فرمول های فیزیک دوازدهم در یک نگاه

۱۸۶۵ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۰ بهمن ۱۴۰۳
زمان مطالعه: ۴۲ دقیقه
دانلود PDF مقاله
فرمول های فیزیک دوازدهم در یک نگاهفرمول های فیزیک دوازدهم در یک نگاه

آشنایی و درک فرمول های فیزیک دوازدهم از اهمیت بسزایی برخوردار است. فیزیک دوازدهم یا فیزیک سه در سال سوم متوسطه یا مقطع دوازدهم برای رشته‌های ریاضی‌فیزیک و علو‌م‌تجربی تدریس می‌شود. فیزیک دوازدهم در رشته ریاضی‌فیزیک از شش فصل و در رشته علوم‌تجربی از چهار فصل تشکیل شده است. مبحث‌های حرکت‌ بر خط راست و دینامیک و حرکت دایره‌ای در فصل‌های اول و دومِ فیزیک دوازدهم رشته ریاضی‌فیزیک تدریس می‌شوند. این دو فصل، مشابه دو فصل اول فیزیک دوازدهم در رشته تجربی هستند، با این تفاوت که حرکت دایره‌ای در رشته تجربی تدریس نمی‌شود. نوسان و موج و برهم‌کنش‌های امواج در فصل سوم و چهارم از فیزیک سه، رشته ریاضی‌فیزیک تدریس می‌شوند. اما این دو فصل، در رشته تجربی به صورت خلاصه‌تر و در یک فصل آموزش داده می‌شود. فصل‌های ۵ و ۶ فیزیک دوازدهم، رشته ریاضی‌فیزیک، مبحث‌های فیزیک اتمی و فیزیک هسته‌ای را توضیح می‌دهند. این دو فصل نیز برای رشته علوم‌تجربی مشابه فصل‌های ۳ و ۴، در یک فصل و به صورت خلا‌صه‌تر توضیح داده شده‌اند.

فهرست مطالب این نوشته
997696

حل مسئله و درک فرمول های فیزیک دوازدهم برای موفقیت در آزمون نهایی فیزیک و کنکور، بسیار مهم و ضروری است. در این مطلب از مجله فرادرس، فرمول‌ های فیزیک دوازدهم را به صورت خلاصه همراه با حل مثال توضیح می‌دهیم. برای هر فصل، ابتدا فرمول‌ها به صورت خلاصه در جدول نوشته شده‌اند، سپس توضیح کوتاهی همراه با حل چند مثال برای هر فرمول آورده شده است.

فرمول های فیزیک دوازدهم فصل اول

فرمول‌ های فیزیک دوازدهم فصل اول در فهرست زیر به صورت خلاصه نوشته شده‌اند:

  • تندی متوسط با رابطه sav=s=lts_{ av } = \overline{ s } = \frac { l } {\triangle t } مشخص می‌شود.
  • سرعت متوسط با استفاده از رابطه vav=dt\overline{ v } _ { av } = \frac { \overrightarrow{ d } } {\triangle t } به‌دست می‌آید.
  • شتاب متوسط را می‌توانیم با استفاده از رابطه aav=v2v1t2t1=vt\overline{ a } _ { av } = \frac { \overrightarrow{v_2} - \overrightarrow{ v _ 1 } } { t _ 2 - t _ 1 } = \frac { \triangle \overrightarrow{ v } } {\triangle t } به‌دست آوریم
  • معادله مکان زمان در حرکت با سرعت ثابت با رابطه x=vt+x0x = vt + x_0 مشخص می‌شود.
  • معادله سرعت زمان در حرکت با شتاب ثابت به صورت v=at+v0v = at + v_0 نوشته می‌شود.
  • معادله سرعت متوسط در حرکت با شتاب ثابت با رابطه vav=v+v02v_ { av } = \frac { v + v_ 0 } { 2 } مشخص می‌شود.
  • معادله مکان زمان در حرکت با شتاب ثابت به صورت x=12at2+v0t+x0x = \frac { 1 } { 2 } a t ^ 2 + v_ 0 t + x_ 0 نوشته می‌شود.
  • معادله سرعت جابجایی در حرکت با شتاب ثابت با رابطه v2=v02+2axv ^ 2 = v_ 0 ^ 2 + 2 a \triangle x نوشته می‌شود.
  • اگر جسمی بدون سرعت اولیه از ارتفاع مشخصی سقوط کند، معادلات حرکت آن به صورت زیر نوشته می‌شوند:
    • v=gtv = - g t
    • y= 12gt2+y0y = - \ \frac { 1 } { 2 } g t ^ 2 + y _ 0
    • v2= 2g(yy0)v ^ 2 = - \ 2 g ( y - y _ 0 )

در ادامه، فرمول های فیزیک دوازدهم فصل اول را با حل مثال به صورت خلاصه توضیح می‌دهیم.

تندی متوسط و سرعت متوسط

برای آشنایی با سرعت متوسط و تندی متوسط باید با برخی مفاهیم آشنا باشیم.

  • مسافت طی شده: به کل مسیر طی شده توسط جسم، مسافت گفته می‌شود. مسافت کمیتی نرده‌ای است و تنها اندازه دارد.
  • جابجایی: به کوتاه‌ترین مسافت بین نقطه ابتدا و انتهای مسیر، جابجایی می‌گوییم. جابجایی، کمیتی برداری است و تنها به نقاط ابتدا و انتهای مسیر بستگی دارد.
  • زمان سپری شده: به هنگام محاسبه تندی متوسط و سرعت متوسط باید مدت زمان صرف شده برای مسافت و جابجایی را داشته باشیم.
دانش آموزی در کلاس فیزیک

به نسبت مسافت طی شده به مدت زمان صرف شده برای طی کردن آن، تندی متوسط گفته می‌شود.

sav=s=lts_{ av } = \overline{ s } = \frac { l } {\triangle t }

سرعت متوسط نیز از تقسیم جابجایی بر مدت زمان لازم برای انجام جابجایی به‌دست می‌آید:

vav=dt\overline{ v } _ { av } = \frac { \overrightarrow{ d } } {\triangle t }

یکای اندازه‌گیری سرعت و تندی متوسط در سیستم SI برابر متر بر ثانیه (ms\frac { m } { s }) است، اما آن‌ها را برحسب کمیت‌های دیگری مانند کیلومتر بر ساعت (kmh\frac { km } { h }) نیز می‌توان بیان کرد. انتخاب یکای مناسب به صورتِ مسئله و واحدهای مسافت، جابجایی و زمان بستگی دارد.

نکته ۱: تندی و سرعت دو کمیت متفاوت هستند. تندی کمیتی نرده‌ای، اما سرعت کمیتی برداری و به جهت حرکت جسم وابسته است.

نکته ۲: اگر جهت حرکت جسم در بازه زمانی t\triangle t تغییر نکند، مقدارهای تندی متوسط و سرعت متوسط با یکدیگر برابر هستند. اما اگر جهت حرکت جسم تغییر کند، مقدار تندی متوسط بزرگ‌تر از سرعت متوسط خواهد بود.

نمودار مکان زمان

برای توصیف حرکت جسم می‌توانیم از نموداری به نام نمودار مکان زمان استفاده کنیم. محور عمودی موقعیت مکانی جسم نسبت به مبدا مکان و محور افقی زمان را نشان می‌دهد.

اتومبیلی را در نظر بگیرید که با سرعت مثبت و ثابت (+ 10 ms+ \ 10 \ \frac { m } { s }) روی خطی مستقیم به صورت نشان داده شده در تصویر زیر حرکت می‌کند.

اتومبیلی با سرعت ثابت و مثبت به سمت راست حرکت می کند.

با داشتن مکان و زمان حرکت اتومبیل، نمودار مکان زمان آن را به صورت نشان داده شده در تصویر زیر رسم می‌کنیم. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، نمودار مکان زمان برای حرکت با سرعت ثابت، خطی مستقیم با شیب ثابت است.

نمودار مکان زمان برای حرکت با سرعت ثابت و مثبت

در ادامه، اتومبیلی را در نظر بگیرید که با سرعت مثبت و متغیر، روی خطی مستقیم به صورت نشان داده شده در تصویر زیر حرکت می‌کند.

اتومبیلی با سرعت متغیر و مثبت به سمت راست حرکت می کند.

با داشتن مکان و زمان حرکت اتومبیل، نمودار مکان زمان آن را به صورت نشان داده شده در تصویر زیر رسم می‌کنیم. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، نمودار مکان زمان برای حرکت با سرعت متغیر، منحنی با شیب متغیر است.

نمودار مکان زمان برای حرکت با سرعت متغیر و مثبت

با توجه به توضیحات بالا، شیب خط مماس بر نمودار مکان زمان، بیان‌گر سرعت حرکت جسم است. بنابراین، مقدار شیبِ خط مماس بر نمودار مکان زمان در هر لحظه از زمان، سرعت جسم را در آن لحظه به ما می‌دهد. با توجه به نمودارهای مکان زمان برای حرکت با سرعت ثابت و متغیر، شیب نمودار مکان زمان می‌تواند ثابت یا متغیر باشد. مقدار این شیب، سرعت حرکت جسم را در هر لحظه از زمان به ما می‌دهد. اگر نمودار، منحنی باشد، از انحنای آن نیز می‌توانیم برای توصیف حرکت استفاده کنیم. در نمودارهایی به شکل منحنی، شیب خط مماس بر منحنی، ثابت نیست و از نقطه‌ای به نقطه دیگر، تغییر می‌کند. شیبِ متغیر به معنای تغییرات سرعت و حرکت شتابدار است. در نتیجه، انحنا در نمودار مکان زمان، حرکت شتاب‌دار را نشان می‌دهد. هرچه شیبِ نمودار مکان زمان در نقطه‌ای مشخص بیشتر باشد، سرعت حرکت در آن نقطه نیز بزرگ‌تر خواهد بود.

نمودار سرعت زمان

در ادامه، نمودار سرعت زمان اجسام مختلف و نوع حرکت هریک از آن‌ها را با یکدیگر مقایسه می‌کنیم. علاوه بر نمودار مکان زمان، نمودار دیگری نیز به نام نمودار سرعت زمان وجود دارد. همان‌طور که می‌دانیم جسم می‌تواند به دو صورت حرکت کند، حرکت یکنواخت با سرعت ثابت و حرکت غیریکنواخت با سرعت متغیر. در حرکت یکنواخت با سرعت ثابت، مسافت طی شده توسط جسم در بازه‌های زمانی یکسان، برابر است و سرعت آن با گذشت زمان تغییر نمی‌کند. بنابراین، نمودار سرعت زمان در حرکت یکنواخت، خطی افقی و موازی محور زمان است.

نمودار سرعت زمان در حرکت یکنواخت

در حرکت یکنواخت با سرعت ثابت، شتاب حرکت برابر صفر است. شیب خط افقی در نمودار بالا چه مقدار است؟ صفر، بنابراین شیبِ نمودار سرعت زمان به ما شتاب را می‌دهد. اکنون جسمی را در نظر بگیرید که روی خط راست و با سرعت متغیر و افزایشی به سمت راست حرکت می‌کند. این بدان معنا است که جسم در فاصله‌‌های زمانی برابر، مسافت یکسانی را طی نمی‌کند. شتاب جسم در حرکت غیریکنواخت می‌تواند ثابت یا متغیر باشد. فرض کنید جسمی با سرعت افزایشی و شتاب ثابت به سمت راست حرکت می‌کند. نمودار سرعت زمان آن به صورت نشان داده شده در تصویر زیر است.

نمودار سرعت زمان در حرکت غیریکنواخت با شتاب ثابت

بنابراین، نمودار سرعت زمان در حرکت غیریکنواخت با شتاب ثابت، خطی مستقیم با شیبِ مشخص است. اگر شیب خط مثبت باشد، جسم با شتاب مثبت و اگر شیب خط منفی باشد، جسم با شیب منفی حرکت می‌کند. فراموش نکنید که شتاب، کمیتی برداری است و اندازه و جهت دارد. توجه به این نکته مهم است که در حرکت غیریکنواخت با شتاب ثابت، مقدار شتاب لحظه‌ای و متوسط با یکدیگر برابر هستند. شتاب لحظه‌ای به ما شتاب حرکت در هر لحظه از زمان، اما شتاب متوسط، مقدار متوسط شتاب را در بازه زمانی مشخص به ما می‌دهد. حال، فرض کنید جسم با شتاب متغیر حرکت می‌کند. در این حالت، نمودار سرعت زمان، خطی مستقیم با شیب ثابت نیست، بلکه با توجه به تغییرات شتاب می‌تواند منحنی به شکل‌های مختلف باشد.

فرض کنید نمودار سرعت زمان، جسمی که با شتاب متغیر حرکت می‌کند به صورت نشان داده شده در تصویر زیر است. شیبِ خط مماس بر نمودار در هر زمان روی نمودار، شتاب حرکت جسم را در آن زمان به ما می‌دهد.

نمودار سرعت زمان در حرکت غیریکنواخت با شتاب ثابت

نکته: مساحت زیر نمودار سرعت زمان به ما جابجایی جسم را می‌دهد.

نمودار شتاب زمان

نمودار شتاب زمان در حرکت غیریکنواخت با شتاب ثابت، خطی افقی، موازی محور زمان است. شیب این نمودار به ما کمیتی به نام «جهش» (Jerk) را می‌دهد. به تغییرات شتاب نسبت به زمان، جهش گفته می‌شود. در حرکت غیریکنواخت با شتاب ثابت، مقدار جهش برابر صفر است. نمودار شتاب زمان در حرکت با شتاب ثابت به صورت نشان داده شده در تصویر زیر است. در فیزیک دوازدهم، در مورد حرکت غیریکنواخت با شتاب متغیر توضیحی داده نشده است. بنابراین، در این مطلب در این مورد توضیحی نمی‌دهیم و تمرکز اصلی را روی حرکت با سرعت ثابت و شتاب ثابت می‌گذاریم.

نمودار شتاب زمان در حرکت با شتاب ثابت

نکته: مساحت زیر نمودار شتاب زمان به ما تغییرات سرعت را می‌دهد.

هما‌ن‌طور که در مباحث بالا یاد گرفتیم برای توصیف حرکت جسمی بر خط راست از مفاهیم فیزیکی مانند مسافت، سرعت و شتاب استفاده می‌کنیم. در ادامه، معادلات حرکت یکنواخت و غیریکنواخت را با یکدیگر بررسی می‌کنیم.

معادله حرکت یکنواخت

اگر جسمی با سرعت ثابت vv روی محور xx حرکت کند، معادله مکان برحسب زمان آن به صورت زیر نوشته می‌شود:

x=vt+x0x = vt + x_0

در معادله فوق:

  • t زمان و برحسب ثانیه یا ساعت است.
  • x0x_0 مکان اولیه جسم در زمان صفر است.
  • xx مکان جسم در زمان t است.
  • vv سرعت حرکت جسم است.

اولین معادله حرکت با شتاب یکنواخت

با استفاده از اولین معادله حرکت با شتاب یکنواخت می‌توان سرعت جسم را بعد از گذشت زمان معین به دست آورد.

a=v2v1t2t1a= \frac{v_{2}-v_{1}}{t_{2}-t_{1}}

با استفاده از فرض‌های گفته شده در بخش حرکت یکنواخت،‌ معادله بالا به صورت زیر نوشته خواهد شد.

a=vv0t v=v0+ata= \frac{v-v_{0}}{t} \ \Rightarrow v= v_{0}+at

دومین معادله حرکت با شتاب یکنواخت

مکان جسم پس از گذشت زمان t با استفاده از دومین معادله حرکت با شتاب یکنواخت به دست خواهد آمد. ابتدا فرض‌های زیر را در نظر بگیرید.

t1=0x1=x0v1=v0t2=tx2=xv2=vt_{1}=0 \\ x_{1}=x_{0} \\ v_{1}=v_{0} \\ t_{2}=t \\ x_{2}=x \\ v_{2}=v

دومین معادله حرکت با شتاب ثابت

دومین معادله در حرکت با شتاب ثابت به صورت زیر نوشته می‌شود:

x=x0+v0t +12at2x = x_{0}+v_{0}t \ + \frac{1}{2}at^{2}

سومین معادله حرکت با شتاب یکنواخت

اگر مکان، شتاب و سرعت اولیه جسم را داشته باشیم، از معادله زیر برای توصیف حرکت جسم استفاده می‌کنیم:

xx0=12(v+v0)tx-x_{0}= \frac{1}{2}(v+v_{0}) t

همچنین از اولین معادله حرکت با شتاب ثابت داریم:

t=vv0at=\frac{v-v_{0}}{a}

با جایگزین کردن معادله فوق در معادله مکان خواهیم داشت.

x x0=12(v+v0)(vv0a)2a(x x0)=v2v02v2=v02+2a(x x0)x\ - x_{0} = \frac{1}{2} (v+v_{0})(\frac{v-v_{0}}{a}) \\ \Rightarrow 2a(x\ - x_{0}) = v^{2}-v_0^2 \\ \Rightarrow v^{2} = v_0^2 +2a(x\ - x_{0})

در نتیجه سه معادله به دست آمده برای حرکت با شتاب ثابت به صورت زیر نوشته می‌شوند.

v=v0+atx=x0+v0t+12at2v2=v02+2a(xx0)v = v_{0}+ at \\ x = x_{0} + v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2} \\ v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0)

سقوط آزاد

تا اینجا در مورد حرکت جسم بر خط راست در راستای محور xx صحبت کردیم. جسم می‌تواند در راستای محور عمودی، y، نیز حرکت کند. هنگامی‌که توپی را به سمت پایین رها می‌کنیم یا سنگی را به سمت بالا می‌اندازیم، حرکت جسم در راستای محور عمودی است. توپ، پس از رها شدن به سمت زمین حرکت می‌کند. همچنین، سنگ نیز پس از پرتاب شدن به سمت بالا، تا ارتفاع مشخصی بالا می‌رود و پس از توقف کامل و تغییر مسیر به سمت زمین برمی‌گردد. آیا می‌دانید چه عاملی توپ و سنگ را به سمت زمین برمی‌گرداند؟ پاسخ نیروی جاذبه زمین است. نیروی جاذبه در جهت عمود بر اجسام وارد می‌شود. در حرکتِ سقوط آزاد باید به چند نکته توجه داشته باشیم:

  • سقوط آزاد جسم به سمت زمین را حرکت با شتاب ثابت در نظر می‌گیریم.
  • در غیاب مقاومت هوا، همه اجسام با هر اندازه و وزنی با شتاب یکسانی سقوط خواهند کرد. در بیشتر مسائل مربوط به سقوط آزاد از مقاومت هوا چشم‌پوشی می‌شود.
  • شتاب جاذبه با ارتفاع تغییر می‌کند. اما در فاصله‌های بسیار کوچک‌تر از شعاع زمین، مقدار آن را ثابت در نظر می‌گیریم.
شخصی توپ کوچکی را رها می کند.

شتاب جاذبه زمین با g نشان داده می‌شود و مقدار آن برابر ۹/۸ متر بر مجذور ثانیه است. در بیشتر مسائل مربوط به سقوط آزاد، مقدار g را ۱۰ در نظر می‌گیریم. جهت g نیز همواره به سمت مرکز زمین است. اگر جسمی از ارتفاع مشخصی رها شود، معادلات حرکت آن به صورت زیر نوشته می‌شوند:

v=gty= 12gt2+y0v2= 2g(yy0)v = -gt \\ y = - \ \frac { 1 } { 2 } g t ^ 2 + y _ 0 \\ v ^ 2 = - \ 2 g ( y - y _ 0 )

سه معادله فوق مشابه معادلات حرکت با شتاب ثابت بر خط راست در راستای محور xx هستند، با این تفاوت که اندازه a در حرکت با سقوط آزاد همواره برابر g و جهت آن به سمت مرکز زمین است. همچنین، به این نکته توجه داشته باشید که عبارت «رها شدن» در سقوط آزاد به معنای صفر بودن سرعت اولیه جسم خواهد بود.

تا اینجا با انواع نمودارهای حرکت و معادلات حرکت با سرعت ثابت و حرکت با شتاب ثابت آشنا شدیم. در ادامه، با ترکیب نمودارها و معادلاتِ حرکت، مثال‌هایی را با یکدیگر حل می‌کنیم.

حل مثال های کاربردی فرمول های فیزیک دوازدهم فصل اول

پس از آشنایی با مفاهیم اصلی و فرمول های فیزیک دوازدهم فصل اول، در این بخش مثال‌های متنوعی را با یکدیگر حل می‌کنیم.

مثال اول 

نمودار مکان زمان دو جسم A و B به صورت زیر داده شده‌اند. حرکت این دو جسم را با یکدیگر مقایسه کنید.

نمودار مکان زمان برای دو جسم A و B

پاسخ

با توجه به توضیحات ارائه شده، شیب نمودار مکان زمان، برابر سرعت حرکت جسم است. نمودارهای مکان زمان دو جسم A و B دو خط مستقیم با شیب ثابت و مثبت هستند. در نتیجه، هر دو جسم با سرعت‌های مثبت و ثابت حرکت می‌کنند. اما شیب خط B بزرگ‌تر از شیب خط A است، بنابراین جسم B با سرعت بیشتری نسبت به جسم A حرکت می‌کند. به این نکته توجه داشته باشید که در حل مسائل مربوط به حرکت روی خط راست، جهتی را (به طور معمول جهت راست یا بالا) به عنوان جهت مثبت انتخاب می‌کنیم. اگر جسم در جهت مثبت حرکت کند، سرعت آن مثبت، در غیر این صورت، سرعت آن منفی است.

مثال دوم 

نمودار مکان زمان دو جسم A و B به صورت زیر داده شده‌اند. حرکت این دو جسم را با یکدیگر مقایسه کنید.

نمودار مکان زمان برای دو جسم A و B

پاسخ

شیب نمودار مکان زمان، برابر سرعت حرکت جسم است. نمودارهای مکان زمان دو جسم A و B دو خط مستقیم با شیب ثابت و منفی هستند. از این‌رو، دو جسم با سرعت‌های منفی و ثابت حرکت می‌کنند. اما شیب خط B بزرگ‌تر از شیب خط A است، بنابراین جسم B با سرعت بیشتری نسبت به جسم A حرکت می‌کند. سرعتِ منفی به معنای حرکت در خلاف جهت مثبت است. به عنوان مثال، اگر جهت راست را به عنوان جهت مثبت انتخاب کنیم، دو جسم به سمت چپ در حال حرکت هستند.

مثال سوم 

نمودار مکان زمان دو جسم A و B به صورت زیر داده شده‌اند. حرکت این دو جسم را با یکدیگر مقایسه کنید.

نمودارهای مکان زمان دو جسم A و B

پاسخ

در مثال‌های اول و دوم، نمودار مکان زمان، خطی مستقیم با شیب ثابت بود، اما در این مثال، نمودار مکان زمان منحنی است. شیب خطِ مماس بر هر یک از این نمودارها از نقطه‌ای به نقطه دیگر تغییر می‌کند. برای آن‌که بدانیم تغییرات سرعت چگونه است، سه نقطه دلخواه را روی نمودار، انتخاب و خط مماس بر آن‌ها را رسم می‌کنیم. با مقایسه تغییرات شیب خط‌های مماس رسم شده، به راحتی می‌توانیم تغییرات سرعت را به‌دست آوریم. برای شروع، مراحل زیر را به ترتیب طی می‌کنیم:

  • انتخاب سه نقطه دلخواه روی مکان زمان جسم A
  • رسم خط مماس بر هر نقطه روی منحنی
  • مقایسه شیب خط‌های مماس
رسم خط مماس بر نمودار مکان زمان جسم A

شیب، خط‌های مماس رسم شده در سه نقطه، منفی و مقدار آن‌ها در جهت منفی افزایش می‌یابد. بنابراین، جسم A در جهت منفی حرکت می‌کند و سرعت آن با گذشت زمان افزایش می‌یابد. برای جسم B نیز همین روش را انتخاب می‌کنیم. سه نقطه روی نمودار مکان زمان این جسم، انتخاب و پس از رسم خط مماس بر هم نقطه، شیبِ آن‌ها را با یکدیگر مقایسه می‌کنیم.

رسم خط مماس بر نمودار مکان زمان جسم B

شیب، خط‌های مماس رسم شده در سه نقطه، منفی و مقدار آن‌ها در جهت منفی کاهش می‌یابد. بنابراین، جسم B در جهت منفی حرکت می‌کند و سرعت آن با گذشت زمان کاهش خواهد یافت.

مثال چهارم

هواپیمایی با سرعت ۱۲۰ کیلومتر بر ساعت از زمین بلند می‌شود. هواپیما قبل از بلند شدن از زمین باید ۲۴۰ متر روی باند فرودگاه حرکت کند. مقدار شتاب حرکت و مقدار زمان لازم برای آن‌که هواپیما از زمین بلند شود را به‌دست آورید.

بلند شدن هواپیما از زمین در غروب آفتاب

پاسخ

در حل مثال‌های مربوط به حرکت با شتاب ثابت، ابتدا معادلات مربوط به این حرکت را می‌نویسیم:

x=x0+v0t+12at2v=v0+atv2=v02+2a(xx0)x = x_ 0 + v_ 0 t + \frac { 1 } { 2 } a t ^ 2 \\ v = v_ 0 + a t \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2 a ( x - x_ 0 )

در حل بیشتر مسائل مربوط به حرکت، مبدا مکان را صفر انتخاب می‌کنیم، مگر آن‌که مبدا مکان در مسئله داده شده باشد. در این مثال نیز مبدا مکان یا نقطه شروع حرکت هواپیما را صفر در نظر می‌گیریم، بنابراین مقدار x0x_ 0 برابر صفر است. از آنجا که یکای اندازه‌گیری سرعت در سیستم SI برابر متر بر ثانیه است، ۱۲۰ کیلومتر بر ساعت را به صورت زیر به متر بر ثانیه تبدیل می‌کنیم:

1 km=1000 m,1 h=3600 s1 \ km = 1000 \ m , \enspace 1 \ h = 3600 \ s

با استفاده از دو رابطه فوق، به راحتی می‌توانیم تندی ۱۲۰ کیلومتر بر ساعت را به متر بر ثانیه تبدیل کنیم:

72 kmh=120× 10003600 ms=120×1036 ms=120×518ms=33.3 ms72 \ \frac { km } { h } = 120 \times \ \frac { { 1000 } } { { 3600 } } \ \frac { m } { s } = 120 \times \frac { 10} { 36 } \ \frac { m } { s } = 120 \times \frac { 5 } { 18 } \frac{ m } { s } = 33.3 \ \frac { m } { s }

هواپیما قبل از بلند شدن، مسافت ۲۴۰ متر را روی باند فرودگاه طی کرده است. همچنین، سرعت اولیه و سرعت هواپیما به هنگام بلند شدن از سطح زمین به ترتیب برابر صفر و ۳۳٫۳ متر بر ثانیه است. از آنجا که زمان حرکت هواپیما داده نشده است، برای یافتن شتاب حرکت باید از معادله مستقل از زمان استفاده کنیم:

v2=v02+2a(xx0)(33.3)2=0+2×240×41108.89=480aa=1108.89480=2.3 ms2v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2 a ( x - x_ 0 ) \\ ( 33.3 ) ^ 2 = 0 + 2 \times 240 \times 4 \\ 1108.89 = 480 a \\ a = \frac { 1108.89 } { 480 } = 2.3 \ \frac { m } { s ^ 2 }

در ادامه، مدت زمان حرکت هواپیما روی باند فرودگاه و قبل از پرواز را به‌دست می‌آوریم. برای انجام این کار باید از معادله‌‌ای استفاده کنیم که برحسب زمان نوشته شده است.

v=at+v033.3=2.3×t+0t=33.32.3=14.5 sv = at + v_ 0 \\ 33.3 = 2.3 \times t + 0 \\ t = \frac { 33.3 } { 2.3 } = 14.5 \ s

مثال پنجم

با توجه به نمودار مکان زمان نشان داده شده در تصویر زیر، سرعت متوسط جسم در طول حرکت چه مقدار است؟ 

نمودار مکان زمان برای محاسبه سرعت متوسط

۰٫۲۵ متر بر ثانیه

۰٫۳۱ متر بر ثانیه

۳٫۲ متر بر ثانیه

۴٫۰۰ متر بر ثانیه

پاسخ تشریحی

نمودار مکان زمان در این مثال، خطی مستقیم با شیب ثابت است. اگر نمودار مکان زمان جسمی خطی مستقیم با شیب ثابت باشد، جسم به صورت یکنواخت با سرعت ثابت روی خط مستقیم حرکت می‌کند. در حرکت یکنواخت با سرعت ثابت، سرعت لحظه‌ای و متوسط با یکدیگر برابر هستند. برای به‌دست آوردن سرعت متوسط از روی نمودار مکان زمان، دو نقطه را روی نمودار انتخاب می‌کنیم و شیب خطِ گذرنده از آن‌ها را به‌دست می‌آوریم:

v=xt=x2x1t2t1=1053010=520v=14=0.25 ms\overline { v } = \frac { \triangle x } {\triangle t } = \frac { x_ 2 - x_ 1 } { t _2 - t_1 } = \frac { 10 - 5 } { 30 - 10 } = \frac { 5 } { 20 } \\ \overline { v } = \frac { 1 } { 4 } = 0.25 \ \frac { m } { s }

مثال ششم

نمودار مکان زمان جسمی به صورت نشان داده شده در تصویر زیر است. سرعت متوسط جسم در بازه زمانی ۱۵ تا ۲۰ ثانیه کدام است؟

نمودار مکان زمان برای محاسبه سرعت متوسط

۱۰۰ متر بر ثانیه

۱۵۰ متر بر ثانیه

۵۰ متر بر ثانیه

۲۰ متر بر ثانیه

پاسخ تشریحی

نمودار مکان زمان در این مثال، منحنی است که شیبِ خط مماس بر آن با گذشت زمان تغییر می‌کند. برای توصیف حرکت جسم، مراحل زیر را به ترتیب طی می‌کنیم:

  • انتحاب سه نقطه دلخواه روی مکان زمان جسم 
  • رسم خط مماس بر هر نقطه روی منحنی
  • مقایسه شیب خط‌های مماس
رسم خط مماس بر نمودار مکان زمان جسم

شیب، خط‌های مماس رسم شده در سه نقطه، مثبت و مقدار آن‌ها در جهت مثبت افزایش می‌یابد. بنابراین، جسم در جهت مثبت حرکت می‌کند و سرعت آن با گذشت زمان افزایش می‌یابد. برای به‌دست آوردن سرعت متوسط بین زمان‌های ۱۵ تا ۲۰ ثانیه، شیب خط گذرنده از دو نقطه (15,1000)(15, 1000) و (20,1500)(20 , 1500) را به‌دست می‌آوریم:

v=xt=x2x1t2t1=150010002015=5005v=100 ms\overline { v } = \frac { \triangle x } {\triangle t } = \frac { x_ 2 - x_ 1 } { t _2 - t_1 } = \frac { 1500 - 1000 } { 20 - 15 } = \frac { 500 } { 5 } \\ \overline { v } = 100 \ \frac { m } { s }

مثال هفتم

نمودار مکان زمان جسمی به صورت نشان داده شده در تصویر زیر است. این جسم در لحظه ۱۰ ثانیه در چه فاصله‌ای از مبدا قرار دارد؟ 

نمودار مکان زمان جسمی که با سرعت ثابت حرکت می کند.

۲۱ متر

۱۱ متر 

۱۴ متر 

۱۵ متر

پاسخ تشریحی

شیب نمودار مکان زمان، برابر سرعت حرکت جسم است. نمودار مکان زمان جسم خطی مستقیم با شیب ثابت و مثبت هستند. در نتیجه، جسم با سرعت‌ مثبت و ثابت حرکت می‌کنند. برای آن‌که بدانیم جسم ۱۲ ثانیه پس از حرکت در چه فاصله از مبدا قرار دارد، باید معادله مکان زمان آن را بنویسیم. معادله مکان زمان جسم در حرکت یکنواخت و با سرعت ثابت به صورت زیر نوشته می‌شود:

x=vt+x0x = v t + x_0

با توجه به نمودار مکان زمان، جسم در زمان صفر در فاصله یک متری از مبدا قرار دارد. بنابراین، مقدار x0x_0 برابر یک متر است. در ادامه، برای نوشتن معادله سرعت حرکت جسم را به‌دست می‌آوریم. از آنجا که جسم با سرعت ثابت حرکت می‌کند، مقدار سرعت متوسط و لحظه‌ای آن با یکدیگر برابر هستند. جسم در آغاز حرکت در یک متری مبدا و ۲ ثانیه پس از شروع حرکت به ۵ متری مبدا می‌رسد. بنابراین، سرعت متوسط آن برابر است با:

v=xt=x2x1t2t1=5120=42v=2 ms\overline { v } = \frac { \triangle x } {\triangle t } = \frac { x_ 2 - x_ 1 } { t _2 - t_1 } = \frac { 5 - 1 } { 2 - 0 } = \frac { 4 } { 2 } \\ \overline { v } = 2 \ \frac { m } { s }

در نتیجه، معادله مکان زمان جسم به صورت زیر نوشته می‌شود:

x=2t+1x = 2 t + 1

۱۰ ثانیه پس از شروع حرکت، جسم در فاصله ۲۱ متری مبدا قرار دارد. 

مثال هشتم

اتومبیلی با سرعت ۳۶ متر بر ثانیه در حال حرکت در اتوبان است. راننده با مشاهده خروجی، سرعت اتومبیل را در مدت زمان ۳ ثانیه به ۱۵ متر بر ثانیه کاهش می‌دهد. جابجایی اتومبیل در این مدت زمان چه مقدار است؟ 

راننده ای در حال رانندگی در اتوبان است.

۸۰ متر 

۷۶٫۵ متر 

۸۶ متر

۹۰ متر

پاسخ تشریحی

در این مثال، سرعت حرکت اتومبیل در مدت ۳ ثانیه از ۳۶ متر بر ثانیه به ۱۵ متر بر ثانیه کاهش یافته است. بنابراین، نوع حرکت، حرکت غیریکنواخت با شتاب ثابت است. در حل مثال‌های مربوط به حرکت با شتاب ثابت، ابتدا معادلات مربوط به این حرکت را می‌نویسیم:

x=x0+v0t+12at2v=v0+atv2=v02+2a(xx0)x = x_ 0 + v_ 0 t + \frac { 1 } { 2 } a t ^ 2 \\ v = v_ 0 + a t \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2 a ( x - x_ 0 )

در حل بیشتر مسائل مربوط به حرکت، مبدا مکان را صفر انتخاب می‌کنیم، مگر آن‌که مبدا مکان در مسئله داده شده باشد. در این مثال نیز مبدا مکان یا نقطه شروع حرکت اتومبیل را صفر در نظر می‌گیریم، همچنین، سرعت اولیه برابر ۳۶ متر بر ثانیه و سرعت نهایی برابر ۱۵ متر بر ثانیه داده شده است. کاهش سرعت در طول زمان به معنای، حرکت شتابدار با شتاب منفی است. برای به‌دست آوردن جابجایی اتومبیل در مدت ۳ ثانیه، ابتدا مقدار شتاب حرکت را به‌دست می‌آوریم:

v=v0+at15=36+3a21=3aa= 7 msv = v_ 0 + a t \\ 15 = 36 + 3 a \\ -21 = 3a \\ a = - \ 7 \ \frac { m } { s }

با داشتن شتاب، به راحتی می‌توانیم جابجایی اتومبیل را به‌دست آوریم:

x=x0+v0t+12at2x=0+36×3+12(7)(3)2x=10831.5=76.5 mx = x_ 0 + v_0 t + \frac { 1 } { 2 } a t ^ 2 \\ x = 0 + 36 \times 3 + \frac { 1 } { 2 } ( -7 ) ( 3 ) ^ 2 \\ x = 108- 31.5 = 76.5 \ m

مثال نهم

راننده اتومبیلی برای فرار از ترافیکِ اتوبان، وارد کندروی ۲۰۰ متری کنار اتوبان می‌شود. او با سرعت ۱۰ متر بر ثانیه وارد کندرو می‌شود و به دلیل نبود ترافیک سرعت خود را با شتاب ۲ متر بر مجذور ثانیه افزایش می‌دهد. راننده در چه مدت زمانی از این کندرو خارج می‌شود؟ 

۲۰ ثانیه

۱۰ ثانیه

۱۵ ثانیه

۵ ثانیه

پاسخ تشریحی

برای حل این مثال، ابتدا آن را به صورت تصویری رسم می‌کنیم. اتومبیل از اتوبان خارج و با سرعت اولیه ۱۰ متر بر ثانیه وارد کندرو می‌شود و با شتاب ۲ متر بر مجذور ثانیه به حرکت خود ادامه می‌دهد. ابتدای کندرو را مبدا مکان، x0x_0، و انتهای آن را xx در نظر می‌گیریم. 

حرکت اتومبیل در کندرو

مقدارهای داده شده در این مثال عبارت هستند از:

  • سرعت اولیه
  • مکان اولیه
  • مکان نهایی
  • شتاب حرکت

با توجه به مقدارهای داده شده باید زمان را به‌دست آوریم. از چه معادله‌ای می‌توانیم استفاده کنیم؟ به معادلات حرکت با شتاب ثابت توجه کنید:

x=x0+v0t+12at2v=v0+atv2=v02+2a(xx0)x = x_ 0 + v_ 0 t + \frac { 1 } { 2 } a t ^ 2 \\ v = v_ 0 + a t \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2 a ( x - x_ 0 )

از آنجا که می‌خواهیم زمان را به‌دست آوریم، از معادله v2=v02+2a(xx0)v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2 a ( x - x_ 0 ) استفاده نمی‌کنیم، زیرا این معادله مستقل از زمان است و مقدار سرعت نهایی را نیز نداریم. از معادله v=v0+atv= v_0 + at نیز به علت نداشتن مقدار سرعت نهایی نمی‌توانیم استفاده کنیم. در نتیجه، از معادله x=x0+v0t+12at2x = x_ 0 + v_ 0 t + \frac { 1 } { 2 } a t ^ 2 برای محاسبه زمان استفاده می‌کنیم:

x=x0+v0t+12at2200=0+10t+12(2)t2200=10t+t2t2+10t200=0x = x_ 0 + v_ 0 t + \frac { 1 } { 2 } a t ^ 2 \\ 200 = 0 + 10 t + \frac { 1 } { 2 } ( 2 ) t ^ 2 \\ 200 = 10t + t ^ 2 \\ t ^ 2 + 10 t -200 = 0

برای محاسبه t باید معادله درجه دوم به‌دست آمده را حل کنیم. برای این کار معادله به‌دست آمده را با استفاده از اتحاد جمله مشترک، تجزیه و ریشه‌ها را به‌دست می‌آوریم:

(t+20)(t10)=0t1=10 st2=20 s( t + 20 ) ( t - 10 ) = 0 \\ t _ 1 = 10 \ s \\ t_ 2 = -20 \ s

از آنجا که زمانِ منفی معنایی ندارد، بنابراین ۲۰- غیرقابل‌قبول است و اتومبیل پس از ۱۰ ثانیه از کندرو خارج می‌شود. 

مثال دهم

فضاپیمایی با خروج از مدار زمین، به سمت ماه شروع به حرکت می‌کند. این فضاپیما با شتاب ۲۰ متر بر مجذور ثانیه در مدت ۲ دقیقه، ۱۰۰۰ کیلومتر جابجا می‌شود. سرعت‌های اولیه و نهایی فضاپیما چه مقدار است؟ 

سرعت اولیه و نهایی به ترتیب برابر ۷۱۳۳/۳ و ۸۵۳۳/۳ متر بر ثانیه است. 

سرعت اولیه و نهایی به ترتیب برابر ۷۱۳۳/۳ و ۹۵۳۳/۳ متر بر ثانیه است. 

سرعت اولیه و نهایی به ترتیب برابر ۶۱۳۳/۳ و ۷۱۳۳/۳ متر بر ثانیه است. 

سرعت اولیه و نهایی به ترتیب برابر ۵۱۳۳/۳ و ۷۵۳۳/۳ متر بر ثانیه است. 

پاسخ تشریحی

در این مثال می‌خواهیم سرعت اولیه و نهایی فضاپیما را پیدا کنیم. بار دیگر به معادلات حرکت با سرعت ثابت نگاه می‌کنیم:

x=x0+v0t+12at2v=v0+atv2=v02+2a(xx0)x = x_ 0 + v_ 0 t + \frac { 1 } { 2 } a t ^ 2 \\ v = v_ 0 + a t \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2 a ( x - x_ 0 )

مقدار x0x_0 برابر صفر و مقدار xx برابر ۱۰۰۰ متر است. برای به‌دست آوردن سرعت اولیه از معادله x=x0+v0t+12at2x = x_ 0 + v_ 0 t + \frac { 1 } { 2 } a t ^ 2 استفاده می‌کنیم. 

x=x0+v0t+12at21000000=0+v0×120+12×20×(120)2v0=7133.3 msx = x_ 0 + v_ 0 t + \frac { 1 } { 2 } a t ^ 2 \\ 1000000= 0 + v_ 0 \times 120 + \frac { 1 } { 2 } \times 20 \times ( 120 )^ 2 \\ \\ v_ 0 = 7133.3 \ \frac { m } { s }

با داشتن سرعت اولیه و معادله v=v0+atv= v_ 0 + at به راحتی می‌توانیم سرعت نهایی را نیز به‌دست آوریم:

v=v0+at=7133.3+20×120=9533.3 msv = v_0 + at = 7133.3 + 20 \times 120 = 9533.3 \ \frac { m } { s }

به این نکته توجه داشته باشید که برای حل این مثال زمان را به ثانیه و مسافت را به متر تبدیل کردیم. 

مثال یازدهم

دوچرخه‌سواری برای دوچرخه‌سواری به دل طبیعت می‌رود و سه مسیر را با جهت‌های یکسان (به سمت شمال)‌ به صورت زیر طی می‌کند:

  • ابتدا به مدت ۲۸ دقیقه با تندی متوسط ۷٫۲ متر بر ثانیه حرکت می‌کند.
  • در ادامه با تغییر تندی متوسط، به مدت ۳۶ دقیقه با تندی متوسط ۴٫۸ متر بر ثانیه به حرکت خود ادامه می‌دهد.
  • در پایان، به مدت ۹ دقیقه با تندی متوسط ۱۳ متر بر ثانیه حرکت می‌کند و برای استراحت متوقف می‌شود. 

مسافت کل طی شده توسط دوچرخه‌سوار و سرعت متوسط او در تمام مسیر کدام است؟

مسافت کل طی شده توسط دوچرخه‌سوار برابر ۲۹٫۴۸۴ کیلومتر و سرعت متوسط او برابر ۴٫۷۳ متر بر ثانیه است. 

مسافت کل طی شده توسط دوچرخه‌سوار برابر ۱۹٫۴۸۴ کیلومتر و سرعت متوسط او برابر ۶٫۷۳ متر بر ثانیه است. 

مسافت کل طی شده توسط دوچرخه‌سوار برابر ۲۹٫۴۸۴ کیلومتر و سرعت متوسط او برابر ۶٫۷۳ متر بر ثانیه است. 

مسافت کل طی شده توسط دوچرخه‌سوار برابر ۲۹٫۴۸۴ کیلومتر و سرعت متوسط او برابر ۲٫۷۳ متر بر ثانیه است. 

پاسخ تشریحی

دوچرخه‌سوار بدون تغییر جهت به سمت شمال حرکت می‌کند. مسیر کل او به سه مسیر کوچک‌تر تقسیم می‌شود که هر مسیر را با تندی متوسط متفاوتی طی کرده است. برای به‌دست آوردن مسافت کل، مسافت طی شده در هر مسیر را به‌دست می‌آوریم و با جمع مسافت‌های طی شده در هر مسیر، مسافت کل را محاسبه می‌کنیم. 

مسیر ۱

دوچرخه سوار در شروع حرکت با تندی متوسط ۷٫۲ متر بر ثانیه به مدت ۲۸ دقیقه حرکت می‌کند. برای به‌دست آوردن مسافت طی شده در این مدت از فرمول تندی متوسط استفاده می‌کنیم. تندی متوسط از تقسیم مسافت بر مدت زمان لازم برای طی کردن این مسافت به‌دست می‌آید:

s=total distancetotal times=Dt7.2=D(28×60)D=7.2×60×28=12096 m=12.096 km\overline { s } = \frac { total \ distance } { total \ time } \\ \overline {s } = \frac { D } { t } \\ 7.2 = \frac { D } { ( 28 \times 60) } \\ D = 7.2 \times 60 \times 28 = 12096 \ m = 12.096 \ km

برای محاسبه مسافت، زمان از دقیقه به ثانیه تبدیل شده است.

مسیر  ۲

دوچرخه سوار در ادامه حرکت با تندی متوسط ۴٫۸ متر بر ثانیه به مدت ۳۶ دقیقه به حرکت خود ادامه می‌دهد. مسافت طی شده در این مسیر برابر است با:

s=Dt9=D(36×60)D=4.8×60×36=10368 m=10.368 km\overline {s } = \frac { D } { t } \\ 9 = \frac { D } { ( 36 \times 60) } \\ D = 4.8 \times 60 \times 36 = 10368 \ m = 10.368 \ km

مسیر ۳

دوچرخه سوار در پایان حرکت با تندی متوسط ۱۳ متر بر ثانیه به مدت ۹ دقیقه به حرکت خود ادامه می‌دهد. مسافت طی شده در این مسیر برابر است با:

s=Dt13=D(9×60)D=13×60×9=7020 m=7.020 km\overline {s } = \frac { D } { t } \\ 13 = \frac { D } { ( 9 \times 60) } \\ D = 13 \times 60 \times 9 = 7020 \ m = 7.020 \ km

مسافت کل از جمع مسافت‌های سه مسیر به‌دست می‌آید:

Dtotal=7.20+10.368+12.096=29.484 kmD_ { total } = 7.20 + 10.368+ 12.096 = 29.484 \ km

در ادامه، سرعت متوسط را به‌دست می‌آوریم. برای محاسبه سرعت متوسط، جابجایی را بر زمان صرف شده برای انجام جابجایی تقسیم می‌کنیم. در این مثال، مسیر حرکت دوچرخه‌سوار تغییر نکرده است. بنابراین، مسافت و جابجایی با یکدیگر برابر هستند. همچنین، زمان کل حرکت برابر ۷۳ دقیقه یا ۴۳۸۰ ثانیه است. 

v=xt=(29.484×10004380 sv=6.73 ms\overline { v } = \frac { \triangle x } {\triangle t } = \frac { (29.484 \times 1000 } { 4380 \ s } \\ \overline { v } = 6.73 \ \frac { m } {s }

 مثال دوازدهم

موتورسواری در مسابقه موتورسواری شامل دو بخش، شرکت کرده است. در بخش اول، موتورسوار از حالت سکون شروع به حرکت می‌کند و با شتاب ۲٫۶ متر بر مجذور ثانیه به اندازه ۱۲۰ متر جابجا می‌شود. پس از اتمام بخش اول، بخش دوم بلافاصله شروع می‌شود. در این بخش، موتورسوار سرعت خود را با شتاب ۱٫۵- متر بر مجذور ثانیه به مقدار ۱۲ متر بر ثانیه کاهش می‌دهد. جابجایی موتورسوار در بخش دوم چه مقدار است؟ 

موتورسواری در مسابقات موتورسواری شرکت کرده است.

۱۴۰ متر

۱۰۰ متر

۱۸۰ متر

۱۲۰ متر

پاسخ تشریحی

موتورسوار در بخش اول مسیر مسابقه از حالت سکون شروع به حرکت می‌کند و با شتاب ۲٫۶ متر بر مجذور ثانیه به اندازه ۱۲۰ متر جابجا می‌شود. سپس، با ورود به بخش دوم مسابقه، سرعت خود را با شتاب ۱٫۵- متر بر مجذور ثانیه به مقدار ۱۲ متر بر ثانیه کاهش می‌دهد. جابجایی موتورسوار در بخش دوم را می‌خواهیم. موتورسوار در بخش‌های یک و دو با شتاب ثابت حرکت می‌کند. معادلات حرکت شتاب ثابت عبارت هستند از:

x=x0+v0t+12at2v=v0+atv2=v02+2a(xx0)x = x_ 0 + v_ 0 t + \frac { 1 } { 2 } a t ^ 2 \\ v = v_ 0 + a t \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2 a ( x - x_ 0 )

اطلاعات داده شده برای بخش اول مسابقه عبارت هستند از:

v0=0 msx=xx0=120 ma=2.6 ms2v_0 = 0 \ \frac { m } { s } \\ \triangle x = x - x_ 0 = 120 \ m \\ a = 2.6 \ \frac { m } { s ^ 2 }

با استفاده از معادلات بالا می‌توانم سرعت نهایی موتور را در انتهای بخش اول به‌دست آوریم. برای این کار از معادله مستقل از زمان استفاده می‌کنیم. 

v2=v02+2a(xx0)v2=0+2×2.6×120=624v=624=24.98 msv ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2 a ( x - x_ 0 ) \\ v ^ 2 = 0 + 2 \times 2.6 \times 120 = 624 \\ v = \sqrt { 624 } = 24.98 \ \frac { m } { s }

بنابراین، موتورسوار با سرعت ۲۴٫۹۸ متر بر ثانیه وارد بخش دوم مسابقه می‌شود. او در این بخش سرعت خود را با شتاب ۱٫۲- متر بر مجذور ثانیه به ۱۲ متر بر ثانیه کاهش می‌دهد. برای محاسبه جابجایی در بخش دوم، باز هم از معادله حرکت مستقل از زمان استفاده می‌کنیم:

v2=v02+2a(xx0)(12)2=(24.98)22×1.5×x144=6243x3x=624144x=160 mv ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2 a ( x - x_ 0 ) \\ (12) ^ 2 = (24.98)^ 2 -2 \times 1.5 \times \triangle x \\ 144 = 624 - 3 \triangle x \\ 3 \triangle x = 624 -144 \\ \triangle x = 160 \ m

 مثال سیزدهم

اتوبوسی با تندی ثابت ۲۵ متر بر ثانیه حرکت می‌کند. اتومبیلی پشت سر اتوبوس و در فاصله ۶۰ متری از آن با سرعت اولیه ۱۲ متر بر ثانیه در حال حرکت است. ناگهان راننده اتومبیل به یاد می‌آورد که قرار ملاقات مهمی دارد. در نتیجه، سرعت خود را با شتاب ۴٫۲ متر بر مجذور ثانیه افزایش می‌دهد. پس از چه مدت زمان، اتومبیل از اتوبوس سبقت می‌گیرد؟ 

اتومبیلی از اتوبوس سبقت می‌گیرد.

۹٫۳ ثانیه

۳ ثانیه

۷٫۳ ثانیه

اتومبیل به اتوبوس نمی‌رسد. 

پاسخ تشریحی

در این مثال دو نوع حرکت یکنواخت با سرعت ثابت و حرکت غیریکنواخت با شتاب ثابت داریم. اتوبوسی با سرعت ثابت ۲۵ متر بر ثانیه حرکت می‌کند. در همین لحظه اتومبیلی که ۶۰ متر عقب‌تر از اتوبوس قرار دارد و با سرعت اولیه ۱۲ متر بر ثانیه حرکت می‌کند، سرعت خود را با شتاب ۴٫۲ متر بر مجذور ثانیه افزایش می‌دهد. تصویر زیر موقعیت اتوبوس و اتومبیل را نسبت به یکدیگر و لحظه شتاب گرفتن اتومبیل نشان می‌دهد.

موقعیت مکانی اتوبوس و اتومبیل نسبت به یکدیگر

مکان اتوبوس را به عنوان مبدا مکان انتخاب می‌کنیم. بنابراین، معادله حرکت اتوبوس به صورت زیر نوشته می‌شود:

x=vt+x0x=25tx= vt + x_ 0 \\ x = 25 t

سرعت اولیه اتومبیل برابر ۱۲ متر بر ثانیه، مکان اولیه برابر ۶۰- متر و شتاب حرکت آن برابر ۴٫۲ متر بر ثانیه است. در نتیجه معادله حرکت آن به صورت زیر نوشته می‌شود:

x=x0+v0t+12at2x=60+12t+2.1t2x = x_0 + v_0 t + \frac { 1 } { 2 } a t ^ 2 \\ x = -60 + 12 t + 2.1 t ^ 2

زمان سبقت گرفتن اتومبیل از اتوبوس را می‌خواهیم به‌دست آوریم. اتومبیل برای سبقت گرفتن ابتدا باید به اتوبوس برسد. در لحظه رسیدن اتومبیل به اتوبوس، مکان آن‌ها، xx، یکسان می‌شود:

25t=60+12t+2.1t22.1t213t60=0t1,t2=13±(13)24(2.1)(60)2×(2.1)t1=9.3 s, t2= 3.07 s25 t = -60 + 12 t + 2.1 t ^ 2 \\ 2.1 t ^ 2 -13 t - 60 = 0 \\ t_1 , t _ 2 = \frac { 13 \pm\sqrt{ (-13) ^ 2 - 4 (2.1)( - 60 ) }} { 2 \times (2.1)} \\ t_ 1 = 9.3 \ s , \ t_ 2 = - \ 3.07 \ s

از آنجا که زمان منفی معنایی ندارد، بنابراین اتومبیل ۹٫۳ ثانیه پس از شتاب گرفتن به اتوبوس می‌رسد و از آن سبقت می‌گیرد. 

مثال چهاردهم

نمودار سرعت زمان جسمی به صورت نشان داده شده در تصویر زیر است. کدام‌ یک از گزینه‌های زیر در مورد شتاب حرکت درست است؟ 

 نمودار سرعت زمان

شتاب حرکت مثبت و ثابت است. 

شتاب حرکت مثبت و افزایشی است. 

شتاب حرکت منفی و کاهشی است. 

شتاب حرکت منفی و ثابت است. 

پاسخ تشریحی

همان‌طور که در توضیحات این بخش گفتیم، شیب نمودار سرعت زمان به ما شتاب حرکت را می‌دهد. اگر نمودار سرعت زمان، خطی مستقیم با شیبِ ثابت باشد، شتاب حرکت نیز ثابت خواهد بود. در این مثال، نمودار سرعت زمان، خطی مستقیم با شیب ثابت و منفی است. بنابراین، شتاب حرکت نیز منفی و ثابت خواهد بود. 

مثال پانزدهم

شخصی توپی را به صورت عمودی با سرعت اولیه مثبت به بالا پرتاب می‌کند. کدام یک از گزینه‌های زیر علامت سرعت و شتاب را در ارتفاع بیشینه به درستی توصیف می‌کند؟

سرعت و شتاب در ارتفاع بیشینه، مثبت هستند. 

سرعت و شتاب در ارتفاع بیشینه برابر صفر هستند. 

سرعت در ارتفاع بیشینه برابر صفر و شتاب منفی است. 

سرعت در ارتفاع بیشینه، مثبت و شتاب، منفی است. 

پاسخ تشریحی

این مثال مربوط به سقوط آزاد است. هر جسمی پس از پرتاب شدن به سمت بالا، تا ارتفاع مشخصی بالا می‌رود و پس از توقف کامل و تغییر مسیر به سمت زمین برمی‌گردد. در سقوط آزاد، به طور معمول جهت مثبت را به سمت بالا انتخاب می‌کنیم. از آنجا که شتاب جاذبه زمین همواره به سمت پایین و مرکز زمین است، علامت آن منفی و اندازه آن در تمام طول حرکت مخالف صفر خواهد بود. اما جهت و اندازه سرعت در پرتاب جسم به سمت بالا، در طول مسیر تغییر می‌کند. به هنگام پرتاب جسم به سمت بالا، بردار سرعت نیز به سمت بالا و مثبت است. اندازه سرعت با نزدیک شدن به ارتفاع بیشینه، کاهش و در ارتفاع بیشینه برابر صفر می‌شود. 

پس از تغییر مسیر جسم و حرکت آن به سمت پایین، جهت بردار سرعت به سمت پایین و مقدار آن منفی است. بنابراین، با توجه به توضیحات ارائه شده، در ارتفاع بیشینه، مقدار سرعت برابر صفر و بردار شتاب برابر g و علامت آن منفی است. 

مثال شانزدهم

توپی از بالای صخره‌ای به سمت پایین رها می‌شود. پس از t ثانیه از لحظه پرتاب، سرعت نهایی توپ به vv می‌رسد و به اندازه d متر جابجا شده است. اگر زمان آزمایش دو برابر یعنی برابر 2t شود، مقدار سرعت نهایی کدام است؟ 

توپی در حال سقوط از صخره است.

vvv \sqrt { v }

2v2 v

4v4 v

8v8 v

پاسخ تشریحی

معادلات حرکت در سقوط آزاد به صورت زیر نوشته می‌شوند:

v=gty= 12gt2+y0v2= 2g(yy0)v = -gt \\ y = - \ \frac { 1 } { 2 } g t ^ 2 + y _ 0 \\ v ^ 2 = - \ 2 g ( y - y _ 0 )

در این مثال، زمان سقوط، سرعت اولیه، سرعت نهایی و جابجایی داده شده است. بار اول، سرعت توپ پس از رها شدن از صخره در مدت زمان t به مقدار نهایی vv می‌رسد. همچنین، توپ در این مدت زمان به اندازه ‌d جابجا شده است. حال می‌خواهیم با فرض دو برابر شدن مدت زمان آزمایش، سرعت نهایی توپ را به‌دست آوریم. محل پرتاب شدن توپ را به عنوان مبدا و جهت پایین را به عنوان جهت مثبت انتخاب می‌کنیم. بنابراین، علامت g در معالات بالا و علامت جابجایی، مثبت خواهند بود. برای به‌دست آوردن سرعت نهایی از معادله v=gtv = gt استفاده می‌کنیم. سرعت نهایی بار اول به صورت زیر به‌دست می‌آید:

v1=gt1v=gtv_1 = g t_1 \\ v = g t

سرعت نهایی در آزمایش دوم نیز به صورت زیر به‌دست می‌آید:

v2=gt2v2=2gt=2vv_ 2 = g t_ 2 \\ v_ 2 = 2 g t = 2 v

در نتیجه با دو برابر شدن زمان، سرعت نهایی نیز دو برابر می‌شود. 

چگونه از فرمول های فیزیک دوازدهم در حل مسئله استفاده کنیم؟

فیلم آموزش فیزیک دوازدهم فرادرس

توانایی حل مسئله، به خصوص مسائل فیزیک، از اهمیت بالایی برخوردار است. در مطالب «فرمول‌ های فیزیک دهم» و «فرمول های فیزیک یازدهم» از مجله فرادرس، فرمول‌‌های فیزیک دهم و یازدهم را به همراه حل مساله بیان کردیم. در این مطلب نیز در رابطه با فرمول های فیزیک دوازدهم در مبحث‌های حرکت بر خط راست، امواج، حرکت دایره‌ای، برهم‌کنش‌های موج، آشنایی با فیزیک اتمی و هسته‌ای به صورت خلاصه صحبت می‌کنیم. توجه به این نکته مهم است که برای موفقیت در امتحان نهایی فیزیک دوازدهم و حل مسائل مختلف آن، باید مفاهیم بنیادی مانند حرکت یکنواخت، حرکت غیریکنواخت، قوانین حرکت نیوتن، حرکت دایره‌ای، موج، برهم‌کنش امواج با یکدیگر، مدل‌های اتمی و هسته اتم را به خوبی فرا گرفته باشید. از این‌رو،‌ تماشای فیلم‌های آموزشی، مانند فیلم‌های آموزشی تهیه شده در فرادرس، می‌تواند به شما برای رسیدن به این نقطه کمک فراوانی کند.

در حالت کلی برای حل مسائل فیزیک با استفاده از فرمول‌های مرتبط باید مرحله‌های زیر را طی کنید:

  • ابتدا مسئله داده شده را با دقت مطالعه کنید. پس از خواندن مسئله باید بدانید چه چیزی از شما خواسته شده است.
  • پس از خواند مسئله، داده‌های معلوم و مجهول را به صورت فهرست‌وار یادداشت کنید.
  • در ادامه، فرمول‌های لازم برای حل مسئله را یادداشت کنید.
  • مسئله‌های فیزیک ممکن است در یک مرحله یا بیش از یک مرحله حل شوند. تشخیص این موضوع به داشتن درک صحیحی از سوال مربوط می‌شود.
  • راه‌حل را مرتب و گام‌به‌گام پیش ببرید.
  • پس از حل مسئله، پاسخ نهایی را برای اطمینان بار دیگر بررسی کنید.

برای آشنایی بهتر با چگونگی حل مسائل مربوط به فرمول های فیزیک دوازدهم می‌توانید از فیلم‌ آموزشی زیر استفاده کنید. در این فیلم آموزشی از مجموعه فرادرس با حل سوالات پرتکرار امتحانی، با روند حل مسئله‌های مختلف در فیزیک دوازدهم آشنا می‌شوید.

اگر تسلط کاملی بر مباحث پایه حرکت شناسی، امواج، فیزیک اتمی و هسته‌ای دارید و مسئله‌های مرتبط را به خوبی حل می‌کنید، اما به دنبال یادگیری مبحث‌ها و حل مسئله‌های پیشرفته‌تر هستید، می‌توانید از فیلم‌های آموزشی زیر استفاده کنید:

فیلم های آموزشی دروس پایه دوازدهم فرادرس

فرمول های فیزیک دوازدهم فصل دوم

در فصل دوم از فیزیک دوازدهم با قوانین حرکت نیوتن،‌ برخی نیروهای خاص، تکانه و قانون دوم نیوتن، حرکت دایره‌ای یکنواخت و نیروی گرانشی آشنا می‌شویم. فرمول‌های فصل دوم فیزیک دوازدهم در جدول زیر به صورت خلاصه نوشته شده‌اند.

مبحث موردنظرفرمول های فیزیک دهم فصل دوم
رابطه نیرو و شتاب در قانون دوم نیوتنFnet=ma\overrightarrow { F } _ { net } = m \overrightarrow { a }
قانون سوم نیوتنF12= F21F12=F21\overrightarrow { F } _ { 1 2 } = - \ \overrightarrow { F } _ { 2 1 } \Rightarrow F _ { 12 } = F _ { 2 1 }
نیروی اصطکاک ایستایی بیشینهfs,max=μsFNf_ { s , max } = \mu_s F_ N
نیروی اصطکاک جنبشیfk=μkFNf_ k = \mu _ k F_N
اندازه نیروی کشسانی فنرFs=kxF_ s = kx
تکانه جسمp=mv\overrightarrow { p } = m \overrightarrow { v }
قانون دوم نیوتن برحسب تکانه برای نیروی ثابتFnet=pt\overrightarrow { F } _ { net } = \frac { \triangle \overrightarrow { p } }{ \triangle t }
نیروی خالص متوسط برحسب تکانهFav=pt\overrightarrow { F } _ { a v } = \frac { \triangle \overrightarrow { p }} { \triangle t }
دوره در حرکت دایره‌ای یکنواختT=2πrvT = \frac { 2 \pi r } { v }
اندازه شتاب مرکزگراac=v2ra_ c =\frac { v ^ 2 } { r }
اندازه نیروی مرکزگراFnet=mv2rF _ { net } = m \frac { v ^ 2 } { r }
اندازه نیروی گرانشی بین دو ذرهF=Gm1m2r2F = G \frac { m _ 1 m _ 2 } { r ^ 2 }
وزن جسم در سطح زمینW=GHemRe2W = G \frac { H_ e m } { R _ e ^ 2 }

در ادامه، فرمول های فیزیک دوازدهم فصل دوم نوشته شده در جدول فوق را با حل مثال به صورت خلاصه توضیح می‌دهیم.

قوانین نیوتن

نیوتن سه قانون معروف دارد:

  • قانون اول نیوتن: جسم ساکن، ساکن می‌ماند و جسمی که با سرعت ثابت حرکت می‌کند، به حرکت خود با سرعت ثابت ادامه می‌دهد، مگر آن‌که نیرویی خارجی بر آن وارد شود. این عبارت، بیانی از قانون اول نیوتن است. قانون اول نیوتن، اینرسی نیز نام دارد. اگر نیروهای خارجی وارد شده بر جسم به گونه‌ای باشند که اثر یکدیگر را خنثی کنند، هیچ تغییر در حالت اولیه جسم به وجود نخواهد آمد.
  • قانون دوم نیوتن: شتاب جسم به جرم و مقدار نیروی وارد شده بر جسم وابسته است. در قانون اول نیوتن فرض کردیم که برآیند نیروهای خارجی وارد شده بر جسم برابر صفر است. اما در قانون دوم فرض می‌کنیم نیروی خالصی برابر F بر جسم وارد می‌شود. سرعت جسم پس از اعمال نیرو به آن تغییر و شتابی در جهت نیرو پیدا می‌کند. رابطه نیرو و شتاب به صورت زیر نوشته می‌شود:
    F=ma\overrightarrow { F } = m \overrightarrow { a }
    برطبق رابطه فوق، هرچه نیروی وارد شده بر جسم بزرگ‌تر باشد، شتابِ آن نیز بزرگ‌تر و هرچه جرم جسم بزرگ‌تر باشد، شتاب آن کوچک‌تر خواهد بود.
  • قانون سوم نیوتن: دو جسم A و B را در نظر بگیرید. هرگاه جسم A بر جسم B نیرو وارد کند، جسم B نیز نیرویی برابر، اما در جهت مخالف بر جسم A وارد خواهد کرد. قانون سوم نیوتن، قانون عمل و عکس‌العمل نیز نام دارد. برای هر عملی (نیرو) در طبیعت، عکس‌العملی در جهت مخالف و برابر، وجود خواهد داشت. به بیان دیگر، نیروها نتیجه برهم‌کنش‌ها هستند. فرض کنید با استفده از چکش، میخی را در چوب فرو می‌برید. نیروی وارد شده از طرف چکش بر میخ، سبب فرو رفتن میخ در چوب می‌شود. همچنین، نیروی وارد شده بر میخ، حرکت چکش را کند می‌کند. توجه به این نکته مهم است که نیروهای عمل و عکس‌العمل همواره به دو جسم وارد می‌شوند و نوع یکسانی دارند.

 معرفی انواع نیروها در فیزیک

نیروهای زیادی در فیزیک وجود دارند. در این بخش، با مهم‌ترین نیروها در فیزیک آشنا می‌شویم.

نیروی وزن

وزن، W، کلمه دیگری برای نیروی گرانش، FgF_g، است. وزن، نیرویی است که همیشه بر اجسام در نزدیکی سطح زمین وارد می‌شود. جهت نیروی وزن به سمت پایین و مرکز زمین است و با استفاده از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

W=mg\overrightarrow { W } = m \overrightarrow { g }

در رابطه فوق:

  • W نیروی وزن است.
  • g شتاب جاذبه گرانش و مقدار آن برابر ۹٫۸ متر بر مجذور ثانیه است.
  • m جرم جسم است.
نیروی وزن وارد شده بر دمبلی روی زمین

نیروی مقاومت شاره

در فصل اول از فیزیک دوازدهم با حرکت سقوط آزاد آشنا شدیم و فرض کردیم به هنگام سقوط جسم، نیروی مقاومت هوا وجود ندارد. اما در واقعیت، این نیرو وجود دارد و در خلاف جهت حرکت جسم بر آن وارد می‌شود. به عنوان مثال، اگر جسم به سمت پایین سقوط کند، مقاومت هوا به سمت بالا بر آن وارد می‌شود. این نیرو به اندازه جسم، تندی آن و عامل‌های دیگر بستگی دارد.

نیروی عمودی سطح

به طور حتم برای شما پیش آمده است که هنگام راه رفتن به دیوار برخورد کرده و درد زیادی را حس کرده باشید. این درد به دلیل وجود نیرویی به نام نیروی عمودی سطح ایجاد می‌شود. نیروی عمودی سطح یکی از انواع نیروهای تماسی است و در محاسبه اصطکاک نقش مهمی را ایفا می‌کند. این نیرو بر سطحِ در تماس عمود است. همان‌طور که در تصویر زیر مشاهده می‌کنید نیروی عمودی سطح، به صورت عمود و به طرف بالا بر کتابِ روی میز وارد می‌شود. این نیرو با نیروی وزن کتاب در تعادل هستند.

نیروهای وارد شده در کتاب

نیروی اصطکاک

نیروی اصطکاک یکی از مهم‌ترین انواع نیرو در زندگی روزمره است. این نیرو هنگامی به وجود می‌آید که دو سطح با یکدیگر در تماس باشند و در خلاف جهت یکدیگر حرکت کنند. اصطکاک از حرکت آسان دو جسم نسبت به یکدیگر جلوگیری می‌کند. نیروی اصطکاک به دو عامل بستگی دارد:

  • نیروی عمودی سطح
  • ضریب اصطکاک که به جنس سطوح در تماس بستگی دارد.

در حالت کلی، نیروی اصطکاک به دو نوع اصطکاک جنبشی و ایستایی تقسیم می‌شود. محاسبه نیروی اصطکاک جنبشی بسیار راحت است. این نیرو با fkf_k نشان داده می‌شود و با استفاده از رابطه زیر به‌دست خواهد آمد:

fk=μkNf_k = \mu_k N

در رابطه فوق، NN برابر نیروی عمودی سطح و μk\mu_k برابر ضریب اصطکاک جنبشی است. نیروی اصطکاک ایستایی کمی با نیروی اصطکاک جنبشی تفاوت دارد. توجه به این نکته مهم است که این نیرو بر جسم ساکن وارد می‌شود. همچنین، مقدار این نیرو ثابت نیست. به عنوان مثال، جعبه ساکنی روی زمین قرار دارد. برای به حرکت درآوردن جعبه باید به آن نیرویی برابر F وارد کنید. مقدار نیروی اصطکاک ایستایی با توجه به مقدار نیروی ‌F، تغییر می‌کند. این نیرو در خلاف جهت نیروی ‌F بر جعبه وارد می‌شود. در نهایت، با افزایش نیروی F و رسیدن آن به مقداری مشخص، جعبه شروع به حرکت خواهد کرد. ادامه حرکت جعبه از به حرکت درآوردن آن آسان‌تر است. در نتیجه، نیروی اصطکاک جنبشی از بیشینه نیروی اصطکاک ایستایی کمتر خواهد بود. بیشینه مقدار نیروی اصطکاک ایستایی با استفاده از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

fs,max=μsNf_{s,max} = \mu_s N

در رابطه فوق، fs,maxf_{s,max} برابر بیشینه مقدار نیروی اصطکاک ایستایی است.

نیروی کشش طناب

به نیروی وارد شده از طرف طناب بر جسم متصل به آن، نیروی کشش طناب گفته می‌شود. این نیرو فرمول خاصی ندارد و برای محاسبه مقدار آن از قوانین نیوتن استفاده می‌کنیم. در ادامه، با حل مثال با چگونگی محاسبه این نیرو آشنا می‌شویم.

نیروی کشسانی فنر

فنری را در نظر بگیرید که یک انتهای آن به دیوار متصل شده است و به صورت افقی روی میز قرار دارد. جسمی را به آن وصل می‌کنیم. در حالتی که فنر کشیده یا فشرده نشده باشد، هیچ نیرویی بر جسم وارد نمی‌شود. حال فرض کنید، فنر به اندازه xx کشیده یا فشرده می‌شود. مقدار نیروی وارد شده از طرف فنر بر جسم برابر است با:

Fe=kxF_ e = k x

k ثابت فنر نام دارد و به اندازه، شکل و جنس ماده‌ای که فنر از آن ساخته شده است، بستگی دارد.

تکانه و قانون دوم نیوتن

تکانه کمیتی برداری است و از حاصل‌ضرب جرم جسم در سرعت حرکت آن به‌دست می‌آید. همچنین، تکانه هم‌جهت با سرعت است.

p=mv\overrightarrow { p } = m \overrightarrow { v }

از آنجا که شتاب، برابر تغییرات سرعت نسبت به زمان است، قانون دوم نیوتن برای نیروی ثابتِ F را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

Fnet=m a=m=mv2v1t2t1=pt\overrightarrow { F } _ { net } = m \ \overrightarrow { a } = m = m \frac { v_ 2 - v_ 1 } { t _ 2 - t _ 1 } = \frac { \triangle \overrightarrow { p } } { \triangle t }

حرکت دایره ای یکنواخت

تا اینجا با معادلات حرکت بر خط راست آشنا شدیم. اما جسم همیشه روی خط راست حرکت نمی‌کند. گاهی اجسام روی مسیری به شکل دایره حرکت می‌کنند. به عنوان مثال، زمین روی محوری به شکل دایره به دورِ خورشید می‌چرخد (مدار واقعی زمین به شکل دایره کامل نیست). فرض کنید جسمی روی مسیری به شکل A قرار دارد و پس از طی کردن محیط دایره به نقطه A می‌رسد. به مدت زمان لازم برای انجام این کار دوره تناوب گفته می‌شود و از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

T=2πrvT = \frac { 2 \pi r } { v }

در رابطه فوق،‌ 2πr2 \pi r محیط دایره و vv سرعت حرکت جسم است. به این نکته توجه داشته باشید که در حرکت دایره‌ای یکنواخت، اندازه سرعت جسم ثابت است، اما جهت سرعت، پیوسته تغییر می‌کند. شتاب به هنگام تغییر اندازه سرعت، جهت آن یا هر دو ایجاد می‌شود. بنابراین، حرکت دایره‌ای را می‌توانیم حرکتی شتابدار در نظر بگیریم. مقدار این شتاب برابر است با:

ac=v22a_c = \frac { v ^ 2 } { 2 }

در رابطه فوق، r شعاع دایره و vv سرعت حرکت جسم روی دایره است. همچنین، نیروی برآیند وارد شده بر جسم در حرکت دایره‌ای به صورت Fnet=mv2rF_ { net } = m \frac { v ^ 2 } { r } نوشته می‌شود.

نیروی گرانشی

دو جسم به جرم‌های m1m_1 و m2m_2 را در نظر بگیرید که به فاصله r از یکدیگر قرار گرفته‌اند. نیرویی به نام نیروی گرانش بر هر یک از این دو جسم وارد می‌شود که با حاصل‌ضرب دو جرم رابطه مستقیم و با مربع فاصله آ‌ن‌ها، رابطع عکس دارد:

F=Gm1m2r2F = G \frac { m _ 1 m _ 2 } { r ^ 2 }

G در رابطه فوق، ثابت گرانش عمومی نام دارد و مقدار آن برابر 6.67×1011 N.m2kg26.67 \times 10 ^ { - 11 } \ \frac { N . m ^ 2 } { kg ^ 2 } است.

حل مثال های کاربردی فرمول های فیزیک دوازدهم فصل دوم

در این فصل با قوانین نیوتن، انواع نیروها در فیزیک و حرکت دایره‌ای آشنا شدیم. در ادامه، با حل چند مثال، چگونگی استفاده از فرمول های فیزیک دوازدهم فصل دوم را در حل مسائل فیزیک با یکدیگر بررسی می‌کنیم.

حل مثال های مربوط به قوانین نیوتن

با استفاده از قوانین نیوتن می‌توانیم مسائل مربوط به حرکت اجسام مختلف را حل و حتی حرکت بسیاری از اجسام را در طبیعت پیش‌بینی کنیم.

مثال اول

چراغ راهنمایی‌رانندگی به جرم ۱۵ کیلوگرم به صورت نشان داده شده در تصویر زیر توسط دو سیم آویزان شده است. اگر زاویه سیم یک با خط افق، برابر ۳۰ درجه و زاویه سیم دو با خط افق برابر ۴۵ درجه باشد، کشش طناب در هر یک از سیم‌ها برابر است با (از جرم سیم‌ها چشم‌پوشی شود و مقدار g برابر ۱۰ متر بر مجذور ثانیه فرض شود):

چراغ راهنمایی رانندگی توسط دو سیم اویزان شده است.

نیروی سیم یک برابر ۱۱۱ و نیروی سیم دو برابر ۱۳۵ نیوتن است. 

نیروی سیم یک برابر ۱۳۵ و نیروی سیم دو برابر ۱۱۱ نیوتن است. 

نیروی سیم یک برابر ۹۱ و نیروی سیم دو برابر ۱۳۵ نیوتن است. 

نیروی کششی سیم‌های یک و دو با یکدیگر برابر و مساوی ۱۳۵ نیوتن هستند. 

پاسخ تشریحی

چراغ راهنمایی‌رانندگی توسط دو سیم یک و دو نگه داشته شده است. سه نیرو بر چراغ وارد می‌شوند:

  • نیروی T1T_1 از طرف سیم یک
  • نیروی T2T _ 2 از طرف سیم دو
  • نیروی وزن

این نیروها در تصویر زیر نشان داده شده‌اند. 

نیروهای وارد شده بر چراغ راهنمایی رانندگی

با توجه به آن‌که چراغ راهنمایی‌رانندگی ساکن است، برآیند نیروهای وارد شده بر آن باید برابر صفر باشد. با توجه به صفر بودن برآیند نیروها، به راحتی می‌توانیم نیروهای کشش T1T_1 و T2T _ 2 را به‌دست آوریم. نیروهای T1T_1 و T2T _ 2 را به صورت نشان داده شده در تصویر زیر در راستای محورهای xx و yy تجزیه می‌کنیم.

تجزیه نیروهای کششی سیم های یک و دو

ابتدا نیروهای وارد شده در راستای محور xx را در نظر می‌گیریم. دو نیروی T1xT_{1x } و T2xT _ { 2 x } با یکدیگر برابر هستند:

T1x=T2xT1cos30=T2cos45T1×32=T2223T1=2T2T_ { 1 x } = T_ { 2 x } \\ T_ 1 \cos 30 = T_ 2 \cos 45 \\ T_ 1 \times \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = T_ 2 \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \\ \sqrt { 3 } T _ 1 = \sqrt { 2 } T _2

در ادامه، نیروهای وارد شده در راستای محور yy را در نظر می‌گیریم. دو نیروی T1yT_{1y } و T2yT _ { 2 y } به سمت بالا و نیروی وزن به سمت پایین بر چراغ وارد می‌شوند. برای آن‌که برآیند نیروهای وارد شده بر چراغ در راستای محور y با یکدیگر برابر صفر باشند، مجموع دو نیروی T1yT_{1y } و T2yT _ { 2 y } باید برابر نیروی وزن باشد:

T1y+T2y=WT1sin30+T2sin45=mgT1×12+T2 ×22=15×10T1+2T2=300T_ { 1 y } + T_ { 2 y } = W \\ T_1 \sin 30 + T_ 2 \sin 45 = mg \\ T_ 1 \times \frac { 1 } { 2 } + T _ 2 \ \times \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } = 15 \times 10 \\ T_1 + \sqrt { 2 } T_ 2 = 300

دو معادله و دو مجهول داریم. بنابراین با کنار هم قرار دادن آن‌ها می‌توانی نیروهای کششی سیم‌های یک و دو را به‌دست آوریم؛

3T1=2T2T1+3T1=300T1+2T2=300T1(1+3)=300T1=300(1+3)T1111 N3T1=2T23×111=2T2T2135 N\sqrt { 3 } T _1 = \sqrt { 2 } T _ 2 \\ T_ 1 + \sqrt { 3 } T _ 1 = 300 \\ T_1 + \sqrt { 2 } T_ 2 = 300 \Rightarrow T_ 1 ( 1 + \sqrt { 3 } ) = 300 \\ T_ 1 = \frac { 300 } { ( 1 + \sqrt { 3 } )} \\ T_ 1 \sim 111 \ N \\ \sqrt { 3 } T _ 1 = \sqrt { 2 } T _ 2 \\ \sqrt { 3 } \times 111 = \sqrt { 2 } T _ 2 \\ T_ 2 \approx 135 \ N

مثال دوم

مردی به جرم ۷۵ کیلوگرم تصمیم می‌گیرد وزن خود را با استفاده از ترازو، داخل آسانسور اندازه بگیرد. اگر آسانسور با شتاب ۱٫۲ متر بر مجذور ثانیه به سمت بالا حرکت کند، ترازو چه عددی را نشان می‌دهد؟ 

۷۵۰ نیوتن

۸۲۵ نیوتن

۶۶۰ نیوتن

۷۳۵ نیوتن

پاسخ تشریحی

اگر عدد نشان داده شده توسط ترازو در حالت سکون، دقیق باشد، این عدد برابر اندازه نیرویی است که فرد در جهت پایین بر ترازو وارد می‌کند (Fp\overrightarrow { F } _ p). تصویر زیر نیروهای وارد شده بر آسانسور، ترازو و فرد را نشان می‌دهد. 

  • T\overrightarrow { T } نیروی کشش طناب متصل به آسانسور است. 
  • W\overrightarrow { W} نیروی وزن فرد و به سمت پایین است. 
  • Ws\overrightarrow { W} _s نیروی وزن ترازو و به سمت پایین است. 
  • We\overrightarrow { W} _ e نیروی وزن آسانسور و به سمت پایین است. 
  • Fp\overrightarrow { F } _ p نیرویی است که فرد بر ترازو وارد می‌کند.
  • N\overrightarrow { N } نیروی عمودی سطح است.
  • Fs\overrightarrow { F } _ s نیروی وارد شده از طرف ترازو بر فرد است. 
نیروهای وارد شده بر فرد، ترازو و آسانسور

فرد داخل آسانسور، روی ترازو ایستاده است و دو نیروی Ws\overrightarrow { W} _s به سمت پایین و Fs\overrightarrow { F } _ s به سمت بالا بر او وارد می‌شوند. نیروهای Fs\overrightarrow { F } _ s و Fp\overrightarrow { F } _ p نیروهای عمل و عکس‌العمل یا کنش و واکنش و برطبق قانون سوم نیوتن با یکدیگر برابر، اما در خلاف جهت یکدیگر هستند. بنابراین، برای آن‌که بدانیم ترازو چه عددی را نشان می‌دهد باید مقدار نیروی Fs\overrightarrow { F } _ s را پیدا کنیم. برای انجام این کار از قانون سوم نیوتن استفاده می‌کنیم:

Fnet=ma\overrightarrow { F } _ { net } = m \overrightarrow { a }

تصویر زیر نمودار جسم آزادِ فردِ داخل آسانسور را نشان می‌دهد.

نمودار جسم آزاد فرد داخل آسانسور

آسانسور با شتاب ۱٫۲ متر بر مجذرو ثانیه به سمت بالا حرکت می‌کند. بنابراین، جهت بالا را به عنوان جهت مثبت انتخاب می‌کنیم. نیروی برآیند، Fnet\overrightarrow { F } _ { net} را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

Fnet=Fsw\overrightarrow { F } _ { net } = \overrightarrow { F } _ s - \overrightarrow { w }

با قرار دادن رابطه فوق در معادله Fnet=ma\overrightarrow { F } _ { net } = m \overrightarrow { a }، داریم:

Fsw=maFs=ma+wFs=ma+mgF_ s - w = ma \\ F_ s = ma + w \\ F_ s = ma + mg

با قرار دادن مقدارهای داده شده در رابطه به‌دست آمده، مقدار FsF_s را به‌دست می‌آوریم:

Fs=(75.0 kg)(9.80 ms2)+(75.0 kg)(1.20 ms2)=825 NF_ s = ( 75.0 \ kg ) ( 9.80 \ \frac {m } {s ^ 2 } ) + ( 75.0 \ kg ) ( 1.20 \ \frac { m } {s ^ 2 } ) = 825 \ N

مثال سوم

ماشین آتوود یکی از مسئله‌های مهم در فیزیک است. ماشین آتوود از طنابی تشکیل شده که از روی قرقره‌ای به صورت نشان داده شده در تصویر زیر رد شده است. دو جسم با جرم‌های متفاوت m1m_1 و m2m_2 به دو سر طناب وصل شده‌اند. فرض کنید جرم‌های m1m_1 و m2m_2 به ترتیب برابر ۲ و ۴ کیلوگرم هستند. اگر جرم m2m_2 رها شود، مقدار شتاب و کشش طناب کدام است؟ (قرقره بدون اصطکاک است و از جرم قرقره و طناب چشم‌پوشی کنید)

ماشین آتوود متشکل از دو وزنه

مقدار شتاب برابر ۳٫۲۷ متر بر مجذور ثانیه و مقدار نیرو برابر ۲۶٫۱۴ نیوتن است. 

مقدار شتاب برابر ۲٫۳۷ متر بر مجذور ثانیه و مقدار نیرو برابر ۲۶٫۱۴ نیوتن است. 

مقدار شتاب برابر ۳٫۲۷ متر بر مجذور ثانیه و مقدار نیرو برابر ۲۴٫۱۴ نیوتن است. 

مقدار شتاب برابر ۳٫۲۷ متر بر مجذور ثانیه و مقدار نیرو برابر ۳۶٫۱۴ نیوتن است. 

پاسخ تشریحی

نمودار جسم آزاد و نیروهای وارد شده بر هر یک از جرم‌ها به صورت جداگانه در تصویر زیر نشان داده شده‌اند. به این نکته توجه داشته باشید که جرم m2m _ 2 با شتاب a2a_ 2 به سمت پایین و جرم m1m_1 با شتاب a1a_ 1 به سمت بالا حرکت می‌کند. با انتخاب جهت بالا به عنوان جهت مثبت و برابر بودن شتاب‌های a1a_ 1 و a2a _ 2 داریم:

a=a1= a2a = a_1 = - \ a_ 2

نمودار جسم آزاد جرم های یک و دو

قانون دوم نیوتن را برای جرم‌های m1m _ 1 و m2m_ 2 استفاده می‌کنیم:

m1:Tm1g=m1am2:Tm2g=m2am_1 : \enspace T - m_1 g = m_1 a \\ m_ 2 : \enspace T - m_2 g = - m_ 2 a

دو معادله و دو مجهول داریم. ابتدا مقدار شتاب را به‌دست می‌آوریم. برای انجام این کار TT را از معادلات حذف و معادله‌ای برای شتاب به‌دست می‌آوریم:

m1:Tm1g=m1am2:Tm2g=m2aTm1g=m1aT+m2g=+m2a(m2m1)g=(m2+m1)aa=m2m1m2+m1gm_1 : \enspace T - m_1 g = m_1 a \\ m_ 2 : \enspace T - m_2 g = - m_ 2 a \\ T - m_1 g = m_1 a \\ -T + m_2 g = + m_ 2 a \\ (m_2 - m_ 1 ) g = (m_ 2 + m_ 1 ) a \\ a = \frac { m_2 - m_1 } { m_ 2 + m_1 } g

با قرار دادن مقدارهای m1m _ 1 و m2m_ 2 در رابطه به‌دست آمده، مقدار شتاب را به‌دست می‌آوریم:

a=m2m1m2+m1g=424+2×(9.8)=13×9.8=3.27 ms2a = \frac { m_2 - m_1 } { m_ 2 + m_1 } g = \frac { 4 - 2 } { 4 + 2 } \times (9.8) = \frac { 1 } { 3 } \times 9.8 = 3.27 \ \frac { m } { s ^ 2 }

با قرار دادن شتاب در معادله Tm1g=m1aT - m_1 g = m_1 a مقدار TT را به‌دست می‌آوریم:

Tm1g=m1aT=(2×3.27)+(2×9.8)=26.14 NT - m_1 g = m_1 a \\ T = ( 2 \times 3.27 ) + ( 2 \times 9.8 ) = 26.14 \ N

مثال چهارم

جرم متوسط فردی بزرگسال برابر ۸۶ کیلوگرم است. جرم و وزن این فرد در ماه با شتابی برابر یک‌ششم شتاب زمین چه مقدار است؟ (شتاب جاذبه زمین را برابر ۹٫۸ متر بر مجذور ثانیه در نظر بگیرید)

وزن فرد برابر ۸۶۰ نیوتن و جرم او برابر ۸۶ کیلوگرم است. 

وزن فرد برابر ۱۴۰٫۱۸ نیوتن و جرم او برابر ۸۶ کیلوگرم است. 

وزن فرد برابر صفر نیوتن و جرم او نیز برابر صفر کیلوگرم است. 

قابل محاسبه نیست. 

پاسخ تشریحی

وزن، نیرویی به سمت مرکز سیاره است و با استفاده از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

W=mgW = mg

مقدار g در نزدیکی سطح زمین برابر ۹٫۸ متر بر مجذور ثانیه و در نزدیکی سطح ماه، یک‌ششم این مقدار و برابر ۱٫۶۳ متر بر مجذور ثانیه است. با قرار دادن این مقدار در رابطه W=mgW = mg، وزن فرد را روی سطح ماه به‌دست می‌آوریم:

W=86×1.63=140.18 NW = 86 \times 1.63 = 140.18 \ N

نیروی وزن فردی به جرم ۸۶ کیلوگرم را در سطح ماه به‌دست آوردیم. سوال مهمی که ممکن است مطرح شود آن است که آیا جرم فرد در سطح ماه نیز برابر ۸۶ کیلوگرم است. بله، جرم به صورت مقدار ماده موجود در جسم تعریف می‌شود و مقدار آن در همه جای جهان یکسان است. اما وزن، کمیتی برداری است و مقدار آن در نقاط مختلف کیهان با یکدیگر تفاوت دارد. 

مثال پنجم

مقدار نیروی موردنیاز برای آن‌که اتومبیلی به جرم ۵۴۰ کیلوگرم در مدت ۱۰ ثانیه از حالت سکون به سرعت ۲۷ متر بر ثانیه برسد، چه مقدار است؟ 

۱۶۵۰ نیوتن

۱۴۵۸ نیوتن

۱۳۵۸ نیوتن

۲۵۳۸ نیوتن

پاسخ تشریحی

برای حل این مثال باید از معادلات حرکت غیریکنواخت با شتاب ثابت و قانون دوم نیوتن استفاده کنید. برای به‌دست آوردن مقدار نیروی موردنیاز، باید شتاب و جرم اتومبیل را داشته باشیم. جرم اتومبیل را داریم، بنابراین تنها کافی است که شتاب را به‌دست آوریم. مقدارهای داده شده عبارت هستند از:

  • اتومبیل از حالت سکون شروع به حرکت می‌کند. بنابراین، سرعت اولیه آن برابر صفر است.
  • سرعت نهایی اتومبیل برابر ۲۷ متر بر ثانیه است. 
  • سرعت اتومبیل در مدت ۱۰ ثانیه به ۲۷ متر بر ثانیه می‌رسد. 

با توجه به مقدارهای داده شده، برای به‌دست آوردن شتاب از معادله v=at+v0v = at + v_ 0 استفاده می‌کنیم. 

v=at+v027=a×10a=2.7 ms2v = at + v_ 0 \\ 27 = a \times 10 \\ a = 2.7 \ \frac { m } { s ^ 2 }

با داشتن شتاب و جرم، به راحتی می‌توانیم مقدار نیرو را به‌دست آوریم:

F=maF=540×2.7=1458 NF = ma \\ F = 540 \times 2.7 = 1458 \ N

مثال ششم

جسمی به جرم ۱۰ کیلوگرم روی سطح افقی با نیروی افقی ۵۰ نیوتن به‌طور یکنواخت (با تندی ثابت) حرکت می‌کند. اگر به‌جای نیروی نیوتونی، به این جسم نیروی افقی نیوتونی وارد کنیم، شتاب آن چند متر بر مجذور ثانیه می‌شود؟ 

صفر

دو متر بر مجذور ثانیه

یک متر بر مجذور ثانیه

سه متر بر مجذور ثانیه

پاسخ تشریحی

جسمی روی سطح افقی قرار دارد و نیروی افقی برابر ۵۰ نیوتن بر آن وارد و جسم با تندی ثابت شروع به حرکت می‌کند. وقتی جسمی ساکن است یا با تندی ثابت روی خط راست حرکت می‌کند، برآیند نیروهای وارد شده بر آن برابر صفر خواهد بود. نیروی افقی ۵۰ نیوتنی به صورت زیر بر جسم وارد می‌شود:

اعمال نیروی افقی بر جعبه ای روی میز

پس از اعمال این نیرو، جسم با تندی ثابت شروع به حرکت می‌کند. حرکت با تندی ثابت به معنای صفر بودن برآیند نیروهای وارد بر جسم است. از آنجا که جسم روی خط راست و افقی حرکت می‌کند، برآیند نیروهای افقی وارد شده بر آن باید برابر صفر باشد. نیروی F به سمت راست بر جسم وارد می‌شود. در نتیجه، نیرویی برابر با F باید در خلاف جهت حرکت (به سمت چپ) بر جعبه وارد شود. این نیرو، همان نیروی اصطکاک جنبشی است. 

دو نیروی برابر و در خلاف جهت یکدیگر بر جعبه وارد می شوند.

بنابراین، مقدار نیروی اصطکاک جنبشی برابر ۵۰ نیوتن است. در ادامه، نیروی افقی برابر ۶۰ نیوتن بر جسم وارد می‌شود و جسم با شتاب ثابت شروع به حرکت می‌کند. دو نیروی ۶۰ نیوتن به سمت راست و اصطکاک جنبشی با مقدار ۵۰ نیوتن به سمت چپ بر جسم وارد می‌شوند. بر طبق قانون دوم نیوتن، برآیند نیروهای وارد شده بر جسم برابر حاصل‌ضرب جرم جسم در شتاب آن است:

Ffkma6050=10a=10=10aa=1 ms2F - f_ k - m a \\ 60 - 50 = 10 a = 10 = 10 a \\ a = 1 \ \frac { m } { s ^ 2 }

بنابراین، جسم با شتاب یک متر بر مجذور ثانیه حرکت می‌کند. 

 حل مثال های مربوط به انواع نیرو

در این بخش مثال‌هایی را در رابطه با انواع نیروها در فیزیک با یکدیگر حل می‌کنیم.

مثال اول

قطعه چوبی به جرم یک کیلوگرم با نیرویی برابر ۱۰ نیوتن روی دیوار نگه داشته شده است. کمینه نیروی عمودی موردنیاز برای آن‌که قطعه چوب به سمت بالا حرکت کند چه مقدار است؟ (ضریب اصطکاک ایستایی بین قطعه چوب و دیوار، برابر ۰٫۱۵ و مقدار جاذبه زمین برابر ۱۰ متر بر مجذور ثانیه است)

۱۰ نیوتن

۱٫۵ نیوتن

۸٫۵ نیوتن

۱۱٫۵ نیوتن

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.
مثال دوم

جعبه‌ای به جرم ۲۰ کیلوگرم روی سطح سیمانی قرار دارد. ضریب اصطکاک ایستایی بین جعبه و سطح برابر ۰٫۲۵ است. مردی نیرویی برابر ۳۵ نیوتن را به صورت افقی به جعبه وارد می‌کند. اندازه نیروی اصطکاک ایستایی بین جعبه و سطح کدام است؟

صفر

۲۰۰ نیوتن

۵۰ نیوتن

۳۵ نیوتن

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.
مثال سوم

مردی جعبه‌ای به وزن ۵۰ نیوتن را از سطح شیبداری با زاویه ۳۰ درجه نسبت به افق و ارتفاع ۴ متر بالا می‌برد. اگر کار انجام شده توسط مرد برابر ۲۷۰ ژول باشد، ضریب اصطکاک سطح شیبدار کدام است؟

۰٫۲

۰٫۱۵

۰٫۳۵

باید جرم جعبه را بدانیم.

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.
مثال چهارم

جعبه‌ای به جرم ۵ کیلوگرم با سرعت اولیه ۵ متر بر ثانیه روی سطحی حرکت می‌کند. اگر ضریب اصطکاک ابستایی بین جعبه و سطح، برابر ۰٫۱ باشد، پس از چه مدت زمانی جعبه متوقف می‌شود؟

۵٫۱ ثانیه

۳٫۲ ثانیه

صفر ثانیه

۲٬۰ ثانیه

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

حل مثال های مربوط به حرکت دایره‌ ای

در این بخش مثال‌هایی را در رابطه با حرکت دایره‌ای با یکدیگر حل می‌کنیم.

مثال اول

سنگی به جرم ۱٫۵ کیلوگرم روی سطح بدون اصطکاکی قرار دارد. این سنگ به طنابی به طول ۸۵ سانتی‌متر بسته شده است و روی مسیری به شکل دایره، روی این سطح حرکت می‌کند. اگر سرعت خطی سنگ برابر ۱٫۸ متر بر ثانیه باشد، نیروی کشش طناب چه مقدار است؟ 

۴٫۷۲ نیوتن

۵٫۷۲ نیوتن

۳٫۵ نیوتن

۲ نیوتن

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.
 مثال دوم

اتومبیلی باسرعت ۲۴ متر بر ثانیه در جاده‌ای حرکت می‌کند. اگر ضریب اصطکاک بین چرخ‌های اتومبیل و جاده، برابر ۰٫۵۳ باشد، کمینه شعاعی که اتومبیل می‌تواند دور بزند، چه مقدار است؟ 

مقدارهای داده شده برای محاسبه کمینه شعاع کافی نیستند. 

۱۰۰ متر

۹۲ متر

۱۱۰ متر

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.
مثال سوم

آونگی متشکل از سیمی به طول ۱۰ متر و جرمی به جرم ۶۰ کیلوگرم را در نظر بگیرید که از سقف به صورت عمودی آویزان شده است. آونگ را به گونه‌ای حرکت می‌دهیم که سیم با خط عمودِ گذرنده از محل اتصال سیم زاویه ۵٫۵ درجه بسازد. سپس، جرم را روی مسیری به شکل دایره به صورت نشان داده شده در تصویر زیر به حرکت درمی‌آوریم. اندازه سرعت حرکت جرم کدام است؟(مقدار g برابر ۱۰ و مقدار سینوس ۵٫۵ درجه برابر ۰٫۰۹۵ است): 

آونگی از سقف آویزان شده است.

۰٫۹۲ متر بر ثانیه

۰٫۵ متر بر ثانیه

۰٫۷۲ متر بر ثانیه

با مقادیر داده شده نمی‌توان سرعت حرکت جسم را به‌دست آورد. 

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

حل مثال های مربوط به گرانش و رابطه تکانه و قانون دوم نیوتن

در این بخش مثال‌هایی را در رابطه با نیروی گرانش و رابطه تکانه و قانون دوم نیوتن با یکدیگر حل می‌کنیم.

مثال اول

توپی به جرم ۰٫۵ کیلوگرم با تندی ۸ متر بر ثانیه به بازیکنی نزدیک می‌شود. بازیکن با مشت ضربه‌ای به توپ می‌زند، بنابراین توپ با تندی ۱۲ متر بر ثانیه در جهت مخالف برمی‌گردد. اگر مشت بازیکن ۰٫۰۲ ثانیه با توپ در تماس باشد، اندازه نیروی متوسط وارد شده بر توپ از طرف مشت بازیکن کدام است؟ 

۲۵۰ نیوتن

۳۰۰ نیوتن

۴۵۰ نیوتن

۵۰۰ نیوتن

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.
مثال دوم

نیروی گرانشی بین دو جسم A و ‌B برابر ۴ نیوتن است. اگر جرم جسم B نصف شود و جرم جسم A بدون تغییر بماند، نیروی گرانشی بین دو جسم چه مقدار می‌شود؟ 

۲ نیوتن

۴ نیوتن

۶ نیوتن

نیروی گرانشی تغییر نمی‌کند. 

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.
مثال سوم

وزن جسمی روی سطح زمین برابر ۸۰ نیوتن است. وزن جسم در فاصله 2R2R از سطح زمین چه مقدار است؟ (R شعاع زمین است)

۱۶۰ نیوتن

۸۰ نیوتن

۶۰ نیوتن

۴۰ نیوتن

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

 فرمول های فیزیک دهم فصل سوم

فرمول های فیزیک دوازدهم در فصل سوم در مورد موج و نوسان هستند. ابتدا فرمول‌های این فصل را به صورت خلاصه بیان، سپس چند مسئله را در این رابطه با یکدیگر حل می‌کنیم. فرمول های فیزیک دوازدهم فصل سوم در جدول زیر به صورت خلاصه نوشته شده‌اند.

مبحث موردنظرفرمول های فیزیک دهم فصل سوم
بسامد یا بسامدf=1Tf = \frac { 1 } { T }
معادله مکان زمان در حرکت هماهنگ سادهx(t)=Acosωtx ( t ) = A \cos \omega t
بسامد زاویه‌ایω=2πT=2πf\omega = \frac { 2 \pi } { T } = 2 \pi f
دوره تناوب سیستم جرم و فنرT=2π mkT = 2 \pi \ \sqrt { \frac { m } { k } }
بسامد زاویه‌ای سیستم جرم و فنرω=km\omega = \sqrt { \frac { k } { m } }
انرژی مکانیکی سیستم جرم و فنرE=12kA2E = \frac { 1 } { 2 } k A ^ 2
انرژی مکانیکی نوسانگر هماهنگ سادهE=2π2mA2f2E = 2 \pi ^ 2 m A^ 2 f ^ 2
دوره تناوب آونگ سادهT=2πLgT = 2 \pi \sqrt { \frac { L } { g } }
تندی انتشار موجv=λT=λfv = \frac { \lambda } { T } = \lambda f
تندی انتشار موج عرضی در تار یا فنرv=Fμv = \sqrt { \frac { F } { \mu }}
شدت صوتI=PavAI = \frac { P _ { av } } { A }
تراز شدت صوتβ=(10 dB)log(II0)\beta = ( 10 \ dB ) \log ( \frac { I } { I _ 0 } )

در ادامه، فرمول های فیزیک دوازدهم فصل سوم نوشته شده در جدول فوق را با حل مثال به صورت خلاصه توضیح می‌دهیم.

نوسان دوره ای

به انتقال اختلال از مکانی به مکان دیگر در محیط، موج گفته می‌شود. این انتقال اختلال، بدون انتقال ماده، انرژی را از نقطه اول (منبع) به نقطه دیگر منتقل می‌کند. هر نقطه در محیطِ انتقال‌دهنده موج به طور موقت جابجا می‌شود و سپس به موقعیت تعادلی اصلی‌ خود بازمی‌گردد. هنگامی‌که سیم گیتاری را به حرکت درمی‌آورید، صدایی ایجاد می‌شود که برای مدت زمان نسبتا طولانی باقی می‌ماند. مدت زمان هر ارتعاش یا نوسان سیم، برابر مدت زمان ارتعاش قبلی است. دنیای اطراف ما سرشار از نوسان است. نوسان‌ها ممکن است دوره‌ای یا غیردوره‌ای باشند. نوسان دوره‌ای را به صورت تکرار یک حرکت در بازه‌های زمانی منظم، تعریف می‌کنیم.

به مدت زمانِ تکرار هر حرکت، دوره تناوب (T) گفته می‌شود. همچنین، در تعریف نوسان دوره‌ای کمیت دیگری به نام بسامد وجود دارد که به صورت تعداد نوسان‌ها در هر ثانیه تعریف می‌شود:

f=1Tf = \frac { 1 } { T }

یکای اندازه‌گیری بسامد در SI هرتز (Hz) است:

1 Hz=1 1s1 \ Hz = 1 \ \frac { 1 } { s }

حرکت هماهنگ ساده

به نوسان دوره‌ای که نمودار مکان زمان آن به شکل سینوسی است، حرکت هماهنگ ساده گفته و معادله مکان زمان آن به صورت زیر نوشته می‌شود:

x(t)=Acosωtx( t ) = A \cos \omega t

در رابطه فوق:

  • A دامنه نوسان است.
  • ω\omega بسامد زاویه‌ای نام دارد و برابر 2πT\frac { 2 \pi } { T } یا 2πf2 \pi f است.

جرم متصل به فنر یکی از معروف‌ترین مثال‌های حرکت هماهنگ ساده است. دوره تناوب و بسامد زاویه‌ای سیستم جرم و فنر با استفاده از رابطه‌های زیر به‌دست می‌آیند:

T=2πmkω=kmT = 2 \pi \sqrt { \frac { m } { k } } \\ \omega = \sqrt { \frac { k } { m } }

انرژی در حرکت هماهنگ ساده

جرم متصل به فنری را در نظر بگیرید که حرکتی به صورت حرکت نوسانی هماهنگ ساده انجام می‌دهد. انرژی مکانیکی این سیستم مقداری ثابت است و با استفاده از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

E=12kA2E=2π2mA2f2E = \frac { 1 } { 2 } k A ^ 2 \\ E = 2 \pi ^ 2 m A ^ 2 f ^ 2

آونگ، جرم کوچکی است که به نخی سبک متصل شده است. در حالت عادی، جرم و نخ متصل به آن به صورت عمودی از نقطه‌ای آویزان شده‌اند. اگر جرم را با زاویه‌ای بسیار کوچکی از وضع تعادل رها کنیم، سیستم جرم و نخ می‌تواند حرکت هماهنگ ساده انجام دهد. دوره تناوب آونگ ساده از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

T=2πLgT = 2 \pi \sqrt { \frac { L } { g } }

تشدید

اگر جرم متصل به فنر یا جرم متصل به نخ در آونگ ساده، از حالت تعادل خارج و رها شوند، با بسامد یا بسامد مشخصی شروع به نوسان می‌کنند. به این بسامد، بسامد طبیعی گفته می‌شود. این نوسانگرها می‌توانند با اعمال نیروی خارجی نیز به نوسان درآیند.به چنینی نوسانی، نوسان واداشته می‌گوییم، زیرا نیرویی خارجی آن‌ها را وادار به نوسان کرده است. در حالت عادی، دامنه نوسان جرم پس از مدتی به دلیل نیروی مقاومت هوا و نیروهای اتلافی دیگر، کوچک و کوچک‌تر می‌شود، تا جایی که به صفر برسد. با اعمال نیروی خارجی بر نیروی اتلافی غلبه می‌کنیم.

نوسان سیستم جرم و فنر

اگر دامنه نوسانگر (جرم فنر یا آونگ ساده) پس از اعمال نیرو، بزرگ‌تر شود، دامنه نوسان‌های واداشته با بسامد طبیعی نوسانگر برابر شده است. به این حالت تشدید یا رزونانس گفته می‌شود.

مشخصه های موج

مهم‌ترین مشخصه‌های امواج عبارت هستند از:

  • دامنه: به حداکثر جابجایی ذره محیط از نقطه تعادل، دامنه موج گفته می‌شود. به بیان دیگر، دامنه فاصله نقطه تعادل از نقاط قله یا فرورفتگی است.
  • دوره تناوب: به مدت زمانی که هر ذره در محیط، یک نوسان کامل انجام می‌دهد، دوره تناوب گفته می‌شود.
  • بسامد: به تعداد نوسان‌های ذره محیط در هر ثانیه، بسامد می‌گوییم.
  • تندی انتشار موج: تندی انتشار موج با استفاده از رابطه ‌v=λT=λfv = \frac { \lambda } { T } = \lambda f به‌دست می‌آید.

موج و انواع آن

امواج به دو دسته کلی تقسیم می‌شوند.

  • امواج عرضی: در موج عرضی، ذرات محیط در امتداد عمود بر جهت حرکت موج منتقل می‌شوند. امواح سطح آب یا امواج الکترومغناطیسی (مانند نور و امواج رادیویی)‌ امواج عرضی هستند. تندی انتشار موج عرضی در تار یا فنر با استفاده از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

v=Fμv = \sqrt { \frac { F } { \mu } }

          در رابطه فوق،‌ F نیروی کشش و μ\mu چگالی خطی است.

  • امواج طولی: در موج طولی جابجایی ذرات، موازی با جهت انتشار موج است.

موج الکترومغناطیسی

امواج الکترومغناطیسی می‌توانند انرژی را در محیط خلا منتقل کنند. این امواج از طریق نوسان ذرات باردار تولید می‌شوند.

موج مکانیکی

موج مکانیکی نمی‌تواند انرژی را در خلا منتقل کند. امواج مکانیکی برای انتقال انرژی از مکانی به مکان دیگر به محیط انتقال نیاز دارند. موج صوتی مثالی از موج مکانیکی است. امواج صوت در محیط خلأ منتقل نمی‌شوند.

موج صوتی

موج صوتی از نوع امواج طولی است که توسط جسمی مرتعش مانند سیم ویولن، تولید می‌شود. جسم مرتعش، چشمه صوت نام دارد و صوت ایجاد شده را در تمام جهت‌ها پخش می‌کند. امواج صوتی با حرکت در محیط، انرژی را از نقطه‌ای به نقطه دیگر منتقل می‌کنند. تراز و شدت صوت با استفاده از رابطه‌های زیر به‌دست می‌آیند. در ادامه، با حل چند مثال، چگونگی استفاده از این فرمول‌ها را با یکدیگر بررسی می‌کنیم.

شدت صوت          I=PavgAI = \frac { P _ { avg }} { A }
تراز شدت صوت        β=(10 db)log(II+0\beta = ( 10 \ db ) \log (\frac { I } { I + 0 }

مثال های حرکت هماهنگ ساده

در این قسمت چند مثال را در رابطه با حرکت هماهنگ ساده با یکدیگر حل می‌کنیم.

مثال اول

اگر طول نخ آونگی ۴ برابر شود، دوره تناوب آن چگونه تغییر می‌کند؟ 

دوره تناوب ۴ برابر می‌شود. 

دوره تناوب 14\frac { 1 } { 4 } می‌شود. 

دوره تناوب دو برابر می‌شود. 

دوره تناوب 12\frac { 1 } { 2 } می‌شود. 

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.
مثال دوم

جسمی به جرم ۰٫۳۵ کیلوگرم به فنر بدون جرمی با ثابت فنر ۷۰ نیوتن بر متر متصل شده است. فنر و جرم متصل به آن به صورت افقی روی سطح بدون اصطکاکی قرار گرفته‌اند و نوسان می‌کنند. اگر دامنه نوسان برابر ۴٫۰ سانتی‌متر باشد، مقدار کل انرژی مکانیکی سیستم جرم و فنر کدام است؟ 

۰٫۰۵۶ ژول

۷۰٫۰ ژول

۲٫۸ ژول

بدون داشتن سرعت نوسان نمی‌توانیم انرژی مکانیکی کل را به‌دست آوریم. 

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.
مثال سوم

فنری به صورت عمودی از نقطه‌ای آویزان شده است. جسمی به جرم ۰٫۵ کیلوگرم را به آن وصل می‌کنیم. پس از اتصال جرم، فنر به اندازه ۰٫۱۲۵ متر کشیده می‌شود. مقدار ثابت فنر کدام است؟ 

۴٫۰ نیوتن بر متر

۴۰٫۰ نیوتن بر متر

۰٫۰۶۲۵ نیوتن بر متر

۰٫۲۵۰ نیوتن بر متر

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.
مثال چهارم

دانش‌آموزان در کلاس فیزیک در حال انجام آزمایشی در رابطه با حرکت هماهنگ ساده و یادگیری مفاهیم بسامد و دوره تناوب هستند. آن‌ها فنری را به نوسان درمی‌آورند. این فنر در مدت زمان ۱۸٫۱ ثانیه، ۱۵ سیکل یا چرخه را کامل می‌کند. دوره تناوب و بسامد فنر برابر هستند با:

دوره تناوب برابر ۱٫۲۱ ثانیه و بسامد برابر ۰٫۸۳ هرتز است. 

دوره تناوب برابر ۱٫۴۱ ثانیه و بسامد برابر ۰٫۷۱ هرتز است. 

دوره تناوب برابر ۰٫۸۳ ثانیه و بسامد برابر ۱٫۲۱ هرتز است. 

دوره تناوب برابر ۲٫۲۱ ثانیه و بسامد برابر ۰٫۴۵ هرتز است. 

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.
مثال پنجم 

جسمی به جرم m مطابق تصویر نشان داده شده در زیر به دو فنر با ثابت‌های ‌فنر k1k_1 و k2k _ 2 وصل شده است و با بسامد زاویه‌ای ω\omega نوسان می‌کند. اگر فنر k2k _ 2 حذف شود، بسامد زاویه‌ای برابر است با: 

دو فنر به صورت موازی به جسمی به جرم m متصل شده‌اند.

32ω\sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \omega

23ω\sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \omega

13ω\sqrt { \frac { 1 } { 3 } } \omega

3ω\sqrt { 3 } \omega

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.
مثال ششم

نوسانگر ساده‌ای روی زمین از نقطه + A+ \ A و در خلاف جهت محور xx شروع به نوسان می‌کند. اگر متحرک سه ثانیه پس از شروع حرکت و بدون تغییر جهت به نقطه B برسد، چند ثانیه پس از عبور از نقطه B برای اولین بار به نقطه C می‌رسد؟ 

حرکت نوسانگر ساده روی خط راست

۱٫۵ ثانیه

یک ثانیه

۲ ثانیه

۳ ثانیه

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

مثال تشدید

در این قسمت مثالی را در رابطه تشدید با یکدیگر حل می‌کنیم.

مطابق تصویر زیر چهار فنر با ثابت فنرهای متفاوت از سقف آویزان شده‌اند و به هر یک از آن‌ها جسمی با جرم مشخص وصل شده است. اگر سیستم جرم فنر A با بسامد طبیعی خود نوسان کند، پدیده تشدید در کدام‌یک از سیستم‌های جرم فنر مشاهده می‌شود؟ مشخصات فنرها عبارت هستند از: 

  • ثابت فنر A برابر ۲۰۰ نیوتن بر متر و جرم متصل به آن برابر ۲ کیلوگرم است. 
  • ثابت فنر B برابر ۳۰۰ نیوتن بر متر و جرم متصل به آن برابر ۳ کیلوگرم است. 
  • ثابت فنر C برابر ۱۵۰ نیوتن بر متر و جرم متصل به آن برابر ۲ کیلوگرم است. 
  • ثابت فنر D برابر ۴۰۰ نیوتن بر متر و جرم متصل به آن برابر ۵ کیلوگرم است. 
۴ فنر از سقف آویزان شده اند

C

B

D

هیچکدام

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

مثال های موج، انواع و مشخصه های آن

در این قسمت مثال‌هایی را در رابطه با انواع موج با یکدیگر حل می‌کنیم.

مثال اول

تراز شدت موج صوتی با شدت 4.0×105 Wm24.0 \times 10 ^ { -5 } \ \frac { W } { m ^ 2 } کدام است؟ 

۸۶ دسی‌بل

۶۶ دسی‌بل

۷۶ دسی‌بل

۵۵ دسی‌بل

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.
 مثال دوم

اگر تراز صوت در فاصله دو متری از مبدا برابر ۴۰ دسی‌بل باشد، مقدار آن در فاصله ۴ متری از مبدا کدام است؟ 

۳۳٫۹۸ دسی‌بل

۳۰٫۹۸ دسی‌بل

۲۳٫۹۸ دسی‌بل

۲۰٫۹۸ دسی‌بل

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.
مثال سوم

موجی از محیطی عبور می‌کند و ذرات محیط را در راستای عمود بر انتشار موج به نوسان درمی‌آورد. کدام یک از گزینه‌های زیر در مورد این موج درست است؟ 

موج عبوری از محیط می‌تواند موج صوتی باشد. 

موج عبوری از محیط می‌تواند موج رادیویی باشد. 

موج عبوری از محیط می‌تواند نور مرئی باشد. 

این موج می‌تواند امواج سطحی ایجاد شده در سطح آب باشد. 

پاسخ تشریحی