مکانیک , مهندسی 230 بازدید

در این مطلب قصد داریم تا در مورد مفهوم «تکانه» (Momentum) بحث کنیم. در مکانیک نیوتنی، به حاصل ضرب جرم در بردار سرعت، تکانه گفته می‌شود. احتمالا همان‌طور که متوجه شده‌اید، این مقدار یک بردار محسوب می‌شود. بنابراین معادله کلی آن را می‌توان به‌صورت زیر نوشت.

p=mv

در این معادلات p ،m و v به‌ترتیب نشان دهنده جرم، تکانه و سرعت ذره هستند. واحد تکانه برابر با ثانیه/نیوتن.متر $$({N.m \over s})$$ است. از آنجایی که این مقدار، به عنوان یک بردار شناخته می‌شود، بنابراین دارای اندازه و جهت خواهد بود.

تکانه مجموعه‌ای از ذرات

تکانه مجموعه‌ای از ذرات برابر با حاصل جمع تمامی تکانه‌های آنها است. اگر جرم دو ذره برابر با m1 و m2 در نظر گرفته شود و سرعت آن‌ها v1 و v2 باشد، تکانه این دو ذره، به صورت زیر محاسبه می‌شود.

بر همین مبنا برای سیستمی که متشکل از چندین ذره باشد، تکانه را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.

برای مجموعه‌ای از ذرات، می‌توان مختصاتی تحت عنوان مرکز جرم تعریف کرد. برای چنین سیستمی، بردار مرکز جرم را می‌توان با استفاده از رابطه زیر بدست آورد.

اگر تمامی این ذرات با یکدیگر حرکت کنند، مرکز جرم آن‌ها نیز در حال حرکت است. با فرض این‌که سرعت مرکز جرم برابر با vcm باشد، تکانه کلی سیستم را می‌توان به‌شکل زیر محاسبه کرد.

این معادله تحت عنوان «قانون اویلر» (Euler’s First Law) شناخته می‌شود.

رابطه تکانه و نیرو

اگر نیروی ثابتی برابر با F، در بازه زمانی Δt به ذره‌ای وارد شود، تغییر تکانه ذره، برابر با مقدار زیر خواهد بود.

این رابطه در واقع همان قانون دوم نیوتن را به شکل دیفرانسیلی بیان می‌کند. در حقیقت این قانون، در قالب تغییرات تکانه بر واحد زمان و به صورت زیر قابل ارائه است.

فرض کنید نیروی متغیر (F(t، در بازه زمانی t1 تا t2، به جرمی وارد می‌شود. برای این سیستم، تغییرات تکانه را می‌توان با استفاده از انتگرال زیر محاسبه کرد.

همچنین با فرض ثابت بودن جرم یک ذره، می‌توان نیروی وارد شده به آن را با استفاده از مشتق‌گیری زمانی نسبت به تکانه، به شکل زیر بدست آورد.

مثال: یک هواپیمای مدل به جرم 1 کیلوگرم، در مدت زمان 2 ثانیه به سرعت ۶ متر در ثانیه می‌رسد. نیروی وارد شده به آن چقدر است؟

به دلیل ساکن بودن جرم در حالت اولیه، تکانه آن نیز صفر است. به‌منظور محاسبه نیروی وارد شده، تغییرات تکانه بایستی محاسبه شود. بنابراین می‌توان گفت:

p1=0

p2=m×v2=1×۶=۶ kg.m/s

$$F={Δp \over Δt}={6 \over 2}=3 N$$

پایستگی تکانه

تکانه سیستم بسته‌ای که مبادله جرمی با محیط ندارد، همواره ثابت است. این بیان، تحت عنوان قانون پایستگی تکانه شناخته می‌شود. به عنوان نمونه تصور کنید که دو ذره در تماس با یکدیگر هستند. بر مبنای قانون سوم نیوتن، دو ذره مفروض، نیرویی یکسان و در خلاف جهت یکدیگر به هم وارد می‌کنند. اگر این ذرات را با 1 و 2 شماره‌گذاری کنیم، نیروهای وارد شده به آن‌ها را می‌توان با $$x = {dp_1 \over dt}$$ و $$x = {dp_2 \over dt}$$ بیان کرد. از آنجایی که این دو نیرو با یکدیگر برابر و در خلاف جهت هم هستند، می‌توان گفت:

$${dp_1 \over dt} = -{dp_2 \over dt}$$

از این عبارت، فرمول زیر نتیجه‌گیری می‌شود.

$${d\over dt}(p_1+p_2)=0$$

این رابطه نشان می‌دهد، هنگامی که دو ذره با یکدیگر برخورد کنند، مجموع تکانه آن‌ها تغییر نخواهد کرد. از این مفهوم در آنالیز برخورد ذرات استفاده می‌شود.

برخورد

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، با استفاده از قانون پایستگی تکانه، می‌توان برخورد دو جسم – یا ذره – را تحلیل کرد. اما توجه داشته باشید که تنها این قانون کافی نیست و از ویژگی دیگرِ جسمِ در حال حرکت، یعنی انرژی جنبشی نیز بایستی استفاده شود. اگر در یک برخورد، انرژی دو ذره، تغییر نکند، آن را کشسان می‌نامند. اما در اکثر حالات، پس از برخورد دو ذره، انرژی سیستم [سیستم، به مجموعه دو جسم اتلاق می‌شود.] افت خواهد کرد.

برخورد کشسان

به برخوردی که پس از رخ دادن آن، مجموع انرژی تمام ذرات ثابت بماند، «برخورد کشسان» (Elastic Collision) گفته می‌شود. برخورد کشسانِ کامل، زمانی اتفاق می‌افتد که دو ذره با یکدیگر تماس فیزیکی نداشته باشند. برای نمونه دو ذره باردار را در محیطی خلاء تصور کنید که بدون تماس با یکدیگر، به هم نیرو وارد می‌کنند. هم‌چنین برخورد دو توپ به یکدیگر، در بازی بیلیارد نیز تقریبا کشسان محسوب می‌شود. از معروف‌ترین مثال‌های برخورد کشسان، پاندول نیوتن است که در انیمیشن زیر مکانیزم آن را می‌بینید.

newton-pandol

برخورد سَر‌به‌سَر دو ذره، با استفاده از سرعت‌های آن‌ها، قابل توصیف است. به‌منظور بررسی برخورد کاملا کشسان دو ذره 1 و 2، سرعت آن‌ها قبل از برخورد را به ترتیب u1 و u2 می‌نامیم. حال فرض کنید دو ذره مفروض به یکدیگر برخورد کرده و سرعت آن‌ها به v1 و v2 تغییر می‌کند. از آنجایی که برخورد، کاملاً کشسان فرض شده، مجموع انرژی جنبشی آن‌ها نیز ثابت خواهند ماند. هم‌چنین قانون پایستگی تکانه که در زیر ذکر شده، برای این دو ذره صادق است.

  (1)      $$m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2$$

قانون پایستگی انرژی نیز برای چنین سیستمی، به صورت زیر نوشته می‌شود.

   (2)  $${{1} \over 2} m_1u_1^2+{{1} \over 2}m_2u_2^2={{1} \over 2} m_1v_1^2+{{1} \over 2}m_2v_2^2$$

اگر دقت کنید با دو معادله مواجه هستیم که با حل آن‌ها، دو مجهولِ v1 و v2 بدست خواهند آمد. برای درک بهتر، فرض کنید ذره‌ای به جرم m و با سرعت s به ذره‌ای برخورد می‌کند که ساکن است. به‌منظور راحتی مسئله، جرم آن‌ها را یکسان در نظر بگیرید. بنابراین اجزاء معادلات 1 و2 برابر با مقادیر زیر هستند.

m1 (جرم ذره 1) = m2 (جرم ذره 2) = m

u1 (سرعت جرم 1 قبل از برخورد) = s

u2 (سرعت جرم 2 قبل از برخورد) = º 

v1 (مجهول = (سرعت جرم 1 پس از برخورد

v2 (مجهول = (سرعت جرم 2 پس از برخورد

همان‌گونه که قبلا نیز بیان شد، در تحلیل برخورد بین دو جسم یا ذره، با دو معادله و دو مجهول مواجه هستیم. با جایگذاری مقادیر بالا در معادلات 1 و 2، خواهیم داشت.

ms+m×0 = mv1+mv2

$${{1} \over 2} ms^2+{{1} \over 2}m×0^2 = {{1} \over 2} mv_1^2+{{1} \over 2}mv_2^2$$

با حذف m از طرفین این معادلات، به روابط زیر می‌رسیم.

s = v1 + v2

$${{1} \over 2} s^2 = {{1} \over 2}v_1^2+{{1} \over 2}v_2^2$$

پس از حل این دو معادله، سرعت‌ جرم 1 و 2 به‌ترتیب برابر با مقادیر زیر خواهند بود.

v1

v2=s

مقادیر بدست آمده این مفهوم را بیان می‌کنند که در برخورد کشسانِ دو جسم با جرم‌های برابر، یکی از آن‌ها کاملا ساکن مانده و دیگری با سرعت ذره اول، به حرکت در می‌آید. در واقع ذره اول تمامی انرژی جنبشی خود را به ذره دوم منتقل می‌کند؛ بنابراین در این برخورد انرژی تلف نشده، که مفهوم کشسان بودن ضربه را بیان می‌کند. در انیمیشن زیر برخورد صورت گرفته در این مثال نشان داده شده است.

elastic-collision

در حالت کلی، با حل معادلات 1 و 2، سرعت‌های مجهولِ v1 و v2، با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

$$v_1=({m_1-m_2 \over m_1+m_2})u_1+({2m_2\over m_1+m_2})u_2$$

$$v_2=({m_2-m_1 \over m_1+m_2})u_2+({2m_1\over m_1+m_2})u_1$$

برخورد غیرکشسان

در یک برخورد غیرکشسان، مقداری از انرژی جرم‌ها، در اثر برخورد، به شکل‌های دیگری از انرژی – مثلا صدا یا گرما – تبدیل خواهد شد. برای مثال با رها کردن یک توپ کشسان، پس از چندین برخورد با زمین، انرژی آن گرفته شده و به تعادل می‌رسد. هم‌چنین در فرآیند هم‌جوشی هسته‌ای، هنگامی که دو ذره بنیادی به یکدیگر برخورد کنند، بخشی از انرژی آن‌ها به جرم تبدیل می‌شود.

inelastic-collision

در تحلیل برخورد غیرکشسان، ثابتی تحت عنوان «ضریب بازگشت» (Coefficient of Restitution) تعریف و با CR نشان داده می‌شود. این ضریب برابر است با:

سرعت نسبی دو ذره قبل از برخورد/سرعت نسبی دو ذره پس از برخورد =CR

بنابراین در بررسی یک برخورد غیرکشسان، با سه معادله 1، 2 و CR مواجه هستیم. با حل معادلات مذکور، سرعت‌های دو ذره، پس از برخورد را می‌توان با استفاده از روابط زیر محاسبه کرد.

$$v_1={C_Rm_2(u_2-u_1)+m_1u_1+m_2u_2 \over m_1+m_2}$$

$$v_2={C_Rm_1(u_1-u_2)+m_2u_2+m_1u_1 \over m_2+m_1}$$

توجه داشته باشید که CR برابر با 1، نشان دهنده‌ برخوردی کاملا کشسان است و اگر مقدار آن ۰ باشد، برخوردی کاملا غیرکشسان محسوب می‌شود. انیمیشن زیر، برخوردی کاملا غیرکشسان را نشان می‌دهد.

perfect-inelastic-collision

در بخش آینده در مورد تکانه زاویه‌ای، صحبت خواهیم کرد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط، احتمالا از آموزش‌های زیر می‌توانید بهره‌مند شوید.

بر اساس رای 1 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *