مشتق توابع هذلولوی و معکوس آن‌ها — از صفر تا صد

۱۰۳۹۸ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۳ خرداد ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۶ دقیقه
مشتق توابع هذلولوی و معکوس آن‌ها — از صفر تا صد

قبلاً در مجموعه آموزش‌های ریاضیات مجله فرادرس با توابع هذلولوی یا هیپربولیک آشنا شدیم و مشتق این توابع را به‌طور بسیار خلاصه بررسی کردیم. در این آموزش، مشتق توابع هذلولوی و معکوس آن‌ها را با تفصیل بیشتری بیان خواهیم کرد.

997696

از آن‌جایی که توابع هذلولوی براساس توابع نمایی exe^x و exe^{-x} تعریف می‌شوند، محاسبه مشتق آن‌ها به‌سادگی قابل انجام است. برای مثال، قبلاً دیدیم که توابع سینوس هیپربولیک و کسینوس هیپربولیک به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:

sinhx=exex2,      coshx=ex+ex2.{\sinh x = \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2},\;\;\;}\kern-0.3pt{\cosh x = \frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}.}

مشتق این توابع نیز به‌صورت زیر است:

(sinhx)=(exex2)=ex+ex2=coshx,      (coshx)=(ex+ex2)=exex2=sinhx.{{\left( {\sinh x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2}} \right)^\prime } } = {\frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2} = \cosh x,\;\;\;}\kern-0.3pt {{\left( {\cosh x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{{e^x} + {e^{ – x}}}}{2}} \right)^\prime } } = {\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{2} = \sinh x.}

مشتق تانژانت هیپربولیک را نیز می‌توان با استفاده از تعریف به‌صورت زیر محاسبه کرد:

(tanhx)=(sinhxcoshx)=(sinhx)coshxsinhx(coshx)cosh2x=coshxcoshxsinhxsinhxcosh2x=cosh2xsinh2xcosh2x.{{\left( {\tanh x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{\sinh x}}{{\cosh x}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {\sinh x} \right)}^\prime }\cosh x – \sinh x{{\left( {\cosh x} \right)}^\prime }}}{{{{\cosh }^2}x}} } = {\frac{{\cosh x \cdot \cosh x – \sinh x \cdot \sinh x}}{{{{\cosh }^2}x}} } = {\frac{{{{\cosh }^2}x – {{\sinh }^2}x}}{{{{\cosh }^2}x}}.}

همان‌طور که می‌دانیم، رابطه دو تابع سینوس هیپربولیک و کسینوس هیپربولیک به‌‌صورت زیر است:‌

cosh2xsinh2x=1{\cosh ^2}x – {\sinh ^2}x = 1

بنابراین، مشتق تانژانت هیپربولیک را می‌توانیم به‌صورت زیر بنویسیم:

(tanhx)=cosh2xsinh2xcosh2x=1cosh2x=sech2x.{{\left( {\tanh x} \right)^\prime } }={ \frac{{{{\cosh }^2}x – {{\sinh }^2}x}}{{{{\cosh }^2}x}} } = {\frac{1}{{{{\cosh }^2}x}} } = {{\text{sech}^2}x.}

به طریق مشابه، سایر توابع هذلولوی اصلی را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:

(cothx)=(coshxsinhx)=(coshx)sinhxcoshx(sinhx)sinh2x=cosh2xsinh2xsinh2x=1sinh2x=csch2x,{{\left( {\coth x} \right)^\prime } }={ {\left( {\frac{{\cosh x}}{{\sinh x}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {\cosh x} \right)}^\prime }\sinh x – \cosh x{{\left( {\sinh x} \right)}^\prime }}}{{{{\sinh }^2}x}} } = { – \frac{{{{\cosh }^2}x – {{\sinh }^2}x}}{{{{\sinh }^2}x}} } = { – \frac{1}{{{{\sinh }^2}x}} } = { – {\text{csch}^2}x,}

(sechx)=(1coshx)=1cosh2x(coshx)=1cosh2xsinhx=1coshxsinhxcoshx=–sechxtanhx,{{\left( {\text{sech}\,x} \right)^\prime } }={ {\left( {\frac{1}{{\cosh x}}} \right)^\prime } } = { – \frac{1}{{{{\cosh }^2}x}} \cdot {\left( {\cosh x} \right)^\prime } } = { – \frac{1}{{{{\cosh }^2}x}} \cdot \sinh x } = { – \frac{1}{{\cosh x}} \cdot \frac{{\sinh x}}{{\cosh x}} } = { – \text{sech}\,x\tanh x,}

(cschx)=(1sinhx)=1sinh2x(sinhx)=1sinh2xcoshx=1sinhxcoshxsinhx=–cschxcothx    (x0).{{\left( {\text{csch}\,x} \right)^\prime } }={ {\left( {\frac{1}{{\sinh x}}} \right)^\prime } } = { – \frac{1}{{{\sinh^2}x}} \cdot {\left( {\sinh x} \right)^\prime } } = { – \frac{1}{{{\sinh^2}x}} \cdot \cosh x } = { – \frac{1}{{\sinh x}} \cdot \frac{{\cosh x}}{{\sinh x}} } = { – \text{csch}\,x\coth x\;\;}\kern-0.3pt{\left( {x \ne 0} \right).}

همان‌طور که می‌بینیم، مشتق توابع هذلولوی، بسیار شبیه مشتق توابع مثلثاتی است. البته باید به تفاوت علامت‌ها دقت کنید؛ مشتق تابع کسینوس به صورت زیر است:

(cosx)=sinx{\left( {\cos x} \right)^\prime } = – \sin x

اما برای کسینوس هیپربولیک، علامت منفی وجود ندارد:

(coshx)=sinhx.{\left( {\cosh x} \right)^\prime } = \sinh x.

برای تابع سکانت و سکانت هیپربولیک شرایط دقیقاً برعکس است:

(secx)=secxtanx,      (sechx)=–sechxtanhx.{{{\left( {\sec x} \right)^\prime } = \sec x\tan x,\;\;\;}}\kern-0.3pt {{{\left( {\text{sech}\,x} \right)^\prime } }={ – \text{sech}\,x\tanh x.}}

مشتق معکوس توابع هذلولوی

اکنون، مشتق معکوس ۶ تابع هذلولوی را بررسی می‌کنیم. این مشتق‌ها را می‌توان با استفاده از قضیه تابع معکوس به‌دست آورد.

برای مثال، تابع معکوس سینوس هیپربولیک y=f(x)=arcsinhxy = f\left( x \right)=\mathrm{arcsinh} \, x را در نظر بگیرید. تابع سینوس هیپربولیک نیز به‌صورت x=φ(y)=arcsinhyx = \varphi \left( y \right)=\mathrm{arcsinh} \, y است. این دو تابع، معکوس یک‌دیگر هستند. بنابراین، مشتق تابع معکوس سینوس هیپربولیک را می‌توانیم به‌صورت زیر محاسبه کنیم:

(arcsinhx)=f(x)=1φ(y)=1(sinhy)=1coshy=11+sinh2y=11+sinh2(arcsinhx)=11+x2.{{\left( {\text{arcsinh}\,x} \right)^\prime } }={ f’\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\sinh y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\cosh y}} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 + {\sinh^2}y} }} }\\ = {\frac{1}{{\sqrt {1 + {\sinh^2}\left( {\text{arcsinh}\,x} \right)} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}.}

به طریق مشابه، می‌توانیم مشتق معکوس سه تابع کسینوس هیپربولیک، تانژانت هیپربولیک و کتانژانت هیپربولیک را به‌صورت زیر محاسبه کنیم:

(arccoshx)=f(x)=1φ(y)=1(coshy)=1sinhy=1cosh2y1=1cosh2(arccoshx)1=1x21    (x>1),{{\left( {\text{arccosh}\,x} \right)^\prime } }={ f’\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\cosh y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\sinh y}} } = {\frac{1}{{\sqrt {{\cosh^2}y – 1} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {{\cosh^2}\left( {\text{arccosh}\,x} \right) – 1} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}\;\;\left( {x \gt 1} \right),}

(arctanhx)=f(x)=1φ(y)=1(tanhy)=11cosh2y=cosh2y.{{\left( {\text{arctanh}\,x} \right)^\prime } }={ f’\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\tanh y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\frac{1}{{{{\cosh }^2}y}}}} } = {{\cosh ^2}y.}

اگر از اتحاد cosh2ysinh2y=1{\cosh ^2}y – {\sinh ^2}y = 1 استفاده کنیم، داریم:

1tanh2y=1cosh2y    or    cosh2y=11tanh2y.{1 – {\tanh ^2}y = \frac{1}{{{{\cosh }^2}y}}\;\;}\kern-0.3pt {\text{or}\;\;{\cosh ^2}y = \frac{1}{{1 – {{\tanh }^2}y}}.}

بنابراین،

(arctanhx)=cosh2y=11tanh2y=11tanh2(arctanhx)=11x2    (x<1).{{\left( {\text{arctanh}\,x} \right)^\prime } }={ {\cosh ^2}y }={ \frac{1}{{1 – {{\tanh }^2}y}} } = {\frac{1}{{1 – {{\tanh }^2}\left( {\text{arctanh}\,x} \right)}} } = {\frac{1}{{1 – {x^2}}}\;\;\left( {\left| x \right| \lt 1} \right).}

به طریق مشابه، مشتق تابع y=f(x)=arccothxy = f\left( x \right) = \text{arccoth}\,x، به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

(arccothx)=f(x)=1φ(y)=1(cothy)=1(1sinh2y)=sinh2y.{{\left( {\text{arccoth}\,x} \right)^\prime } }={ f’\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\coth y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\left( { – \frac{1}{{{{\sinh }^2}y}}} \right)}} } = { – {\sinh ^2}y.}

با توجه به رابطه زیر:

coth2y1=1sinh2y,    sinh2y=1coth2y1,{{\coth ^2}y – 1 = \frac{1}{{{{\sinh }^2}y}},\;\;}\Rightarrow {{\sinh ^2}y = \frac{1}{{{{\coth }^2}y – 1}},}

مشتق مورد نظر به‌دست می‌آید:

(arccothx)=sinh2y=1coth2y1=1coth2(arccothx)1=1x21=11x2    (x>1).{\left( {\text{arccoth}\,x} \right)^\prime } ={ – {\sinh ^2}y } = { – \frac{1}{{{{\coth }^2}y – 1}} } = { – \frac{1}{{{{\coth }^2}\left( {\text{arccoth}\,x} \right) – 1}} } = { – \frac{1}{{{x^2} – 1}} } = {\frac{1}{{1 – {x^2}}}\;\;}\kern-0.3pt{\left( {\left| x \right| \gt 1} \right).}

همان‌طور که می‌بینیم، مشتق توابع arctanhx\text{arctanh}\,x و arccothx\text{arccoth}\,x مشابه است، اما برای بازه های متفاوتی از xx تعریف شده‌اند.

قید دامنه معکوس توابع تانژانت هیپربولیک و کتانژانت هیپربولیک، به‌ترتیب، مشابه برد توابع y=tanhxy = \tanh x و y=cothx,y = \coth x, است.

معکوس توابع سکانت هیپربولیک و کسکانت هیپربولیک را نیز می‌توانیم مطابق روند بالا به‌دست آوریم. برای مثال‌:

(arcsechx)=f(x)=1φ(y)=1(sechy)=1sechytanhy.{{\left( {\text{arcsech}\,x} \right)^\prime } }={ f’\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\text{sech}\,y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\text{sech}\,y\tanh y}}.}

عبارت tanhy\tanh y را می‌توان برای y>0y>0 بر حسب sechy\text{sech}\,y نوشت:

cosh2ysinh2y=1,    1tanh2y=1cosh2y=sech2y,    tanh2y=1sech2y,    tanhy=1sech2y.{{\cosh ^2}y – {\sinh ^2}y = 1,\;\;}\Rightarrow {1 – {\tanh ^2}y = \frac{1}{{{{\cosh }^2}y}} = {\text{sech}^2}y,\;\;}\Rightarrow {{\tanh ^2}y = 1 – {\text{sech}^2}y,\;\;}\Rightarrow {\tanh y = \sqrt {1 – {{\text{sech}}^2}y}.}

و نتیجه به‌صورت زیر خواهد بود:

(arcsechx)=1sechytanhy=1x1x2,    x(0,1).{{\left( {\text{arcsech}\,x} \right)^\prime } }={ – \frac{1}{{\text{sech}\,y \tanh y}} } = { – \frac{1}{{x\sqrt {1 – {x^2}} }},\;\;}\kern-0.3pt{x \in \left( {0,1} \right).}

به طریق مشابه، می‌توانیم معکوس تابع کسکانت هیپربولیک را به‌دست آوریم. فرض کنید y=f(x)=arccschxy = f\left( x \right)=\mathrm{arccsch}\, x و x=φ(y)=cschyx = \varphi \left( y \right)=\mathrm{csch} \, y. ابتدا شاخه x>0x>0 را در نظر می‌گیریم. در این حالت، y>0y>0 است. مشتق معکوس کسکانت هیپربولیک به‌صورت زیر خواهد بود:

(arccschx)=f(x)=1φ(y)=1(cschy)=1cschycothy.{{\left( {\text{arccsch}\,x} \right)^\prime } }={ f’\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi’\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {\text{csch}\,y} \right)}^\prime }}} } = { – \frac{1}{{\text{csch}\,y\coth y}}.}

از اتحادهای زیر استفاده می‌کنیم:

cosh2ysinh2y=1,    coth2y1=1sinh2y=csch2y,    coth2y=1+csch2y,    cothy=±1+csch2y.{{\cosh ^2}y – {\sinh ^2}y = 1,\;\;}\Rightarrow {{\coth ^2}y – 1 = \frac{1}{{{{\sinh }^2}y}} = {\text{csch}^2}y,\;\;}\Rightarrow {{\coth ^2}y = 1 + {\text{csch}^2}y,\;\;}\Rightarrow {\coth y = \pm \sqrt {1 + {{\text{csch}}^2}y}.}

با فرض y>0y>0، ریشه دارای علامت ++ را انتخاب می‌کنیم. در نتیجه داریم:

(arccschx)=1cschycothy=1x1+x2    (x>0).{{\left( {\text{arccsch}\,x} \right)^\prime } }={ – \frac{1}{{\text{csch}\,y \coth y}} } = { – \frac{1}{{x\sqrt {1 + {x^2}} }}\;\;}\kern-0.3pt{\left( {x \gt 0} \right).}

اکنون معکوس را در x<0x<0‌ در نظر می‌گیریم. با در نظر گرفتن این شرایط، برای تابع کسکانت هیپربولیک داریم y<0y<0. در این حالت می‌توانیم از اتحاد زیر کمک بگیریم:

cothy=1+csch2y    (y<0).{\coth y = – \sqrt {1 + {{\text{csch}}^2}y} \;\;}\kern-0.3pt{\left( {y \lt 0} \right).}

در نتیجه، مشتق معکوس کسکانت هیپربولیک برای x<0x<0 به‌شکل زیر قابل محاسبه است:

(arccschx)=1cschycothy=1x1+x2    (x<0).{{\left( {\text{arccsch}\,x} \right)^\prime } }={ – \frac{1}{{\text{csch}\,y\coth y}} } = {\frac{1}{{x\sqrt {1 + {x^2}} }}\;\;}\kern-0.3pt{\left( {x \lt 0} \right).}

حال اگر روابط مربوط به دو شاخه را با هم ترکیب کنیم، می‌توانیم مشتق معکوس کسکانت هیپربولیک را به‌فرم فشرده زیر بنویسیم:

(arccschx)=1x1+x2    (x0).{\left( {\text{arccsch}\,x} \right)^\prime } = { – \frac{1}{{\left| x \right|\sqrt {1 + {x^2}} }}\;\;}\kern-0.3pt{\left( {x \ne 0} \right).}

برای محاسبه مشتق توابع هذلولوی و معکوس آن‌ها، می‌توان از جدول زیر کمک گرفت.

مشتق هذلولوی

در پایان این مبحث، چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

مشتق تابع y=coth1xy = \coth \frac{1}{x} را محاسبه کنید.

حل:

y(x)=(coth1x)=csch2(1x)(1x)=csch2(1x)(1x2)=csch2(1x)x2.{y’\left( x \right) }={ {\left( {\coth \frac{1}{x}} \right)^\prime } } = { – {\text{csch}^2}\left( {\frac{1}{x}} \right) \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } } = { – {\text{csch}^2}\left( {\frac{1}{x}} \right) \cdot \left( { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right) } = {\frac{{{{\text{csch}}^2}\left( {\frac{1}{x}} \right)}}{{{x^2}}}.}

مثال ۲

مشتق تابع y=ln(sinhx),    x>0.{y = \ln \left( {\sinh x} \right),\;\;}\kern-0.3pt{x \gt 0.} را به‌دست آورید.

حل:

y(x)=[ln(sinhx)]=1sinhx(sinhx)=coshxsinhx=tanhx.{y’\left( x \right) }={ {\left[ {\ln \left( {\sinh x} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{\sinh x}} \cdot {\left( {\sinh x} \right)^\prime } } = {\frac{{\cosh x}}{{\sinh x}} = \tanh x.}

مثال ۳

مشتق تابع y=xsinhxcoshxy = x\sinh x – \cosh x را محاسبه کنید.

حل:

$$\require{cancel}<br /> {y’\left( x \right) }={ {\left( {x\sinh x – \cosh x} \right)^\prime } }<br /> = {{\left( {x\sinh x} \right)^\prime } – {\left( {\cosh x} \right)^\prime } }<br /> = {x’\sinh x + x{\left( {\sinh x} \right)^\prime } }-{ {\left( {\cosh x} \right)^\prime } }\\<br /> = {1 \cdot \sinh x + x \cdot \cosh x }-{ \sinh x }<br /> = {\cancel{\sinh x} + x\cosh x – \cancel{\sinh x} }={ x\cosh x.}$$

مثال ۴

مشتق تابع y=arctanh(cosx)y = \text{arctanh}\left( {\cos x} \right) را به‌دست آورید.

حل: 

y(x)=[arctanh(cosx)]=11cos2x(cosx)=1sin2x(sinx)=sinxsin2x=1sinx=cscx.{y’\left( x \right) }={ {\left[ {\text{arctanh}\left( {\cos x} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{1 – {{\cos }^2}x}} \cdot {\left( {\cos x} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} \cdot \left( { -\sin x} \right) } = { – \frac{{\cancel{\sin x}}}{{{{\sin }^{\cancel{2}}}x}} } = { – \frac{1}{{\sin x}} } = { – \csc x.}

دقت کنید باید دامنه این تابع را مشخص کنیم که به‌‌صورت زیر است:

xπ2+πn,nZ.x \ne {\large\frac{\pi }{2}\normalsize} + \pi n,\, n \in \mathbb{Z}.

اگر به موضوعات مرتبط با این مطلب علاقه‌مندید، پیشنهاد می‌کنیم آموزش‌های زیر را نیز ببینید:

^^

بر اساس رای ۱۵ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
۲ دیدگاه برای «مشتق توابع هذلولوی و معکوس آن‌ها — از صفر تا صد»

سلام آقای حمیدی یه سوال دارم:
دامنه توابع معکوس هذلولوی چگونه تعریف شده اند؟

سلام.
این توابع به صورت زیر هستند:
arsinhx=ln(x+x2+1)arcoshx=ln(x+x21)artanhx=12ln(1+x1x)arcothx=12ln(x+1x1)arsechx=ln(1x+1x21)=ln(1+1x2x)arcschx=ln(1x+1x2+1)=ln(1+1+x2x) \begin {align} \operatorname{arsinh} x &=\ln \left ( x + \sqrt{x^2 + 1} \right ) \\ \operatorname{arcosh} x &=\ln \left ( x + \sqrt{x^2 – 1} \right ) \\ \operatorname{artanh} x &=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \\ \operatorname{arcoth} x & = \frac12\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \\ \operatorname{arsech} x &= \ln \left( \frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}- 1} \right) = \ln \left( \frac{1 +\sqrt{1- x^2}}{x} \right)\\ \operatorname{arcsch} x &= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}+ 1} \right) = \ln \left( \frac{1 +\sqrt{1+ x^2}}{x} \right) \end {align}
دامنه این توابع xxهایی است که به ازای آن‌ها آرگومان ln\ln و عبارت زیر رادیکال مثبت باشد.
سالم و موفق باشید.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *