کمیت برداری چیست؟ – توضیح به زبان ساده با مثال

در دنیای فیزیک، با دو نوع کمیت با نام‌های کمیت‌های برداری و کمیت‌های نرده‌ای یا اسکالر سر و کار داریم. کمیت‌های نرده‌ای، مانند جرم، دما و زمان، فقط اندازه دارند. اما کمیت‌های برداری، مانند نیرو و سرعت، علاوه بر اندازه، جهت نیز دارند. به عبارت دیگر، برای بیان کامل کمیت برداری، باید هم مقدار و هم جهت آن را مشخص کنیم.  کمیت‌های برداری در بسیاری از شاخه‌های علم، مانند فیزیک، مهندسی و نجوم، نقش مهمی دارند. به عنوان مثال، برای محاسبه مسیر حرکت موشک یا برای تعیین نیروی وارد شده بر جسم، به کمیت‌های برداری نیاز داریم. در این مطلب از مجله فرادرس، ابتدا به پرسش کمیت برداری چیست به زبان ساده پاسخ می‌دهیم. سپس در مورد تفاوت کمیت‌های برداری و اسکالر صحبت می‌کنیم. در ادامه،‌ با جمع و تفریق کمیت‌های برداری با یکدیگر با استفاده از قانون مثلث، متوازی‌الاضلاع و تجزیه‌ بردارها به همراه حل مثال آشنا می‌شویم. در پایان، دو ضرب برداری نقطه‌ای و خارجی را توضیح می‌دهیم.

کمیت برداری چیست؟

به کمیت‌هایی که اندازه و جهت دارند، کمیت برداری گفته می‌شود. برای شناخت کمیت‌ برداری، باید اندازه و جهت آن را بدانیم و تنها با دانستن اندازه یا جهت، نمی‌توانیم کمیت‌های برداری را توصیف کنیم. به عنوان مثال، اگر بخواهیم به خانه دوستی برویم باید بدانیم خانه او در چه فاصله‌ای نسبت به ما قرار گرفته است و در چه جهتی باید حرکت کنیم. یکی از مهم‌ترین ویژگی‌های بردارها آن است که نسبت به دستگاه مختصات، ثابت باقی می‌مانند. برای یادگیری بیشتر در مورد کمیت‌های برداری می‌توانید فیلم آموزش ریاضی هشتم فرادرس که لینک آن در ادامه آورده شده است را مشاهده کنید.

برای درک بهتر این موضوع، مثال ساده‌ای را با یکدیگر بررسی می‌کنیم. فرض کنید علی و سعید به گردش رفته‌اند و برای یافتن مکانی مناسب برای اتراق، چادر مسافرتی خود را جابجا می‌کنند. همان‌طور که در تصویر زیر مشاهده می‌کنید، علی و سعید، روبروی یکدیگر و در دو سوی مخالف چادر، ایستاده‌اند.

در ادامه، سعید دو قدم به سمت راست و سه قدم به سمت بالا حرکت می‌کند.

در مقابل، علی دو قدم به سمت چپ و سه قدم به سمت پایین حرکت می‌کند.

در نگاه نخست این‌گونه به نظر می‌رسد که علی و سعید حرکت‌های متفاوتی انجام داده‌اند، اما هر دوی آن‌ها مسافتِ برابری را در جهت یکسان، طی کرده‌اند. از آنجا که علی و سعید، مسافتِ برابری را در جهت یکسان طی کرده‌اند، بردارهای متصل شده به آن‌ها نیز با یکدیگر برابر هستند. در نتیجه، اندازه و جهت بردار علی و سعید، مستقل از جهتِ ایستادن آن‌ها یا دستگاه مختصاتی است که در آن قرار گرفته‌اند.

نمایش کمیت برداری در دستگاه مختصات دکارتی

در بخش قبل فهمیدیم کمیت برداری چیست و چه ویژگی‌هایی دارد. بردارها را می‌توانیم در دستگاه مختصات دکارتی نشان دهیم. دستگاه مختصات دکارتی دوبعدی از دو محور عمود بر هم به نام‌های $$x$$ و $$y$$ تشکیل شده است که به صورت عمود بر یکدیگر قرار گرفته‌اند. محل تقاطع این دو محور، مبدا مختصات نام دارد. هر بردار را می‌توانیم در دستگاه مختصات دکارتی نشان دهیم. برای نشان دادن بردار در دستگاه مختصات دکارتی باید اندازه و جهت آن را بدانیم. بردار جابجایی علی و سعید در تصویر فوق نشان داده شده است. این دو بردار به صورت پیکانی با جهتی مشخص نشان داده شده‌اند. برای نشان دادن هر بردار در دستگاه مختصات دکارتی ابتدا باید به دو نکته در مورد آن‌ها توجه کنیم:

1. اندازه بردار با اندازه پیکان برابر است.
2. ابتدای پیکان، نقطه ابتدای بردار و انتهای پیکان، نقطه انتهای بردار را نشان می‌دهد.

برای نشان دادن بردار جابجایی علی و سعید روی دستگاه مختصات دکارتی، مکان اولیه چادر مسافرتی را به عنوان مبدا مختصات (نقطه $$o$$) در نظر می‌گیریم. همچنین، مکان چادر پس از جابجایی را با نقطه B نشان می‌دهیم. این دو نقطه به صورت نشان داده شده در تصویر زیر، در دستگاه مختصات دکارتی نشان داده شده‌اند.

در ادامه، بردارِ جابجایی را رسم و برای رسم آن، پیکانی از $$O$$ به B رسم می‌کنیم. پیکان رسم شده از $$O$$ به B، برداری است که نقطه $$O$$ یا نقطه آغاز را به نقطه B یا نقطه پایان وصل کرده است. تصویر این بردار را می‌توانیم در امتداد محورهای $$x$$ و $$y$$ به‌دست آوریم.

تا اینجا می‌دانیم کمیت برداری چیست. کمیت‌های برداری، اندازه و جهت دارند. آیا تمام کمیت‌های فیزیکی، برداری هستند؟ خیر. برخی کمیت‌ها در فیزیک، اسکالر یا نرده‌ای هستند و تنها اندازه دارند. در ادامه، تفاوت کمیت‌های برداری و اسکالر را با یکدیگر بررسی می‌کنیم.

تفاوت کمیت اسکالر و کمیت برداری چیست؟

در قسمت قبل با تعریف کمیت برداری آشنا شدیم. کمیت‌های برداری اندازه و جهت، اما کمیت‌های اسکالر یا نرد‌ه‌ای، تنها اندازه دارند. فرض کنید آجری روی زمین قرار دارد. آجر را از روی زمین برمی‌داریم و آن را در فاصله دورتری از مکان اولیه‌اش قرار می‌دهیم. با استفاده از خط‌کش فاصله دو نقطه یک و دو را اندازه می‌گیریم. فرض کنید، فاصله این دو نقطه، برابر پنج سانتی‌متر است. برای یادگیری بیشتر در مورد کمیت‌های برداری و تفاوت آن با کمیت‌های اسکالر می‌توانید فیلم آموزش علوم تجربی پایه نهم بخش فیزیک فرادرس که لینک آن در ادامه آورده شده است را مشاهده کنید.

فاصله بین این دو نقطه را به عنوان کمیت برداری در نظر می‌گیریم یا به عنوان کمیت اسکالر؟ اگر بگوییم فاصله بین دو نقطه یک و دو برابر پنج سانتی‌متر است، تنها می‌دانیم دو نقطه در چه فاصله‌ای از یکدیگر قرار گرفته‌اند و هیچ اطلاعاتی در مورد جهت حرکت آجر نداریم.

در فیزیک دو کمیت به نام‌های جابجایی و مسافت داریم. به مجموع طول طی شده توسط جسم بدون در نظر گرفتن جهت حرکت و نقطه‌های شروع و پایان، مسافتِ طی شده توسط آن جسم گفته می‌شود. در نتیجه، مسافت طی شده توسط جسم کمیتی نرده‌ای است. در مقابل، جابجایی کمیتی برداری و به طور کامل وابسته به جهت حرکت است. مانند هر برداری، جابجایی اندازه و جهت دارد و نقاط ابتدایی و انتهایی را به هم وصل می‌کند. بنابراین، با توجه به تعریف‌های جابجایی و مسافت، اگر بگوییم آجر، ۵ متر حرکت کرده است و به جهت حرکت آن اشاره‌ای نکنیم، در مورد مسافت طی شده توسط آجر صحبت می‌کنیم.

اما اگر بگوییم آجر به اندازه ۵ متر به سمت راست حرکت کرده است، به جابجایی آن اشاره می‌کنیم. دو کمیت دیگر به نام‌های تندی و سرعت در فیزیک وجود دارند. نسبت مسافت طی شده توسط جسم به زمان لازم برای طی آن مسافت، تندی گفته می‌شود. تندی، کمیتی نرده‌ای و تنها دارای اندازه است. سرعت نیز به صورت نسبت جابجایی جسم به زمان لازم برای آن جابجایی، تعریف می‌شود. سرعت کمیتی برداری و علاوه بر اندازه، دارای جهت نیز است. فرض کنید، آجر در مدت زمان ۲ ثانیه به اندازه ۵ متر حرکت می‌کند. تندی آجر برابر است با:

$$Speed = \frac { 5 \ m } { 2 \ s } = 2.5 \ \frac { m} { s }$$

تندی، جهت ندارد. از آنجا که جابجایی و مسافت با یکدیگر برابر هستند، اندازه سرعت و تندی نیز مساوی یکدیگر خواهند بود. بنابراین، اندازه سرعت نیز برابر ۲٫۵ متر بر ثانیه است. اما نباید فراموش کنیم سرعت کمیتی برداری است و علاوه بر اندازه، جهت نیز دارد. آجر به سمت راست جابجا شده است، بنابراین جهت بردار سرعت نیز به سمت راست خواهد بود. کمیتی برداری مانند سرعت را به صورت $$\overrightarrow{ v }$$ نشان می‌دهیم. توجه به این نکته مهم است که کمیت‌های برداری ممکن است مثبت یا منفی باشند. برای تعیین علامت کمیت‌های برداری، مراحل زیر را طی می‌کنیم:

• جهتی را به صورت قراردادی به عنوان جهت مثبت انتخاب می‌کنیم.
• اگر جهت کمیت برداری در جهت قراردادی مثبت باشد، آن را مثبت و اگر در خلاف جهت قراردادی باشد، آن را منفی در نظر می‌گیریم.

تا اینجا می‌دانیم تفاوت کمیت اسکالر و کمیت برداری چیست. در ادامه، برای درک بهتر این دو کمیت و تفاوت‌های آن‌ها مثالی را با یکدیگر حل می‌کنیم.

مثال محاسبه مسافت و جابجایی

جسمی روی محور نشان داده شده در تصویر زیر از نقطه A به نقطه B و سپس به نقطه C می‌رود. در ادامه، جسم در امتداد محور به نقطه B و در پایان، به نقطه C برمی‌گردد.

1. مسافت طی شده توسط جسم را به‌دست آورید.
2. اندازه و جهت جابجایی طی شده توسط جسم را به‌دست آورید.

پاسخ

قبل از حل این مثال، آن را با دقت مرور و نکته‌های مهم را یادداشت می‌کنیم. جسم ابتدا در نقطه A قرار دارد. همان‌طور که در تصویر فوق نشان داده شده، مکان نقطه A برابر صفر است. حرکت جسم در ادامه و به ترتیب برابر است با:

1. جسم از A به B می‌رود. فاصله A تا B برابر ۵ کیلومتر است.
2. جسم از B به C می‌رود. فاصله B تا C برابر ۴ کیلومتر است.
3. جسم از C به B می‌‌رود، یعنی ۴ کیلومتر به سمت چپ حرکت کرده است.
4. در پایان، جسم از B به C می‌رود.

در قسمت یک می‌خواهیم مسافت طی شده توسط جسم را به‌دست آوریم. مسافت، کمیتی نرده‌ای است. همان‌طور که اشاره شد به مجموع طول طی شده توسط جسم، بدون در نظر گرفتن جهت حرکت و نقطه‌های شروع و پایان، مسافت گفته می‌شود. بنابراین، مسافت کل طی شده توسط جسم برابر است با:

$$AB+BC+CB+BC = 5 + 4 + 4 + 4 = 17 \ km$$

شاید با خود بگویید، CB برابر ۴- است. فراموش نکنید که به هنگام محاسبه مسافت، نقطه‌های ابتدا و انتها و جهت حرکت مهم نیستند، بلکه مسیر طی شده مهم است. در ادامه و در قسمت دو، جابجایی جسم را به‌دست می‌آوریم. جابجایی کمیتی برداری و به طور کامل وابسته به جهت حرکت است. جابجایی مانند هر برداری، اندازه و جهت دارد و نقاط ابتدایی و انتهایی را به هم وصل می‌کند. برای محاسبه جابجایی، حرکت به سمت راست را به عنوان جهت مثبت در نظر می‌گیریم. جهت حرکت جسم در هر مرحله در تصویر زیر نشان داده شده است.

در نتیجه، جابجایی جسم برابر است با:

$$\overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BC } - \overrightarrow{ CB } + \overrightarrow{ BC }= 5+4-4+4= 9 \ km$$

جابجایی جسم برابر ۹ کیلومتر و جهت آن به سمت راست است.

پرسش: اگر مدت زمان حرکت جسم در مثال یک برابر ۳۰ دقیقه باشد، سرعت و تندی حرکت جسم چه مقدار است؟

پاسخ: برای محاسبه تندی باید مسافت طی شده را بر زمان تقسیم کنیم:

$$Speed = \frac { 17 } { 0.5 \ h } = 34 \ \frac { km } { h }$$

تندی، کمیتی اسکالر یا نرده‌ای است و تنها اندازه دارد. برای محاسبه سرعت، جابجایی را بر زمان داده شده تقسیم می‌کنیم:

$$Velocity = \frac { 9 } { 0.5 \ h } = 18 \ \frac { km } { h }$$

سرعت، کمیتی برداری است و جهت آن به سمت راست، هم‌جهت با جابجایی، است.

اکنون می‌دانیم کمیت برداری چیست و چه تفاوتی با کمیت اسکالر دارد. کمیت‌های برداری را می‌توان همانند کمیت‌های نرده‌ای (اعداد) با یکدیگر جمع، تفریق یا ضرب کرد. اما جمع، تفریق و ضرب بردارها با کمیت‌های اسکالر متفاوت است. در ادامه، با جمع، تفریق و ضرب بردارها آشنا می‌شویم.

چگونه مسائل مربوط به بردارها را به راحتی حل کنیم؟

در بخش‌های قبل فهمیدیم کمیت برداری چیست و چه تفاوتی با کمیت اسکالر دارد. به هر کمیت فیزیکی، مانند جابجایی و سرعت، که اندازه و جهت دارند،کمیت برداری گفته می‌شود. در حل بسیاری از مسائل فیزیکی، مانند مسائل مربوط به محاسبه نیروهای وارد شده بر اجسام، باید با مفهوم بردار، جمع، تفریق، ضرب و تجزیه بردارها آشنا باشیم. بنابراین، آشنایی با بردارها از اهمیت بالایی برخوردار است. در ریاضی هشتم با مفهوم بردار، نمایش آن در دستگاه مختصات دوبعدی، بردارهای واحد و جمع بردارها آشنا می‌شوید. کاربرد کمیت‌های برداری را می‌توانید در فیزیک نهم مشاهده کنید. تماشای فیلم‌های آموزشی، مانند فیلم‌های آموزشی تهیه شده در فرادرس، می‌تواند به شما برای درک بهتر بردارها و مسائل مربوط به آن‌ها کمک زیادی کند.

• فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم فرادرس
• فیلم آموزش علوم تجربی پایه نهم بخش فیزیک فرادرس

پس از آشنایی با مفهوم کمیت‌های برداری، مباحث پیشرفته‌تر را می‌توانید در درس فیزیک یک دانشگاهی بیاموزید. در این راستا، تماشای مجموعه فیلم‌های آموزشی فرادرس در زمینه فیزیک یک دانشگاهی به شما در یادگیری بیشتر کمیت‌های برداری و حل مسائل پیشرفته‌تر، کمک شایانی می‌کند.

• فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ فراردس
• فیلم آموزش فیزیک ۱ دانشگاهی با رویکرد حل مساله فراردس
• فیلم آموزش فیزیک ۱ مرور و حل تست فرادرس

تا اینجا می‌دانیم کمیت برداری چیست. کمیت‌های برداری و آشنایی با ویژگی‌های آن‌ها برای حل مسائل مختلف فیزیک، مانند مسائل مربوط به نیرو، لازم است. برای حل این مسائل باید بدانیم این بردارها چگونه با یکدیگر جمع یا از هم کم می‌شوند. در ادامه، با جمع و تفریق کمیت‌های برداری آشنا می‌شویم.

جمع و تفریق کمیت های برداری

دو بردار $$\overrightarrow{ a }$$ و $$\overrightarrow{ b }$$ به صورت نشان داده شده در تصویر زیر در نظر بگیرید.

بردارها را به دو روش کلی می‌توان با یکدیگر جمع کرد:

1. قانون مثلث
2. قانون متوازی‌الاضلاع

در جمع بردارها مهم نیست از کدام یک از این دو قانون استفاده کنیم. نتیجه نهایی یکسان خواهد بود.

قانون متوازی الاضلاع در جمع کمیت برداری چیست؟

با استفاده از قانون متوازی‌الاضلاع، جمع دو بردار $$\overrightarrow{ a }$$ و $$\overrightarrow{ b }$$ را به‌دست می‌آوریم. برای انجام این کار، یکی از بردارها، به عنوان مثال بردار $$\overrightarrow{ a }$$ را ثابت نگه می‌داریم و بردار $$\overrightarrow{ b }$$ را بدون تغییر جهت به گونه‌ای جابجا می‌کنیم که ابتدای آن روی نقطه ابتدایی بردار $$\overrightarrow{ a }$$ قرار گیرد.

در ادامه، از انتهای بردار $$\overrightarrow{ a }$$ خطی موازی بردار $$\overrightarrow{ b }$$ و از انتهای بردار $$\overrightarrow{ b }$$، خطی موازی بردار $$\overrightarrow{ a }$$ رسم می‌کنیم. دو خط موازی یکدیگر را قطع می‌کنند و متوازی‌الاضلاعی به صورت نشان داده شده در تصویر زیر تشکیل می‌شود.

سپس، قطر OC را به صورت نشان داده شده در تصویر زیر رسم می‌کنیم. این قطر برابر جمع برداری $$\overrightarrow{ a } + \overrightarrow{ b }$$ است.

جمع برداری فوق را می‌توانیم به صورت زیر نیز بنویسیم:‌

$$\overrightarrow{ OA } + \overrightarrow{ OB } = \overrightarrow{ OC }$$

در ادامه، دو بردار $$\overrightarrow{ a }$$ و $$\overrightarrow{ b }$$ را با استفاده از قانون مثلث با یکدیگر جمع می‌کنیم.

قانون مثلث در جمع کمیت برداری چیست؟

با استفاده از قانون مثلث، جمع دو بردار $$\overrightarrow{ a }$$ و $$\overrightarrow{ b }$$ را به‌دست می‌آوریم. برای انجام این کار، یکی از بردارها، به عنوان مثال بردار $$\overrightarrow{ a }$$ را ثابت نگه می‌داریم و بردار $$\overrightarrow{ b }$$ را بدون تغییر جهت به گونه‌ای جابجا می‌کنیم که ابتدای آن روی نقطه انتهایی بردار $$\overrightarrow{ a }$$ قرار گیرد.

سپس، ابتدای بردار $$\overrightarrow{ a }$$ را به صورت نشان داده شده در تصویر زیر به انتهای بردار $$\overrightarrow{ b }$$ وصل می‌کنیم.

جمع برداری فوق را می‌توانیم به صورت زیر نیز بنویسیم:‌

$$\overrightarrow{ OA } + \overrightarrow{ AC } = \overrightarrow{ OC }$$

به این نکته توجه داشته باشید که بردارهای $$\overrightarrow{ OB }$$ و $$\overrightarrow{ AC }$$ با یکدیگر و در نتیجه، حاصل جمع برداری به‌دست با استفاده از قانون متوازی‌الاضلاع و قانون مثلث نیز با یکدیگر برابر هستند.

تا اینجا فهمیدیم چگونه دو کمیت برداری را با یکدیگر جمع کنیم. در ادامه، در مورد تفاضل کمیت‌های برداری صحبت می‌کنیم. تفاضل دو عدد را به راحتی می‌توانیم به‌دست آوریم. اعداد ۵ و ۲ را در نظر بگیرید. تفاضل این دو عدد به صورت $$5 - 2$$ نوشته می‌شود. حاصل برابر ۳ است. حاصل $$5 + (-2 )$$ نیز برابر ۲ به‌دست می‌آید. بنابراین، تفاضل دو عدد را به صورت جمع آن‌ها نیز می‌توان نوشت. به طور مشابه، تفاضل دو بردار $$\overrightarrow{ a } - \overrightarrow{ b }$$ را نیز می‌توانیم به صورت $$\overrightarrow{ a } + ( - \overrightarrow{ b } )$$ بنویسیم. بردارهای $$\overrightarrow{ b }$$ و $$- \overrightarrow{ b }$$ چه تفاوتی با یکدیگر دارند؟ بردار $$- \overrightarrow{ b }$$ هم‌اندازه با بردار $$\overrightarrow{ b }$$، اما جهت آن مخالف جهت بردار $$\overrightarrow{ b }$$ است.

بنابراین، تفاضل دو بردار را نیز می‌توانیم با استفاده از قانون‌های مثلث و متوازی‌الاضلاع به‌دست آوریم. حاصل $$\overrightarrow{ a } + ( - \overrightarrow{ b } )$$ را با استفاده از قانون مثلث محاسبه می‌کنیم. برای انجام این کار، یکی از بردارها، به عنوان مثال بردار $$\overrightarrow{ a }$$ را ثابت نگه می‌داریم و بردار $$- \overrightarrow{ b }$$ را بدون تغییر جهت به گونه‌ای جابجا می‌کنیم که ابتدای آن روی نقطه انتهایی بردار $$\overrightarrow{ a }$$ قرار گیرد. سپس، ابتدای بردار $$\overrightarrow{ a }$$ را به صورت نشان داده شده در تصویر زیر به انتهای بردار $$- \overrightarrow{ b }$$ وصل می‌کنیم.

توجه به این نکته مهم است که جمع و تفریق بیش از دو بردار را نیز می‌توانیم با استفاده از این دو قانون به‌دست آوریم. همچنین، دو قانون مثلث و متوازی‌الاضلاع، تنها به ما جهت بردار حاصل را می‌دهد.برای به‌دست آوردن اندازه بردار حاصل باید از روش‌های دیگری استفاده کنیم. یکی از این روش‌های تجزیه بردار و نوشتن آن‌ها برحسب مولفه‌های یکه است. در ادامه، با تجزیه بردارها در فضای دوبعدی و سه‌بعدی و سپس محاسبه جمع و تفاضل بردارها با استفاده از این روش آشنا می‌شویم.

تجزیه کمیت برداری چیست؟

قبل از صحبت در مورد تجزیه بردارها، ابتدا در مورد دستگاه مختصات صحبت می‌کنیم. همان‌طور که در ابتدای این مطلب مشاهده کردید، بردارها را می‌توانیم در دستگاه مختصاتی به نام دستگاه مختصات دکارتی نشان دهیم. دستگاه مختصات در دو بعد از یک خط افقی، محور $$x$$، و یک خط عمودی، محور $$y$$، تشکیل شده است. هر یک از محورها به فاصله‌های مساوی تقسیم شده‌اند و هر فاصله با عددی مشخص نشان داده شده است. هر نقطه در این دستگاه مختصات، با توجه به مکان آن، با دو مولفه $$x$$ و $$y$$ نشان داده می‌شود. مختصات نقطه را چگونه به‌دست می‌آوریم. برای به‌دست آوردن مختصات هر نقطه، دو خط از نقطه مورد نظر، به صورت نشان داده شده در تصویر زیر، موازی محورهای $$x$$ و $$y$$ رسم می‌کنیم.

توجه به این نکته مهم است که برای نوشتن مختصات هر نقطه، ابتدا مختصات نقطه $$x$$ و سپس مختصات نقطه $$y$$ را می‌نویسیم. همچنین، محل تقاطع محورهای $$x$$ و $$y$$ با یکدیگر مبدا مختصات نام دارد و با $$O$$ نشان داده می‌شود. مختصات این نقطه برابر $$( 0 , 0 )$$ است. بردارها با پیکان نشان داده می‌شوند و اندازه و جهتی مشخص دارند. برای به‌دست آوردن مختصات $$x$$ و $$y$$ بردار به صورت زیر عمل می‌کنیم:

• برای محاسبه مختصات $$x$$، از نقطه ابتدایی بردار شروع می‌کنیم و با توجه به جهت بردار، روی محور افقی به سمت راست یا چپ حرکت می‌کنیم. تعداد تقسیم‌بندی محور $$x$$ از نقطه ابتدایی تا نقطه انتهایی برابر مختصات $$x$$ است. اگر به سمت راست حرکت کنیم، علامت $$x$$ مثبت و اگر به سمت چپ حرکت کنیم، علامت $$x$$ منفی است.
• برای محاسبه مختصات $$y$$، از نقطه ابتدایی بردار شروع می‌کنیم و با توجه به جهت بردار، روی محور عمودی به سمت بالا یا پایین حرکت می‌کنیم. تعداد تقسیم‌بندی محور $$y$$ از نقطه ابتدایی تا نقطه انتهایی برابر مختصات $$y$$ است. اگر به سمت بالا حرکت کنیم، علامت $$y$$ مثبت و اگر به سمت پایین حرکت کنیم، علامت $$y$$ منفی است.

مختصات بردار را می‌توان به دو صورت $$(a , c )$$ یا $$\begin{bmatrix}a \\c \end{bmatrix}$$ نوشت. بردارها در فضای سه‌بعدی، مختصه سومی به نام z دارند و به صورت $$\begin{bmatrix}a \\b \\ c \end{bmatrix}$$ نوشته می‌شوند. محور z بر محورهای $$x$$ و $$y$$ عمود و عمود بر صفحه ساخته شده توسط این دو محور است.

بردارها را می‌توان برحسب مولفه‌های یکه نوشت. معنای این جمله چیست؟ همان‌طور که در مطالب بالا خواندیم هر بردار را می‌توانیم در دستگاه مختصات دکارتی نشان دهیم. بردارهای دوبعدی، دو مولفه در راستای محورهای $$x$$ و $$y$$ و بردارهای سه‌بعدی، سه مولفه در راستای محورهای $$x$$ و $$y$$ و $$z$$ دارند و به صورت زیر نوشته می‌شوند:

$$\overrightarrow{A}= A_x \overrightarrow{a _x}+ A_y \overrightarrow{a _y} \\ \overrightarrow{A}= A_x \overrightarrow{a _x}+ A_y \overrightarrow{a _y}+ A_z \overrightarrow{a _ z}$$

$$A_x$$ و $$A_y$$ و $$A_z$$ به ترتیب مولفه‌های بردار $$\overrightarrow{A}$$ در راستای محورهای $$x$$ و $$y$$ و $$z$$ هستند. همچنین، بردارهای $$\overrightarrow{a _x}$$ و $$\overrightarrow{a _y}$$ و $$\overrightarrow{a _z}$$ را به عنوان بردارهای یکه در راستای محورهای $$x$$ و $$y$$ و $$z$$ در نظر می‌گیریم. بردار یکه، برداری با اندازه واحد است که برای نشان دادن جهت مشخصی در فضا استفاده می‌شود و بردارهای دیگر را می‌توان به صورت ضریبی از آن نوشت. به عنوان مثال بردار یکه $$\overrightarrow{a _x}$$، برداری واحد در راستای محور $$x$$ است و از آن برای نوشتن بردار $$\overrightarrow{A}$$ در راستای محور $$x$$ استفاده می‌شود. توجه به این نکته مهم است که بردارهای $$\overrightarrow{a _x}$$ و $$\overrightarrow{a _y}$$ و $$\overrightarrow{a _z}$$ را می‌توانیم به صورت زیر نیز نشان بنویسیم:

$$\overrightarrow{a _x}= \widehat{i} \\ \overrightarrow{a _y}= \widehat{j} \\ \overrightarrow{a _z}= \widehat {k}$$

سوال مهمی که ممکن است مطرح شود آن است که چگونه می‌توانیم بردارها را در دو و سه بعد برحسب مولفه‌های آن‌ها در راستای محورهای مختصات بنویسیم. برای انجام این کار باید تصویر بردار روی محورهای مختصات را داشته باشیم. به بیان ساده‌تر، باید بردار را به مولفه‌های سازنده آن در راستای هر محور تجزیه کنیم.

چگونه کمیت برداری را به مولفه های سازنده آن در دو بعد تجزیه کنیم؟

فرض کنید بردار دلخواهی به نام $$\overrightarrow{A}$$ داریم که به صورت نشان داده شده در تصویر زیر در دستگاه مختصات دوبعدی رسم شده است. زاویه این بردار با جهت مثبت محور $$x$$ برابر $$\theta$$ است. برای تجزیه این بردار به مولفه‌های سازنده‌اش، مرحله‌های زیر را به ترتیب طی می‌کنیم.

مرحله اول

ابتدا بردار $$\overrightarrow{A}$$ را از مبدا مختصات رسم می‌کنیم. برای انجام این کار بردار $$\overrightarrow{ A }$$ را بدون تغییر جهت به گونه‌ای جابجا می‌کنیم که ابتدای آن روی مبدا مختصات قرار گیرد.

مرحله دوم

از انتهای بردار، خطی موازی محور عمودی رسم می‌کنیم و آن را تا جایی ادامه می‌دهیم که محور افقی را قطع کند. محل تقاطع با دایره قرمز‌رنگ نشان داده شده است. از مبدا مختصات، برداری را تا این نقطه رسم می‌کنیم و آن را $$\overrightarrow{A _ x }$$ می‌نامیم.

بردار $$\overrightarrow{A _ y }$$ را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$\overrightarrow{A _y }= A_y \overrightarrow{a _y}$$

مولفه $$A_y$$ تصویر بردار $$\overrightarrow{A}$$ در راستای محور $$y$$ است و به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$A_x = A \cos \theta$$

در رابطه فوق:

• A اندازه بردار $$\overrightarrow{A}$$ است.
• $$\theta$$ زاویه بردار $$\overrightarrow{A}$$ با جهت مثبت محور $$x$$ است.

مرحله سوم

از انتهای بردار، خطی موازی محور افقی رسم می‌کنیم و آن را تا جایی ادامه می‌دهیم که محور عمودی را قطع کند. محل تقاطع با دایره آبی‌رنگ نشان داده شده است. از مبدا مختصات، برداری را تا این نقطه رسم می‌کنیم و آن را $$\overrightarrow{A _ y }$$ می‌نامیم.

بردار $$\overrightarrow{A _ x }$$ را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$\overrightarrow{A _ x }= A_x \overrightarrow{a _x}$$

مولفه $$A_x$$ تصویر بردار $$\overrightarrow{A}$$ در راستای محور $$x$$ است و به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$A_x = A \sin \theta$$

در رابطه فوق:

• A اندازه بردار $$\overrightarrow{A}$$ است.
• $$\theta$$ زاویه بردار $$\overrightarrow{A}$$ با جهت مثبت محور $$x$$ است.

مرحله چهارم

بردار $$\overrightarrow{A}$$ را برحسب دو مولفه می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\overrightarrow{A }= A \cos \theta \widehat{i} + A \sin \theta \widehat{ j }$$

شاید از خود بپرسید تجزیه بردار در سه‌ بعد به چه صورت انجام می‌شود. در ادامه، با تجزیه برداری در سه بعد آشنا می‌شوید.

چگونه کمیت برداری را به مولفه های سازنده آن در سه بعد تجزیه کنیم؟

فرض کنید بردار دلخواهی به نام $$\overrightarrow{r}$$ داریم که به صورت نشان داده شده در تصویر زیر در دستگاه مختصات سه‌بعدی رسم شده است. زاویه این بردار با صفحه $$xy$$ برابر $$\theta$$ و با جهت مثبت محور $$z$$ برابر $$\phi$$ است. برای تجزیه این بردار به مولفه‌های سازنده‌اش، مرحله‌های زیر را به ترتیب طی می‌کنیم.

مرحله اول

ابتدا تصویر بردار $$\overrightarrow{r}$$ را در صفحه $$xy$$ رسم می‌کنیم. برای انجام این کار، از انتهای بردار $$\overrightarrow{r}$$ خطی موازی محور عمودی $$z$$ رسم می‌کنیم و آن را تا جایی ادامه می‌دهیم که صفحه $$xy$$ را قطع کند. محل تقاطع با دایره قرمز‌رنگ نشان داده شده است. از مبدا مختصات، برداری را تا این نقطه رسم می‌کنیم و آن را $$\overrightarrow{r _ {x y } }$$ می‌نامیم.

تصویر بردار $$\overrightarrow{ r }$$ روی صفحه $$xy$$ را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$r _ { x y } = r \cos \theta$$

مرحله دوم

تصویر بردار $$\overrightarrow{r _ {x y } }$$ را در راستای محورهای $$x$$ و $$y$$ به‌دست می‌آوریم. فرض کنید زاویه بردار $$\overrightarrow{r _ {x y } }$$ با محور $$x$$ برابر $$\theta_1$$ است. برای انجام این کار از انتهای این بردار، خطی موازی محور $$y$$ رسم می‌کنیم و آن را تا جایی ادامه می‌دهیم که محور $$x$$ را قطع کند. محل تقاطع با دایره قرمز‌رنگ نشان داده شده است. از مبدا مختصات، برداری را تا این نقطه رسم می‌کنیم و آن را $$\overrightarrow{ r _ x }$$ می‌نامیم.

بردار $$\overrightarrow{r _ x}$$ را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$\overrightarrow{ r_ x }= r_ { xy } \cos \theta_1 = r \cos \theta\cos \theta_1$$

مرحله سوم

در ادامه، تصویر بردار $$\overrightarrow{r _ {x y } }$$ را در راستای محور $$y$$ به‌دست می‌آوریم. برای انجام این کار از انتهای این بردار، خطی موازی محور $$x$$ رسم می‌کنیم و آن را تا جایی ادامه می‌دهیم که محور $$y$$ را قطع کند. محل تقاطع با دایره آبی‌رنگ نشان داده شده است. از مبدا مختصات، برداری را تا این نقطه رسم می‌کنیم و آن را $$\overrightarrow{ r _ y }$$ می‌نامیم.

بردار $$\overrightarrow{r _ y}$$ را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$\overrightarrow{ r_ y }= r_ { xy } \cos \theta_1 = r \cos \theta \sin \theta_1$$

مرحله چهارم

در پایان، تصویر بردار $$\overrightarrow{ r }$$ را در راستای محور $$z$$ به‌دست می‌آوریم. برای انجام این کار از انتهای این بردار، خطی موازی بردار $$\overrightarrow{r _ {x y } }$$ رسم می‌کنیم و آن را تا جایی ادامه می‌دهیم که محور $$z$$ را قطع کند. محل تقاطع با دایره سبزرنگ نشان داده شده است. از مبدا مختصات، برداری را تا این نقطه رسم می‌کنیم و آن را $$\overrightarrow{ r _ z }$$ می‌نامیم.

تصویر بردار $$\overrightarrow{ r }$$ روی محور $$z$$ را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$r _ { z } = r \sin \theta$$

تا اینجا می‌دانیم کمیت برداری چیست و چگونه آن را در راستای محورهای مختصات تجزیه کنیم. برای جمع دو یا بیش از دو بردار با یکدیگر، می‌توانیم به راحتی آن‌ها را در راستای محورهای مختصات تجزیه کنیم. سپس، مولفه‌ها در راستای هر محور را مشابه کمیت‌های اسکالر با یکدیگر جمع یا از یکدیگر کم کنیم. برای درک بهتر این موضوع چند مثال را با یکدیگر حل می‌کنیم.

مثال ۱