در آموزش‌های قبلی از مجموعه مقالات ریاضی مجله فرادرس، درباره مفهوم مشتق و روش‌های مشتق‌گیری بحث کردیم و مباحثی مانند مشتق لگاریتم و تابع نمایی، مشتق ضمنی، مشتق جزئی، مشتق زنجیره‌ای و مشتق جهتی را توضیح دادیم. در این آموزش، درباره مشتق توابع معکوس بحث خواهیم کرد.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

قضیه تابع معکوس

فرض کنید $$f(x)$$ یک تابعِ اکیداً یکنوا در بازه $$(a, b)$$ باشد. اگر نقطه $$x_0$$ در این بازه وجود داشته باشد، به‌طوری که $$f’\left( {{x_0}} \right) \ne 0$$، آن‌گاه تابع معکوس $$x = \varphi \left( y \right)$$ نیز در $$ {y_0} = f\left( {{x_0}} \right) $$ مشتق‌پذیر بوده و مشتق آن با رابطه زیر بیان می‌شود:

$$ \large \varphi’\left( {{y_0}} \right) = \frac{1}{{f’\left( {{x_0}} \right)}}. $$

اثبات: فرض کنید متغیر $$ y $$ در نقطه $$y _0 $$ به‌اندازه $$ \Delta y \ne 0 $$ نِمُو (رشد) داشته باشد. نمو متناظرِ متغیر $$x$$ را در نقطه $$x_0$$ با $$ \Delta x $$ نشان می‌دهیم و به‌دلیل اکیداً یکنوا بودن $$ y = f\left( x \right)$$، داریم: $$ \Delta x \ne 0 $$. نسبت نموها را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$ \large \frac{{\Delta x}}{{\Delta y}} = \frac{1}{{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}}. $$

اگر $$ \Delta y \to 0 $$، آن‌گاه از آن‌جایی که تابع معکوس $$ x = \varphi \left( y \right)$$ در $$ y_0 $$ پیوسته است، داریم: $$ \Delta x \to 0 $$‌. بنابراین، سمت راست رابطه بالا، به‌صورت زیر درمی‌آید:

$$ \large {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}} = \frac{1}{{\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}} }
= {\frac{1}{{f’\left( {{x_0}} \right)}}.} $$

در این حالت، سمت چپ معادله به یک حد میل می‌کند که بنا به تعریف، برابر با مشتق تابع معکوس است:

$$ \large \lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{{\Delta x}}{{\Delta y}} = \varphi’\left( {{y_0}} \right). $$

بنابراین، داریم:

$$ \large \varphi’\left( {{y_0}} \right) = \frac{1}{{f’\left( {{x_0}} \right)}} $$

یعنی مشتق تابع معکوس، معکوس مشتق تابع اصلی است.

مثال‌ها

در این قسمت، برای آشنایی بهتر با نحوه محاسبه مشتق تابع معکوس و کاربرد آن، چند مثال حل‌ شده را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

برای توابع زیر، مشتق تابع $$ y = f\left( x \right) $$ را با استفاده از مشتق تابع معکوس $$ x = \varphi \left( y \right) $$ به‌دست آورید.

(الف) $$ \large y = \sqrt[\large n\normalsize]{x} $$

حل: ابتدا تابع معکوس تابع $$ y = \sqrt[\large n\normalsize]{x} $$ را تعیین می‌کنیم. برای این کار، متغیر $$x$$ را برحسب $$y$$ می‌نویسیم:

$$ \large {y = f\left( x \right) = \sqrt[\large n\normalsize]{x},\;\;}\Rightarrow
{{y^n} = {\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{x}} \right)^n},\;\;}\Rightarrow
{x = \varphi \left( y \right) = {y^n}.} $$

با استفاده از قضیه تابع معکوس، داریم:

$$\large  {{\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{x}} \right)^\prime } = f’\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} }
= {\frac{1}{{{{\left( {{y^n}} \right)}^\prime }}} }
= {\frac{1}{{n{y^{n – 1}}}}.} $$

اکنون عبارت $$ y = \sqrt[\large n\normalsize]{x} $$ را جایگذاری می‌کنیم. در نتیجه، توصیف مشتق تابع داده‌شده، به‌صورت زیر خواهد بود:

$$ \large {{\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{x}} \right)^\prime } = \frac{1}{{n{y^{n – 1}}}} }
= {\frac{1}{{n{{\left( {\sqrt[\large n\normalsize]{x}} \right)}^{n – 1}}}} }
= {\frac{1}{{n\sqrt[\large n\normalsize]{{{x^{n – 1}}}}}}\;\;\;}\kern-0.3pt{\left( {x \gt 0} \right).} $$

(ب) $$ \large y = \arcsin x $$

حل: تابع آرک‌سینوس، معکوس تابع سینوس است. بنابراین، $$ x = \varphi \left( y \right) = \sin y $$. مشتق $$ \arcsin x $$ به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ \large {{\left( {\arcsin x} \right)^\prime } = f’\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} }
= {\frac{1}{{{{\left( {\sin y} \right)}^\prime }}} } \\ \large
= {\frac{1}{{\cos y}} }
= {\frac{1}{{\sqrt {1 – {{\sin }^2}y} }} }
= {\frac{1}{{\sqrt {1 – {{\sin }^2}\left( {\arcsin x} \right)} }} }
= {\frac{1}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}} $$

که در آن، $$ -1 \lt x \lt 1 $$ است.

(پ) $$ \large y = \ln x $$

حل: تابع لگاریتم طبیعی و تابع نمایی، معکوس یکدیگر هستند. بنابراین، $$ x = \varphi \left( y \right) = {e^y} $$، که در آن، $$ x \gt 0 $$ و $$ y \in \mathbb{R} $$ است. مشتق لگاریتم طبیعی را می‌توان به‌سادگی و با استفاده از مشتق تابع نمایی محاسبه کرد:

$$ \large {{\left( {\ln x} \right)^\prime } = f’\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} }
= {\frac{1}{{{{\left( {{e^y}} \right)}^\prime }}} }
= {\frac{1}{{{e^y}}} }
= {\frac{1}{{{e^{\ln x}}}} }
= {\frac{1}{x}} $$

در محاسبات بالا، از $$ {e^{\ln x}} = x $$ استفاده کرده‌ایم.

(ت) $$ \large y = \sqrt[\large 3\normalsize]{{x + 1}} $$

حل: ابتدا معکوس تابع $$ x = \varphi \left( y \right) $$ تابع $$ y = f\left( x \right) $$ را پیدا می‌کنیم که برای هر $$ x \in \mathbb{R} $$، اکیداً یکنوا است. متغیر $$x$$ را برحسب $$y$$ می‌نویسیم:

$$ \large {y = \sqrt[\large 3\normalsize]{{x + 1}},\;\;}\Rightarrow
{{y^3} = x + 1,\;\;}\Rightarrow
{x = {y^3} – 1.} $$

اکنون، مشتق $$ f’\left( x \right) $$ را به‌دست می‌آوریم:

فرمول

(ث) $$ \large y = \arccos \left( {1 – 2x} \right) $$

حل: تابع آرک‌کسینوس، در بازه $$ \left[ { – 1,1} \right] $$ تعریف می‌شود و یکنوا است. در نتیجه، دامنه تابع اصلی، به‌فرم زیر است:

$$ \large { – 1 \le 1 – 2x \le 1,\;\; }\Rightarrow {- 2 \le – 2x \le 0,\;\; }\Rightarrow
{0 \le x \le 1.} $$

تابع $$ x = \varphi \left( y \right) $$ را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large {y = \arccos \left( {1 – 2x} \right),\;\;}\Rightarrow
{1 – 2x = \cos y,\;\;} \\ \large \Rightarrow
{2x = 1 – \cos y,\;\;}\Rightarrow
{x = \frac{1}{2} – \frac{1}{2}\cos y.} $$

اکنون، مشتق تابع اصلی را با استفاده از مشتق تابع معکوس محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \require {cancel}
{{\left( {\arccos \left( {1 – 2x} \right)} \right)^\prime } = f’\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } \\ \large
= {\frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{2} – \frac{1}{2}\cos y} \right)}^\prime }}} }
= {\frac{1}{{\frac{1}{2}\sin y}} = \frac{2}{{\sin y}} }
= {\frac{2}{{\sqrt {1 – {\cos^2}y} }} } \\ \large
= {\frac{2}{{\sqrt {1 – {\cos^2}\left( {\arccos \left( {1 – 2x} \right)} \right)} }} }
= {\frac{2}{{\sqrt {1 – {{\left( {1 – 2x} \right)}^2}} }} }
= {\frac{2}{{\sqrt {1 – \left( {1 – 4x + 4{x^2}} \right)} }} } \\ \large
= {\frac{2}{{\sqrt {\cancel{1} – \cancel{1} + 4x – 4{x^2}} }} }
= {\frac{\cancel{2}}{{\cancel{2}\sqrt {x – {x^2}} }} }
= {\frac{1}{{\sqrt {x – {x^2}} }}.} $$

توجه کنید که مشتق، در نقاط مرزی $$ x = 0 $$ و $$ x = 1 $$ از دامنه تابع $$ y = f\left( x \right) $$ تعریف نشده است.

(ج) $$ \large y = \sqrt {1 + \sqrt x } $$

حل: این تابع، برای $$ x \gt 0 $$ تعریف شده و اکیداً یکنوا است. بنابراین، می‌توان معکوس تابع را روی این بازه به‌دست آورد. با توصیف $$x$$ برحسب $$ y $$ داریم:

$$ \large {y = \sqrt {1 + \sqrt x } ,\;\;}\Rightarrow
{{y^2} = 1 + \sqrt x ,\;\;} \\ \large \Rightarrow
{\sqrt x = {y^2} – 1,\;\;}\Rightarrow
{x = {\left( {{y^2} – 1} \right)^2}.} $$

اکنون مشتق تابع $$ y = f\left( x \right) $$ را با استفاده از قضیه تابع معکوس می‌نویسیم:

$$ \large {{\left( {\sqrt {1 + \sqrt x } } \right)^\prime } = f’\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} }
= {\frac{1}{{{{\left[ {{{\left( {{y^2} – 1} \right)}^2}} \right]}^\prime }}} } \\ \large
= {\frac{1}{{2\left( {{y^2} – 1} \right) \cdot {{\left( {{y^2} – 1} \right)}^\prime }}} }
= {\frac{1}{{2\left( {{y^2} – 1} \right) \cdot 2y}} }
= {\frac{1}{{4y\left( {{y^2} – 1} \right)}}.}\qquad $$

با جایگذاری تابع اصلی $$y$$ در عبارت بالا، داریم:

$$ \large {{\left( {\sqrt {1 + \sqrt x } } \right)^\prime } }={ \frac{1}{{4y\left( {{y^2} – 1} \right)}} }
= {\frac{1}{{4\sqrt {1 + \sqrt x } \left( {{{\left( {\sqrt {1 + \sqrt x } } \right)}^2} – 1} \right)}} } \\ \large
= {\frac{1}{{4\sqrt {1 + \sqrt x } \left( {\cancel{1} + \sqrt x – \cancel{1}} \right)}} }
= {\frac{1}{{4\sqrt x \sqrt {1 + \sqrt x } }}\;\;}\kern-0.3pt{\left( {x \gt 0} \right).} $$

(چ) $$ \large y = \arctan \frac{1}{x} $$

حل: تابع معکوس این تابع به‌صورت زیر است:

$$ \large {y = \arctan \frac{1}{x},\;\;}\Rightarrow
{\frac{1}{x} = \tan y,\;\;}\Rightarrow
{x = \frac{1}{{\tan y}},\;\;}\kern-0.3pt{\;\;x \ne 0.} $$

اکنون مشتق تابع اصلی $$ y = f\left( x \right) $$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large {{\left( {\arctan \frac{1}{x}} \right)^\prime } = f’\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} }
= {\frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{{\tan y}}} \right)}^\prime }}} }\\ \large
= {\frac{1}{{\left( { – \frac{1}{{{{\tan }^2}y}}} \right) \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}y}}}} }
= { – \frac{{{{\tan }^2}y}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}y}}}}.}$$

با استفاده از اتحاد مثلثاتی $$ \frac{1}{{{{\cos }^2}y}} = 1 + {\tan ^2}y $$، داریم:

$$ \large {{\left( {\arctan \frac{1}{x}} \right)^\prime } = – \frac{{{{\tan }^2}y}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}y}}}} }
= { – \frac{{{{\tan }^2}y}}{{1 + {{\tan }^2}y}} } \\ \large
= { – \frac{{{{\tan }^2}\left( {\arctan \frac{1}{x}} \right)}}{{1 + {{\tan }^2}\left( {\arctan \frac{1}{x}} \right)}} }
= { – \frac{{{{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2}}} }
= { – \frac{{\frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}}}} }
= { – \frac{1}{{1 + {x^2}}}.} $$

همان‌گونه که می‌بینیم، فقط علامت مشتق تابع $$ y = \arctan {\large\frac{1}{x}\normalsize} $$، با مشتق تابع $$ y = \arctan x $$ تفاوت دارد.

(ح) $$ \large y = \sqrt x $$

حل: این تابع، معکوس تابع سهمی $$ x = \varphi \left( y \right) = {y^2} $$ است. بنابراین، مشتق آن به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ \large {\sqrt x = f’\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } \\ \large
= {\frac{1}{{{{\left( {{y^2}} \right)}^\prime }}} }
= {\frac{1}{{2y}} }
= {\frac{1}{{2\sqrt x }}\;\;\left( {x \gt 0} \right).} $$

(خ) $$ \large y = 2x + 4 $$

حل: ابتدا تابع معکوس $$ x = \varphi \left( y \right) $$ را می‌نویسیم که معکوس تابع $$ y = f\left( x \right) $$ است:

$$ \large {y = 2x + 4,\;\; }\Rightarrow {2x = y – 4,\;\;}
\Rightarrow {x = \frac{y}{2} – 2.} $$

بنابراین، مشتق $$ f’\left( x \right) $$ به‌صورت زیر خواهد بود:

$$ \large {{\left( {2x + 4} \right)^\prime } = f’\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} }
= {\frac{1}{{{{\left( {\frac{y}{2} – 2} \right)}^\prime }}} }
= {\frac{1}{{1/2}} = 2.} $$

مثال ۲

تابع $$ y = {x^5} + 2{x^3} + 3x $$ را در نظر بگیرید. مشتق تابع معکوس را در نقطه $$x=1$$ حساب کنید.

حل: در این مثال، یافتن یک توصیف برای تابع معکوس و مشتق آن، بسیار دشوار است. بنابراین، مشتق تابع اصلی را محاسبه، و پس از آن، مشتق تابع معکوس را در نقطه مورد نظر به‌دست می‌آوریم.

$$ \large {y’ = f’\left( x \right) }
= {{\left( {{x^5} + 2{x^3} + 3x} \right)^\prime } }
= {5{x^4} + 6{x^2} + 3.} $$

مقدار مشتق $$ f’\left( x \right) $$ در نقطه $$ x= 1 $$، برابر است با:

$$ \large f’\left( {x = 1} \right) = 5 \cdot {1^4} + 6 \cdot {1^2} + 3 = 14. $$

مقدار خود تابع در نقطه $$ x = 1 $$ به‌صورت زیر است:

$$ \large y\left( {x = 1} \right) = {1^5} + 2 \cdot {1^3} + 3 \cdot 1 = 6. $$

با استفاده از قضیه تابع معکوس، داریم:

$$ \large {\varphi’\left( {y = 6} \right) }
= {\frac{1}{{f’\left( {x = 1} \right)}} = \frac{1}{{14}}.} $$

مثال ۳

تابع $$ y = {x^2} – x $$ داده شده است. مشتق تابع معکوس را در نقطه $$x=1$$ حساب کنید.

حل: مشتق تابع اصلی به‌صورت زیر است:

$$ \large {y’ = f’\left( x \right) }
= {{\left( {{x^2} – x} \right)^\prime } }
= {2x – 1.} $$

توجه کنید که نقطه $$ x = {\large\frac{1}{2}\normalsize} $$، دو ناحیه نزولی ($$ x < {\large\frac{1}{2}\normalsize} $$) و صعودی ($$ x > {\large\frac{1}{2}\normalsize} $$) تابع اصلی را از هم جدا می‌کند. هریک از این بازه‌ها، شاخه تابع معکوس مربوط به خود را دارند که آن‌ها را با $$ {\varphi _1}\left( y \right) $$ و $$ {\varphi _2}\left( y \right) $$ نشان می‌دهیم. توصیف این توابع را می‌توان با حل معادله $$ y = f\left( x \right) $$ نسبت به $$x$$، به‌فرم صریح زیر نوشت:

$$ \large {y = {x^2} – x,\;\;}\Rightarrow
{{x^2} – x – y = 0,\;\;}\Rightarrow
{D = 1 + 4y,\;\;} \\ \large \Rightarrow
{{\varphi _{1,2}}\left( y \right) }
= {\frac{{1 \pm \sqrt {1 + 4y} }}{2}.} $$

مشتق تابع معکوس با فرمول زیر تعریف می‌شود:

$$ {\varphi’\left( y \right) = \frac{1}{{f’\left( x \right)}} }
= {\frac{1}{{2x – 1}}\;\;\;}\kern-0.3pt
{\left( {x \ne \frac{1}{2}} \right).} $$

با جایگذاری عبارات صریح $$ x = {\varphi _1}\left( y \right) $$ و $$ x = {\varphi _2}\left( y \right) $$ برای دو شاخه تابع معکوس، داریم:

$$ \large {{\varphi _1}^\prime \left( y \right) = \frac{1}{{2 \left( {\frac{{1 + \sqrt {1 + 4y} }}{2}} \right) – 1}} }
= {\frac{1}{{\cancel{1} + \sqrt {1 + 4y} – \cancel{1}}} }
= {\frac{1}{{\sqrt {1 + 4y} }},} $$

$$ \large {{\varphi _2}^\prime \left( y \right) = \frac{1}{{2 \left( {\frac{{1 – \sqrt {1 + 4y} }}{2}} \right) – 1}} }
= {\frac{1}{{\cancel{1} – \sqrt {1 + 4y} – \cancel{1}}} }
= {-\frac{1}{{\sqrt {1 + 4y} }}.} $$

نقطه $$ x = 1 $$، متناظر با مقدار $$ y = {1^2} – 1 = 0 $$ است و روی شاخه $$ {\varphi _1}\left( y \right) $$ تابع معکوس واقع شده است. مشتق تابع معکوس در این نقطه، برابر است با:

$$ \large {{\varphi _2}^\prime \left( {x = 1} \right) = {\varphi _2}^\prime \left( {y = 0} \right) }
= { – \frac{1}{{\sqrt {1 + 4 \cdot 0} }} = – 1.} $$

مثال ۴

مشتق معکوس تابع $$ y = {e^x} + 2x + 1 $$ را در نقطه $$x =0 $$ به‌دست آورید.

حل: وقتی $$ x = 0 $$ است، مقدار تابع به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large y\left( {x = 0} \right) = {e^0} + 2 \cdot 0 + 1 = 2. $$

مشتق تابع $$ y = f\left( x \right) $$ و مقدار آن ر نقطه $$ x = 0 $$ برابر است با:

$$ \large {y’ = f’\left( x \right) = {\left( {{e^x} + 2x + 1} \right)^\prime } }
= {{e^x} + 2,} $$

$$ \large {y’\left( {x = 0} \right) = f’\left( {x = 0} \right) }
= {{e^0} + 2 = 3.} $$

با استفاده از قضیه تابع معکوس، داریم:

$$ \large {\varphi’\left( {y = 2} \right) }={ \frac{1}{{f’\left( {x = 0} \right)}} = \frac{1}{3}.} $$

مثال ۵

مشتق معکوس تابع $$ y = \sin \left( {x – 1} \right) + {x^2} $$ را در نقطه $$x =۱ $$ به‌دست آورید.

حل: ابتدا مقدار تابع اصلی و مشتق آن را در نقطه $$ x = 1 $$ محاسبه می‌کنیم:

$$ \large y\left( {x = 1} \right) = \sin 0 + {1^2} = 1, $$

$$ \large {y’\left( x \right) = f’\left( x \right) }
= {\left[ {\sin \left( {x – 1} \right) + {x^2}} \right] }
= {\cos \left( {x – 1} \right) + 2x,} $$

$$ \large {y’\left( {x = 1} \right) = f’\left( {x = 1} \right) }
= {\cos 0 + 2 \cdot 1 = 3.} $$

بنابراین، می‌توانیم مشتق تابع معکوس را به‌صورت زیر به‌دست آوریم:

$$ \large {\varphi’\left( {y = 1} \right) }={ \frac{1}{{f’\left( {x = 1} \right)}} }
={ \frac{1}{3}.} $$

مثال ۶

مشتق معکوس تابع $$y = {x^2} + 2\ln x $$ را در نقطه $$x =۱ $$ به‌دست آورید.

حل: تابع اصلی $$ y = f (x)$$ در $$ x> 0$$ تعریف می‌شود. مشتق در این دامنه، مثبت است:

$$ \large {y’ = f’\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 2\ln x} \right)^\prime } }
= {2x + \frac{2}{x} \gt 0\;\;}\kern-0.3pt{\;\;x \gt 0.} $$

بنابراین، تابع اکیداً یکنوا است و تابع معکوس دارد. با استفاده از قضیه تابع معکوس، داریم:

$$ \large {\varphi’\left( y \right) = \frac{1}{{f’\left( x \right)}} }
= {\frac{1}{{2x + \frac{2}{x}}} }
= {\frac{1}{{\frac{{2{x^2} + 2}}{x}}} }
= {\frac{x}{{2\left( {{x^2} + 1} \right)}}.} $$

در این حالت، تابع $$ x\left( y \right) $$ را نمی‌توان صریحاً بیان کرد. البته، با استفاده از فرمول اخیر می‌توان به‌سادگی مقدار مشتق تابع معکوس را در نقطه $$ x = 1 $$ تعیین کرد. ابتدا مقدار $$y$$ متناظر را محاسبه می‌کنیم:

 $$ \large y\left( {x = 1} \right) = {1^2} + 2\ln 1 = 1 + 0 = 1. $$

بنابراین، داریم:

$$ \large {\varphi’\left( {y = 1} \right) = \frac{1}{{f’\left( {x = 1} \right)}} }
= {\frac{1}{{2\left( {{1^2} + 1} \right)}} = \frac{1}{4}.} $$

مثال ۷

مشتق معکوس تابع $$y = {x^3} – 3x $$ را در نقطه $$x = -2 $$ به‌دست آورید.

حل: مشتق این تابع به‌صورت زیر است:

$$ \large {y’ = f’\left( x \right) = {\left( {{x^3} – 3x} \right)^\prime } }
= {3{x^2} – 3 = 3\left( {{x^2} – 1} \right),} $$

با توجه به مشتق بالا می‌توان گفت که تابع، سه بازه یکنوایی دارد:

  1. تابع در بازه $$ x \in \left( { – \infty , – 1} \right) $$ صعودی است.
  2. تابع در بازه $$ x \in \left( { – 1, 1} \right) $$ نزولی است.
  3. تابع در بازه $$ x \in \left( {1, \infty} \right) $$ صعودی است.

می‌توان تابع معکوس را در هر بازه به‌دست آورد. همچنین، فرض می‌کنیم تابع معکوس متناظر با بازه اول، شامل نقطه $$ x = – 2 $$‌ باشد.

مشتق تابع معکوس به‌صورت زیر است:

$$ \large {\varphi’\left( y \right) = \frac{1}{{f’\left( x \right)}} }
= {\frac{1}{{3\left( {{x^2} – 1} \right)}}.} $$

مقدار خود تابع، در نقطه $$ x = -2 $$ برابر است با:

$$ \large {y\left( {x = – 2} \right) }={ {\left( { – 2} \right)^3} – 3 \cdot \left( { – 2} \right) }
= { – 8 + 6 = – 2.} $$

بنابراین، مشتق تابع معکوس در نقطه مورد نظر به‌صورت زیر خواهد بود:

$$ \large {\varphi’\left( {y = – 2} \right) }={ \frac{1}{{f’\left( {x = – 2} \right)}} }
= {\frac{1}{{3 \cdot \left( {{{\left( { – 2} \right)}^2} – 1} \right)}} }
= {\frac{1}{9}.} $$

مثال ۸

مشتق تابع معکوس $$ y = 2{x^3} – 1 $$‌ را در $$x=2$$ به‌دست آورید.

حل: ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large {y’ = f’\left( x \right) }
= {{\left( {2{x^3} – 1} \right)^\prime } = 6x.} $$

همان‌طور که می‌بینیم، علامت مشتق در نقطه $$x = 0 $$ تغییر می‌کند. به عبارت دیگر، تابع در $$ x \lt 0$$ نزولی و در $$ x \gt 0 $$‌ صعودی است. بنابراین، شاخه‌ای را در نظر می‌گیریم که شامل نقطه $$ x = 2 $$ است. در این ناحیه، تابع معکوس وجود دارد و مشتق آن، به‌صورت زیر است:

$$ \large \varphi’\left( y \right) = \frac{1}{{f’\left( x \right)}}. $$

با محاسبه $$ y\left( {x = 2} \right) = 2 \cdot {2^3} – 1 = 15 $$، داریم:

$$ \large {\varphi’\left( {y = 15} \right) = \frac{1}{{f’\left( {x = 2} \right)}} }
= {\frac{1}{{6 \cdot 2}} = \frac{1}{{12}}.} $$

مثال ۹

مشتق تابع $$ y = {\log _2}\left( {\frac{x}{3}} \right) $$ را حساب کنید.

حل: تابع $$ y = f\left( x \right) = {\log _2}\left( {\frac{x}{3}} \right) $$ در $$ x \gt 0 $$ تعریف شده و در این بازه اکیداً صعودی است. در نتیجه، تابع معکوسی به‌فرم $$ x = \varphi \left( y \right) $$ دارد:

$$ \large {y = {\log _2}\left( {\frac{x}{3}} \right),\;\;}\Rightarrow
{\frac{x}{3} = {2^y},\;\;}\Rightarrow
{x = 3 \cdot {2^y}.} $$

با استفاده از قضیه تابع معکوس، داریم:

$$ \large {{\left[ {{{\log }_2}\left( {\frac{x}{3}} \right)} \right]^\prime } }={ f’\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} }
= {\frac{1}{{{{\left( {3 \cdot {2^y}} \right)}^\prime }}} } \\ \large
= {\frac{1}{{3 \cdot {2^y} \cdot \ln 2}} }
= {\frac{1}{{3\ln 2 \cdot {2^{{{\log }_2}\left( {\large\frac{x}{3}\normalsize} \right)}}}} }
= {\frac{1}{{3\ln 2 \cdot \frac{x}{3}}} = \frac{1}{{x\ln 2}}.} $$

که در آن، از اتحاد لگاریتمی زیر استفاده شده است:

$$ \large {a^{{{\log }_a}x}} = x $$

مثال ۱۰

مشتق تابع $$ y = \text{arcsec }x $$ را در $$ x = \sqrt 2 $$ پیدا کنید.

حل: از این حقیقت استفاده می‌کنیم که تابع آرک‌سکانت، معکوس تابع سکانت است. مشتق سکانت به‌صورت زیر است:

$$ \large {{\left( {\sec y} \right)^\prime } = \tan y\sec y }
= {\frac{{\sin y}}{{{{\cos }^2}y}}.} $$

مقدار سکانت در نقطه $$ y = {\large\frac{\pi }{4}\normalsize} $$، برابر است با:

$$ \large {\sec \left( {y = \frac{\pi }{4}} \right) }
= {\frac{1}{{\cos \frac{\pi }{4}}} }
= {\frac{1}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2.} $$

با استفاده از قضیه تابع معکوس، داریم:

$$ \large {{\left( {\text{arcsec }x} \right)^\prime } = f’\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} }
= {\frac{1}{{{{\left( {\sec y} \right)}^\prime }}} }
= {\frac{1}{{\tan y\sec y}} }
= {\frac{{{{\cos }^2}y}}{{\sin y}}.} $$

بنابراین، مشتق تابع $$ \text{arcsec }x $$ در نقطه $$ x = \sqrt 2 $$، برابر است با:

$$ \large {f’\left( {x = \sqrt 2 } \right) }
= {\frac{1}{{\varphi’\left( {y = \frac{\pi }{4}} \right)}} }
= {\frac{{{{\cos }^2}\frac{\pi }{4}}}{{\sin \frac{\pi }{4}}} }
= {\frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}} }
= {\frac{{\sqrt 2 }}{2}.} $$

مثال ۱۱

مشتق تابع معکوس $$ y = x \cdot {3^x} $$ را بیابید که در $$ x \gt 0 $$ تعریف شده است:

حل: مشتق تابع داده‌شده به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large {y’ = f’\left( x \right) = {\left( {x \cdot {3^x}} \right)^\prime } }
= {x’ \cdot {3^x} + x \cdot {\left( {{3^x}} \right)^\prime } } \\ \large
= {1 \cdot {3^x} + x \cdot {3^x}\ln 3 }
= {{3^x}\left( {1 + x\ln 3} \right).}$$

مشتق فوق، برای $$ x \gt 0 $$ مثبت است. بنابراین، تابع در این ناحیه اکیداً صعودی است و تابع معکوسی به‌صورت $$ x = \varphi \left( y \right) v$$ دارد. مشتق این تابع معکوس، به‌صورت زیر بیان می‌شود:

$$ \large {\varphi’\left( y \right) = \frac{1}{{f’\left( x \right)}} }
= {\frac{1}{{{3^x}\left( {1 + x\ln 3} \right)}}.} $$

مثال ۱۲

مشتق تابع معکوس سینوس هیپربولیک $$ y = \text{arcsinh } x $$ را بیابید.

حل: توابع $$ y = \text{arcsinh } x $$ (آرک سینوس هیپربولیک)‌ و $$ x = \sinh y $$ (سینوس هیپربولیک)، معکوس یکدیگر هستند. بنابراین، با استفاده از قضیه تابع معکوس می‌توان نوشت:

$$ \large {{\left( {\text{arcsinh }x} \right)^\prime } = f’\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} }
= {\frac{1}{{{{\left( {\sinh y} \right)}^\prime }}} }
= {\frac{1}{{\cosh y}}.} $$

اکنون از اتحاد زیر کمک می‌گیریم:

$$ \large {\cosh ^2}y – {\sinh ^2}y = 1 $$

با استفاده از این اتحاد، می‌توانیم کسینوس هیپربولیک را برحسب سینوس هیپربولیک بنویسیم:

$$ \large {\cosh ^2}y – {\sinh ^2}y = 1 $$

$$ \large {{\cosh ^2}y = 1 + {\sinh ^2}y,\;\;}\Rightarrow
{\cosh y }
= {\sqrt {1 + {{\sinh }^2}y} } $$

با توجه به اینکه $$ \sinh \left( {\text{arcsinh }x} \right) = x $$، توصیف زیر برای مشتق تابع معکوس سینوس هیپربولیک به‌دست می‌آید:

$$ \large {{\left( {\text{arcsinh }x} \right)^\prime } = \frac{1}{{\cosh y}} }
= {\frac{1}{{\sqrt {1 + {{\sinh }^2}y} }} } \\ \large
= {\frac{1}{{\sqrt {1 + {{\sinh }^2}\left( {\text{arcsinh }x} \right)} }} }
= {\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}.}$$

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است و علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه هستید، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش مشتق توابع معکوس — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

فیلم آموزشی مشتق توابع معکوس

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل چند مثال از مشتق توابع معکوس

دانلود ویدیو

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 5 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *