مشتق رادیکال — به زبان ساده

۲۳۳۷۴ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۲ دی ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۲۷ دقیقه
مشتق رادیکال — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادس، با مفاهیم مشتق و روش‌های مشتق‌گیری آشنا شدیم. همچنین، مباحثی مانند مشتق لگاریتم و تابع نمایی، مشتق ضمنی، مشتق جزئی، مشتق زنجیره‌ای، مشتق توابع معکوس،‌ مشتق توابع کسری و مشتق جهتی را توضیح دادیم. در این آموزش، با مشتق رادیکال و توابع رادیکالی آشنا می‌شویم.

مشتق رادیکال

یک راه ساده برای محاسبه مشتق رادیکال این است که تابع رادیکالی را به صورت یک تابع توانی بنویسیم و با استفاده از قواعد مشتق‌گیری توابع توانی، مشتق رادیکال را محاسبه کنیم. اگر $$ f \left ( x \right ) = { x ^ p } $$ باشد که در آن، $$p$$ یک عدد حقیقی است، آنگاه داریم:

$$ \large { \left ( { { x ^ p } } \right ) ^ \prime } = p { x ^ { p – 1 } } . $$

اگر توان عددی منفی باشد، یعنی $$ f \left ( x \right ) = { x ^ { – p } } $$ ($$p>0$$) مشتق تابع به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large { \left ( { { x ^ { – p } } } \right ) ^ \prime } = { – p { x ^ { – p – 1 } } } = { – \frac { p } { { { x ^ { p + 1 } } } } . } $$

اگر $$ f \left ( x \right ) = \sqrt [ \large m \normalsize ] { x } $$ باشد، آنگاه این تابع را می‌توان به صورت یک تابع توانی به توان $$ \frac 1 m $$‌ نشان داد که مشتق آن به صورت زیر است:

$$ \large { f’ \left ( x \right ) } = { \left ( { \sqrt [ \large m \normalsize ] { x } } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 } { { m \sqrt [ \large m \normalsize ] { { { x ^ { m – 1 } } } } } } . } $$

یک پسر ایستاده مقابل تخته ای پر از معادلات ریاضی (تصویر تزئینی مطلب مشتق رادیکال)

به طور خاص، مشتق رادیکال فرجه دو (ریشه دوم) به شکل زیر است:

$$ \large { f’ \left ( x \right ) } = { \left ( { \sqrt x } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } . } $$

به همین ترتیب، مشتق رادیکال فرجه سه به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large { f’ \left ( x \right ) } = { \left ( { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 }{ { 3 \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { { x ^ 2 } } } } } . } $$

حال اگر عبارت زیر رادیکال، خود یک تابع باشد، می‌توانیم از قاعده زنجیره‌ای برای مشتق‌گیری استفاده کنیم طبق قاعده زنجیره‌ای اگر $$g(x)$$ یک تابع مشتق‌پذیر بوده و $$f(x)$$ در $$g(x)$$ مشتق‌پذیر باشد. با درنظر گرفتن $$y=f(g(x))$$ و $$u=g(x)$$، رابطه زیر برقرار است:

$$ \large \frac { d y } { d x } = \frac { d y } { d u } \cdot \frac { d u } { d x } $$

یا با یک نمادگذاری دیگر:

$$ \large \begin {align*} \frac { d } { d x } [ f ( g ( x ) ) ] & = f' (g(x)) g' (x ) , \\
\frac { d } { d x } [f ( u ) ] & = f' ( u ) \frac { d u } { d x } .
\end {align*} $$

به طور خاص، برای رادیکال فرجه ۲ تابع $$ f ( x ) = u $$ می‌توان مشتق را به صورت زیر نوشت:

$$ \large f ( x ) = \sqrt {u} $$

$$ \large f' (x) = \frac {u'}{2\sqrt {u}}$$

مثال‌های مشتق رادیکال

در این بخش، مثال‌های متنوعی را از مشتق رادیکال حل می‌کنیم.

مثال ۱: مشتق تابع رادیکالی زیر را محاسبه کنید:

$$ y = \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { 7 } x + \sqrt [ \large 7 \normalsize ] { 3 } $$

حل: مشتق رادیکال این‌گونه به دست می‌آید:

$$ \large { y’ \left ( x \right ) = { \left ( { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { 7 } x + \sqrt [ \large 7 \normalsize ] { 3 } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { 7 } x } \right ) ^ \prime } + { \left ( { \sqrt [ \large 7 \normalsize ] { 3 } } \right ) ^ \prime } } = { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { 7 } \cdot 1 + 0 = \sqrt [ \large 3 \normalsize ]{ 7 } . } $$

چندین کتاب روی هم روی میز با پس زمینه قفسه کتاب

مثال ۲: مشتق رادیکال زیر را به دست آورید:

$$ y = \large \sqrt [ 4 ] { { \small { x ^ 3 } } } . $$

حل: این مشتق رادیکال به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large { y’ \left ( x \right ) = { \left ( { \sqrt [ 4 ] { { \small{ x ^ 3 } } } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { { x ^ { \large \frac { 3 } { 4 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { 3 } { 4 } { x ^ { \large \frac { 3 }{ 4 } \normalsize – 1 } } } = { \frac { 3 } { 4 } { x ^ { – \large \frac { 1 } { 4 } \normalsize } } } = { \frac { 3 } { { 4 \sqrt [ \large 4 \normalsize ] { x } } } . } $$

مثال ۳: مشتق رادیکال زیر را به دست آورید.

$$ \large y = \sqrt [ 3 ] { {\small {2 x ^ 2 } } } $$

حل: مشتق رادیکال را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

$$ \large { y = \sqrt [ 3 ] { \small{ 2 { x ^ 2 } } } } = { \sqrt [ 3 ] { 2 } \cdot \sqrt [ 3 ] { { \small { x ^ 2 } } } } = { \sqrt [ 3 ] { 2 }{ x ^ { \frac { 2 } { 3 } } } . } $$

$$ \large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { \sqrt [ 3 ] { 2 } { x ^ { \frac { 2 } { 3 } } } } \right ) ^ \prime = { \sqrt [ 3 ] { 2 } \left ( { { x ^ { \frac { 2 } { 3 } } } } \right ) ^ \prime } = { \sqrt [ 3 ] { 2 } \cdot \frac { 2 } { 3 } { x ^ { \frac { 2 } { 3 } – 1 } } } \\&= { \sqrt [ 3 ] { 2 } \cdot \frac { 2 } { 3 } { x ^ { – \frac { 1 } { 3 } } } } = { \frac { 2 } { 3 } \cdot { \left ( { \frac { 2 } { x } } \right ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } } = { \frac { 2 } { 3 } \sqrt [ 3 ] { \small{ 2 } / { x } }} . \end {align*} $$

مثال ۴: مشتق رادیکال $${ \sqrt [ \large m \normalsize ] { { { x ^ n } } } } $$ را به دست آورید.

حل: این مشتق رادیکال به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \sqrt [ \large m \normalsize ] { { { x ^ n } } } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { { x ^ { \large \frac { n } { m } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { n } { m } { x ^ { \large \frac { { n – m } } { m } \normalsize } } } \\ &= { \frac { n } { m } { x ^ { – \large \frac { { m – n } } { m } \normalsize } } } = { \frac { n } { { m { x ^ { \large \frac { { m – n } } { m } \normalsize } } } } } = { \frac { n } { { m \sqrt [ \large m \normalsize ]{ { { x ^ { m – n } } } } } } . } \end {align*} $$

مثال ۵: مشتق رادیکال $$ { \sqrt [ \large \pi \normalsize ] { \small{ x ^ 2 } } } $$ را محاسبه کنید.

حل:

$$ \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \sqrt [ \large \pi \normalsize ] { \small { x ^ 2 } } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { { x ^ { \large \frac { 2 } { \pi } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { 2 } { \pi } { x ^ { \large \frac { 2 } { \pi } \normalsize – 1 } } }\\ & = { \frac { 2 } { \pi }{ x ^ { \large \frac { { 2 – \pi } } { \pi } \normalsize }} } = { \frac { 2 } { \pi } { x ^ { – \large \frac { { \pi – 2 } } { \pi } \normalsize } } } = { \frac { 2 } { { \pi \sqrt [ \large \pi \normalsize ] { { { x ^ { \pi – 2 } } } } } } . } \end {align*} $$

چند دانش آموز نشسته پشت میز و یک معلم ایستاده در طبیعت کنار یک تخته سفید (تصویر تزئینی مطلب مشتق رادیکال)

مثال ۶: مشتق تابع رادیکالی زیر را به دست آورید.

$$ y = \sqrt { \large \frac { x } { 5 } \normalsize } + \sqrt { \large \frac { 5 } { x } \normalsize } $$

حل: تابع را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large { y \left ( x \right ) } = { \sqrt {\small \frac { x } { 5 } } + \sqrt { \small \frac { 5 } { x } } } = { \frac { 1 } { { \sqrt 5 } } \cdot \sqrt x + \sqrt 5 \cdot \frac { 1 } { { \sqrt x } } . } $$

طبق قاعده جمع، مشتق به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ \large { y’ \left ( x \right ) } = { { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt 5 } } \cdot \sqrt x + \sqrt 5 \cdot \frac { 1 } { { \sqrt x } } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt 5 } } \cdot \sqrt x } \right ) ^ \prime } + { \left ( { \sqrt 5 \cdot \frac { 1 } { { \sqrt x } } } \right ) ^ \prime } . } $$

مشتق نیز به شکل زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt 5 } } \cdot \sqrt x } \right ) ^ \prime } + { \left ( { \sqrt 5 \cdot \frac { 1 } { { \sqrt x } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { 1 } { { \sqrt 5 } } { \left ( { \sqrt x } \right ) ^ \prime } + \sqrt 5 { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt x } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 1 } { { \sqrt 5 } } { \left ( { \sqrt x } \right ) ^ \prime } + \sqrt 5 { \left ( { { x ^ { – \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { 1 } { { \sqrt 5 } } \cdot \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } + \sqrt 5 \cdot \left ( { – \frac { 1 } { 2 } } \right ) { x ^ { – \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize – 1 } } } \\ & = { \frac { 1 }{ { 2 \sqrt 5 \sqrt x } } – \frac { { \sqrt 5 } } { 2 } { x ^ { – \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } . } \end {align*} $$

در این مسئله، از تساوی $$ { \left ( {\sqrt x } \right ) ^ \prime } = { \left ( { { x ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } = { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } { x ^ { – { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } = { \large \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } \normalsize }  $$ استفاده کردیم.

و با ساده‌سازی آن، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*} { y’ \left ( x \right ) } & = { \frac { 1 } { { 2 \sqrt 5 \sqrt x } } – \frac { { \sqrt 5 } } { 2 } { x ^ { – \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } = { \frac { 1 } { { 2 \sqrt 5 \sqrt x } } – \frac { { \sqrt 5 } } { { 2 { x ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } \\ & = { \frac { { 1 \cdot x } } { { 2 \sqrt 5 \sqrt x \cdot x } } – \frac { { \sqrt 5 \cdot \sqrt 5 } } { { 2 { x ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } \cdot \sqrt 5 } } } = { \frac { { x – 5 } } { { 2 \sqrt 5 { x ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { { x – 5 } } { { 2 \sqrt { 5 { x ^ 3 } } } } . } \end {align*} $$

مثال ۷: مشتق تابع $$ y = \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } – { \large \frac { 1 }{ { \sqrt [ 3 ] { x } } } \normalsize } $$ را محاسبه کنید.

حل: تابع را به شکل توانی زیر می‌نویسیم:

$$ \large { y = \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } – \frac { 1 }{ { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } } } } = { { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } – { x ^ { – \large \frac { 1 }{ 3 } \normalsize } } . } $$

اکنون از آن مشتق می‌گیریم:

$$ \large { y’ \left ( x \right ) } = { { \left ( { { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } – { x ^ { – \large \frac { 1 }{ 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { { x^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } – { \left ( { { x ^ { – \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } . } $$

و جواب به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \frac { 1 } { 3 }{ x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize – 1 } } – \left ( { – \frac { 1 } { 3 } } \right ) { x ^ { – \large \frac { 1 }{ 3 } \normalsize – 1 } } } = { \frac { 1} { 3 } { x ^ { – \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } + \frac { 1 } { 3 } { x ^ { – \large \frac { 4 } { 3 } \normalsize } } } \\ & = { \frac { 1 } { 3 } \left ( { { x ^ { – \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } + { x ^ { – \large \frac { 4 } { 3 } \normalsize } } } \right ) } = { \frac { 1 } { 3 } \left ( { \frac { 1 } { { { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } + \frac { 1 } { { { x ^ { \large \frac { 4 } { 3 } \normalsize } } } } } \right ) } \\ &= { \frac { 1 }{ 3 } \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt [ \large 3 \normalsize ]{ { { x ^ 2 } } } } } + \frac { 1 } { { \sqrt [ \large 3 \normalsize ]{ { { x ^ 4 } } } } } } \right ) . } \end {align*} $$

مثال ۸: مشتق تابع زیر را به دست آورید.

$$ y = \large { \frac { 1 } { { \sqrt [ 4 ] { x } } } } \normalsize – \large { \frac { 1 } { { \sqrt [ 5 ] { x } } } } \normalsize $$

حل: ابتدا توابع رادیکالی را به صورت تابع توانی می‌نویسیم:

$$ \large \begin {align*} \frac { 1 } { { \sqrt [ 4 ] { x } } } & = \frac { 1 } { { { x ^ { \frac { 1 } { 4 } } } } } = { x ^ { – \frac { 1 } { 4 } } } ; \\
\frac { 1 } { { \sqrt [5] { x } } } & = \frac { 1 } { { { x ^ { \frac { 1 } { 5 } }} } } = { x ^ { – \frac { 1 } { 5 } } } . \end {align*} $$

در نهایت، مشتق به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {align*}
y ^ \prime & = \left ( { { x ^ { – \frac { 1 } { 4 } } } – { x ^ { – \frac { 1 } { 5 } } } } \right ) ^ \prime = { \left ( { { x ^ { – \frac { 1 } { 4 } } } } \right ) ^ \prime – \left ( { { x ^ { – \frac { 1 } { 5 } } } } \right ) ^ \prime } = { – \frac { 1 } { 4 } { x ^ { – \frac { 1 } { 4 } – 1 } } – \left ( { – \frac { 1 }{ 5 } } \right ) { x ^ { – \frac { 1 } { 5 } – 1 } } } \\ & = { – \frac { 1 } { 4 } { x ^ { – \frac { 5 } { 4 } } } + \frac { 1 } { 5 } { x ^ { – \frac { 6 } { 5 } } } } = { \frac { 1 }{ { 5 { x ^ { \frac { 6 } { 5 } } } } } – \frac { 1 } { { 4 { x ^ { \frac { 5 } { 4 } } } } } } = { \frac { 1 } { { 5 \sqrt [ 5 ] { { { x ^ 6 } } } } } – \frac { 1 } { { 4 \sqrt [ 4 ]{ { { x ^ 5 } } } } } . } \end {align*} $$

کلاسی پر از دانش آموز نشسته پشت نیمکت

مثال ۹: مشتق تابع $$ y = 5 { x ^ 3 } + 3 – { \frac { 2 } { { { x ^ 3 } } } } + \sqrt [ 3 ] { { \small { x ^ 5 } } }  $$ را به دست آورید.

حل: ابتدا تابع را به فرم توانی می‌نویسیم:

$$ \large y = 5 { x ^ 3 } + 3 – 2 { x ^ { – 3 } } + { x ^ { \large \frac { 5 } { 3 } \normalsize } } . $$

و مشتق آن به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {align*} { y’ \left ( x \right ) } & = { { \left ( { 5 { x ^ 3 } + 3 – 2 { x ^ { – 3 } } + { x ^ { \large \frac { 5 }{ 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { 5 { x ^ 3 } } \right ) ^ \prime } + 3′ – { \left ( { 2 { x ^ { – 3 } } } \right ) ^ \prime } + { \left ( { { x ^ { \large \frac { 5 }{ 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 5 \cdot 3 { x ^ 2 } + 0 – 2 \cdot \left ( { – 3 } \right ) { x ^ { – 3 – 1 } } + \frac { 5 } { 3 } { x ^ { \large \frac { 5 } { 3 } \normalsize – 1 } } } = { 1 5 { x ^ 2 } + 6 { x ^ { – 4 } } + \frac { 5 } { 3 }{ x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } \\ & = { 1 5 { x ^ 2 } + \frac { 6 } { { { x ^ 4 } } } + \frac { { 5 \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { { x ^ 2 } } } } } { 3 } . } \end {align*} $$

مثال ۱۰: مشتق تابع $$ y = { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } + { \large \frac { 1 } { { \sqrt x } } \normalsize } + { \large \frac { 1 } { { \sqrt [ 3 ] { x } } } \normalsize }  $$ را محاسبه کنید.

حل: این مشتق رادیکال به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {align*} { y’ \left ( x \right ) } & = { { \left ( { \frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { { \sqrt x } } + \frac { 1 }{ { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } } } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime } + { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt x } } } \right ) ^ \prime } + { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { - \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } – \frac { 1 } { 2 } { x ^ { – \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize – 1 } } – \frac { 1 } { 3 } { x ^ { – \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize – 1 } } } = { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } – \frac { 1 } { 2 } { x ^ { – \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } – \frac { 1 } { 3 } { x ^ { – \large \frac { 4 }{ 3 } \normalsize } } } \\ & = { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } – \frac { 1 } { { 2 \sqrt { { x ^ 3 } } } } – \frac { 1 } { { 3 \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { { x ^ 4 } } } } } . } \end {align*} $$

مثال ۱۱: مشتق تابع $$ y = { \large \frac { 2 } { { \sqrt x } } \normalsize } + 3 \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } $$ را محاسبه کنید.

حل: این مشتق رادیکال به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*} { y’ \left ( x \right ) } & = { { \left ( { \frac { 2 } { { \sqrt x } } + 3 \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { 2 { x ^ { – \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } + 3 { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { 2 { x ^ { – \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } + { \left ( { 3 { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 2 { \left ( { { x ^ { – \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } + 3 { \left ( { { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { 2 \cdot \left ( { – \frac { 1 } { 2 } } \right ) { x ^ { – \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize – 1 } } + 3 \cdot \frac { 1 } { 3 } { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize – 1 } } } \\ & = { – { x ^ { – \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } + { x ^ { – \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } = { \frac { 1 } { { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { { x ^ 2 } } } } } – \frac { 1 } { { \sqrt { { x ^ 3 } } } } . } \end {align*} $$

مثال ۱۲: مشتق تابع $$ y = \sqrt x – \sqrt [ 3] { x } $$ را به دست آورید.

حل: ابتدا تابع را به صورت توانی می‌نویسیم:

$$ \large { \sqrt x = { x ^ { \frac { 1 }{ 2 } } } , \; \; } \kern0pt { \sqrt [ 3 ] { x } = { x ^ { \frac { 1 } { 3 } } } . } $$

و در ادامه، مشتق رادیکال را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { { x ^ { \frac { 1 } { 2 } } } – { x ^ { \frac { 1 } { 3 } } } } \right ) ^ \prime = { \left ( { { x ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \right ) ^ \prime – \left ( { { x ^ { \frac { 1 } { 3 } } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 } { 2 } { x ^ { \frac { 1 } { 2 } – 1 } } – \frac { 1 } { 3 } { x ^ { \frac { 1 } {3 } – 1 } } } \\ &= { \frac { 1 } { 2 } { x ^ { – \frac { 1 } { 2 } } } – \frac { 1 } { 3 } { x ^ { – \frac { 2 } { 3 } } } } = { \frac { 1 } { { 2 { x ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } } – \frac { 1 } { { 3 { x ^ { \frac { 2 }{ 3 } } } } } } = { \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } – \frac { 1 } { { 3 \sqrt [ 3 ] { { { x ^ 2 } } } } } . } \end {align*} $$

دانش آموز عینکی نشسته پشت میز در حال نوشتن، پس زمینه معادلات ریاضی روی تخته

مثال ۱۳: حاصل مشتق رادیکال $$ y = \sqrt { x \sqrt x } $$ را بیابید.

حل: 

$$ \large \begin {align*}
y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \sqrt { x \sqrt x } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { \sqrt { x \cdot { x ^ { \large \frac { 1 }{ 2 } \normalsize } } } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { \sqrt { { x ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { { \left ( { { { \left ( { { x ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } \right ) } ^ { \large \frac { 1 }{ 2 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { { x ^ { \large \frac { 3 } { 4 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { 3 } { 4 } { x ^ { \large \frac { 3 } { 4 } \normalsize – 1 } } } = { \frac { 3 } { 4 } { x ^ { – \large \frac { 1 } { 4 } \normalsize } } } = { \frac { 3 } { { 4 \sqrt [ \large 4 \normalsize ] { x } } } . } \end {align*} $$

مثال ۱۴: مشتق تابع $$ { y = \sqrt { { x ^ 2 } \sqrt x } } $$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا تابع را به یک تابع توانی تبدیل می‌کنیم و سپس مشتق رادیکال را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*} y \left ( x \right ) & = \sqrt { { x ^ 2 } \sqrt x } = \sqrt { { x ^ 2 } \cdot { x ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } = { \sqrt { { x ^ { 2 + \frac { 1 } { 2 } } } } } \\ & = { \sqrt { { x ^ { \frac { 5 } { 2 } } } } } = { { \left ( { { x ^ { \frac { 5 } { 2 } } } } \right ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } ={ { x ^ { \frac { 5 } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } } } } = { { x ^ { \frac { 5 } { 4 } } } . } \end {align*} $$

مثال ۱۵: مشتق رادیکال زیر را به دست آورید.

مشتق رادیکال

حل: مشابه مثال قبل، برای محاسبه مشتق رادیکال داریم:

مشتق رادیکال

مشتق رادیکال

مشتق رادیکال

مثال ۱۶: مشتق تابع $$ y = { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } x \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } $$ را محاسبه کنید.

حل: از تابع به عنوان یک تابع توانی مشتق می‌گیریم و مشتق رادیکال را خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*}
y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { 3 } { 2 } x \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { \frac { 3 } { 2 } x \cdot { x ^ { \large \frac { 1 }{ 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { 3 } { 2 }{ \left ( { { x ^ { 1 + \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 3 } { 2 } { \left ( { { x ^ { \large \frac { 4 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { 3 } { 2 } \cdot \frac { 4 } { 3 } { x ^ { \large \frac { 4 } { 3 } \normalsize – 1 } } } = { 2 { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } = 2 \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } . }
\end {align*} $$

مثال ۱۷: مشتق رادیکال $$ f ( x ) = \sqrt { 2 x ^ { 2 } -5 } $$ را محاسبه کنید.

حل: رادیکال را به صورت توانی زیر می‌نویسیم:

$$ \large f ( x ) = \left ( 2 x ^ { 2 } - 5 \right ) ^ { 1 / 2 } $$

و طبق قانون مشتق توابع توانی، مشتق رادیکال را داریم:

$$ \large \begin {aligned}
\frac { d y } { d x } & = \frac { 1 } { 2 } \left ( 2 x ^ { 2 } - 5 \right ) ^ { ( 1 / 2 ) - 1 } ( 4 x ) \\
& = \frac { 1 } { 2 } \left ( 2 x ^ { 2 } - 5 \right ) ^ { - 1 / 2 } ( 4 x ) \\
& = 2 x \left ( 2 x ^ { 2 } -5 \right ) ^ { - 1 / 2 } \\
& = \frac { 2 x } { \sqrt { 2 x ^ { 2 } - 5 } } \\
& = \frac { 2 x \sqrt { 2 x ^ { 2 } -5 } } { 2 x ^ { 2 } - 5 }
\end {aligned} $$

مثال ۱۸: مشتق تابع $$ f ( x ) = \frac { 2 x + 1 } { \sqrt { 3 x ^ { 2 } + 2 } } $$ را به دست آورید.

حل: رادیکال را با یک تابع توانی جایگزین می‌کنیم:

$$ \large f ( x ) = \frac { 2 x + 1 } { \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { 1 / 2 } } $$

با آوردن مخرج به صورت، توان منفی می‌شود و داریم:

$$ \large f ( x ) = ( 2 x + 1 ) \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { - 1 / 2 } $$

دو مشتق زیر را داریم:

$$ \large \frac { d } { d x } ( 2 x + 1 ) = 2 $$

و

$$ \large \begin {aligned}
\frac { d } { d x } \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { - 1 / 2 } & = - 1 / 2 \left (3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { ( - 1 / 2 ) - 1 } ( 6 x ) \\
& = - 3 x \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { - 3 / 2 }
\end {aligned} $$

اکنون با استفاده از قاعده زنجیره‌ای مشتق، می‌توانیم بنویسیم:

$$ \large f ( x ) = ( 2 x + 1 ) \left [ - 3 x \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { - 3 / 2 } \right ] + \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { - 1 / 2 } ( 2 ) $$

با ضرب طرفین در $$ \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { 3 / 2 } $$، در نهایت مشتق رادیکال را خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned} f ^ { \prime } ( x ) & = \frac { - 3 x ( 2 x + 1 ) + 2 \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) } { \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { 3 / 2 } } \\ & = \frac { - 6 x ^ { 2 } - 3 x + 6 x ^ { 2 } + 4 } { \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { 3 / 2 } } \\ & = \frac { 4 - 3 x } { \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { 3 / 2 } } \end {aligned} $$

مثال ۱۹: مشتق تابع $$ \sqrt { 6 2 5 - x ^ { 2 } } / \sqrt { x } $$ را محاسبه کنید.

حل: به دو روش می‌توان این مشتق رادیکال را حل کرد. اولی استفاده از قاعده خارج قسمت است:

$$ \large \frac { d } { d x } \frac { \sqrt { 6 2 5 - x ^ { 2 } } } { \sqrt { x } } = \frac { \sqrt { x } ( - x / \sqrt { 6 2 5 - x ^ { 2 } } ) - \sqrt { 6 2 5 - x ^ { 2 } } \cdot 1 / ( 2 \sqrt { x } ) } { x } $$

روش دوم نیز استفاده از قاعده مشتق ضرب دو تابع است:

$$ \large \frac { d } { d x } \sqrt { 6 2 5 - x ^ { 2 } } x ^ { - 1 / 2 } = \sqrt { 6 2 5 - x ^ { 2 } } \frac { - 1 } { 2 } x ^ { - 3 / 2 } + \frac { - x } { \sqrt { 6 2 5 - x ^ { 2 } } } x ^ { - 1 / 2 } $$

با کمی ساده‌سازی، جواب نهایی مشتق رادیکال برای دو روش به دست خواهد آمد:‌

$$ \large - \frac { x ^ { 2 } + 6 2 5 } { 2 \sqrt { 6 2 5 - x ^ { 2 } } x ^ { 3 / 2 } } $$

تمام رخ یک پسر جوان عینکی با پس زمینه معادلات ریاضی (تصویر تزئینی مطلب مشتق رادیکال)

مثال ۲۰: مشتق رادیکال $$ \sqrt { 1 + \sqrt { 1 + \sqrt { x } } } $$ را محاسبه کنید.

حل: دو تابع $$ g ( x ) = 1 + \sqrt { 1 + \sqrt { x } } $$ و $$ f ( x ) = \sqrt { x } $$ را در نظر می‌گیریم و در واقع تابع به صورت یک تابع ترکیبی می‌نویسیم. بنابراین، می‌توانیم از قاعده زنجیره‌ای کمک بگیریم:

$$ \large \frac { d } { d x } \sqrt { 1 + \sqrt { 1 + \sqrt { x } } } = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \sqrt { 1 + \sqrt { x } } ) ^ { - 1 / 2 } \frac { d } { d x } ( 1 + \sqrt { 1 + \sqrt { x } } ) $$

اکنون باید مشتق $$ \sqrt{1+\sqrt{x}} $$ را به دست آوریم. این بار هم از قاعده مشتق زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم:‌

$$ \large \frac { d } { d x } \sqrt { 1 + \sqrt { x } } = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \sqrt { x } ) ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { 2 } x ^ { - 1 / 2 } $$

در نهایت، حاصل مشتق رادیکال اصلی به شکل زیر خواهد بود:

$$ \large \begin {aligned}
\frac { d } { d x } \sqrt { 1 + \sqrt { 1 + \sqrt { x } } } & = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \sqrt { 1 + \sqrt { x } } ) ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \sqrt { x } ) ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { 2 } x ^ { - 1 / 2 } \\
& = \frac { 1 } { 8 \sqrt { x } \sqrt { 1 + \sqrt { x } } \sqrt { 1 + \sqrt { 1 + \sqrt { x } } } }
\end {aligned} $$

بر اساس رای ۲۸ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24مجله فرادرس‌
۲ دیدگاه برای «مشتق رادیکال — به زبان ساده»

مطالب خیلی خوب و عالی بود ممنونم از شما❤

عالی بود خیلی ممنونم از مجله فرادرس❤

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *