محاسبه انتگرال کار – در دو و سه بعد + حل مثال

در مطالب قبلی مجله فرادرس کاملا توضیح داده‌ایم که مفهوم کار در فیزیک چیست و چه فرمولی دارد. در این مطلب همراه با حل مثال نشان می‌دهیم از انتگرال کار در مباحث فیزیک مکانیک چه استفاده‌ای می‌شود و چگونه می‌توان این انتگرال را برای مسائل یک، دو یا سه بعدی حل کرد. همچنین نشان می‌دهیم کار نیروهای متغیر در حرکت چرخشی چگونه محاسبه می‌شود.

انتگرال کار چیست و چه انواعی دارد؟

از انتگرال کار برای محاسبه کار انجام شده توسط یک نیروی متغیر استفاده می‌کنیم. زمانی که نیرو ثابت است، محاسبه کار توسط فرمول $$W=Fd\cos \theta$$ انجام می‌شود. اما اگر نیرو ثابت نباشد، لازم است انتگرال کار را حل کنیم:

پس اولین قدم برای محاسبه کار این است که به نیروی ایجاد کننده آن توجه کنیم و ببینیم این نیرو ثابت است یا متغیر. در ادامه توضیح می‌دهیم که محاسبه کار نیروی ثابت و متغیر چه تفاوت‌هایی با هم دارند.

یادگیری فیزیک پایه با فرادرس

یکی از مهم‌ترین کتاب‌‌های رشته‌های مهندسی و علوم پایه، کتاب‌ها و مباحث فیزیک پایه هستند که اغلب در قالب دو درس فیزیک ۱ و فیزیک ۲ ارائه می‌شوند. به همین دلیل در این بخش قصد داریم چند فیلم آموزشی مرتبط با این دروس را به شما معرفی کنیم. مشاهده این دوره‌های فرادرس به شما کمک می‌کند تا با حل مثال‌ها و تمرین‌های متنوع‌ درک بسیار عمیق‌تری نسبت به این مباحث کسب کنید:

• فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ فرادرس
• فیلم آموزش فیزیک ۱ دانشگاهی با رویکرد حل مساله فرادرس
• فیلم آموزش فیزیک عمومی ۲ – حل مساله فرادرس
• فیلم آموزش فیزیک پایه ۳ – جامع و کاربردی فرادرس

کار نیروی ثابت

برای اینکه با مفهوم کار نیروی ثابت بهتر آشنا شوید، به مثالی که در ادامه توضیح می‌دهیم، توجه کنید. مطابق شکل فرض کنید شخصی روی یک صندلی چرخ‌‌دار نشسته است و تلاش می‌کند تا این صندلی را به سمت بالای یک سطح شیب‌دار حرکت دهد. زمانی که شخص با دست خود نیروی $$F$$ را به سمت پایین چرخ وارد می‌کند، گشتاوری معادل $$r \times F$$ خواهیم داشت که باعث چرخش چرخ به سمت جلو می‌شود:

همچنین نیروی اصطکاک که از سمت چرخ به زمین وارد می‌شود، دارای عکس‌العملی در جهت مخالف است که موجب هل دادن چرخ به سمت جلو خواهد شد. در نهایت با خسته شدن شخص ممکن است حرکت متوقف شود. پس در این مثال دو نیروی ثابت داریم که موجب حرکت چرخ می‌شوند، نیروی $$F$$ و نیروی اصطکاک.

مفهوم فیزیکی کار همان نیرویی است که نقطه اثر خود را جابجا می‌کند و ظرفیت یک سیستم برای انجام کار نیز روشی برای اندازه‌گیری انرژی آن است. در این مثال شخصی که روی صندلی چرخ‌دار نشسته است، کار انجام می‌دهد. به این ترتیب کاری که توسط نیروی بازوی شخص یا $$F$$ برای جابجا شدن به اندازه $$d$$ روی این سطح انجام می‌شود برابر است با:

$$W= Fd \cos \theta$$

براساس فرمول بالا یکای کار یا $$W$$ برابر است با نیوتن در متر یا ژول. همچنین $$\theta$$ زاویه‌ای است که بین بردار نیرو و بردار جابجایی وجود دارد. اگر با ضرب داخلی دو بردار آشنا باشید، بلافاصله به این نتیجه می‌رسید که فرمول کار را می‌توان به شکل زیر نیز نوشت:

$$W = \vec{F}⋅\vec{d}$$

کار نیروی متغیر در یک بعد

پس از اینکه با فرمول کلی کار آشنا شدیم، در این بخش مبحث کار نیروی متغیر را توضیح می‌دهیم تا در نهایت به انتگرال کار برسیم. در فرمول کار نیروی ثابت یا $$W = \vec{F}.\vec{d}$$، نیروهایی را در نظر گرفته‌ایم که هنگام حرکت جسم، اندازه یا جهت‌شان تغییر نمی‌کند (مانند نیروی گرانش در نزدیکی زمین که برای یک جرم مشخص تقریبا مقدار ثابتی دارد). اما نیروهای دیگری نیز وجود دارند که ممکن است در حین جابجایی جسم تغییر کنند.

فرض کنید جسمی تحت اثر نیروی متغیری مانند $$F(x)$$ در امتداد محور x از نقطه $$x_i$$ تا نقطه $$x_f$$ حرکت می‌کند. نمایش نیرو به شکل $$F(x)$$ نشان‌دهنده این است که همزمان با جابجایی جسم، اندازه (یا جهت) نیرو نیز تغییر می‌کند. حالا با تقسیم فاصله $$x_i$$ تا $$x_f$$ به تعداد زیادی فاصله کوچکتر، می‌توانیم با تقریب نیرو را در هر کدام از این فواصل خیلی کوچک ثابت در نظر بگیریم:

در تصویر بالا مشاهده می‌کنید که فاصله $$x_i$$ تا $$x_f$$ به $$N$$ فاصله مساوی با طولی برابر با $$δx$$ تقسیم شده است. اگر اولین جابجایی یعنی جابجایی معادل با رفتن از $$x_i$$ تا $$x_i + δx$$ را در نظر بگیریم، چون $$δx$$ خیلی خیلی کوچک فرض شده است، پس می‌توانیم نیروی $$F(x)$$ را ثابت و برابر با $$F_1$$ قرار دهیم. به این ترتیب با استفاده از فرمول کار نیروی ثابت، کار انجام شده توسط این نیرو در این فاصله برابر می‌شود با $$δW_1 = F_1 δx$$.

به همین شکل کار انجام شده در فواصل دوم، سوم، ... تا $$N$$ام را محاسبه می‌کنیم. کل کار انجام شده در فاصله $$x_i$$ تا $$x_f$$ برابر خواهد شد با:

$$W = δW_1 + δW_2 + ... + δW_N$$

$$W = F_1 δx + F_2 δx + ... + F_N δx$$

که می‌توان آن را به شکل زیر نیز نوشت:

$$W = \sum_{n=1}^{N} F_n δx$$

واضح است که در این تقریب هر چه تعداد فواصل بیشتر باشد، $$δx$$ نیز کوچک و کوچکتر خواهد شد و پاسخ ما به جواب واقعی نزدیکتر است. اگر $$δx$$ به سمت صفر میل کند، تعداد فاصله‌ها یعنی $$N$$ نیز به سمت بی‌نهایت میل می‌کند. در این صورت نتیجه دقیقی برای کار انجام شده خواهیم داشت که به شکل زیر است:

$$W = \lim_{δx \rightarrow 0 } \sum_{n=1}^{N} F_n δx$$

این رابطه همان انتگرال کار یا انتگرال $$F_x$$ نسبت به $$x$$ است از $$x_i$$ تا $$x_f$$:

$$\int_{x_i}^{x_f} F_x(x) dx = \lim_{δx \rightarrow 0 } \sum_{n=1}^{N} F_n δx$$

حاصل عددی این انتگرال دقیقا برابر می‌شود با مساحت بین منحنی نیرو و محور xها از $$x_i$$ تا $$x_f$$. به این ترتیب کار انجام شده توسط نیروی $$F_x$$ در جابجایی از $$x_i$$ تا $$x_f$$ به صورت زیر است:

$$W = \int_{x_i}^{x_f} F_x(x) dx$$

نکته: علامت $$W$$ در انتگرال کار به علامت $$F_x$$ و نقاط ابتدا و انتهای فاصله موردنظر بستگی دارد. برای مثال، اگر $$F_x$$ مثبت باشد و جسم در جهت مثبت محور xها حرکت کند، $$W$$ نیز مثبت است.

پس در این بخش برای به دست آوردن انتگرال کار یک نیروی یک بعدی متغیر به این شکل عمل کردیم که ابتدا مساحت ناحیه زیر منحنی چنین نیرویی را به فواصل خیلی خیلی کوچک و مساوی تقسیم می‌کنیم. سپس از این نکته استفاده کردیم که حاصل‌جمع مساحت این نوارها تقریبا با مساحت زیر منحنی برابر است. اگر تعداد این نوارها را بیشتر کنیم، تقریب بهتری خواهیم داشت و در حالت حدی $$δx \rightarrow 0$$ مساحت واقعی به دست خواهد آمد.

کار نیروی متغیر در دو و سه بعد

در بخش قبل نشان دادیم چنانچه اندازه نیروی وارد به یک ذره تغییر کند، لازم است برای پیدا کردن کار انتگرال کار را حل کنیم. در این بخش یک نکته دیگر را به پیش‌فرض‌های بخش قبل اضافه می‌کنیم و آن تغییرات جهت نیرو علاوه‌ بر تغییرات اندازه آن است. پیش از شروع، پیشنهاد می‌کنیم اگر می‌خواهید تمرین‌های متنوعی راجع‌به مباحث مختلف در فیزیک پایه یک حل کنید، فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ – مرور و حل تست فرادرس را مشاهده کنید:

ذره‌ای را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید که روی یک مسیر منحنی شکل حرکت می‌کند:

در این شرایط باید مسیر حرکت ذره را به تعداد زیادی بردار جابجایی کوچکتر به نام $$\vec{δs}$$ تقسیم کنیم که هر کدام بر مسیر حرکت در همان نقطه مماس‌اند و جهت حرکت را نشان می‌دهند. فرض کنید دو جابجایی را مطابق شکل بالا بین دو نقطه ابتدا و انتهای بازه یعنی $$i$$ و $$f$$ انتخاب می‌کنیم.

همچنین زاویه متغیر $$φ$$ نیز نشان‌دهنده زاویه بین دو بردار جابجایی و نیرو در هر نقطه است. به این ترتیب کار انجام شده روی ذره در جابجایی $$\vec{δs}$$ برابر است با:

$$δW = \vec{F} . \vec{δs} = F δs \cosφ$$

برای محاسبه کاری که نیروی متغیر $$F$$ از $$i$$ تا $$f$$ روی ذره انجام می‌دهد، باید تمام عناصر کاری که در هر جزء کوچک روی این مسیر انجام می‌شوند را با هم جمع کنیم. پس با جایگزینی $$\vec{δs}$$ با $$\vec{ds}$$ و استفاده از انتگرال‌گیری خواهیم داشت:

$$W = \int_{i}^{f} \vec{F} . \vec{ds} = \int_{i}^{f} F ds \cosφ$$

نکته مهم بعدی برای حل انتگرال کار این است که بدانیم $$F$$ و $$φ$$ هر دو تابعی از مختصات ذره یعنی $$x$$ و $$y$$ هستند. اگر این دو بردار را بر حسب مولفه‌هایشان بازنویسی کنیم، خواهیم داشت:

$$\vec{F} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j}$$

$$\vec{ds} = dx \hat{i} + dy \hat{j}$$

$$\vec{F} . \vec{ds} = F_x dx + F_y dy$$

$$W = \int_{i}^{f} (F_x dx + F_y dy)$$

در محاسبه بالا از ضرب داخلی بردارهای یکه استفاده کرده‌ایم. انتگرال‌های بالا انتگرال خطی محسوب می‌شوند و برای حساب کردن آن‌ها باید بدانیم زمانی که ذره‌ای روی یک خط یا منحنی مشخص با معادله $$y(x)$$ حرکت می‌کند، $$F_x$$ و $$F_y$$ چگونه تغییر می‌کنند.

همچنین انتگرال بالا در حقیقت دو انتگرال خطی یک بعدی یا یک انتگرال دو بعدی است که می‌توان آن را به سه بعد نیز تعمیم داد:

$$W = \int_{i}^{f} (F_x dx + F_y dy+ F_z dz)$$

قضیه کار و انرژی برای نیروهای متغیر

می‌‌دانیم طبق قضیه کار و انرژی کار برآیندی که نیروهای وارد بر یک جسم انجام می‌دهند با تغییرات انرژی جنبشی آن جسم برابر است:

$$W_{net} = K_f - K_i = \frac{1}{2} mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$$

این رابطه در مورد کار نیروهای متغیر نیز صادق است و در ادامه این مسئله را اثبات می‌کنیم. فرض کنید $$F_{net,x}$$ را معادل نیروی برآیند وارد بر جسمی در نظر می‌گیریم که متغیر و یک بعدی است. کار برآیند حاصل از این نیرو طبق انتگرال کار برابر است با $$W_{net} = \int F_{net,x} dx$$. از طرفی چون سرعت با مکان و مکان با زمان تغییر می‌کند، پس می‌توانیم قانون دوم نیوتن را برای نیروی برآیند به شکل زیر بنویسیم:

$$F_{net,x} = ma_x = m \frac{dv_x}{dt} = m \frac{dv_x}{dx} \frac{dx}{dt}$$

$$F_{net,x} = mv_x \frac{dv_x}{dx}$$

بنابراین انتگرال کار به صورت زیر خواهد شد:

$$W_{net} = \int mv_x \frac{dv_x}{dx} dx$$

$$W_{net} = \int mv_x dv_x$$

حالا متغیر انتگرال‌گیری سرعت است. پس کران بالا و پایین انتگرال بالا سرعت‌‌‌های اولیه و نهایی هستند:

$$W_{net} = \int_{v_{ix}}^{v_{fx}} mv_x dv_x$$

$$W_{net} = m \int_{v_{ix}}^{v_{fx}} v_x dv_x$$

$$W_{net} = \frac{1}{2} m (v_{fx}^2 - v_{ix}^2)$$

این نتیجه همان تغییرات انرژی جنبشی است که در مورد کار نیروهای ثابت نیز استفاده می‌شود:

$$W_{net} = ΔK$$

انتگرال کار در حرکت چرخشی

تا اینجا تمام حرکات و نیروهایی که بررسی کردیم، به حرکت انتقالی مربوط می‌شدند. در این بخش می‌خواهیم ببینیم انتگرال کار در حرکت چرخشی چیست و چگونه می‌توان به آن رسید. فرض کنید می‌خواهیم کار انجام شده روی جسم صلبی را محاسبه کنیم که طبق شکل زیر حول یک محور ثابت در حال چرخش است:

نیروی خارجی $$F$$ به نقطه $$P$$ که در فاصله $$r$$ از محور چرخش قرار دارد، وارد می‌شود. با چرخش جسم به اندازه زاویه کوچک $$d \theta$$، نقطه $$P$$ به اندازه کمان $$ds = r d \theta$$ حرکت می‌کند. پس مولفه نیرو در جهت حرکت نقطه $$P$$ می‌شود $$F \sin φ$$. به این ترتیب کار انجام شده توسط این نیرو برابر است با:

$$dW = F \sinφ ds = rF \sinφ d \theta$$

در عبارت بالا $$rF \sinφ$$ همان گشتاور نیروی $$F$$ حول محور z است که می‌توانیم آن را به شکل $$τ_z$$ نمایش دهیم. پس کار انجام شده در چرخش از $$θ_i$$ تا $$θ_f$$ برابر است با:

$$W = \int_{θ_i}^{θ_f} τ_z d \theta$$

پس انتگرال کار در حرکت چرخشی مشابه انتگرال کار در حرکت انتقالی است، با این تفاوت که در اینجا گشتاور به جای نیرو و مختصات زاویه‌ای به جای مختصات خطی در نظر گرفته شده است.

نکته: شکل چرخشی قضیه کار و انرژی مانند شکل انتقالی آن است، با این تفاوت که فرمول انرژی جنبشی به صورت $$K = \frac{1}{2} I ω^2$$ خواهد بود ($$I$$ لختی دورانی و $$ω$$ سرعت زاویه‌ای جسم هستند).

یادگیری مباحث مختلف فیزیک با فرادرس

در این بخش قصد داریم مجموعه‌ای از دروس انتخابی فیزیک را به شما معرفی کنیم که شامل برخی موضوعات کاربردی‌تر فیزیک است. با مشاهده این فیلم‌های آموزشی از مجموعه فرادرس می‌توانید یادگیری و تسلط خود را در برخی حوزه‌های تخصصی‌تر فیزیک تقویت کنید:

• فیلم آموزش رایگان تکنیک خلاء + گواهینامه
• فیلم آموزش مبانی طراحی اپتیکی + گواهینامه
• فیلم آموزش کار با میکروسکوپ الکترونی روبشی SEM

حل مثال و تمرین از انتگرال کار

در بخش‌های قبل این مطلب از مجله فرادرس روند رسیدن به انتگرال کار را در مورد کار یک نیروی متغیر در یک، دو و سه بعد توضیح دادیم. در این بخش با حل چند مثال متنوع، نحوه استفاده از فرمول‌های گفته شده را بهتر درک خواهید کرد.

مثال ۱

نیروی یک فنر کشیده شده یا فشرده شده مثال خوبی است از یک نیروی متغیر یک بعدی. جسمی را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید که به یک فنر متصل شده است. بدون اعمال نیرو، فنر در حالت عادی است و جسم در $$x=0$$ قرار دارد. اگر نیروی خارجی $$F_{ext}$$ به این فنر اعمال شود، بسته به جهت اعمال نیرو فنر فشرده یا کشیده خواهد شد.

از طرفی، فنر نیز نیروی $$F_s$$ را در خلاف جهت نیروی خارجی وارد شده اعمال می‌کند. به این نیرو، نیروی بازگرداننده هم گفته می‌شود، چون همواره در جهتی وارد می‌شود که جسم را به  مکان $$x=0$$ بازگرداند. فرض کنید جسم به آهستگی حرکت می‌کند، به گونه‌ای که می‌توان آن را همواره در حالت تعادل در نظر گرفت. در این شرایط داریم:

$$\vec{F_{ext}} = - \vec{F_s}$$

طبق آزمایش می‌توان نتیجه گرفت که ماهیت نیروی فنر ثابت نیست، بلکه هر چه طول فنر را بیشتر تغییر دهیم، نیروی بزرگتری نیز وارد خواهد کرد. همچنین در مورد بیشتر فنرها، اندازه نیروی $$F_s$$ با تقریب خوبی بطور خطی با میزان جابجایی فنر تغییر می‌کند که این رابطه توسط قانون هوک و به شکل زیر توصیف می‌شود:

$$F_s = -kx$$

که در آن $$k$$ ثابت فنر و دارای یکای نیوتن بر متر است. هر چه فنری سفت‌تر باشد، ثابت آن بیشتر است. علامت منفی در این فرمول نشان‌دهنده این است که نیروی وارد شده از سمت فنر همواره در خلاف جهت جابجایی جسم از مکان اولیه‌اش (حالت عادی فنر) است. در شکل بالا ملاحظه می‌کنید که زمانی که فنر کشیده می‌شود، $$x$$ مثبت و در نتیجه $$F_s$$ منفی است. اما در حالت فشردگی چون $$x$$ منفی است، پس $$F_s$$ مثبت است.

با این توضیحات، فرمول کار نیروی فنر را به دست آورید و نمودار $$F_s$$ بر حسب $$x$$ را برای دو حالت فشردگی و کشیدگی فنر رسم کنید:

پاسخ

برای محاسبه کار نیروی فنر که یک نیروی متغیر و یک بعدی با فرمول $$F_s = -kx$$ است، کافی است انتگرال کار را برای این نیرو بنویسیم، با در نظر گرفتن این نکات که مکان اولیه فنر در $$x= x_i$$ و مکان نهایی آن در $$x = x_f$$ است:

$$W = \int_{x_i}^{x_f} F_s dx = \int_{x_i}^{x_f} (-kx) dx$$

می‌دانیم حاصل انتگرال $$\int x dx$$ برابر می‌شود با $$\frac{1}{2} x^2$$. با اعمال کران بالا و پایین کار نیروی فنر به شکل زیر خواهد شد:

$$W = - \frac{1}{2} k (x_f^2 - x_i^2)$$

این معادله نشان می‌دهد که اگر $$x_f$$ از $$x_i$$ بزرگتر باشد (یعنی طبق شکل بالا فنر کشیده شود)، کار نیروی فنر منفی خواهد شد. همچنین در فرمول بالا اگر $$x_i$$ را برابر با صفر در نظر بگیریم، انتگرال کار به شکل زیر خواهد شد:

$$W = - \frac{1}{2} k x^2$$

نکته ۱: دقت کنید در حالت فشردگی نیز با اینکه هر دوی $$x_f$$ و $$x_i$$ منفی هستند، اما $$|x_f|$$ از $$|x_i|$$ بزرگتر است. پس باز هم کار فنر روی جسم منفی است.

نکته ۲: با توجه به اینکه $$\vec{F_{ext}} = - \vec{F_s}$$ است، پس چون کار نیروی فنر منفی شده است، کاری که نیروی خارجی روی جسم انجام می‌دهد یا $$W_{ext}$$ در هر دو حالت فشردگی یا کشیدگی فنر، مثبت است.

در انتها نمودار $$F_s$$ بر حسب $$x$$ را رسم می‌کنیم که طبق قانون هوک انتظار داریم یک نمودار خطی با شیب منفی شود. کاری که در جابجایی از $$x_i$$ تا $$x_f$$ به وسیله فنر روی جسم انجام می‌شود، برابر است با مساحت زیر نمودار از $$x_i$$ تا $$x_f$$.

مثال ۲

فنری به شکل عمودی و در حالت عادی آویزان است. جسمی به جرم $$m = 6.4 \ kg$$ به فنر متصل می‌کنیم، اما جسم به گونه‌ای نگه داشته می‌شود که فنر کشیده نشود. سپس دستی که جسم را نگه داشته است به آهستگی پایین می‌آید، طوری که جسم با سرعت ثابت به سمت پایین حرکت می‌کند و به نقطه‌ای می‌رسد که حتی با برداشتن دست، در حالت تعادل آویزان باقی می‌ماند.

اگر در این نقطه فنر نسبت به طول عادی خود به اندازه $$d = 0.124 \ m$$ کشیده شود، کاری که نیروی گرانش، نیروی فنر و نیروی دست روی جسم انجام می‌دهند را محاسبه کنید:

پاسخ

ابتدا به کمک قانون دوم نیوتن و شرط تعادل، ثابت فنر را در حالت عادی (کشیده نشدن فنر) پیدا می‌کنیم. با در نظر گرفتن جهت مثبت محور y به سمت بالا، نمودار جسم آزاد نیروها را به شکل زیر نشان می‌دهد:

$$\sum F_y = F_s - mg = 0$$

$$-k(-d) - mg = 0$$

$$k = \frac{mg}{d} = \frac{6.4 \times 9.8}{0.124} = 506 \ \frac{N}{m}$$

حالا می‌رویم سراغ محاسبه هر کدام از کارهای خواسته شده در حالت تعادل. کار نیروی گرانش یا $$W_g$$ کار یک نیروی ثابت است که به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$W_g = Fs \cos \theta = mg d \cos 0 = 6.4 \times 9.8 \times 0.124 = 7.78 \ J$$

دقت کنید جهت نیروی گرانش و جابجایی هر دو به سمت پایین است. پس زاویه بین این دو بردار صفر درجه می‌شود. سپس می‌رویم سراغ کاری که نیروی فنر انجام می‌دهد یعنی $$W_s$$. گفتیم کار نیروی فنر به عنوان یک نیروی متغیر و یک بعدی توسط فرمول $$W = - \frac{1}{2} k x^2$$ به دست می‌آید (با این فرض که نقطه شروع جابجایی را صفر در نظر گرفته باشیم):

$$W_s = - \frac{1}{2} kd^2 = - \frac{1}{2} \times 506 \times 0.124 = -3.89 \ J$$

در فرمول بالا $$x= -d$$ است.همچنین کار نیروی فنر منفی شد، چون نیروی فنر و جابجایی جسم مطابق شکل بالا در حالت تعادل در خلاف جهت یکدیگر هستند. در مرحله بعدی می‌خواهیم کاری که نیروی دست روی جسم انجام می‌دهد را پیدا کنیم. پس به نیرویی که دست به سمت بالا به جسم وارد می‌کند یعنی $$F_h$$ نیاز داریم. اگر جسم با سرعت ثابت پایین آورده شود، شتاب $$a_y$$ صفر است. پس نیروی برآیند در این حالت طبق نمودار شکل بالا برابر می‌شود با:

$$\sum F_y = F_h + F_s - mg = 0$$

$$F_h = mg - F_s$$

که چون $$F_s$$ متغیر است، پس این نیرو هم به شکل زیر در یک بعد متغیر خواهد شد:

$$F_h(y) = mg- (-ky)$$

دقت کنید تا زمانی که جسم به مکان تعادل نهایی خود بازگردد، $$mg$$ از $$F_s$$ بزرگتر است و در نتیجه $$F_h$$ نیز مثبت است. در نهایت کار حاصل از نیروی دست به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$W_h = \int F_h(y) dy$$

$$W_h = \int_{0}^{-d} (mg+ky) dy$$

$$W_h = mg(-d) + \frac{1}{2} k (-d)^2 = -3.89 \ J$$

مثال ۳

جسم کوچکی به جرم $$m$$ از نخی به طول $$L$$ آویزان است. طبق تصویر زیر، جسم با نیروی $$F$$ که همواره افقی است، به پهلو کشیده می‌شود تا در نهایت نخ با راستای قائم زاویه $$φ_m$$ بسازد. اگر جابجایی با سرعت ثابت و کوچکی انجام شود، کاری که همه نیروها روی این جسم انجام می‌دهند، چقدر است؟

پاسخ

در این سوال حرکت روی کمانی به شعاع $$L$$ انجام می‌شود که جابجایی $$\vec{ds}$$ دقیقا در امتداد آن است. کافی است ابتدا نمودار جسم آزاد را به شکل زیر رسم کنیم و سپس با نوشتن قانون دوم نیوتن و با در نظر گرفتن تعادل و صفر بودن شعاع در دو راستای افقی و عمودی خواهیم داشت:

$$\sum F_x = F-T\sin φ = 0$$

$$\sum F_y = T \cosφ - m= 0$$

با تقسیم کردن دو معادله بالا بر هم و حذف کشش نخ، خواهیم داشت:

$$F = mg \tanφ$$

در این سوال با اینکه جرم در صفحه (دو بعد) حرکت می‌کند، اما نیروی وارد بر آن یک بعدی است. پس با در نظر گرفتن $$F_x = F$$ و $$F_y = 0$$، فرمول $$W = \int_{i}^{f} (F_x dx + F_y dy)$$ به شکل زیر خواهد شد:

$$W = \int F dx = \int_{0}^{φ_m} mg\tanφ dx$$

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، در انتگرال بالا انتگرا‌ل‌گیری روی متغیر $$x$$ است، در حالی که متغیر دیگری به نام $$φ$$ نیز داریم. پس لازم است یکی به دیگری تبدیل شود. می‌توانیم بر اساس هندسه مسئله عبارت زیر را بنویسیم:

$$x = L \sin φ$$

در نتیجه $$dx = L\cosφ dφ$$ خواهد شد و انتگرال بالا می‌شود:

$$W = \int_{0}^{φ_m} mg\tanφ (L\cosφ dφ)$$

$$W = mgL \int_{0}^{φ_m} \sinφ dφ$$

$$W = mgL(-\cosφ_m +cos0) = mgL(1-\cosφ_m)$$

این محاسبات برای پیدا کردن کار نیروی $$F$$ بود. پس بهتر است حاصل را به شکل زیر بنویسیم:

$$W_F = mgh$$

در عبارت بالا از این نکته استفاده شده است که $$h = L - L\cos φ_m$$. کار بعدی کار نیروی وزن است که یک نیروی ثابت محسوب می‌شود:

$$W_g = mg h \cos180 = -mgh$$

همچنین کار نیروی کشش نخ را داریم که صفر است، چون در هر نقطه از مسیر $$T$$ همواره بر $$ds$$ عمود است. در نهایت کار کل را به شکل زیر به دست می‌آوریم که صفر می‌شود:

$$W_{net} = W_F + W_g + W_T = mgh -mgh +0 = 0$$