مشتق تقسیم – توضیح به زبان ساده + مثال و تمرین

مشتق تقسیم دو تابع، با استفاده از یک قاعده مشخص تعیین می‌شود. اگر تابعی مانند f در صورت یک کسر قرار داشته و تابع دیگری مانند g در مخرج آن کسر قرار داشته باشد، مشتق این عبارت برابر با $$\frac { f ^ { \prime } g – g ^ { \prime } f }{ g ^ ۲ }$$ خواهد بود. این فرمول با عنوان قاعده خارج قسمت شناخته می‌شود. در این مقاله قصد داریم به آموزش نحوه محاسبه مشتق تقسیم انواع توابع با استفاده قاعده خارج قسمت و حل چندین مثال و تمرین متنوع در رابطه با این موضوع بپردازیم.

مشتق توابع مهم

پیش از شروع آموزش تعیین مشتق تقسیم دو یا چند تابع، ابتدا باید با نحوه مشتق‌گیری از توابع مختلف آشنا شد.

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

جدول زیر، فرمول‌های مشتق برخی از مهم‌ترین انواع تابع در ریاضی را نمایش می‌دهد.

در مبحث مشتق، یک‌سری قواعد وجود دارند که مهم‌ترین آن‌ها را به طور خلاصه در جدول زیر آورده‌ایم.

در صورت علاقه به یادگیری بیشتر راجع به مشتق توابع ریاضی، مطالعه مطلب «فرمول های مشتق مهم + سوال با جواب و دانلود PDF» را به شما پیشنهاد می‌کنیم. علاوه بر این، مطالعه مطالب زیر نیز می‌تواند به شما در تسلط بر مبحث مشتق‌گیری کمک کند:

• مشتق و محاسبات آن — به زبان ساده
• روش‌های مشتق‌گیری — به همراه مثال
• مشتق زنجیره ای — به زبان ساده
• تابع معکوس مثلثاتی — به زبان ساده
• مشتق رادیکال — به زبان ساده
• مشتق e – به زبان ساده + مثال و حل تمرین
• مشتق جزئی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
• مشتق توابع برداری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فرمول مشتق تقسیم دو تابع چیست ؟

مشتق تقسیم دو تابع، با استفاده از «قاعده خارج قسمت» (Quotient Rule) به دست می‌آید. فرمول این قاعده به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\frac { f ^ { \prime } g – g ^ { \prime } f }{ g ^ ۲ }$$

برای درک این فرمول، کسر زیر را در نظر بگیرید:

$$\frac { f ( x ) } { g ( x ) }$$

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

f و g، تابعی از متغیر x هستند. می‌خواهیم مشتق تقسیم $$f ( x )$$ بر $$g ( x )$$ را تعیین کنیم. به عبارت دیگر، به دنبال حاصل عبارت زیر هستیم:

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ) = \left ( \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ) ^ { \prime }$$

بر اساس قاعده خارج قسمت، برای به دست آوردن حاصل عبارت بالا، به مشتق $$f ( x )$$ و $$g ( x )$$ نیاز داریم. این مشتق‌ها به صورت زیر نوشته می‌شوند:

$$\frac { d } { d x } f ( x ) = f ^ { \prime } ( x )$$

$$\frac { d } { d x } g ( x ) = g ^ { \prime } ( x )$$

با جایگذاری توابع $$f ( x )$$ و $$g ( x )$$ به همراه مشتق‌هایشان در قاعده خارج قسمت، خواهیم داشت:

$$\frac { f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) – g ^ { \prime } ( x ) f ( x ) }{ g ( x ) ^ ۲ }$$

به همین ترتیب، اگر مشتق تقسیم تابع $$g ( x )$$ بر $$f ( x )$$ را بخواهیم، از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { g ( x ) } { f ( x ) } \right ) = \left ( \frac { g ( x ) } { f ( x ) } \right ) ^ { \prime } = \frac { g ^ { \prime } ( x ) f ( x ) – f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) }{ f ( x ) ^ ۲ }$$

در مبحث مشتق، قاعده خارج قسمت با عبارت‌های جبری مختلفی نوشته می‌شود. برخی از رایج‌ترین روش‌های نمایش این قاعده عبارت هستند از:

$$y = \frac { u ( x ) } { v ( x ) }$$

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { u } { v } \right ) = \frac { v u ^ { \prime } – u v ^ { \prime } }{ v ^ ۲ }$$

$$\frac { d y } { d x } = \frac { v \frac { d u } { d x } – u \frac { d v } { d x } } { v ^ ۲ }$$

مثال ۱: اثبات فرمول مشتق تقسیم ۱ بر x

اثبات کنید مشتق $$f ( x ) = \frac { ۱ } { x }$$ برابر با $$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { ۱ } { x ^ ۲ }$$ است.

به منظور اثبات مشتق تقسیم یک بر ایکس، از قاعده خارج قسمت کمک می‌گیریم. بر اساس این قاعده داریم:

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { u } { v } \right ) = \frac { v u ^ { \prime } – u v ^ { \prime } }{ v ^ ۲ }$$

برای استفاده از رابطه بالا، صورت کسر $$\frac { ۱ } { x }$$ را برابر با $$u$$ و مخرج آن را برابر با $$v$$ قرار می‌دهیم:

$$u = ۱$$

$$v = x$$

از هر دو عبارت بالا مشتق می‌گیریم:

$$u ^ { \prime } = \frac { d } { d x } ۱ = ۰$$

$$v ^ { \prime } = \frac { d } { d x } x = ۱$$

اکنون، توابع و مشتق‌هایشان را درون فرمول قاعده خارج قسمت جایگذاری می‌کنیم، خواهیم داشت:

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = \frac { ( x \times ۰ ) \space – ( ۱ \times ۱ ) }{ x ^ ۲ }$$

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = \frac { ۰ \space – ۱ }{ x ^ ۲ }$$

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = \frac { - ۱ }{ x ^ ۲ }$$
$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۱ } { x } \right ) = - \frac { ۱ }{ x ^ ۲ }$$

به این ترتیب، مشتق تقسیم ۱ بر x را به دست آوردیم.

مشتق تقسیم توابع چند جمله ای

فرم کلی مشتق توابع چندجمله‌ای به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\frac { d } { d x } \left ( a x ^ n \pm b x ^ { n - ۱ } \pm \space ... \space \pm c x \pm d \right ) = n a x ^ { n - ۱ } \pm ( n - ۱ ) b x ^ { n - ۱ } \pm \space ... \space \pm c$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

برای تعیین مشتق تقسیم دو چندجمله‌ای، به رابطه بالا نیاز خواهیم داشت.

مثال ۲: محاسبه مشتق تقسیم دو چند جمله ای

مقدار $$f ^ { \prime } ( x )$$ را در نقطه $$x = ۱$$ به دست بیاورید.

$$f ( x ) = \frac { \sqrt { x } }{ ۳ x + ۱ }$$

روند محاسبه مشتق تابع بالا، هیچ تفاوتی با مشتق‌گیری از تقسیم یک بر x ندارد. در اینجا نیز مانند مثال ۱، ابتدا رابطه زیر را می‌نویسیم:

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { u } { v } \right ) = \frac { v u ^ { \prime } – u v ^ { \prime } }{ v ^ ۲ }$$

صورت کسر را برابر با $$u$$ و مخرج را برابر با $$v$$ قرار می‌دهیم:

$$u = \sqrt { x }$$

$$v = ۳ x ^ ۲ + ۱$$

در ادامه، از دو تابع بالا مشتق می‌گیریم. برای مشتق $$u$$ داریم:

$$u ^ { \prime } = \left ( \sqrt { x } \right ) ^ { \prime } = \left ( x ^ { \frac { ۱ } { ۲ } } \right ) ^ { \prime }$$

$$u ^ { \prime } = \frac { ۱ } { ۲ } x ^ { \frac { ۱ } { ۲ } - ۱ }$$

$$u ^ { \prime } = \frac { ۱ } { ۲ } x ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } }$$

برای مشتق $$v$$ نیز داریم:

$$v ^ { \prime } = \left ( ۳ x ^ ۲ + ۱ \right ) ^ { \prime } = ۶ x$$

اکنون، $$u$$ و $$v$$ را به همراه مشتق‌هایشان درون فرمول مشتق تقسیم دو تابع قرار می‌دهیم:

$$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } \left ( \frac { u } { v } \right ) = \frac { v u ^ { \prime } – u v ^ { \prime } }{ v ^ ۲ }$$

$$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } \left ( \frac { \sqrt { x } } { ۳ x ^ ۲ + ۱ } \right )$$

$$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { ( ۳ x ^ ۲ + ۱ ) \left ( - \frac { ۱ } { ۲ } x ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } } \right ) – \left ( \sqrt { x } \right ) ( ۶ x ) }{ \left ( ۳ x ^ ۲ + ۱ \right ) ^ ۲ }$$

$$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { ( ۳ x ^ ۲ + ۱ ) \left ( - \frac { ۱ } { ۲ \sqrt { x } } \right ) – \left ( ۶ x \sqrt { x } \right ) }{ \left ( ۳ x ^ ۲ + ۱ \right ) ^ ۲ }$$

$$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { - \frac { ۳ x ^ ۲ + ۱ } { ۲ \sqrt { x } } – ۶ x \sqrt { x } }{ \left ( ۳ x ^ ۲ + ۱ \right ) ^ ۲ }$$

$$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { - \frac { ۳ x ^ ۲ + ۱ } { ۲ \sqrt { x } } – \frac { ۱۲ x ^ ۲ } { ۲ \sqrt { x } } }{ \left ( ۳ x ^ ۲ + ۱ \right ) ^ ۲ }$$

$$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { - \frac { ۳ x ^ ۲ + ۱ - ۱۲ x ^ ۲ } { ۲ \sqrt { x } } }{ \left ( ۳ x ^ ۲ + ۱ \right ) ^ ۲ }$$

$$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { - ۱ + ۹ x ^ ۲ }{ ۲ \sqrt { x }\left ( ۳ x ^ ۲ + ۱ \right ) ^ ۲ }$$

اکنون، $$x = ۱$$ را درون رابطه مشتق تابع $$f ( x )$$ جایگذاری می‌کنیم:

$$f ^ { \prime } ( ۱ ) = \frac { - ۱ + ۹ ( ۱ ) ^ ۲ }{ ۲ \sqrt { ۱ }\left ( ۳ ( ۱ ) ^ ۲ + ۱ \right ) ^ ۲ }$$

$$f ^ { \prime } ( ۱ ) = \frac { - ۱ + ۹ }{ ۲ \left ( ۳ + ۱ \right ) ^ ۲ }$$

$$f ^ { \prime } ( ۱ ) = \frac { ۸ }{ ۲ \left ( ۴ \right ) ^ ۲ }$$

$$f ^ { \prime } ( ۱ ) = \frac { ۸ }{ ۲ \times ۱۶ }$$

$$f ^ { \prime } ( ۱ ) = \frac { ۸ }{ ۳۲ }$$

$$f ^ { \prime } ( ۱ ) = \frac { ۱ }{ ۴ }$$

در نتیجه، $$f ^ { \prime } ( x )$$ در نقطه $$x = ۱$$ برابر با یک‌چهارم است.

مشتق تقسیم توابع مثلثاتی

توابع مثلثاتی، رابطه بین اندازه ضلع‌ها و زاویه‌های داخلی یک مثلث قائم‌الزویه را نشان می‌دهند. این توابع، با عنوان نسبت‌های مثلثاتی نیز شناخته می‌شوند. جدول زیر، مشتق توابع مثلثاتی اصلی را نمایش می‌دهد.

روابط مختلفی بین نسبت‌های مثلثاتی وجود دارد. به عنوان مثال، تانژانت یک زاویه برابر با نسبت عکس کتانژانت آن زاویه است. سکانت و کسکانت نیز به ترتیب عکس کسینوس و سینوس هستند.  همان‌طور که می‌دانید، تانژانت از تقسیم سینوس بر کسینوس و کتانژانت، از تقسیم کسینوس بر سینوس به دست می‌آید. بنابراین، مفهوم مشتق تقسیم دو تابع، می‌تواند کاربرد زیادی در اثبات مشتق توابع مثلثاتی داشته باشد.

مثال ۳: اثبات فرمول مشتق تانژانت

با استفاده از مشتق توابع مثلثاتی $$\sin ( x )$$ و $$\cos ( x )$$، ثابت کنید که مشتق تابع مثلثاتی $$\tan ( x)$$ برابر با $$\sec ^۲ ( x )$$ است.

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

بر اساس روابط و قوانین مثلثات، می‌دانیم که تانژانت یک زاویه از تقسیم سینوس بر کسینوس آن زاویه به دست می‌آید. بنابراین:

$$\tan ( x ) = \frac { \sin ( x ) }{ \cos ( x ) }$$

از طرفی، مشتق تانژانت برابر با مربع سکانت است:

$$\frac { d } { d x } \tan ( x ) = \sec ^ ۲ ( x )$$

بنابراین، باید رابطه زیر را اثبات کنیم:

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right )= \sec ^ ۲ ( x )$$

مشتق تقسیم سینوس بر روی کسینوس با استفاده از فرمول زیر (قاعده خارج قسمت) تعیین می‌شود:

$$\frac { d } { d x }\left ( \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ) = \frac { f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) – g ^ { \prime } ( x ) f ( x ) }{ g ( x ) ^ ۲ }$$

سینوس را برابر با $$f ( x )$$ و کسینوس را برابر با $$g ( x )$$ قرار می‌دهیم:

$$f ( x ) = \sin ( x )$$

$$g ( x ) = \cos ( x )$$

مشتق توابع بالا برابر است با:

$$f ^ { \prime } ( x ) = \sin ^ { \prime } ( x ) = \cos ( x )$$

$$g ^ { \prime } ( x ) = \cos ^ { \prime } ( x ) = - \sin ( x )$$

اکنون، توابع و مشتق‌ها را درون فرمول مشتق تقسیم جایگذاری می‌کنیم:

$$\frac { d } { d x }\left ( \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ) = \frac { f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) – g ^ { \prime } ( x ) f ( x ) }{ g ( x ) ^ ۲ }$$

$$\frac { d } { d x }\left ( \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right ) = \frac { \cos ( x ) \cos ( x ) – ( - \sin ( x ) \sin ( x ) )}{ \cos ^ ۲( x ) }$$

$$\frac { d } { d x }\left ( \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right ) = \frac { \cos ^ ۲ ( x ) + \sin ^ ۲ ( x ) }{ \cos ^ ۲ ( x ) }$$

با توجه به قوانین مثلثات، می‌دانیم:

$$\cos ^ ۲ ( x ) + \sin ^ ۲ ( x ) = ۱$$

$$\sec ( x ) = \frac { ۱ } { \cos ( x ) }$$

بنابراین:

$$\frac { d } { d x }\left ( \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right ) = \frac { ۱ }{ \cos ^ ۲ ( x ) }$$

$$\frac { d } { d x }\left ( \frac { \sin ( x ) } { \cos ( x ) } \right ) = \sec ^ ۲ ( x )$$

در نتیجه:

$$\frac { d } { d x } \tan ( x ) = \sec ^ ۲ ( x )$$

به این ترتیب و با استفاده از قانون مشتق در تقسیم توابع اثبات کردیم که مشتق تانژانت برابر با مربع سکانت است.

مشتق تقسیم توابع معکوس

توابع معکوس یا وارون، توابعی هستند که عملکرد آن‌ها در گرفتن ورودی و خروجی، عکس توابع معمولی است. به عبارت دیگر، این توابع با گرفتن مقادیر خروجی، مقادیر ورودی را مشخص می‌کنند. اگر دو تابع $$f ( x )$$ و $$g ( x )$$ معکوس یکدیگر باشند، مشتق آن‌ها از رابطه  زیر به دست می‌آید:

$$\large g’ \left ( x \right ) = \frac { ۱ } { { f’ \left ( { g \left ( x \right ) } \right ) } }$$

$$\large f’ \left ( x \right ) = \frac { ۱ } { { g’ \left ( { f \left ( x \right ) } \right ) } }$$

مثال ۴: تعیین مشتق از روی تابع معکوس

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$g ( x ) = \frac { x + ۲ } { x }$$

معکوس این تابع عبارت است از:

$$f ( x ) = \frac { ۲ } { x - ۱ }$$

می‌خواهیم مشتق $$g ( x )$$ را از روی تابع معکوس آن مشخص کنیم. به این منظور، ابتدا رابطه مشتق تابع معکوس را می‌نویسیم:

$$\large g’ \left ( x \right ) = \frac { ۱ } { { f’ \left ( { g \left ( x \right ) } \right ) } }$$

بر اساس رابطه بالا، برای به دست آوردن $$g ' ( x )$$، ابتدا باید $$f ' ( g ( x ) )$$ را تعیین کنیم. $$f ( x )$$، یک تابع کسری است. بنابراین، مشتق آن از رابطه زیر دست می‌آید:

$$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ } { x - ۱ } \right )$$

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ } { x - ۱ } \right ) = \frac { ( x - ۱ ) (\frac { d } { d x } ۲ ) - ( ۲ ) \left ( \frac { d }{ d x } ( x -۱ ) \right ) }{ ( x - ۱ ) ^ ۲ }$$

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ } { x - ۱ } \right ) = \frac { ( x - ۱ ) ( ۰ ) - ( ۲ ) \left ( ۱ \right ) }{ ( x - ۱ ) ^ ۲ }$$

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ } { x - ۱ } \right ) = \frac { ۰ - ۲ }{ ( x - ۱ ) ^ ۲ }$$

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { ۲ } { x - ۱ } \right ) = -\frac { ۲ }{ ( x - ۱ ) ^ ۲ }$$

$$f ^ { \prime } ( x ) = -\frac { ۲ }{ ( x - ۱ ) ^ ۲ }$$

به این ترتیب، $$f ^ { \prime } ( g ( x ) )$$ عبارت است از:

$$f ^ { \prime } ( g ( x ) ) = -\frac { ۲ }{ ( g ( x ) - ۱ ) ^ ۲ }$$

$$f ^ { \prime } ( g ( x ) ) = -\frac { ۲ }{ ( \frac { x + ۲ } { x } - ۱ ) ^ ۲ }$$

$$f ^ { \prime } ( g ( x ) ) = - \frac { x ^ ۲ } { ۲ }$$

اکنون، عبارت بالا را درون رابطه مشتق معکوس تابع قرار می‌دهیم:

$$\large g’ \left ( x \right ) = \frac { ۱ } { { f’ \left ( { g \left ( x \right ) } \right ) } }$$

$$\large g’ \left ( x \right ) = \frac { ۱ } { - \frac { x ^ ۲ } { ۲ } }$$

$$\large g’ \left ( x \right ) = - \frac { ۲ } { x ^ ۲ }$$

به این ترتیب، توانستیم مشتق تابع $$g ( x )$$ را با استفاده از تابع معکوس آن به دست بیاوریم. برای اعتبارسنجی این جواب، مشتق $$g ( x )$$ را به روش مستقیم و توسط قاعده خارج قسمت نیز تعیین می‌کنیم. در این روش، داریم:

$$g ( x ) = \frac { x + ۲ } { x }$$

$$g ^ { \prime } ( x ) = \frac { ( x ) ( x + ۲ ) ^ { \prime } - ( x + ۲ ) ( x ) ^ { \prime } } { x ^ ۲ }$$

$$g ^ { \prime } ( x ) = \frac { ( x ) ( ۱ ) - ( x + ۲ ) ( ۱ ) } { x ^ ۲ }$$

$$g ^ { \prime } ( x ) = \frac { x - ( x + ۲ ) } { x ^ ۲ }$$

$$g ^ { \prime } ( x ) = \frac { x - x - ۲ } { x ^ ۲ }$$

$$g ^ { \prime } ( x ) = \frac { - ۲ } { x ^ ۲ }$$

$$g ^ { \prime } ( x ) = - \frac { ۲ } { x ^ ۲ }$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، با استفاده از هر دو روش، به یک خروجی برای مشتق $$g ( x )$$ دست پیدا کردیم.

حل تمرین مشتق تقسیم

به منظور آشنایی بیشتر و بهتر با نحوه محاسبه مشتق تقسیم توابع، در این بخش به حل چندین تمرین می‌‌پردازیم.

فیلم مجموعه آموزش دروس متوسطه دوم و کنکور – درس، تمرین، حل مثال و تست در فرادرس

کلیک کنید

تمرین ۱

مشتق تابع زیر را در نقطه $$x = ۴$$ محاسبه کنید.

$$f ( x ) = \frac { x ^ ۴ + ۳ }{ \sqrt { x + ۵ } }$$

تابع $$f ( x )$$ از تقسیم یک تابع چند جمله‌ای بر یک تابع گنگ تشکیل شده است. برای تعیین مشتق این تابع، می‌توانیم از رابطه زیر (قاعده خارج قسمت) استفاده کنیم:

$$\left ( \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ) ^ { \prime }= \frac { v ( x ) u ^ { \prime } ( x ) – u ( x ) v ^ { \prime } ( x )}{ v ^ ۲ ( x ) }$$

بر اساس فرمول بالا (فرمول مشتق تقسیم)، صورت و مخرج تابع کسری به صورت دو تابع مجزا در نظر گرفته می‌شوند که باید مشتق هر یک از آن‌ها را نیز به دست بیاوریم. به این ترتیب، داریم:

$$u ( x ) = x ^ ۴ + ۳$$

$$u ^ { \prime } ( x ) = ۴ x ^ ۳$$

$$v ( x ) = \sqrt { x + ۵ }$$

$$v ^ { \prime } ( x ) = \frac { ۱ } { ۲ \sqrt { x + ۵ } }$$

پارامترهای بالا را درون فرمول جایگذاری می‌کنیم:

$$\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { (\sqrt { x + ۵ }) ( ۴ x ^ ۳ ) – ( x ^ ۴ + ۳ ) (\frac { ۱ } { ۲ \sqrt { x + ۵ }}) }{ \left ( \sqrt { x + ۵ } \right ) ^ ۲ }$$

$$\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { ۴ x ^ ۳ \sqrt { x + ۵ } – \frac { x ^ ۴ } { ۲ \sqrt { x + ۵ }} - \frac { ۳ } { ۲ \sqrt { x + ۵ }} }{ x + ۵ }$$

از عبارت‌های موجود در صورت کسر، مخرج مشترک می‌گیریم:

$$\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { \frac { ۸ x ^ ۳ ( x + ۵ ) - x ^ ۴ - ۳ } { ۲ \sqrt { x + ۵ }} }{ x + ۵ }$$

$$\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { \frac { ۸ x ^ ۴ + ۴۰ x ^ ۳ - x ^ ۴ - ۳ } { ۲ \sqrt { x + ۵ }} }{ x + ۵ }$$

$$\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { \frac { ۷ x ^ ۴ + ۴۰ x ^ ۳ - ۳ } { ۲ \sqrt { x + ۵ }} }{ x + ۵ }$$

با استفاده از روش دور در دور نزدیک در نزدیک، کسر بالا را ساده می‌کنیم:

$$\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { ۷ x ^ ۴ + ۴۰ x ^ ۳ - ۳ }{ ۲ (x + ۵ ) ^ { \frac { ۳ } { ۲ }}}$$

اکنون، برای پاسخگویی به سوال، عدد ۴ را به جای x‌ در رابطه بالا قرار می‌دهیم:

$$\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { ( ۷ \times ۴ ^ ۴ ) + ( ۴۰ \times ۴ ^ ۳ ) - ۳ }{ ۲ (۴ + ۵ ) ^ { \frac { ۳ } { ۲ }}}$$

$$\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { ( ۱۷۹۲ ) + ( ۲۵۶۰ ) - ۳ }{ ۲ \times ۲۷ }$$

$$\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = \frac { ۴۳۴۹ }{ ۵۴ }$$

$$\left ( \frac { x ^ ۴ + ۳ } { \sqrt { x + ۵ } } \right ) ^ { \prime } = ۸۰/۵۳$$

تمرین ۲

مشتق سینوس برابر با کسینوس است. با دانستن این موضوع، مشتق کسکانت را به دست بیاورید.

کسکانت یک زاویه، از تقسیم عدد ۱ بر سینوس آن زاویه به دست می‌آید. رابطه بین سینوس و کسکانت بر حسب متغیری مانند x به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\csc ( x ) = \frac { ۱ } { \sin ( x ) }$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، امکان نوشتن کسکانت به صورت یک تابع کسری وجود دارد. بنابراین می‌توانیم مشتق این تابع مثلثاتی را با استفاده از قانون مشتق تقسیم به دست بیاوریم. به این منظور، رابطه مربوط به قاعده خارج قسمت را می‌نویسیم:

$$\left ( \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ) ^ { \prime }= \frac { v ( x ) u ^ { \prime } ( x ) – u ( x ) v ^ { \prime } ( x )}{ v ^ ۲ ( x ) }$$

صورت کسر معرف کانت برابر با ۱ و مخرج آن برابر با سینوس است. از این‌رو، تغییر متغیر زیر می‌تواند به ما در محاسبه مشتق سکانت کمک کند:

$$u ( x ) = ۱$$

$$v ( x ) = \sin ( x )$$

با توجه به فرمول مشتق تقسیم، باید از توابع بالا مشتق بگیریم. حاصل این مشتق‌ها عبارت هستند از:

$$u ^ { \prime } ( x ) = ۰$$

$$v ^ { \prime } ( x ) = \cos ( x )$$

اکنون، عبارت‌های بالا را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$\left ( \frac { ۱ } { \sin ( x ) } \right ) ^ { \prime }= \frac { \sin ( x ) \times ۰ – ۱ \times \cos ( x ) }{ \sin ^ ۲ ( x ) }$$

$$\left ( \frac { ۱ } { \sin ( x ) } \right ) ^ { \prime }= \frac { ۰ – \cos ( x ) }{ \sin ^ ۲ ( x ) }$$

$$\left ( \frac { ۱ } { \sin ( x ) } \right ) ^ { \prime }= \frac { \cos ( x ) }{ \sin ^ ۲ ( x ) }$$

$$\sec ^ { \prime } ( x )= \frac { \cos ( x ) }{ \sin ^ ۲ ( x ) }$$

به این ترتیب، مشتق سکانت را توسط قاعده مشتق گیری از تقسیم به دست آوردیم. البته جواب مشتق بالا معمولا ساده‌سازی شده و به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\sec ^ { \prime } ( x )= \frac { ۱ }{ \sin ( x ) } \cdot \frac { \cos ( x ) }{ \sin ( x ) }$$

$$\sec ^ { \prime } ( x )= \sec ( x ) \cdot \tan ( x )$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، سکانت در مشتق خودش ظاهر می‌شود. این ویژگی، یکی از نکات مورد استفاده برای تعیین انتگرال سکانت است.

تمرین ۳

مشتق $$f ( x ) = \frac { e ^ x } { x ^ ۲ }$$ را به دست بیاورید.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

برای حل این تمرین، ابتدا صورت و مخرج کسر تابع $$f ( x )$$ را به طور مجزا مورد بررسی قرار می‌دهیم. صورت کسر، یک تابع نمایی ($$e ^ x$$) است. مشتق تابع نمایی $$e ^ x$$، برابر با خودش می‌شود. به عبارت دیگر:

$$\frac { d } { d x } e ^ x = e ^ x$$

مخرج کسر، یک تابع توانی درجه دو است. مشتق این تابع از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$\frac { d } { d x } x ^ n = n x ^ { x - ۱ }$$

با دانستن این نکات، به سراغ مشتق‌گیری از $$f ( x )$$ می‌رویم. می‌دانیم:

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { u ( x ) } { v ( x ) } \right ) = \frac { v ( x ) u ^ { \prime } ( x ) – u ( x ) v ^ { \prime } ( x )}{ v ^ ۲ ( x ) }$$

صورت کسر را برابر با $$u ( x )$$ و مخرج را برابر با $$v ( x )$$ قرار می‌دهیم و از هر کدام مشتق می‌گیریم:

$$u ( x ) = e ^ x$$

$$v ( x ) = x ^ ۲$$

$$u ^ { \prime } ( x ) = e ^ x$$

$$v ^ { \prime } ( x ) = ۲ x$$

عبارت‌های به دست آمده را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { e ^ x } { x ^ ۲ } \right ) = \frac { x ^ ۲ e ^ x – e ^ x ۲ x }{ ( x ^ ۲ ) ^ ۲ }$$

$$\frac { d } { d x } \left ( \frac { e ^ x } { x ^ ۲ } \right ) = \frac { x ^ ۲ e ^ x – ۲ x e ^ x }{ x ^ ۴ }$$

تمرین ۴

مشتق $$\frac { x e ^ { ۲x } } { \cot ( x ) }$$ را تعیین کنید.

$$\frac { x e ^ ۲x } { sin ( x ) }$$، یک عبارت کسری است که صورت آن از ضرب دو تابع $$x$$ و $$e ^ { ۲ x }$$ تشکیل می‌شود. در مخرج این کسر، تابع مثلثاتی $$\cot ( x )$$ قرار دارد. صورت کسر را برابر با $$f ( x )$$ و مخرج را برابر با $$g ( x )$$ قرار می‌دهیم:

$$f ( x ) = x e ^ { ۲ x }$$

$$g ( x ) = \cot ( x )$$

$$f ^ { \prime } ( x )$$، با استفاده از قاعده مشتق ضرب دو تابع به دست می‌آید. این قاعده به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$( u \cdot v ) ^ { \prime } = u ^ { \prime } \cdot v + u \cdot v ^ { \prime }$$

اگر $$x$$ را برابر با $$u$$‌ و $$e ^ { ۲ x }$$‌ را برابر با $$v$$‌ قرار دهیم، خواهیم داشت:

$$u = x$$

$$v = e ^ { ۲ x }$$

$$u ^ { \prime } = ۱$$

$$v ^ { \prime } = ۲ e ^ { ۲ x }$$

$$( x \cdot e ^ { ۲ x } ) ^ { \prime } = ( ۱ \times e ^ { ۲ x } ) + ( x \times ۲ e ^ { ۲ x } )$$

$$( x \cdot e ^ { ۲ x } ) ^ { \prime } = e ^ { ۲ x } + ۲ x e ^ { ۲ x }$$

بنابراین:

$$f ^ { \prime } ( x ) = e ^ { ۲ x } + ۲ x e ^ { ۲ x }$$

برای مشتق کتانژانت داریم:

$$g ^ { \prime } ( x ) = \frac { d }{ d x } \cot ( x ) = - \csc ( x )$$

با داشتن $$f ^ { \prime } ( x )$$ و $$g ^ { \prime } ( x )$$ می‌توانیم مشتق تقسیم مورد سوال را توسط رابطه زیر به دست بیاوریم:

$$\frac { d } { d x }\left ( \frac { f ( x ) } { g ( x ) } \right ) = \frac { f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) – g ^ { \prime } ( x ) f ( x ) }{ g ( x ) ^ ۲ }$$

$$\frac { d } { d x }\left ( \frac { x e ^ { ۲x } } { \cot ( x ) } \right ) = \frac { e ^ { ۲ x } \cot ( x ) + ۲ x e ^ { ۲ x }\cot ( x ) + x e ^ { ۲x } \csc ^ ۲ ( x ) }{ \cot ^ ۲ ( x )}$$

تمرین ۵

مشتق تابع $$\frac { \ln ( x ) } { x }$$ را به دست بیاورید.

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

مشتق تابع مورد سوال، به صورت زیر تعیین می‌‌شود:

$$\left ( \frac { \ln ( x ) } { x } \right ) ^ { \prime } = \frac { \frac { d } { d x } \left ( \ln ( x ) \right ) \cdot x - \ln ( x ) \cdot \frac { d } { d x } ( x ) }{ x ^ 2}$$

مشتق تابع لگاریتم طبیعی برابر است با:

$$\frac { d } { d x } \left ( \ln ( x ) \right ) = \frac { 1 } { x }$$

به علاوه:

$$\frac { d } { d x } ( x ) = 1$$

بنابراین:

$$\left ( \frac { \ln ( x ) } { x } \right ) ^ { \prime } = \frac { \frac { 1 } { x } \cdot x - \ln ( x ) }{ x ^ 2}$$

$$\left ( \frac { \ln ( x ) } { x } \right ) ^ { \prime } = \frac { 1 - \ln ( x ) }{ x ^ 2}$$

تمرین ۶

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$f ( x ) = \frac { x + 1 } { x - 1 }$$

مشتق $$f ( f ( x ) )$$ را تعیین کنید.

$$f ( f ( x ) )$$، یک تابع تو در تو است. مشتق این نوع تابع با استفاده از قاعده مشتق زنجیره‌ای به دست می‌آید. این قاعده به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] = f ^ { \prime } [ g ( x ) ] g ^ { \prime } (x )$$

بر اساس رابطه بالا، در این سوال داریم:

$$f ( x ) = f ( x )$$

$$g ( x ) = f ( x )$$

تابع $$f ( x )$$، یک تابع کسری است. به این ترتیب:

$$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { ( x - 1 ) \cdot \frac { d } { d x } ( x + 1 ) - ( x + 1 ) \cdot \frac { d } { d x } ( x - 1 ) }{ ( x - 1 ) ^ 2 }$$

$$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { ( x - 1 ) - ( x + 1 ) }{ ( x - 1 ) ^ 2 }$$

$$f ^ { \prime } ( x ) = \frac { - 2 }{ ( x - 1 ) ^ 2 }$$

$$f ^ { \prime } ( x ) = - \frac { 2 }{ ( x - 1 ) ^ 2 }$$

در این سوال، $$g ( x )$$ همان $$f ( x )$$ است. بنابراین:

$$g ^ { \prime } ( x ) = f ^ { \prime } ( x ) = - \frac { 2 }{ ( x - 1 ) ^ 2 }$$

با جایگذاری $$g ( x)$$ در $$f 6 { \prime } ( x )$$، عبارت $$f ^ { \prime } ( g ( x ) )$$ را به دست می‌آوریم:

$$f ^ { \prime } ( g ( x ) ) = - \frac { 2 }{ ( g ( x ) - 1 ) ^ 2 }$$

$$f ^ { \prime } ( g ( x ) ) = - \frac { 2 }{ ( \frac { x + 1 } { x - 1 } - 1 ) ^ 2 }$$

پارامترهای به دست آمده را درون فرمول مشتق زنجیره‌ای قرار می‌دهیم:

$$\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] = \left ( - \frac { 2 }{ ( \frac { x + 1 } { x - 1 } - 1 ) ^ 2 } \right ) \cdot \left ( - \frac { 2 }{ ( x - 1 ) ^ 2 } \right )$$

$$\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] = \frac { 4 }{ ( \frac { x + 1 } { x - 1 } - \frac { x - 1}{ x - 1} ) ^ 2 \cdot ( x - 1 ) ^ 2 }$$

$$\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] = \frac { 4 }{ ( \frac { x + 1 - x + 1} { x - 1} ) ^ 2 \cdot ( x - 1 ) ^ 2 }$$

$$\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] = \frac { 4 }{ ( \frac { 2 } { x - 1} ) ^ 2 \cdot ( x - 1 ) ^ 2 }$$

$$\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] = \frac { 4 }{ \frac { 4 } { ( x - 1 ) ^ 2 } \cdot ( x - 1 ) ^ 2 }$$

$$\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] = \frac { 4 }{ 4 }$$

$$\frac { d } { d x } f [ g ( x ) ] = 1$$

مشتق $$f ( f ( x ) )$$ برابر با عدد ثابت 1 است. 

اثبات قانون تقسیم در مشتق گیری

مفهوم مشتق، با حد و پیوستگی ارتباط مستقیم دارد. بر اساس این مفهوم، مشتق یک تابع از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { f ( x + h ) - f ( x ) }{ h }$$

فیلم مجموعه آموزش دروس متوسطه دوم و کنکور – درس، تمرین، حل مثال و تست در فرادرس

کلیک کنید

اگر تابع $$f$$، برابر با تقسیم دو تابع نظیر $$u$$ و $$v$$ باشد، حد بالا به صورت زیر بازنویسی می‌شود:

$$\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { \left ( \frac { u }{ v } \right ) ( x + h ) - \left ( \frac { u }{ v } \right ) ( x ) }{ h }$$

$$\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { \frac { u ( x + h ) }{ v ( x + h ) } - \frac { u ( x ) }{ v ( x ) } }{ h }$$

از کسرهای صورت، مخرج مشترک می‌گیریم:

$$\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { \frac { u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x + h ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } }{ h }$$

$$\frac { ۱ } { h }$$ را به صورت ضریب از کسر جدا می‌کنیم:

$$\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۱ }{ h } \left ( \frac { u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x + h ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right )$$

برای فراهم کردن امکان ساده‌سازی کسر، عبارت $$u ( x ) \cdot v ( x )$$ را به صورت اضافه کرده و سپس همان عیارت را از صورت کم می‌کنیم:

$$\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۱ }{ h } \left ( \frac { u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x + h ) + u ( x ) \cdot v ( x ) - u ( x ) \cdot v ( x ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right )$$

اکنون، حد بالا را به صورت مجموع دو حد زیر می‌نویسیم:

$$\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۱ }{ h } \left ( \frac { u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) \cdot v ( x ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right ) - \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۱ }{ h } \left ( \frac { u ( x ) v ( x + h ) - u ( x ) \cdot v ( x ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right )$$

در حد اول از $$v ( x )$$ و در حد دوم از $$u ( x )$$ فاکتور می‌گیریم:

$$\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۱ }{ h } \left ( \frac { v ( x ) ( u ( x + h ) - u ( x ) ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right ) - \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۱ }{ h } \left ( \frac { u ( x ) ( v ( x + h ) - v ( x ) ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right )$$

در حد اول، $$v ( x )$$ را از صورت و مخرج می‌زنیم:

$$\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۱ }{ h } \left ( \frac { u ( x + h ) - u ( x ) }{ v ( x + h ) } \right ) - \lim _ { h \to ۰ } \frac { ۱ }{ h } \left ( \frac { u ( x ) ( v ( x + h ) - v ( x ) ) }{ v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right )$$

اکنون، $$h$$ را به مخرج کسرها بازمی‌گردانیم:

$$\left ( \frac { u }{ v } \right ) ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \to ۰ } \left ( \frac { u ( x + h ) - u ( x ) }{ h \cdot v ( x + h ) } \right ) - \lim _ { h \to ۰ } \left ( \frac { u ( x ) ( v ( x + h ) - v ( x ) ) }{ h \cdot v ( x + h ) \cdot v ( x ) } \right )$$