ریاضی، علوم پایه 81076 بازدید

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، برخی از شکل‌های هندسی از قبیل دایره، مثلث، مربع، مستطیل، لوزی، متوازی الاضلاع و ذوزنقه را معرفی کردیم. در این آموزش، می‌خواهیم با یکی دیگر از اشکال هندسی به نام بیضی آشنا شویم.

فیلم آموزشی بیضی در هندسه

دانلود ویدیو

بیضی چیست؟

ماهواره‌های در حال چرخش، زمین که به دور خورشید می‌چرخد و ماه که به دور ما می‌چرخد، نمونه‌هایی از مواردی هستند که مسیرهای بیضوی را طی می‌کنند.

مسیر بیضوی

علاوه بر این اجرام آسمانی، بسیاری از ساختمان‌ها و پل‌ها، به منظور استحکام و زیبایی، ساختاری بیضی‌ شکل دارند.

بیضی

به همین دلیل است که برای درک بسیاری از پدیده‌های طبیعی و طراحی ساختارهایی که در آن‌ها شکل بیضی وجود دارد، باید درک مناسبی از این شکل داشته باشیم. اولین چیزی که از ظاهر یک بیضی مشاهده می‌کنیم، این است که به شکل یک دایره فشرده به نظر می‌رسد. در ادامه، رابطه بین بیضی‌ و دایره را بیان می‌کنیم.

بیضی چیست؟

از منظر مقاطع مخروطی، «بیضی» (Ellipse) یکی از مقاطع مخروطی است که از تقاطع مخروط با صفحه‌ای که نسبت به قاعده مخروط زاویه دارد، ساخته می‌شود. شکل زیر این موضوع را به خوبی نشان می‌دهد.

بیضی چیست

اگر بخواهیم از منظر مکان هندسی بحث کنیم، بیضی‌‌ مجموعه تمام نقاطی در صفحه است که مجموع فاصله آن‌ها از دو نقطه ثابت (که کانون نامیده می‌شوند) یک مقدار ثابت است. در شکل زیر، F و G کانون‌های بیضی هستند و P نقطه‌ای از مکان هندسی بیضی است.

مکان هندسی بیضی

صورت صحیح جمله‌ای که درباره ارتباط دایره و بیضی گفتیم، این است: دایره یک بیضی است که کانون‌های آن در یک نقطه قرار دارند و آن نقطه همان مرکز است. در واقع، در دایره، همواره فاصله از F تا P و از P تا G ثابت و یکسان است. به‌ عبارت‌ دیگر، اگر از نقطه F به هر نقطه‌ای روی محیط بیضی و سپس از آن نقطه به نقطه G برویم، همواره مسافت یکسانی طی خواهیم کرد.

برای آشنایی بیشتر با اشکال مختلف هندسی، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه فیلم‌های آموزش دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

مشخصات بیضی

مشخصات بیضی شامل پارامترهایی است که بیضی با آن‌ها تعریف می‌شود. این موارد در شکل زیر نشان داده شده‌اند.

بیضی چیست

محور اصلی یا بزرگ، طولانی‌ترین قطر بیضی‌ است که از یک رأس بیضی‌ و از طریق مرکز به رأس دیگر آن می‌رود و از عریض‌ترین قسمت بیضی، رد می‌شود. محور کوچک، کوتاه‌ترین قطر (در باریک‌ترین قسمت بیضی) است.

هر یک از نیم‌محورهای بیضی، خط تقارن آن نیز هستند. همچنین، هر بیضی‌ بی‌نهایت قطر دارد.

محور بزرگ و کوچک بیضی

همان‌طور که در شکل زیر نشان داده شده، نیم‌محور اصلی نیز، نیمی از محور اصلی است و نیم‌محور کوچک، نصف محور کوچک.

نیم محور بیضی

مرکز بیضی نیز محل برخورد قطر بزرگ و قطر کوچک است.

رسم بیضی

برای رسم بیضی، می‌توانید دو سنجاق را روی تخته یا مقوا قرار دهید، سپس یک حلقه نخ را دور دو سنجاق بپیچید. پس از آن، یک مداد را درون حلقه قرار دهید و نخ را به کمک مداد آنقدر بکشید تا شکل یک مثلث به خود بگیرد. شروع کنید به غلتاندن مداد روی کاغذ طوری که یک منحنی کشیده شود و این کار را تا آنجا ادامه دهید تا یک بیضی شکل گیرد. دلیل این امر آن است که نخ به طور طبیعی فاصله یکسانی را از سنجاق تا مداد و از مداد تا سنجاق دیگر طی می‌کند.

رسم بیضی

همان‌طور که گفتیم، دایره نیز نوعی بیضی است. در حقیقت، دایره یک بیضی است که هر دو کانون آن در یک نقطه (مرکز) قرار گرفته‌اند. شکل زیر این موضوع را به خوبی نشان می‌دهد.

دایره

معادله بیضی

بیضی شکل زیر را در نظر بگیرید.

معادله بیضی

معادله این بیضی‌ با محور اصلی (بزرگ) افقی به صورت زیر بیان می‌شود:

$$ \large \frac { { x } ^ { 2 } } { { a } ^ { 2 } } + \frac { { y } ^ { 2 } } { { b } ^ { 2 } } = { 1 } $$

که در آن، $$a$$ فاصله مرکز از انتهای محور بزرگ و $$b$$ فاصله مرکز از انتهای محور کوچک است. در واقع، $$a$$ طول نیم‌محور بزرگ و $$b$$ طول نیم‌محور کوچک است. کانون‌ها در نقاط $$(-c,0)$$ و $$ ( c , 0 ) $$ واقع شده‌اند، که $$ c $$ برابر است با:

$$ \large { c } = \sqrt { {{ a } ^ { 2 } – { b } ^ { 2 } } } $$

اگر بیضی عمودی باشد (نیم‌محور بزرگ آن عمودی باشد)، معادله بیضی به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large \frac { { x } ^ { 2 } } { { b } ^ { 2 } } + \frac { { y } ^ { 2 } } { { a } ^ { 2 } } = { 1 } $$

مساحت بیضی

فرض کنید اندازه نیم‌قطر (نیم‌محور) بزرگ یک بیضی‌ برابر با $$ a $$ و نیم‌قطر (نیم‌محور) کوچک آن $$ b $$ باشد.

فرمول مساحت بیضی

فرمول مساحت بیضی‌ به صورت زیر است:

$$ \large  { A = \pi a b } $$

همان‌طور که می‌بینیم، اگر دو نیم‌قطر برابر باشند، فرمول مساحت، همان فرمول مساحت دایره خواهد شد. برای آشنایی بیشتر با روش محاسبه مساحت بیضی، به آموزش «مساحت بیضی | به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)» در این لینک مراجعه کنید.

محیط بیضی

ارائه یک فرمول دقیق برای محاسبه محیط بیضی کار نسبتاً دشواری است. البته چندین فرمول‌ تقریبی برای محاسبه محیط ارائه شده است.

یکی از معروف‌ترین تقریب‌های محیط بیضی، فرمولی است که اویلر آن را ارائه کرد:

$$ \large P \approx \pi \sqrt { 2 ( a ^ 2 + b ^ 2 ) } $$

یکی دیگر از معروف‌ترین تقریب‌های محیط بیضی‌ را رامانوجان، ریاضیدان معروف هندی، پیشنهاد کرده است:

Ellipse-perimeter

در فرمول‌های بالا، $$a$$ طول نیم‌قطر بزرگ و $$b$$ طول نیم‌قطر کوچک بیضی‌ است.

برای آشنایی بیشتر با محیط بیضی، پیشنهاد می‌کنیم به مطلب «محیط بیضی‌ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» در این لینک مراجعه کنید.

خروج از مرکز بیضی

خروج از مرکز بیضی، معیاری برای نشان دادن کشیدگی آن است. اگر خروج از مرکز به مقدار 0 نزدیک باشد، بیضی دایره‌ای‌تر می‌شود و اگر به 1 نزدیک شود، بیضی کشیده‌تر خواهد شد. خروج از مرکز با فرمول زیر به دست می‌آید:‌

$$ \large \frac c a $$ = خروج از مرکز

خط مماس بر بیضی

خط مماس، خطی است که یک منحنی را فقط در یک نقطه لمس می‌کند، بدون اینکه آن را قطع کند. در شکل زیر یک خط مماس را روی یک بیضی مشاهده می‌کنید.

خط مماس بر بیضی

خط مماس در نقطه P زوایای برابری با دو خطی که از هر کانون و نقطه P می‌گذرند، دارد. اگر سعی کنیم دو نقطه کانونی را روی هم قرار دهیم، بیضی‌ به دایره تبدیل خواهد شد و آن ۵۰ درجه‌های به ۹۰ درجه تبدیل می‌شوند.

مثال‌های بیضی

در این بخش، چند مثال را در رابطه با بیضی بررسی می‌کنیم.

مثال اول بیضی

شکل و مشخصات یک بیضی‌ را با معادله زیر مشخص رسم و مشخص کنید.

$$ \large \frac { { x } ^ { 2 } } { { 1 0 0 } } + \frac {{ y } ^ { 2 } } { { 6 4 } } = { 1 } $$

حل: با توجه به فرمولی که برای معادله بیضی گفتیم، $$ a ^ 2 = 100 $$ و در نتیجه، $$ a = \pm 10 $$ است. در نتیجه، رأس‌های بیضی در نقاط $$ (-10 , 0 )$$ و $$ (10 , 0 )$$ قرار دارند. اکنون، برای تعیین مکان کانون‌ها، داریم:

$$ \large { c } = \sqrt { { {a } ^ { 2 } – { b } ^ { 2 } } } = \sqrt { { { 1 0 0 } – { 6 4 } } } = \sqrt { { 3 6 } } = 6 $$

بنابراین، کانون‌ها در نقاط $$(-6,0)$$ و $$ ( 6 , 0 )$$ واقع شده‌اند.

شکل این بیضی به صورت زیر است:

مثال بیضی

مثال دوم بیضی

معادله یک بیضی را به دست آورید که طول محور کوچک آن ۸ بوده و یک رأس آن در نقطه $$ (0, – 5 ) $$ قرار داشته باشد. محور بزرگ بیضی عمودی است.

حل: با توجه به اطلاعات مسئله، بیضی به شکل زیر خواهد بود.

بیضی

با توجه به شکل بالا، $$ a = 5 $$ و $$ b = 4 $$ است. بنابراین، معادله بیضی‌ به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large \frac { { x } ^ { 2 } } { { 1 6 } } + \frac { { y } ^ { 2 } } { {2 5 } } = { 1 } $$

مثال سوم بیضی

مساحت بیضی‌‌ شکل زیر را محاسبه کنید.

مساحت بیضی

حل: با توجه به اینکه $$ a = 9.5\; \text{in}$$ و $$5.5\; \text{in}$$ را داریم، مساحت بیضی‌‌ به سادگی به دست می‌آید:

$$ \large A = \pi ab=3.14\times 9.5\times 5.5 = 164.065 \; \text{in} ^2 $$

معرفی فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) فرادرس

معرفی فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) فرادرس

برای آشنایی بیشتر با مباحث اشکال هندسی، پیشنهاد می‌کنیم به فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) مراجعه کنید که توسط فرادرس تهیه شده است. این آموزش ویدیویی که مدت زمان آن ۴ ساعت و ۳ دقیقه است، شامل چهار درس می‌شود.

در درس اول این آموزش، موضوعات ترسیم‌های هندسی و استدلال بیان شده‌اند. مباحث درس دوم، به قضیه تالس و تشابه مثلث‌ها و کاربردهای آن‌ها اختصاص یافته است. در درس سوم، مباحث مربوط به چندضلعی‌ها و ویژگی‌هایی از آن‌ها و همچنین، مساحت و کاربردهای آن مورد بیان شده است. در نهایت، موضوع درس چهارم، تجسم فضایی است که خط، نقطه و صفحه و همچنین تفکر تجسمی را شامل می‌شود.

برای یادگیری اشکال مختلف هندسی و محاسبه محیط، مساحت و حجم آن‌ها، توصیه می‌کنیم آموزش‌های مجله فرادرس را که در این زمینه تهیه شده‌اند، مطالعه کنید:

اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 129 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

5 نظر در “بیضی چیست ؟ | تعریف و مفاهیم به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *