میدان الکتریکی حلقه باردار با چگالی غیر یکنواخت – به زبان ساده

میدان الکتریکی حلقه بارداری با شعاع $$R$$ و چگالی بار غیریکنواخت $$\lambda (\theta)$$ در نقطه‌ای با مختصات $$(0,0,z)$$ با انتگرال‌گیری از عبارت $$E = \frac{k R z}{(R^2 +z^2)^{\frac{3}{2}}} \int{ \lambda (\theta) d \theta}$$ به دست می‌آید. در این مطلب از مجله فرادرس مراحل محاسبه میدان الکتریکی حلقه را توضیح می‌دهیم و نشان می‌دهیم که تفاوت این میدان در دو حالت توزیع بار یکنواخت و غیریکنواخت چگونه است.

میدان الکتریکی حلقه با چگالی غیر یکنواخت

در حالت کلی میدان الکتریکی حلقه بارداری با شعاع $$R$$ در نقطه‌ای با مختصات $$(0,0,z)$$ توسط فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$E = \frac{k R z}{(R^2 +z^2)^{\frac{3}{2}}} \int{ \lambda (\theta) d \theta}$$

این فرمول برای حالتی است که توزیع بار این حلقه غیریکنواخت و وابسته به متغیری مانند $$\theta$$ باشد. اما اگر چگالی بار $$\lambda$$ ثابت و توزیع بار روی حلقه بکنواخت باشد، میدان الکتریکی حاصل از آن در $$(0,0,z)$$ برابر است با:

$$E = \frac{k q_{total} z}{(R^2 +z^2)^{\frac{3}{2}}}$$

در ادامه قدم به قدم توضیح می‌دهیم چگونه به این فرمول خواهید رسید.

میدان الکتریکی چیست؟

برای اینکه ببینیم میدان الکتریکی حلقه با چگالی غیریکنواخت چگونه محاسبه می‌شود، ابتدا باید میدان الکتریکی را بخوبی بشناسیم و بدانیم روش‌های محاسبه آن چه هستند. میدان الکتریکی خاصیتی است در فضای اطراف یک یا چند بار الکتریکی مجزا یا یک توزیع بار که به موجب آن به یک بار الکتریکی فرضی دیگر به نام بار آزمون نیروی الکتریکی وارد می‌شود. بر این اساس فرمول اصلی محاسبه میدان الکتریکی به شکل زیر است:

$$E = \frac{F}{q_0}$$

• $$E$$: میدان الکتریکی بر حسب نیوتن بر کولن ($$\frac{N}{C}$$)
• $$F$$: نیروی الکتریکی وارد شده بر بار آزمون بر حسب نیوتن ($$N$$)
• $$q_0$$: بار آزمون (بار واحد) بر حسب کولن ($$C$$)

دقت کنید واحد SI دیگر برای میدان الکتریکی ولت بر متر ($$\frac{V}{m}$$) است. میدان الکتریکی یک کمیت برداری است، یعنی دارای بزرگی و جهت است و برای نشان دادن جهت آن عموما از خطوطی فرضی به نام خطوط میدان استفاده می‌شود. این خطوط از بارهای مثبت خارج شده و به بارهای منفی وارد می‌شوند و تراکم آن‌ها نشان‌ دهنده قدرت میدان است (هر چه خطوط بیشتر باشند، میدان قوی‌تر است).

نکته: اندازه بار آزمون برابر با واحد و همیشه مثبت است.

یادگیری فیزیک ۲ دانشگاه با فرادرس

فیزیک پایه در دانشگاه شامل دو بخش فیزیک ۱ و فیزیک ۲ است، به این ترتیب که پس از یادگیری قواعد برداری و قوانین مکانیک کلاسیک، در فیزیک ۲ مبحث الکتریسیته و سپس مغناطیس مطرح می‌شود. در همین راستا می‌توانید از مجموعه فیلم‌های آموزشی تهیه شده در مجموعه فرادرس طبق فهرست زیر بهره ببرید تا با حل مثال‌ها و تمرین‌های متنوع‌تر، به تمام موضوعات فیزیک عمومی ۲ از جمله محاسبه میدان الکتریکی حلقه بهتر مسلط شوید:

• فیلم آموزش رایگان الکتریسیته ساکن - حل تمرین
• فیلم آموزش رایگان خازن ها و دی الکتریک در فیزیک عمومی ۲ – حل مساله فرادرس
• فیلم آموزش رایگان اسیلاتور RC + حل مثال

همچنین اگر تمایل دارید به مفاهیم نظریه الکترومغناطیس کاملا مسلط شوید، پیشنهاد می‌کنیم مطلب «الکترومغناطیس چیست؟ – به زبان ساده» از مجله فرادرس را مطالعه کنید.

روش محاسبه میدان الکتریکی

محاسبه میدان الکتریکی و استفاده از فرمولی که در بخش قبل به آن اشاره شد، بستگی به این دارد که بارهای ما نقطه‌ای یا گسسته هستند یا پیوسته (به شکل یک توزیع بار). در این بخش نشان می‌دهیم تفاوت نوع بار چگونه بر محاسبه میدان اثرگذار است.

میدان الکتریکی ناشی از بارهای نقطه‌ ای

میدان الکتریکی ناشی از یک بار نقطه‌ای به نام $$q$$ و در فاصله $$r$$ از آن توسط قانون کولن قابل محاسبه است:

$$E = \frac{kq}{r^2}$$

• $$E$$: میدان الکتریکی بر حسب نیوتن بر کولن ($$\frac{N}{C}$$)
• $$k$$: ثابت الکتروستاتیک که برابر است با $$8.9 \times 10^9 \ \frac{N.m^2}{C^2}$$
• $$q$$: مقدار بار نقطه‌ای بر حسب کولن ($$C$$)
• $$r$$: فاصله بار نقطه‌ای از بار آزمون بر حسب متر ($$m$$)

فیلم آموزش فیزیک عمومی ۲ – حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

در فرمول بالا بجای ثابت $$k$$ می‌توان از $$\frac{1}{4 \pi ε_0}$$ نیز استفاده کرد. دقت کنید منظور از بار نقطه‌ای باری است که جرم قابل‌توجهی ندارد و می‌توان آن را به عنوان یک نقطه در فضا در نظر گرفت. همچنین در نقطه‌ای که می‌خواهیم میدان را محاسبه کنیم، بار فرضی یا بار آزمون قرار می‌گیرد.

اگر چند بار نقطه‌ای داشته باشیم و بخواهیم میدان حاصل از آ‌ن‌ها در نقطه خاصی (محل قرارگیری بار آزمون) محاسبه کنیم، کافی است ابتدا اندازه میدان حاصل از هر بار نقطه‌ای در آن نقطه را توسط قانون کولن به دست آوریم. سپس با تعیین جهت هر میدان بر اساس مثبت یا منفی بودن بارها، طبق قواعد جمع برداری میدان برآیند را پیدا می‌کنیم.

میدان الکتریکی ناشی از یک توزیع بار

هنگامی که با یک توزیع پیوسته‌ای از بارها مانند یک صفحه باردار، یک سیم باردار، یک حلقه باردار یا حتی با یک یک کره باردار مواجه می‌شویم، دیگر نمی‌توان از قانون کولن بطور مستقیم برای محاسبه میدان الکتریکی در یک نقطه استفاده کرد. در این موارد توزیع بار پیوسته شامل بی‌نهایت المان بار به شکل $$dq$$ است که روی آن انتگرال‌گیری می‌شود و لازم است ابتدا نوع توزیع بار را تعیین کنیم. سه نوع توزیع بار داریم:

• توزیع بار خطی
• توزیع بار صفحه‌ای
• توزیع بار حجمی

توزیع بار خطی

فرض کنید یک سیم باردار با بار $$q$$ و طول $$l$$ داریم. بار در واحد طول این سیم، چگالی بار خطی یا $$\lambda$$ را به ما می‌دهد:

$$\lambda = \frac{q}{l}$$

حالا برای محاسبه میدان الکتریکی در یک نقطه مشخص (نقطه‌ای که بار آزمون خود را در آن قرار داده‌ایم) و در فاصله‌ r از چنین سیمی باید انتگرال زیر را حل کنیم:

$$E = \int{\frac{k dq}{r^2}}$$

که در آن $$dq$$ المان‌های کوچک بار در طول این سیم هستند و به کمک انتگرال اثر میدان هر کدام با دیگری جمع می‌شود. با دیفرانسیل‌گیری از رابطه زیر می‌توانیم این المان را در داخل انتگرال بالا بر حسب چگالی بار خطی بازنویسی کنیم:

$$q = \lambda l$$

$$dq = \lambda dx$$

$$E = \int{\frac{k \lambda dx}{r^2}}$$

توزیع بار صفحه‌ ای

توزیع بار بعدی که پیش از محاسبه میدان الکتریکی حلقه با آن آشنا می‌شوید، توزیع بار صفحه‌ای است. فرض کنید یک صفحه باردار با چگالی بار سطحی $$\sigma$$ (بار در واحد سطح) داریم. میدان الکتریکی در فاصله‌ $$d$$ از چنین صفحه‌ای برابر است با:

$$E = \frac{\sigma}{2ε_0}$$

که در آن $$ε_0$$ ثابت گذردهی خلاء است با مقدار تقریبی $$8.85 \times 10^{-12} \ \frac{C^2}{N.m^2}$$. بنابراین اگر نقطه موردنظر ما در امتداد خطی عمود بر صفحه باشد، میدان الکتریکی فقط به چگالی بار بستگی دارد و مستقل از موقعیت آن نقطه است.

توزیع بار حجمی

در نهایت برای یک حجم باردار با چگالی بار حجمی $$\rho$$ (بار در واحد حجم)، میدان الکتریکی در یک نقطه با انتگرال‌گیری روی حجم باردار و به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$E = \int{\frac{k \rho dV}{r^2}}$$

که در آن $$dV$$ها المان‌های کوچک حجم هستند.

میدان الکتریکی حلقه باردار

پس از اینکه با روش‌های محاسبه میدان در بخش قبل آشنا شدیم و یاد گرفتیم که تفاوت انواع توزیع بار چیست، در این بخش میدان الکتریکی حلقه باردار را محاسبه می‌کنیم. برای شروع فرض می‌کنیم که این حلقه در صفحه xy قرار دارد و مرکز آن در مبدا مختصات است.

ما به دنبال محاسبه میدان الکتریکی در نقطه‌ای به نام $$P$$ در امتداد محور z و با مختصات $$(z,0,0)$$ هستیم. پس فرض می‌کنیم که این نقطه روی خط گذرنده از مرکز حلقه قرار دارد. گام بعدی تعیین نوع توزیع بار حلقه است که خطی محسوب می‌شود، نه صفحه‌ای. نکته دیگری که باید در نظر بگیریم، یکنواخت یا غیریکنواخت بودن چگالی بار است. در ادامه برای هر دو حالت میدان را به‌ دست خواهیم آورد.

میدان الکتریکی حلقه با چگالی یکنواخت

فرض کنید شعاع حلقه $$R$$ و چگالی بار خطی یکنواخت آن $$\lambda$$ است. یکنواخت بودن چگالی بار خطی به این معنا است که بار در واحد طول این حلقه در تمام نقاط آن یکسان است. حالا یک المان بار کوچک در حلقه را برابر با $$dq$$ در نظر می‌گیریم. مقدار این المان طبق آنچه که در مورد توزیع بار خطی گفته بودیم، برابر است با $$dq = λ dl$$ که $$dl$$ طول این المان است.

فیلم آموزش میدان ها و امواج در فرادرس

کلیک کنید

در گام بعدی لازم است بردار موقعیت مکانی المان $$dq$$ نسبت به نقطه موردنظر‌ یعنی $$P$$ را برابر با $$r$$ در نظر بگیریم. طول این بردار بر اساس شکل بالا برابر می‌شود با:

$$r = \sqrt{R^2 + z^2}$$

به این ترتیب شکل برداری میدان الکتریکی ناشی از المان $$dq$$ در نقطه $$(z,0,0)$$ به شکل زیر خواهد شد:

$$d \vec{E} = \frac{k dq}{r^2} \vec{r}$$

در نهایت برای محاسبه میدان الکتریکی کل باید انتگرال تمام المان‌های بار را در سراسر طول حلقه محاسبه کنیم:

$$\vec{E} = \int{d\vec{E}}$$

$$\vec{E} = \int{\frac{k \lambda dl}{r^2} \vec{r}}$$

پس انتگرال‌گیری روی المان $$dq$$ به انتگرال‌گیری روی المان $$dl$$ تبدیل شد. در واقع ما حلقه‌ را به بخش‌های بسیار کوچکی به شکل کمان تقسیم کرده‌ایم. حالا اگر فرض کنیم کمان انتخابی ما بین $$\theta$$ و $$\theta + d \theta$$ قرار داشته باشد، پس طول آن برابر می‌شود با $$R d \theta$$ و مقدار بار روی آن نیز $$\lambda R d \theta$$ خواهد شد:

$$\vec{E} = \int{\frac{k \lambda R d \theta}{r^2} \vec{r}}$$

با این جایگزینی انتگرال‌گیری روی المان $$dl$$ به انتگرال‌گیری روی المان $$d \theta$$ تبدیل شد. نکته مهمی که در اینجا باید به آن دقت کنیم این است که بردار میدان حاصل از المان فرضی $$dq$$ به شکل زیر جهت‌گیری دارد که اگر آن را تجزیه کنیم، دو مولفه به شکل $$dE \cosφ$$ در راستای محور z و $$dE \sin φ$$ در راستای محور y خواهد داشت:

اگر بردار $$dE$$ را برای تمام المان‌های $$dq$$ دور حلقه رسم کنیم، در نهایت تمام مولفه‌های $$dE \cosφ$$ با هم جمع می‌شوند، در حالی که برآیند $$dE \sin φ$$ها برابر است با صفر.

پس می‌توانیم بگوییم بردار میدان الکتریکی حاصل از این حلقه در نقطه $$P$$ برداری است که از مجموع $$dE \cosφ$$‌ها به دست می‌آید و جهت آن همواره در جهت محور z است. طبق شکل بالا، $$\cos φ$$ برابر است با $$\frac{z}{\sqrt{R^2+ z^2}}$$. پس میدان الکتریکی حلقه بالا به شکل زیر خواهد شد:

$$E = \int{dE \cosφ}$$

$$E = \int{\frac{k \lambda R d \theta}{r^2} \cosφ}$$

$$E =\int{\frac{k \lambda R d \theta}{R^2 +z^2} \frac{z}{\sqrt{R^2 +z^2}}}$$

$$E = \frac{k \lambda R z}{(R^2 +z^2)^{\frac{3}{2}}} \int{d \theta}$$

در آخرین مرحله باید حد بالا و پایین برای $$d \theta$$ را اعمال کنیم که شامل بازه $$0$$ تا $$2 \pi$$ است:

$$E = \frac{k \lambda R z}{(R^2 +z^2)^{\frac{3}{2}}} (2 \pi - 0 )$$

$$E = \frac{k 2 \pi \lambda R z}{(R^2 +z^2)^{\frac{3}{2}}}$$

از طرفی بار کل روی این حلقه برابر است با $$q_{total} = \lambda l = \lambda 2 \pi R$$. پس می‌توانیم رابطه بالا را به شکل زیر بنویسیم:

$$E = \frac{k q_{total} z}{(R^2 +z^2)^{\frac{3}{2}}}$$

فراموش نکنید که میدان به دست آمده در راستای محور z است و به همین خاطر با نوشتن شکل مولفه‌ای از حالت برداری خارج شد.

میدان الکتریکی حلقه با چگالی یکنواخت در مبدا

اگر نقطه موردنظر ما برای محاسبه میدان الکتریکی حلقه بجای $$(z,0,0)$$ در مبدا یا $$(0,0,0)$$ باشد، در این صورت چون $$z=0$$ است، پس میدان طبق فرمول بالا برابر با صفر خواهد شد.

میدان الکتریکی حلقه با چگالی یکنواخت در فاصله خیلی دور از مبدا

اگر فرض کنیم نقطه  $$P$$ روی محور z‌ها و در فاصله خیلی خیلی دوری از حلقه قرار دارد، در این صورت می‌توانیم از تقریب زیر برای فرمول میدان الکتریکی حلقه با چگالی یکنواخت استفاده کنیم:

$$E = \frac{k q_{total} z}{z^3}$$

در مخرج چون $$z$$ خیلی خیلی بزرگتر از شعاع حلقه یعنی $$R$$ است، پس می‌توانیم از $$R$$ در مقابل $$z$$ صرف‌نظر کنیم و آن را برابر با صفر در نظر بگیریم:

$$E = \frac{k q_{total} }{z^2}$$

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، میدان حلقه باردار در چنین فاصله‌ای مانند میدان حاصل از یک بار نقطه‌ای است.

میدان الکتریکی حلقه با چگالی غیر یکنواخت

در حالت بعدی فرض می‌کنیم که چگالی بار حلقه یکنواخت نیست، یعنی چگالی بار خطی $$\lambda$$ دیگر عدد ثابتی نیست و تابعی از موقعیت در طول حلقه و به شکل $$\lambda (\theta)$$ است که $$\theta$$ زاویه بین موقعیت المان بار و محور x‌ است. پس المان بار کوچک برابر می‌شود با $$dq = \lambda (\theta) dl$$. در این زمینه پیشنهاد می‌کنیم فیلم آموزش الکترومغناطیس مهندسی – مرور و حل تست کنکور ارشد فرادرس را مشاهده کنید که لینک آن نیز جهت دسترسی آسان‌تر شما در ادامه قرار داده شده است:

فیلم آموزش الکترومغناطیس مهندسی – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

همچنین مانند حالت قبل بردار موقعیت مکانی المان $$dq$$ نسبت به نقطه موردنظر یعنی $$(z,0,0)$$ را برابر با $$r$$ در نظر می‌گیریم که اندازه آن می‌شود $$r = \sqrt{R^2 + z^2}$$. به این ترتیب میدان الکتریکی ناشی از المان $$dq$$ در نقطه $$(z,0,0)$$ به شکل زیر به دست خواهد آمد:

$$d \vec{E} = \frac{k dq}{r^2} \vec{r}$$

که برای محاسبه میدان الکتریکی کل باید انتگرال تمام المان‌های بار را در طول حلقه محاسبه کنیم:

$$\vec{E} = \int{d\vec{E}}$$

$$\vec{E} = \int{\frac{k \lambda (\theta) dl}{r^2} \vec{r}}$$

$$\vec{E} = \int{\frac{k \lambda (\theta) R d \theta}{r^2} \vec{r}}$$

$$E = \int{\frac{k \lambda (\theta) R d \theta}{r^2} \cosφ}$$

$$E =\int{\frac{k \lambda (\theta) R d \theta}{R^2 +z^2} \frac{z}{\sqrt{R^2 +z^2}}}$$

$$E = \frac{k R z}{(R^2 +z^2)^{\frac{3}{2}}} \int{ \lambda (\theta) d \theta}$$

دقت کنید تمام مراحل محاسبه میدان الکتریکی حلقه با چگالی غیریکنواخت مانند محاسبه میدان الکتریکی حلقه با چگالی یکنواخت است. فقط لازم است در آخرین مرحله معادله چگالی بار خطی داده شده را بجای $$\lambda (\theta)$$ در داخل انتگرال قرار دهیم و روی متغیر $$\theta$$ از $$0$$ تا $$2 \pi$$ انتگرال‌گیری انجام دهیم.

مثال

در آخرین قسمت این مطلب از مجله فرادرس، فرض کنید توزیع بار حلقه بارداری با شعاع $$R$$ به شکل $$\lambda(\theta) = A\cos \theta$$ باشد، میدان الکتریکی حاصل از این حلقه در نقطه‌ای با مختصات $$(z,0,0)$$ چقدر است؟

پاسخ

در بخش قبل صورت کلی میدان الکتریکی حلقه با چگالی غیریکنواخت را به دست آوردیم. در این سوال توزیع بار متغیر حلقه به شکل $$\lambda(\theta) = A\cos \theta$$ داده شده است. پس کافی است آن را در انتگرال قرار دهیم و روی متغیر $$\theta$$ انتگرال‌گیری کنیم:

$$E = \frac{k R z}{(R^2 +z^2)^{\frac{3}{2}}} \int{ \lambda (\theta) d \theta}$$

$$E = \frac{k R z}{(R^2 +z^2)^{\frac{3}{2}}} \int{ A \cos \theta d \theta}$$

دقت کنید انتگرال کسینوس برابر است با سینوس و بازه زاویه $$\theta$$ نیز از $$0$$ تا $$2 \pi$$ خواهد بود:

$$E = \frac{kA R z}{(R^2 +z^2)^{\frac{3}{2}}} [\sin \ 2 \pi - \sin 0]$$

و چون سینوس برای هر دو کران انتگرال بالا برابر با صفر است، پس میدان الکتریکی حلقه با این چگالی نیز صفر می‌شود:

$$E =0$$