی مانند u(x)، مشتق e بر حسب x از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\frac { d } { dx } e ^ { f ( x ) } = [ \frac { d } { dx } f ( x ) ] e ^ { f ( x ) }
$$

یا

$$
\frac { d } { dx } e ^ { f ( x ) } = f ' ( x ) e ^ { f ( x ) }
$$

نحوه به کارگیری فرمول بالا را با حل یک مثال و تمرین آموزش می‌دهیم.

مثال ۲: تعیین مشتق e به توان ۲x

مشتق تابع $$ e ^ { ۲ x } $$ را تعیین کنید.

برای به دست آوردن مشتق تابع $$ e ^ { ۲ x } $$ باید از فرمول کلی مشتق e استفاده کنیم. این فرمول به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\frac { d } { dx } e ^ { u ( x ) } = [ \frac { d } { dx } u ( x ) ] e ^ { u ( x ) }
$$

در رابطه بالا، u(x) برابر می‌شود با:

$$ u ( x ) = ۲ x $$

این عبارت را درون رابطه جایگذاری می‌کنیم:

$$
\frac { d } { dx } e ^ { ۲ x } = [ \frac { d } { dx } ۲ x ] e ^ { ۲ x }
$$

تابع $$ u ( x ) = ۲ x $$، یک تابع خطی است. مشتق این تابع برابر است با:

$$ \frac { d } { dx } ۲ x = ۲ $$

نتیجه را در رابطه مشتق قرار می‌دهیم:

$$
\frac { d } { dx } e ^ { ۲ x } = ۲ e ^ { ۲ x }
$$

در نتیجه، مشتق $$ e ^ { ۲ x } $$ برابر با $$ ۲ e ^ { ۲ x } $$ است.

تصویر زیر، منحنی چند تابع نمایی با پایه e و توان‌های متفاوت را نمایش می‌دهد.

توابع نمایی با پایه e
خط‌چین قرمز، منحنی تابع e به توان 2x است.

مشتق تابع $$ e ^ { x ^ ۲ } $$ کدام گزینه است؟

$$ ( ۲ x ) e ^ { x ^ ۲ } $$

$$ e ^ { x ^ ۲ } $$

$$ ( ۲ ) e ^ { x ^ ۲ } $$

$$ ( x ^ ۲ ) e ^ { x ^ ۲ } $$

شرح پاسخ

توان e در $$ e ^ { x ^ ۲ } $$، تابعی از x است. به عبارت دیگر:

$$ f ( x ) = x ^ ۲ $$

بنابراین، مشتق مورد نظر از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\frac { d } { dx } e ^ { f ( x ) } = f ' ( x ) e ^ { f ( x ) }
$$

مشتق f(x) برابر است با:

$$
f ' ( x ) = \frac { d } { dx } { x ^ ۲ } = ۲ x
$$

این عبارت را درون رابطه مشتق قرار می‌دهیم:

$$
\frac { d } { dx } e ^ { x ^ ۲ } = ( ۲ x ) e ^ { x ^ ۲ }
$$

حل تمرین و مثال مشتق e

به منظور آشنایی بهتر با فرمول‌های مشتق e، به حل چند مثال و تمرین بیشتر می‌پردازیم.

مثال ۳: تعیین مشتق e به توان منفی x

مشتق تابع $$ f ( x ) = e ^ { - x } $$ را به دست بیاورید.

فرم تابع مورد سوال به صورت زیر است:

$$ f ( x ) = e ^ { g ( x ) } $$

مشتق این تابع، توسط رابطه زیر تعیین می‌شود:

$$
f ' ( x ) = g ' ( x ) e ^ { g ( x ) }
$$

با توجه به این اطلاعات داریم:

$$ g ( x ) = - x $$

به این ترتیب:

$$ g ' ( x ) = - ۱ $$

g(x) و g'(x) را درون رابطه f'(x) قرار می‌دهیم:

$$
f ' ( x ) = ( - ۱ ) e ^ { - x }
$$

$$
f ' ( x ) = - e ^ { - x }
$$

 

مشتق e به توان lnx کدام گزینه است ؟

$$ ۰ $$

$$ ۱ $$

$$
e ^ { x }
$$

$$ \ln (x) $$

شرح پاسخ

مشتق تابع $$ f ( x ) = e ^ { \ln { ( x ) } } $$، با استفاده از فرمول زیر تعیین می‌شود:

$$
f ' ( x ) = g ' ( x ) e ^ { g ( x ) }
$$

g(x) در این فرمول، توان e را نمایش می‌دهد. بنابراین:

$$ g ( x ) = \ln { ( x ) } $$

مشتق g(x) برابر است با:

$$
g ' ( x ) = \frac { d } { d x } \ln { ( x ) } = \frac { ۱ } { x }
$$

با جایگذاری g(x) و g'(x) در رابطه f'(x) خواهیم داشت:

$$
f ' ( x ) = \frac { ۱ } { x } e ^ { \ln { ( x ) } }
$$

حل سوال به اینجا ختم نمی‌شود. به تابع مورد سوال دقت کنید:

$$ f ( x ) = e ^ { \ln { ( x ) } } $$

 از دو طرف تابع بالا ln می‌گیریم:

$$
\ln { f ( x ) } = \ln { ( e ^ { \ln { ( x ) } } ) }
$$

با توجه به قانون توان در لگاریتم، ln(x) را به پشت ln(e) انتقال می‌دهیم:

$$
\ln { f ( x ) } = \ln { ( x ) }\ln { ( e ) }
$$

می‌دانیم که ln(e) برابر با ۱ است. از این‌رو، داریم:

$$
\ln { f ( x ) } = \ln { ( x ) }
$$

به دلیل برابر بودن مبنای lnهای دو طرف معادله بالا، می‌توانیم لگاریتم‌ها را حذف کنیم:

$$
f ( x ) = x
$$

تابع f(x) برابر با x شد. به عبارت دیگر:

$$
f ( x ) = e ^ { \ln { ( x ) } } = x
$$

اکنون، به جای عبارت $$ e ^ { \ln { ( x ) } } $$ در رابطه f'(x)، عبارت x را قرار می‌دهیم:

$$
f ' ( x ) = \frac { ۱ } { x } x
$$

$$
f ' ( x ) = \frac { x } { x }
$$

$$
f ' ( x ) = ۱
$$

در نتیجه، مشتق e به توان lnx برابر با ۱ است.

 

مثال ۴: مشتق e به توان sinx

مشتق $$ e ^ { ( \sin { x } ) } $$ را به دست بیاورید.

توان e در تابع مورد سوال (عبارت $$ \sin x $$)، تابعی از x است. به عبارت دیگر:

$$ \sin x = f ( x ) $$

به این ترتیب، می‌توانیم تابع مورد سوال را به صورت زیر بنویسیم:

$$ e ^ { f ( x ) } $$

بر اساس قواعد مشتق توابع مثلثاتی، مشتق این تابع از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$
\frac { d } { d x } e ^ { f ( x ) } = f ' ( x ) e ^ { f ( x ) }
$$

f'(x) عبارت است از:

$$
f ' ( x ) = \frac { d } { d x } \sin x = \cos x
$$

f(x) و f'(x) را درون رابطه مشتق تابع قرار می‌دهیم:

$$
\frac { d } { d x } e ^ { \sin x } = ( \cos x )e ^ { \sin x }
$$

مشتق e به توان xy کدام گزینه است؟

$$
f _ { x } = y e ^ { x y } \space ; \space f _ { y } = x e ^ { x y }
$$

$$
f _ { x } = e ^ { x y } \space ; \space f _ { y } = e ^ { x y }
$$

$$
f _ { x } = y e ^ { x } \space ; \space f _ { y } = x e ^ { y }
$$

$$
f _ { x } = x e ^ { x } \space ; \space f _ { y } = y e ^ { y }
$$

شرح پاسخ

xy، یک تابع چندمتغیره (دومتغیره) است. مشتق‌گیری از این نوع تابع، بر اساس قواعد مشتقات جزئی انجام می‌شود. بر این اساس، باید مشتق را یک بار بر حسب x و یک بار بر حسب y به دست آورد. با در نظر داشتن این نکات، به حل سوال می‌پردازیم. فرم تابع $$ e ^ { x y } $$، به شکل زیر است:

$$
e ^ { f ( x, y) }
$$

مشتق این تابع بر حسب x از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$
\frac { d } { dx } e ^ { f ( x , y ) } = f _ { x } ( x , y ) e ^ { f ( x , y ) }
$$

هنگام مشتق‌گیری از f(x,y) بر حسب x، متغیر y را به عنوان یک ثابت در نظر می‌گیرم:

$$
f _ { x } = \frac { d } { d x } e ^ { x y } = y e ^ { x y }
$$

هنگام مشتق‌گیری از f(x,y) بر حسب y، متغیر x را به عنوان یک ثابت در نظر می‌گیرم:

$$
f _ { y } = \frac { d } { d x } e ^ { x y } = x e ^ { x y }
$$

کلاس درس (تصویر تزئینی مطلب مشتق e)

مشتق معکوس e چگونه بدست می آید ؟

معکوس تابع نمایی ex، یک تابع لگاریتمی بر مبنای e است. این تابع با عنوان لگاریتم طبیعی شناخته شده و با ln نمایش داده می‌شود:

$$
f ( x ) = e ^ { x } \longrightarrow f ^ { - ۱ } ( x ) = \log _ { e } ( x ) = \ln ( x )
$$

مشتق معکوس ex یا همان مشتق لگاریتم طبیعی $$ \ln ( x ) $$، عبارت است از:

$$
\frac { d } { d x } \ln ( x ) = \frac { ۱ } { x }
$$

در صورت وجود ضریب ثابت عددی (مانند ضریب c) در کنار x، فرمول مشتق معکوس e، تغییری نخواهد کرد:

$$
\frac { d } { d x } \ln ( c x ) = \frac { ۱ } { x }
$$

اگر به جای x در ln، تابعی مانند f(x) قرار داشته باشد، فرمول مشتق به شکل زیر درمی‌آید:

$$
\frac { d } { d x } \ln [ f ( x ) ] = \frac { f ' ( x ) } { f ( x ) }
$$

مثال ۵: تعیین مشتق ln

مشتق $$ f ( x ) = \ln ( ۴ x ^ ۳ + x ^ ۲ - ۱۴ x +۳۵ ) $$ را به دست بیاورید.

تابع مورد سوال، یک لگاریتم طبیعی است. در این لگاریتم، یک چندجمله‌ای قرار دارد. اگر چندجمله‌ای را برابر با g(x) قرار دهیم:

$$
g ( x ) = ۴ x ^ ۳ + x ^ ۲ - ۱۴ x + ۳۵
$$

مشتق تابع از رابطه زیر به دست خواهد آمد:

$$
f ' ( x ) = \frac { g ' ( x ) } { g ( x ) }
$$

برای استفاده از تابع بالا، ابتدا باید مشتق g(x) را تعیین کنیم:

$$
g ' ( x ) = ( ۳ \times ۴ ) x ^ { ۳ - ۱ } + ( ۲ x ^ { ۲ - ۱ } ) - ۱۴ + ۰
$$

$$
= ۱۲ x ^ ۲ + ۲ x - ۱۴
$$

اکنون، عبارت‌های g(x) و g'(x) را درون رابطه مشتق ln قرار می‌دهیم:

$$
f ' ( x ) = \frac { ۱۲ x ^ ۲ + ۲ x - ۱۴ } { ۴ x ^ ۳ + x ^ ۲ - ۱۴ x + ۳۵ }
$$

به این ترتیب، مشتق تابع لگاریتم طبیعی را به دست آوردیم.

دانشجو تنها در کلاس در حال درس خواندن

اثبات فرمول مشتق e با حد و پیوستگی

در این بخش، قصد داریم مشتق تابع ex (رابطه زیر) را اثبات کنیم:

$$
\frac { d } { d x } e ^ x = e ^ x
$$

برای شروع، تعریف حدی مشتق را در نظر می‌گیریم:

$$
f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x }
$$

تابع اصلی در اینجا عبارت است از:

$$
f ( x ) = e ^ x
$$

بنابراین:

$$
f ( x + \Delta x ) = e ^ { ( x + \Delta x ) }
$$

با جایگذاری این عبارت‌ها درون رابطه حدی مشتق، به رابطه زیر می‌رسیم:

$$
f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { e ^ { ( x + \Delta x ) } - e ^ { ( x ) } } { \Delta x }
$$

با توجه به خواص توان در ریاضی، می‌توانیم عبارت $$ e ^ { ( x + \Delta x ) } $$ را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

$$
e ^ { ( x + \Delta x ) } = e ^ x e ^ { \Delta x }
$$

به این ترتیب، داریم:

$$
f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { e ^ x e ^ { \Delta x } - e ^ { ( x ) } } { \Delta x }
$$

از عبارت ex در صورت کسر، فاکتور می‌گیریم:

$$
f ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { e ^ x ( e ^ { \Delta x } - ۱ ) } { \Delta x }
$$

از آنجایی که ex در Δx ظاهر نمی‌شود، می‌توانیم آن را به پشت حد انتقال دهیم:

$$
f ' ( x ) = e ^ x \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { e ^ { \Delta x } - ۱ } { \Delta x }
$$

جواب نهایی مشتق بالا، با تعیین حد زیر به دست می‌آید:

$$
\lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { e ^ { \Delta x } - ۱ } { \Delta x }
$$

برای تعیین حد بالا، ابتدا تغییر متغیر زیر را انجام می‌دهیم:

$$
n = e ^ { \Delta x } - ۱
$$

در عبارت بالا، اگر Δx به صفر میل کند، عبارت eΔx برابر با ۱ و متغیر n برابر با ۰ می‌شود. به عبارت دیگر:

$$
\lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } n = ۰
$$

جواب حد بالا را به خاطر داشته باشید. اکنون، تغییر متغیر را بر حسب eΔx بازنویسی می‌کنیم:

$$
e ^ { \Delta x } = n + ۱
$$

از هر دو طرف معادله بالا، ln می‌گیریم:

$$
\ln { ( e ^ { \Delta x } ) } = \ln { ( n + ۱ ) }
$$

سمت چپ معادله بالا را بر اساس فرمول مشتق ln ساده می‌کنیم:

$$
\ln { ( e ^ { \Delta x } ) } = e ^ { \Delta x }
$$

$$
e ^ { \Delta x } = \ln { ( n + ۱ ) }
$$

عبارت بالا را به همراه تغییر متغیر در رابطه حدی مشتق قرار می‌دهیم:

$$
\lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { e ^ { \Delta x } - ۱ } { \Delta x } = \lim _ { n \rightarrow ۰ } \frac { n } { \ln { ( n + ۱ ) } }
$$

عبارت سمت راست را بازنویسی می‌کنیم:

$$
= \lim _ { n \rightarrow ۰ } \frac { ۱ } { \frac { ۱ } { n } \ln { ( n + ۱ ) } }
$$

بر اساس قانون توان در لگاریتم، می‌توانیم ضریب پشت ln را به عنوان توان عبارت داخل آن در نظر بگیریم:

$$
= \lim _ { n \rightarrow ۰ } \frac { ۱ } { \ln { ( n + ۱ ) } ^ { \frac { ۱ } { n } } }
$$

با توجه به قانون تقسیم در حد، عبارت‌های بالا را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$
= \frac { \lim _ { n \rightarrow ۰ } ۱ } { \lim _ { n \rightarrow ۰ } \ln { ( n + ۱ ) } ^ { \frac { ۱ } { n } } }
$$

صورت کسر بالا برابر با ۱ است. بر اساس قانون حد ترکیب توابع می‌توانیم مخرج کسر را به صورت ترکیب حد بازنویسی کنیم:

$$
= \frac { ۱ } { \ln [ \lim _ { n \rightarrow ۰ } { ( n + ۱ ) } ^ { \frac { ۱ } { n } } ]}
$$

جواب حد در مخرج کسر بالا، یکی از تعریف‌های ثابت اویلر (e) است:

$$
e = \lim _ { n \rightarrow ۰ } { ( n + ۱ ) } ^ { \frac { ۱ } { n } }
$$

از این‌رو، به جای این حد، عبارت e را قرار می‌دهیم:

$$
\frac { ۱ } { \ln [ \lim _ { n \rightarrow ۰ } { ( n + ۱ ) } ^ { \frac { ۱ } { n } } ]} = \frac { ۱ } { \ln ( e ) }
$$

در نتیجه:

$$
\lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { e ^ { \Delta x } - ۱ } { \Delta x } = \frac { ۱ } { \ln ( e ) }
$$

جواب حد را در آخرین رابطه حدی مشتق قرار می‌دهیم:

$$
f ' ( x ) = e ^ x \lim _ { \Delta x \to ۰ } \dfrac { e ^ { \Delta x } - ۱ } { \Delta x } = e ^ x \times ۱ = e ^ x
$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، مشتق ex برابر با خودش (ex) شد.

دانشجویان در فضای باز در حال درس خواندن

سوالات متداول در رابطه با مشتق e

در این بخش، به برخی از پرتکرارترین سوالات در رابطه با مبحث مشتق e به طور مختصر پاسخ می‌دهیم.

e چیست ؟

e، ثابت عددی اویلر و برابر با ۲/۷۱۸۲۸ است.

مشتق e به توان x چیست ؟

مشتق e به توان x یا e^x، برابر با خودش (e^x) است.

مشتق کدام تابع برابر با خودش است ؟

مشتق دو تابع f(x)=۰ و f(x)=ex برابر با خودش است.

فرمول مشتق e به توان f(x) چیست ؟

فرمول مشتق e به توان f(x) برابر با f'(x)e^(f(x) است.

معکوس e به توان x چیست ؟

تابع معکوس e به توان x، لگاریتم طبیعی ln x است.

مشتق معکوس e به توان x چیست ؟

مشتق معکوس e به توان x (مشتق ln x)، برابر با یک بر روی x یا یک x ام است.

بر اساس رای ۳۸ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرس
۱ دیدگاه برای «مشتق e – به زبان ساده + مثال و حل تمرین»

عالی بود یک ساعت دیگه امتحانمه و منو از گیجی نجات داد

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *