مشتق e به توان x، برابر با خودش است. عبارت ex، یک تابع نمایی را نمایش میدهد. اگر بخواهیم مشتق این تابع را بر حسب x به دست بیاوریم، به عبارت ex میرسیم. این نتیجه، یکی از ویژگیهای مخصوص توابع نمایی است. در این مقاله، مفاهیم مرتبط با مشتق e به توان x و نحوه مشتقگیری از شکلهای دیگر این تابع نمایی را به همراه چندین مثال و تمرین آموزش میدهیم.
e، یکی از ثابتهای عددی معروف در دنیای ریاضی و برابر با ۲/۷۱۸۲۸ است. با محاسبه حد عبارت (۱+n۱)n زمانی که n به بینهایت میل میکند، مقدار این ثابت به دست میآید. امکان محاسبه e از روی جمع عبارتهای سری بینهایت زیر نیز وجود دارد:
e=n=۰∑∞n۱=۱+۱۱+۱⋅۲۱+۱⋅۲⋅۳۱+⋯
ثابت e، با عنوان عدد اویلر یا عدد نپر نیز شناخته میشود. این عدد، مبنای لگاریتمهای طبیعی است.
تابع نمایی، یکی از مهمترین توابع ریاضی به شمار میرود. در توابع نمایی، متغیر به صورت توان در عبارتها ظاهر میشود. این توان میتواند هر عدد حقیقی باشد. فرم کلی توابع نمایی به صورت زیر است:
f(x)=ax
تصویر زیر، نمودار تابع نمایی f(x)=۲x را نمایش میدهد.
اگر عدد ثابت در فرم کلی تابع نمایی را برابر با عدد اویلر قرار دهیم، تابع نمایی به شکل زیر درمیآید:
f(x)=ex
این تابع به صورت زیر نیز نوشته میشود:
f(x)=exp(x)
فرم کلی تابع e به شکل زیر است:
f(x)=aex+c
a، ضریب عددی و c، ثابت عددی را نمایش میدهد. مشتق e، یک ویژگی جالب دارد که در بخش بعدی به آن میپردازیم.
c ضریب عدد ثابت را نمایش میدهد. مشتق تابع بالا عبارت است از:
f′(x)=(aex)′=aex
به عبارت دیگر، مشتق e به توان x با ضریب ثابت نیز با خودش برابر میشود.
مثال ۱: تعیین مشتق e با ضریب ثابت
مشتق تابع ۳ex را به دست بیاورید.
تابع ۳ex، از یک ضریب ثابت (عدد ۳) و عبارت نمایی ex تشکیل میشود. مشتق این تابع، از رابطه زیر به دست میآید:
dxdaex=aex
dxd۳ex=۳ex
در نتیجه، مشتق ۳ex، برابر با خودش، یعنی ۳ex است.
مشتق تابع f(x)=(y۲+۱۷)ex کدام گزینه است؟
(۲y)ex
(y۲+۱۷)ex
(y۲)ex
ex
شرح پاسخ
تابع مورد سوال، به صورت تابعی از متغیر x یا همان f(x) نمایش داده شده است. به همین دلیل، هر علامت و حرف دیگری در آن، به عنوان یک ثابت در نظر گرفته میشود. بنابراین میتوانیم عبارت پشت ex را برابر با ثابتی مانند a قرار دهیم:
a=(y۲+۱۷)
مشتق e با ضریب ثابت از رابطه زیر به دست میآید:
dxdaex=aex
به این ترتیب داریم:
dxd(y۲+۱۷)ex=(y۲+۱۷)ex
در نتیجه، مشتق (y۲+۱۷)ex برابر با خودش شد.
فرمول کلی مشتق e به توان f(x)
اگر توان تابع e، تابعی مانند u(x)، مشتق e بر حسب x از رابطه زیر به دست میآید:
dxdef(x)=[dxdf(x)]ef(x)
یا
dxdef(x)=f′(x)ef(x)
نحوه به کارگیری فرمول بالا را با حل یک مثال و تمرین آموزش میدهیم.
برای به دست آوردن مشتق تابع e۲x باید از فرمول کلی مشتق e استفاده کنیم. این فرمول به صورت زیر نوشته میشود:
dxdeu(x)=[dxdu(x)]eu(x)
در رابطه بالا، u(x) برابر میشود با:
u(x)=۲x
این عبارت را درون رابطه جایگذاری میکنیم:
dxde۲x=[dxd۲x]e۲x
تابع u(x)=۲x، یک تابع خطی است. مشتق این تابع برابر است با:
dxd۲x=۲
نتیجه را در رابطه مشتق قرار میدهیم:
dxde۲x=۲e۲x
در نتیجه، مشتق e۲x برابر با ۲e۲x است.
تصویر زیر، منحنی چند تابع نمایی با پایه e و توانهای متفاوت را نمایش میدهد.
خطچین قرمز، منحنی تابع e به توان 2x است.
مشتق تابع ex۲ کدام گزینه است؟
(۲x)ex۲
ex۲
(۲)ex۲
(x۲)ex۲
شرح پاسخ
توان e در ex۲، تابعی از x است. به عبارت دیگر:
f(x)=x۲
بنابراین، مشتق مورد نظر از رابطه زیر به دست میآید:
dxdef(x)=f′(x)ef(x)
مشتق f(x) برابر است با:
f′(x)=dxdx۲=۲x
این عبارت را درون رابطه مشتق قرار میدهیم:
dxdex۲=(۲x)ex۲
حل تمرین و مثال مشتق e
به منظور آشنایی بهتر با فرمولهای مشتق e، به حل چند مثال و تمرین بیشتر میپردازیم.
مثال ۳: تعیین مشتق e به توان منفی x
مشتق تابع f(x)=e−x را به دست بیاورید.
فرم تابع مورد سوال به صورت زیر است:
f(x)=eg(x)
مشتق این تابع، توسط رابطه زیر تعیین میشود:
f′(x)=g′(x)eg(x)
با توجه به این اطلاعات داریم:
g(x)=−x
به این ترتیب:
g′(x)=−۱
g(x) و g'(x) را درون رابطه f'(x) قرار میدهیم:
f′(x)=(−۱)e−x
f′(x)=−e−x
مشتق e به توان lnx کدام گزینه است ؟
۰
۱
ex
ln(x)
شرح پاسخ
مشتق تابع f(x)=eln(x)، با استفاده از فرمول زیر تعیین میشود:
f′(x)=g′(x)eg(x)
g(x) در این فرمول، توان e را نمایش میدهد. بنابراین:
g(x)=ln(x)
مشتق g(x) برابر است با:
g′(x)=dxdln(x)=x۱
با جایگذاری g(x) و g'(x) در رابطه f'(x) خواهیم داشت:
f′(x)=x۱eln(x)
حل سوال به اینجا ختم نمیشود. به تابع مورد سوال دقت کنید:
f(x)=eln(x)
از دو طرف تابع بالا ln میگیریم:
lnf(x)=ln(eln(x))
با توجه به قانون توان در لگاریتم، ln(x) را به پشت ln(e) انتقال میدهیم:
lnf(x)=ln(x)ln(e)
میدانیم که ln(e) برابر با ۱ است. از اینرو، داریم:
lnf(x)=ln(x)
به دلیل برابر بودن مبنای lnهای دو طرف معادله بالا، میتوانیم لگاریتمها را حذف کنیم:
f(x)=x
تابع f(x) برابر با x شد. به عبارت دیگر:
f(x)=eln(x)=x
اکنون، به جای عبارت eln(x) در رابطه f'(x)، عبارت x را قرار میدهیم:
f′(x)=x۱x
f′(x)=xx
f′(x)=۱
در نتیجه، مشتق e به توان lnx برابر با ۱ است.
مثال ۴: مشتق e به توان sinx
مشتق e(sinx) را به دست بیاورید.
توان e در تابع مورد سوال (عبارت sinx)، تابعی از x است. به عبارت دیگر:
sinx=f(x)
به این ترتیب، میتوانیم تابع مورد سوال را به صورت زیر بنویسیم:
ef(x)
بر اساس قواعد مشتق توابع مثلثاتی، مشتق این تابع از رابطه زیر به دست میآید:
dxdef(x)=f′(x)ef(x)
f'(x) عبارت است از:
f′(x)=dxdsinx=cosx
f(x) و f'(x) را درون رابطه مشتق تابع قرار میدهیم:
dxdesinx=(cosx)esinx
مشتق e به توان xy کدام گزینه است؟
fx=yexy;fy=xexy
fx=exy;fy=exy
fx=yex;fy=xey
fx=xex;fy=yey
شرح پاسخ
xy، یک تابع چندمتغیره (دومتغیره) است. مشتقگیری از این نوع تابع، بر اساس قواعد مشتقات جزئی انجام میشود. بر این اساس، باید مشتق را یک بار بر حسب x و یک بار بر حسب y به دست آورد. با در نظر داشتن این نکات، به حل سوال میپردازیم. فرم تابع exy، به شکل زیر است:
ef(x,y)
مشتق این تابع بر حسب x از فرمول زیر محاسبه میشود:
dxdef(x,y)=fx(x,y)ef(x,y)
هنگام مشتقگیری از f(x,y) بر حسب x، متغیر y را به عنوان یک ثابت در نظر میگیرم:
fx=dxdexy=yexy
هنگام مشتقگیری از f(x,y) بر حسب y، متغیر x را به عنوان یک ثابت در نظر میگیرم:
fy=dxdexy=xexy
مشتق معکوس e چگونه بدست می آید ؟
معکوس تابع نمایی ex، یک تابع لگاریتمی بر مبنای e است. این تابع با عنوان لگاریتم طبیعی شناخته شده و با ln نمایش داده میشود:
f(x)=ex⟶f−۱(x)=loge(x)=ln(x)
مشتق معکوس ex یا همان مشتق لگاریتم طبیعی ln(x)، عبارت است از:
dxdln(x)=x۱
در صورت وجود ضریب ثابت عددی (مانند ضریب c) در کنار x، فرمول مشتق معکوس e، تغییری نخواهد کرد:
dxdln(cx)=x۱
اگر به جای x در ln، تابعی مانند f(x) قرار داشته باشد، فرمول مشتق به شکل زیر درمیآید:
«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیتهای علمی او در زمینه تحلیل عددی سازههای مهندسی بوده و در حال حاضر، دبیر بخش مهندسی مجله فرادرس است.
عالی بود یک ساعت دیگه امتحانمه و منو از گیجی نجات داد