مشتق رادیکال — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادس، با مفاهیم مشتق و روش‌های مشتق‌گیری آشنا شدیم. همچنین، مباحثی مانند مشتق لگاریتم و تابع نمایی، مشتق ضمنی، مشتق جزئی، مشتق زنجیره‌ای، مشتق توابع معکوس،‌ مشتق توابع کسری و مشتق جهتی را توضیح دادیم. در این آموزش، با مشتق رادیکال و توابع رادیکالی آشنا می‌شویم.

مشتق رادیکال

یک راه ساده برای محاسبه مشتق رادیکال این است که تابع رادیکالی را به صورت یک تابع توانی بنویسیم و با استفاده از قواعد مشتق‌گیری توابع توانی، مشتق رادیکال را محاسبه کنیم. اگر $$ f \left ( x \right ) = { x ^ p } $$ باشد که در آن، $$p$$ یک عدد حقیقی است، آنگاه داریم:

$$ \large { \left ( { { x ^ p } } \right ) ^ \prime } = p { x ^ { p – 1 } } . $$

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

اگر توان عددی منفی باشد، یعنی $$ f \left ( x \right ) = { x ^ { – p } } $$ ($$p>0$$) مشتق تابع به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large { \left ( { { x ^ { – p } } } \right ) ^ \prime } = { – p { x ^ { – p – 1 } } } = { – \frac { p } { { { x ^ { p + 1 } } } } . } $$

اگر $$ f \left ( x \right ) = \sqrt [ \large m \normalsize ] { x } $$ باشد، آنگاه این تابع را می‌توان به صورت یک تابع توانی به توان $$ \frac 1 m $$‌ نشان داد که مشتق آن به صورت زیر است:

$$ \large { f’ \left ( x \right ) } = { \left ( { \sqrt [ \large m \normalsize ] { x } } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 } { { m \sqrt [ \large m \normalsize ] { { { x ^ { m – 1 } } } } } } . } $$

به طور خاص، مشتق رادیکال فرجه دو (ریشه دوم) به شکل زیر است:

$$ \large { f’ \left ( x \right ) } = { \left ( { \sqrt x } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } . } $$

به همین ترتیب، مشتق رادیکال فرجه سه به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large { f’ \left ( x \right ) } = { \left ( { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 }{ { 3 \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { { x ^ 2 } } } } } . } $$

حال اگر عبارت زیر رادیکال، خود یک تابع باشد، می‌توانیم از قاعده زنجیره‌ای برای مشتق‌گیری استفاده کنیم طبق قاعده زنجیره‌ای اگر $$g(x)$$ یک تابع مشتق‌پذیر بوده و $$f(x)$$ در $$g(x)$$ مشتق‌پذیر باشد. با درنظر گرفتن $$y=f(g(x))$$ و $$u=g(x)$$، رابطه زیر برقرار است:

$$ \large \frac { d y } { d x } = \frac { d y } { d u } \cdot \frac { d u } { d x } $$

یا با یک نمادگذاری دیگر:

$$ \large \begin {align*} \frac { d } { d x } [ f ( g ( x ) ) ] & = f' (g(x)) g' (x ) , \\
\frac { d } { d x } [f ( u ) ] & = f' ( u ) \frac { d u } { d x } .
\end {align*} $$

به طور خاص، برای رادیکال فرجه ۲ تابع $$ f ( x ) = u $$ می‌توان مشتق را به صورت زیر نوشت:

$$ \large f ( x ) = \sqrt {u} $$

$$ \large f' (x) = \frac {u'}{2\sqrt {u}}$$

مثال‌های مشتق رادیکال

در این بخش، مثال‌های متنوعی را از مشتق رادیکال حل می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی ۳ – پایه دوازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱: مشتق تابع رادیکالی زیر را محاسبه کنید:

$$ y = \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { 7 } x + \sqrt [ \large 7 \normalsize ] { 3 } $$

حل: مشتق رادیکال این‌گونه به دست می‌آید:

$$ \large { y’ \left ( x \right ) = { \left ( { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { 7 } x + \sqrt [ \large 7 \normalsize ] { 3 } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { 7 } x } \right ) ^ \prime } + { \left ( { \sqrt [ \large 7 \normalsize ] { 3 } } \right ) ^ \prime } } = { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { 7 } \cdot 1 + 0 = \sqrt [ \large 3 \normalsize ]{ 7 } . } $$

مثال ۲: مشتق رادیکال زیر را به دست آورید:

$$ y = \large \sqrt [ 4 ] { { \small { x ^ 3 } } } . $$

حل: این مشتق رادیکال به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large { y’ \left ( x \right ) = { \left ( { \sqrt [ 4 ] { { \small{ x ^ 3 } } } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { { x ^ { \large \frac { 3 } { 4 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { 3 } { 4 } { x ^ { \large \frac { 3 }{ 4 } \normalsize – 1 } } } = { \frac { 3 } { 4 } { x ^ { – \large \frac { 1 } { 4 } \normalsize } } } = { \frac { 3 } { { 4 \sqrt [ \large 4 \normalsize ] { x } } } . } $$

مثال ۳: مشتق رادیکال زیر را به دست آورید.

$$ \large y = \sqrt [ 3 ] { {\small {2 x ^ 2 } } } $$

حل: مشتق رادیکال را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

$$ \large { y = \sqrt [ 3 ] { \small{ 2 { x ^ 2 } } } } = { \sqrt [ 3 ] { 2 } \cdot \sqrt [ 3 ] { { \small { x ^ 2 } } } } = { \sqrt [ 3 ] { 2 }{ x ^ { \frac { 2 } { 3 } } } . } $$

$$ \large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { \sqrt [ 3 ] { 2 } { x ^ { \frac { 2 } { 3 } } } } \right ) ^ \prime = { \sqrt [ 3 ] { 2 } \left ( { { x ^ { \frac { 2 } { 3 } } } } \right ) ^ \prime } = { \sqrt [ 3 ] { 2 } \cdot \frac { 2 } { 3 } { x ^ { \frac { 2 } { 3 } – 1 } } } \\&= { \sqrt [ 3 ] { 2 } \cdot \frac { 2 } { 3 } { x ^ { – \frac { 1 } { 3 } } } } = { \frac { 2 } { 3 } \cdot { \left ( { \frac { 2 } { x } } \right ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } } = { \frac { 2 } { 3 } \sqrt [ 3 ] { \small{ 2 } / { x } }} . \end {align*} $$

مثال ۴: مشتق رادیکال $${ \sqrt [ \large m \normalsize ] { { { x ^ n } } } } $$ را به دست آورید.

حل: این مشتق رادیکال به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \sqrt [ \large m \normalsize ] { { { x ^ n } } } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { { x ^ { \large \frac { n } { m } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { n } { m } { x ^ { \large \frac { { n – m } } { m } \normalsize } } } \\ &= { \frac { n } { m } { x ^ { – \large \frac { { m – n } } { m } \normalsize } } } = { \frac { n } { { m { x ^ { \large \frac { { m – n } } { m } \normalsize } } } } } = { \frac { n } { { m \sqrt [ \large m \normalsize ]{ { { x ^ { m – n } } } } } } . } \end {align*} $$

مثال ۵: مشتق رادیکال $$ { \sqrt [ \large \pi \normalsize ] { \small{ x ^ 2 } } } $$ را محاسبه کنید.

حل:

$$ \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \sqrt [ \large \pi \normalsize ] { \small { x ^ 2 } } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { { x ^ { \large \frac { 2 } { \pi } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { 2 } { \pi } { x ^ { \large \frac { 2 } { \pi } \normalsize – 1 } } }\\ & = { \frac { 2 } { \pi }{ x ^ { \large \frac { { 2 – \pi } } { \pi } \normalsize }} } = { \frac { 2 } { \pi } { x ^ { – \large \frac { { \pi – 2 } } { \pi } \normalsize } } } = { \frac { 2 } { { \pi \sqrt [ \large \pi \normalsize ] { { { x ^ { \pi – 2 } } } } } } . } \end {align*} $$

مثال ۶: مشتق تابع رادیکالی زیر را به دست آورید.

$$ y = \sqrt { \large \frac { x } { 5 } \normalsize } + \sqrt { \large \frac { 5 } { x } \normalsize } $$

حل: تابع را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large { y \left ( x \right ) } = { \sqrt {\small \frac { x } { 5 } } + \sqrt { \small \frac { 5 } { x } } } = { \frac { 1 } { { \sqrt 5 } } \cdot \sqrt x + \sqrt 5 \cdot \frac { 1 } { { \sqrt x } } . } $$

طبق قاعده جمع، مشتق به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ \large { y’ \left ( x \right ) } = { { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt 5 } } \cdot \sqrt x + \sqrt 5 \cdot \frac { 1 } { { \sqrt x } } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt 5 } } \cdot \sqrt x } \right ) ^ \prime } + { \left ( { \sqrt 5 \cdot \frac { 1 } { { \sqrt x } } } \right ) ^ \prime } . } $$

مشتق نیز به شکل زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt 5 } } \cdot \sqrt x } \right ) ^ \prime } + { \left ( { \sqrt 5 \cdot \frac { 1 } { { \sqrt x } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { 1 } { { \sqrt 5 } } { \left ( { \sqrt x } \right ) ^ \prime } + \sqrt 5 { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt x } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 1 } { { \sqrt 5 } } { \left ( { \sqrt x } \right ) ^ \prime } + \sqrt 5 { \left ( { { x ^ { – \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { 1 } { { \sqrt 5 } } \cdot \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } + \sqrt 5 \cdot \left ( { – \frac { 1 } { 2 } } \right ) { x ^ { – \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize – 1 } } } \\ & = { \frac { 1 }{ { 2 \sqrt 5 \sqrt x } } – \frac { { \sqrt 5 } } { 2 } { x ^ { – \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } . } \end {align*} $$

در این مسئله، از تساوی $$ { \left ( {\sqrt x } \right ) ^ \prime } = { \left ( { { x ^ { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } = { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } { x ^ { – { \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } = { \large \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } \normalsize }  $$ استفاده کردیم.

و با ساده‌سازی آن، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*} { y’ \left ( x \right ) } & = { \frac { 1 } { { 2 \sqrt 5 \sqrt x } } – \frac { { \sqrt 5 } } { 2 } { x ^ { – \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } = { \frac { 1 } { { 2 \sqrt 5 \sqrt x } } – \frac { { \sqrt 5 } } { { 2 { x ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } \\ & = { \frac { { 1 \cdot x } } { { 2 \sqrt 5 \sqrt x \cdot x } } – \frac { { \sqrt 5 \cdot \sqrt 5 } } { { 2 { x ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } \cdot \sqrt 5 } } } = { \frac { { x – 5 } } { { 2 \sqrt 5 { x ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } } = { \frac { { x – 5 } } { { 2 \sqrt { 5 { x ^ 3 } } } } . } \end {align*} $$

مثال ۷: مشتق تابع $$ y = \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } – { \large \frac { 1 }{ { \sqrt [ 3 ] { x } } } \normalsize } $$ را محاسبه کنید.

حل: تابع را به شکل توانی زیر می‌نویسیم:

$$ \large { y = \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } – \frac { 1 }{ { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } } } } = { { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } – { x ^ { – \large \frac { 1 }{ 3 } \normalsize } } . } $$

اکنون از آن مشتق می‌گیریم:

$$ \large { y’ \left ( x \right ) } = { { \left ( { { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } – { x ^ { – \large \frac { 1 }{ 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { { x^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } – { \left ( { { x ^ { – \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } . } $$

و جواب به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \frac { 1 } { 3 }{ x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize – 1 } } – \left ( { – \frac { 1 } { 3 } } \right ) { x ^ { – \large \frac { 1 }{ 3 } \normalsize – 1 } } } = { \frac { 1} { 3 } { x ^ { – \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } + \frac { 1 } { 3 } { x ^ { – \large \frac { 4 } { 3 } \normalsize } } } \\ & = { \frac { 1 } { 3 } \left ( { { x ^ { – \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } + { x ^ { – \large \frac { 4 } { 3 } \normalsize } } } \right ) } = { \frac { 1 } { 3 } \left ( { \frac { 1 } { { { x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } } + \frac { 1 } { { { x ^ { \large \frac { 4 } { 3 } \normalsize } } } } } \right ) } \\ &= { \frac { 1 }{ 3 } \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt [ \large 3 \normalsize ]{ { { x ^ 2 } } } } } + \frac { 1 } { { \sqrt [ \large 3 \normalsize ]{ { { x ^ 4 } } } } } } \right ) . } \end {align*} $$

مثال ۸: مشتق تابع زیر را به دست آورید.

$$ y = \large { \frac { 1 } { { \sqrt [ 4 ] { x } } } } \normalsize – \large { \frac { 1 } { { \sqrt [ 5 ] { x } } } } \normalsize $$

حل: ابتدا توابع رادیکالی را به صورت تابع توانی می‌نویسیم:

$$ \large \begin {align*} \frac { 1 } { { \sqrt [ 4 ] { x } } } & = \frac { 1 } { { { x ^ { \frac { 1 } { 4 } } } } } = { x ^ { – \frac { 1 } { 4 } } } ; \\
\frac { 1 } { { \sqrt [5] { x } } } & = \frac { 1 } { { { x ^ { \frac { 1 } { 5 } }} } } = { x ^ { – \frac { 1 } { 5 } } } . \end {align*} $$

در نهایت، مشتق به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {align*}
y ^ \prime & = \left ( { { x ^ { – \frac { 1 } { 4 } } } – { x ^ { – \frac { 1 } { 5 } } } } \right ) ^ \prime = { \left ( { { x ^ { – \frac { 1 } { 4 } } } } \right ) ^ \prime – \left ( { { x ^ { – \frac { 1 } { 5 } } } } \right ) ^ \prime } = { – \frac { 1 } { 4 } { x ^ { – \frac { 1 } { 4 } – 1 } } – \left ( { – \frac { 1 }{ 5 } } \right ) { x ^ { – \frac { 1 } { 5 } – 1 } } } \\ & = { – \frac { 1 } { 4 } { x ^ { – \frac { 5 } { 4 } } } + \frac { 1 } { 5 } { x ^ { – \frac { 6 } { 5 } } } } = { \frac { 1 }{ { 5 { x ^ { \frac { 6 } { 5 } } } } } – \frac { 1 } { { 4 { x ^ { \frac { 5 } { 4 } } } } } } = { \frac { 1 } { { 5 \sqrt [ 5 ] { { { x ^ 6 } } } } } – \frac { 1 } { { 4 \sqrt [ 4 ]{ { { x ^ 5 } } } } } . } \end {align*} $$

مثال ۹: مشتق تابع $$ y = 5 { x ^ 3 } + 3 – { \frac { 2 } { { { x ^ 3 } } } } + \sqrt [ 3 ] { { \small { x ^ 5 } } }  $$ را به دست آورید.

حل: ابتدا تابع را به فرم توانی می‌نویسیم:

$$ \large y = 5 { x ^ 3 } + 3 – 2 { x ^ { – 3 } } + { x ^ { \large \frac { 5 } { 3 } \normalsize } } . $$

و مشتق آن به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {align*} { y’ \left ( x \right ) } & = { { \left ( { 5 { x ^ 3 } + 3 – 2 { x ^ { – 3 } } + { x ^ { \large \frac { 5 }{ 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { 5 { x ^ 3 } } \right ) ^ \prime } + 3′ – { \left ( { 2 { x ^ { – 3 } } } \right ) ^ \prime } + { \left ( { { x ^ { \large \frac { 5 }{ 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 5 \cdot 3 { x ^ 2 } + 0 – 2 \cdot \left ( { – 3 } \right ) { x ^ { – 3 – 1 } } + \frac { 5 } { 3 } { x ^ { \large \frac { 5 } { 3 } \normalsize – 1 } } } = { 1 5 { x ^ 2 } + 6 { x ^ { – 4 } } + \frac { 5 } { 3 }{ x ^ { \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } \\ & = { 1 5 { x ^ 2 } + \frac { 6 } { { { x ^ 4 } } } + \frac { { 5 \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { { x ^ 2 } } } } } { 3 } . } \end {align*} $$

مثال ۱۰: مشتق تابع $$ y = { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } + { \large \frac { 1 } { { \sqrt x } } \normalsize } + { \large \frac { 1 } { { \sqrt [ 3 ] { x } } } \normalsize }  $$ را محاسبه کنید.

حل: این مشتق رادیکال به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {align*} { y’ \left ( x \right ) } & = { { \left ( { \frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { { \sqrt x } } + \frac { 1 }{ { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } } } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { \frac { 1 } { x } } \right ) ^ \prime } + { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt x } } } \right ) ^ \prime } + { \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { - \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } – \frac { 1 } { 2 } { x ^ { – \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize – 1 } } – \frac { 1 } { 3 } { x ^ { – \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize – 1 } } } = { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } – \frac { 1 } { 2 } { x ^ { – \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } – \frac { 1 } { 3 } { x ^ { – \large \frac { 4 }{ 3 } \normalsize } } } \\ & = { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } – \frac { 1 } { { 2 \sqrt { { x ^ 3 } } } } – \frac { 1 } { { 3 \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { { x ^ 4 } } } } } . } \end {align*} $$

مثال ۱۱: مشتق تابع $$ y = { \large \frac { 2 } { { \sqrt x } } \normalsize } + 3 \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } $$ را محاسبه کنید.

حل: این مشتق رادیکال به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*} { y’ \left ( x \right ) } & = { { \left ( { \frac { 2 } { { \sqrt x } } + 3 \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { 2 { x ^ { – \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } + 3 { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { 2 { x ^ { – \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } + { \left ( { 3 { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 2 { \left ( { { x ^ { – \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } + 3 { \left ( { { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { 2 \cdot \left ( { – \frac { 1 } { 2 } } \right ) { x ^ { – \large \frac { 1 } { 2 } \normalsize – 1 } } + 3 \cdot \frac { 1 } { 3 } { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize – 1 } } } \\ & = { – { x ^ { – \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } + { x ^ { – \large \frac { 2 } { 3 } \normalsize } } } = { \frac { 1 } { { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { { x ^ 2 } } } } } – \frac { 1 } { { \sqrt { { x ^ 3 } } } } . } \end {align*} $$

مثال ۱۲: مشتق تابع $$ y = \sqrt x – \sqrt [ 3] { x } $$ را به دست آورید.

حل: ابتدا تابع را به صورت توانی می‌نویسیم:

$$ \large { \sqrt x = { x ^ { \frac { 1 }{ 2 } } } , \; \; } \kern0pt { \sqrt [ 3 ] { x } = { x ^ { \frac { 1 } { 3 } } } . } $$

و در ادامه، مشتق رادیکال را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*} y ^ \prime & = \left ( { { x ^ { \frac { 1 } { 2 } } } – { x ^ { \frac { 1 } { 3 } } } } \right ) ^ \prime = { \left ( { { x ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \right ) ^ \prime – \left ( { { x ^ { \frac { 1 } { 3 } } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { 1 } { 2 } { x ^ { \frac { 1 } { 2 } – 1 } } – \frac { 1 } { 3 } { x ^ { \frac { 1 } {3 } – 1 } } } \\ &= { \frac { 1 } { 2 } { x ^ { – \frac { 1 } { 2 } } } – \frac { 1 } { 3 } { x ^ { – \frac { 2 } { 3 } } } } = { \frac { 1 } { { 2 { x ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } } – \frac { 1 } { { 3 { x ^ { \frac { 2 }{ 3 } } } } } } = { \frac { 1 } { { 2 \sqrt x } } – \frac { 1 } { { 3 \sqrt [ 3 ] { { { x ^ 2 } } } } } . } \end {align*} $$

مثال ۱۳: حاصل مشتق رادیکال $$ y = \sqrt { x \sqrt x } $$ را بیابید.

حل: 

$$ \large \begin {align*}
y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \sqrt { x \sqrt x } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { \sqrt { x \cdot { x ^ { \large \frac { 1 }{ 2 } \normalsize } } } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { \sqrt { { x ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { { \left ( { { { \left ( { { x ^ { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } } } \right ) } ^ { \large \frac { 1 }{ 2 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { { \left ( { { x ^ { \large \frac { 3 } { 4 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { 3 } { 4 } { x ^ { \large \frac { 3 } { 4 } \normalsize – 1 } } } = { \frac { 3 } { 4 } { x ^ { – \large \frac { 1 } { 4 } \normalsize } } } = { \frac { 3 } { { 4 \sqrt [ \large 4 \normalsize ] { x } } } . } \end {align*} $$

مثال ۱۴: مشتق تابع $$ { y = \sqrt { { x ^ 2 } \sqrt x } } $$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا تابع را به یک تابع توانی تبدیل می‌کنیم و سپس مشتق رادیکال را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*} y \left ( x \right ) & = \sqrt { { x ^ 2 } \sqrt x } = \sqrt { { x ^ 2 } \cdot { x ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } = { \sqrt { { x ^ { 2 + \frac { 1 } { 2 } } } } } \\ & = { \sqrt { { x ^ { \frac { 5 } { 2 } } } } } = { { \left ( { { x ^ { \frac { 5 } { 2 } } } } \right ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } ={ { x ^ { \frac { 5 } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } } } } = { { x ^ { \frac { 5 } { 4 } } } . } \end {align*} $$

مثال ۱۵: مشتق رادیکال زیر را به دست آورید.

حل: مشابه مثال قبل، برای محاسبه مشتق رادیکال داریم:

مثال ۱۶: مشتق تابع $$ y = { \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize } x \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } $$ را محاسبه کنید.

حل: از تابع به عنوان یک تابع توانی مشتق می‌گیریم و مشتق رادیکال را خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*}
y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { 3 } { 2 } x \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { \frac { 3 } { 2 } x \cdot { x ^ { \large \frac { 1 }{ 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { 3 } { 2 }{ \left ( { { x ^ { 1 + \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 3 } { 2 } { \left ( { { x ^ { \large \frac { 4 } { 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { 3 } { 2 } \cdot \frac { 4 } { 3 } { x ^ { \large \frac { 4 } { 3 } \normalsize – 1 } } } = { 2 { x ^ { \large \frac { 1 } { 3 } \normalsize } } = 2 \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { x } . }
\end {align*} $$

مثال ۱۷: مشتق رادیکال $$ f ( x ) = \sqrt { 2 x ^ { 2 } -5 } $$ را محاسبه کنید.

حل: رادیکال را به صورت توانی زیر می‌نویسیم:

$$ \large f ( x ) = \left ( 2 x ^ { 2 } - 5 \right ) ^ { 1 / 2 } $$

و طبق قانون مشتق توابع توانی، مشتق رادیکال را داریم:

$$ \large \begin {aligned}
\frac { d y } { d x } & = \frac { 1 } { 2 } \left ( 2 x ^ { 2 } - 5 \right ) ^ { ( 1 / 2 ) - 1 } ( 4 x ) \\
& = \frac { 1 } { 2 } \left ( 2 x ^ { 2 } - 5 \right ) ^ { - 1 / 2 } ( 4 x ) \\
& = 2 x \left ( 2 x ^ { 2 } -5 \right ) ^ { - 1 / 2 } \\
& = \frac { 2 x } { \sqrt { 2 x ^ { 2 } - 5 } } \\
& = \frac { 2 x \sqrt { 2 x ^ { 2 } -5 } } { 2 x ^ { 2 } - 5 }
\end {aligned} $$

مثال ۱۸: مشتق تابع $$ f ( x ) = \frac { 2 x + 1 } { \sqrt { 3 x ^ { 2 } + 2 } } $$ را به دست آورید.

حل: رادیکال را با یک تابع توانی جایگزین می‌کنیم:

$$ \large f ( x ) = \frac { 2 x + 1 } { \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { 1 / 2 } } $$

با آوردن مخرج به صورت، توان منفی می‌شود و داریم:

$$ \large f ( x ) = ( 2 x + 1 ) \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { - 1 / 2 } $$

دو مشتق زیر را داریم:

$$ \large \frac { d } { d x } ( 2 x + 1 ) = 2 $$

و

$$ \large \begin {aligned}
\frac { d } { d x } \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { - 1 / 2 } & = - 1 / 2 \left (3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { ( - 1 / 2 ) - 1 } ( 6 x ) \\
& = - 3 x \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { - 3 / 2 }
\end {aligned} $$

اکنون با استفاده از قاعده زنجیره‌ای مشتق، می‌توانیم بنویسیم:

$$ \large f ( x ) = ( 2 x + 1 ) \left [ - 3 x \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { - 3 / 2 } \right ] + \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { - 1 / 2 } ( 2 ) $$

با ضرب طرفین در $$ \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { 3 / 2 } $$، در نهایت مشتق رادیکال را خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned} f ^ { \prime } ( x ) & = \frac { - 3 x ( 2 x + 1 ) + 2 \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) } { \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { 3 / 2 } } \\ & = \frac { - 6 x ^ { 2 } - 3 x + 6 x ^ { 2 } + 4 } { \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { 3 / 2 } } \\ & = \frac { 4 - 3 x } { \left ( 3 x ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { 3 / 2 } } \end {aligned} $$

مثال ۱۹: مشتق تابع $$ \sqrt { 6 2 5 - x ^ { 2 } } / \sqrt { x } $$ را محاسبه کنید.

حل: به دو روش می‌توان این مشتق رادیکال را حل کرد. اولی استفاده از قاعده خارج قسمت است:

$$ \large \frac { d } { d x } \frac { \sqrt { 6 2 5 - x ^ { 2 } } } { \sqrt { x } } = \frac { \sqrt { x } ( - x / \sqrt { 6 2 5 - x ^ { 2 } } ) - \sqrt { 6 2 5 - x ^ { 2 } } \cdot 1 / ( 2 \sqrt { x } ) } { x } $$

روش دوم نیز استفاده از قاعده مشتق ضرب دو تابع است:

$$ \large \frac { d } { d x } \sqrt { 6 2 5 - x ^ { 2 } } x ^ { - 1 / 2 } = \sqrt { 6 2 5 - x ^ { 2 } } \frac { - 1 } { 2 } x ^ { - 3 / 2 } + \frac { - x } { \sqrt { 6 2 5 - x ^ { 2 } } } x ^ { - 1 / 2 } $$

با کمی ساده‌سازی، جواب نهایی مشتق رادیکال برای دو روش به دست خواهد آمد:‌

$$ \large - \frac { x ^ { 2 } + 6 2 5 } { 2 \sqrt { 6 2 5 - x ^ { 2 } } x ^ { 3 / 2 } } $$

مثال ۲۰: مشتق رادیکال $$ \sqrt { 1 + \sqrt { 1 + \sqrt { x } } } $$ را محاسبه کنید.

حل: دو تابع $$ g ( x ) = 1 + \sqrt { 1 + \sqrt { x } } $$ و $$ f ( x ) = \sqrt { x } $$ را در نظر می‌گیریم و در واقع تابع به صورت یک تابع ترکیبی می‌نویسیم. بنابراین، می‌توانیم از قاعده زنجیره‌ای کمک بگیریم:

$$ \large \frac { d } { d x } \sqrt { 1 + \sqrt { 1 + \sqrt { x } } } = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \sqrt { 1 + \sqrt { x } } ) ^ { - 1 / 2 } \frac { d } { d x } ( 1 + \sqrt { 1 + \sqrt { x } } ) $$

اکنون باید مشتق $$ \sqrt{1+\sqrt{x}} $$ را به دست آوریم. این بار هم از قاعده مشتق زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم:‌

$$ \large \frac { d } { d x } \sqrt { 1 + \sqrt { x } } = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \sqrt { x } ) ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { 2 } x ^ { - 1 / 2 } $$

در نهایت، حاصل مشتق رادیکال اصلی به شکل زیر خواهد بود:

$$ \large \begin {aligned}
\frac { d } { d x } \sqrt { 1 + \sqrt { 1 + \sqrt { x } } } & = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \sqrt { 1 + \sqrt { x } } ) ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \sqrt { x } ) ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { 2 } x ^ { - 1 / 2 } \\
& = \frac { 1 } { 8 \sqrt { x } \sqrt { 1 + \sqrt { x } } \sqrt { 1 + \sqrt { 1 + \sqrt { x } } } }
\end {aligned} $$