برق , مهندسی 5670 بازدید

پیش‌تر در بلاگ فرادرس، معادلات ماکسول و نحوه بدست آوردن آن‌ها را توضیح دادیم. در این قسمت قصد داریم تا از این معادلات، استفاده کرده و امواج الکترومغناطیسی را تعریف و توصیف کنیم. به دو میدان الکتریکی و مغناطیسی عمود به هم، که با زمان و مکان نوسان کرده و در جهتی خاص حرکت می‌کنند، موج الکترومغناطیسی گفته می‌شود. در ادامه در مورد ویژگی این دو میدان عمود به هم و ارتباط آن‌ها با یکدیگر بحث خواهد شد. همچنین پیشنهاد می‌کنیم جهت آشنایی با انواع مختلف امواج الکترومغناطیسی به مقاله «طیف الکترومغناطیسی — به زبان ساده» رجوع کنید.

امواج الکترومغناطیسی تخت

جهت بررسی ویژگی‌های امواج الکترومغناطیسی، مطابق با انیمیشن زیر موجی را در نظر بگیرید که در جهت مثبت محور x در حرکت است.

electromagnetic-wave

مطابق با انیمیشن بالا اندازه میدان الکتریکی (E) در راستای y و اندازه میدان مغناطیسی (B) در راستای z با زمان تغییر می‌کنند. موجی که در بالا شرح داده شد، نمونه‌ای از یک موج تخت محسوب می‌شود. هم‌چنین با توجه به این که هر دو میدان به جهت انتشار عمود هستند، به این نوع از موج، موج عرضی نیز گفته می‌شود. در امواج عرضی، جهت انتشارِ موج، در جهت بردار یکه $$\overrightarrow{E}×\overrightarrow{B}$$ است.

با استفاده از معادلات ماکسول، می‌توان اندازه ‌میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی را یافت. بدین منظور مطابق با تصویر زیر منحنی مستطیلی شکلی را در صفحه x-y در نظر بگیرید.

electromagnetic-wave

سمت چپ حلقه در موقعیت x و سمت راست در x+Δx قرار گرفته است. پایین حلقه نیز در y و بالای آن در y+Δy است. جهت ساده‌سازی، بردار عمود به حلقه را برابر با $$\widehat{n}=\widehat{k}$$ تصور کنید. با نوشتن قانون القای فارادی برای صفحه تشکیل شده از این حلقه داریم:

Farady-law

سمت چپ معادله بالا برابر است با:

رابطه ۱

در رابطه بالا از بسط تیلور زیر استفاده شده:

Taylor

از طرفی نرخ تغییرات میدان مغناطیسی در دیفرانسیل dA برابر است با:

magnetic-flux-rate
رابطه ۲

با برابر قرار دادن رابطه ۱ و ۲ و تقسیم کردن آن‌ها به Δy داریم:

رابطه ۳

رابطه بالا تغییرات میدان الکتریکی در مکان را بر حسب تغییرات میدان مغناطیسی در زمان نشان می‌دهد. اگر بخواهیم تغییرات میدان الکتریکی را در زمان بر حسب میدان مغناطیسی بیان کنیم، حلقه‌ای را مطابق با شکل زیر در نظر می‌گیریم.

شکل ۱

رابطه آمپر-ماکسول برای یک حلقه آمپری را در مطلب معادلات ماکسول مطابق با رابطه زیر ارائه کردیم.

Amper-maxwell

همان‌طور که در شکل ۱ نیز نشان داده شده، بردار عمود بر صفحه به‌صورت $$\widehat{n}=\widehat{j}$$ است. انتگرال خطی میدان مغناطیسی رو حلقه (سمت چپ رابطه بالا) برابر است با:

amperian-loop

از طرفی مشتق زمانی شار الکتریکی برابر است با:

رابطه ۴

با برابر قرار دادن دو رابطه بالا و تقسیم کردن آن‌ها به x∆z∆ رابطه تغییرات زمانی میدان الکتریکی بر حسب تغییرات مکانی میدان مغناطیسی، به صورت زیر بدست می‌آید.

رابطه ۵

نتیجه بالا نشان می‌دهد که تغییرات مکانی میدان مغناطیسی منجر به ایجاد میدان الکتریکی می‌شود.

با استفاده از روابط ۲ و ۴ می‌توان نشان داد که هر دو میدان الکتریکی و مغناطیسی قادرند تا در معادله یک‌بعدی موج قرار گیرند. جهت نشان دادن این موضوع، در ابتدا از رابطه ۳ نسبت به x و از رابطه ۵ نسبت به t مشتق می‌گیریم. با این مشتق‌گیری داریم:

رابطه ۶

توجه داشته باشید که در رابطه بالا از قابلیت جابجایی متغیر‌ها به شکل زیر استفاده شده است.

interchangability

مشابه با روش بالا، در این مرحله از رابطه ۵ نسبت به x و از رابطه ۳ نسبت به t مشتق می‌گیریم. با انجام این کار داریم:

electric-magnet-wave
رابطه ۷

در نتیجه خلاصه روابط ۶ و ۷ را می‌توان به‌شکل زیر بیان کرد:

Electromagnetic-wave
رابطه ۸

توجه داشته باشید که از مکانیک می‌دانیم که رابطه مربوط به انتشار موجی یک‌بعدی به صورت زیر است:

در رابطه بالا v سرعت موج و $$\psi (x,t)$$  نشان دهنده تابع موج است. با توجه به رابطه بالا و برابر قرار دادن آن با رابطه۸ می‌توان سرعت انتشار امواج الکترومغناطیسی را برابر با مقدار زیر بدست آورد.

electromagnetic-wave-speed-light

پاسخ بالا نشان می‌دهد که امواج الکترومغناطیسی با سرعت نور منتشر می‌شوند. هم‌چنین خود نور نیز نوعی موج الکترومغناطیسی است. طیف الکترومغناطیسی امواج مختلف در جدول زیر نشان داده شده است.

معادله موج تک‌ بعدی

می‌توان به طور مستقیم اثبات کرد که هر تابعی به صورت (ψ(x±vt در معادله موج صادق خواهد بود. این بیان در ادامه اثبات شده است. جهت اثبات، در ابتدا متغیر x’=x±vt را تعریف می‌کنیم. با استفاده از این تعریف، مشتقات زمانی و مکانی این متغیر به صورت $$\partial x’/\partial x=1$$ و $$\partial x’/\partial t=±v$$ خواهند بود. در نتیجه با استفاده از قانون مشتق‌گیری زنجیره‌ای داریم:

Chain-rule

در نتیجه مشتق دوم (‘ψ(x برابر است با:

رابطه ۹

با روشی مشابه مشتق‌گیری زمانی تابع $$\psi (x’)$$ را می‌توان نسبت به زمان و مطابق با عبارت زیر بدست آورد.

chain

رابطه ۱۰

با مقایسه رابطه ۹ و ۱۰ داریم:

wave

عبارت بالا نشان می‌دهد که $$\psi (x±vt)$$ در رابطه موج یک‌بعدی صدق می‌کند. معادله موج مثالی از معادله دیفرانسیلی خطی است؛ در نتیجه که اگر $$\psi_1 (x,t)$$ و $$\psi_2 (x,t)$$ پاسخ‌های معادله دیفرانسیل مذکور باشند، در این صورت $$\psi_1 (x,t) + \psi_2 (x,t)$$ نیز در معادله دیفرانسیل موج صادق خواهند بود.

بنابراین تا به این‌جا دو معادله را برای یک موج الکترومغناطیسی مطابق با رابطه زیر یافتیم و ثابت کردیم که هر کدام از آن‌ها موجی تک‌ بعدی هستند [یک معادله برای میدان الکتریکی و یک معادله برای میدان مغناطیسی].

electric-magnetic-wave

یکی از پاسخ‌های ممکن برای دو معادله بالا به صورت زیر است:

wave-electromagnetic

مطابق با رابطه بالا، تغییرات میدان‌ها به صورت سینوسی در نظر گرفته شده و دامنه آن‌ها نیز برابر با E0 و B0 فرض شده‌اند. مقدار k یا همان عدد موج را می‌توان بر حسب طول موجِ λ، بصورت زیر بیان کرد:

wave-value

فرکانس زاویه‌ای ω نیز برابر است با:

Angular-Velocity

در رابطه بالا f برابر با فرکانس خطی موج است. در فضای خالی (خلاء) سرعت موج الکترومغناطیسی برابر با سرعت نور است (v=c). نمونه‌ای از یک موج الکترومغناطیسیِ سینوسی در شکل زیر نشان داده شده است.

electromagnetic-wave-1

همان‌طور که در شکل بالا نیز می‌بینید، در یک موج تخت میدان‌های $$\overrightarrow{B}$$ و $$\overrightarrow{E}$$ همواره هم‌فاز هستند. در حقیقت در یک زمان و مکان، میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی ماکزیمم شده و در یک زمان نیز می‌نیمم می‌شوند. جهت بدست آوردن مقادیر E0 و B0 بر حسب یکدیگر، می‌توان از معادلات معرفی شده برای میدان مغناطیسی و الکتریکی به‌شکل زیر مشتق جزئی گرفت:

رابطه ۱۱

از طرفی در بالا رابطه زیر را نشان دادیم:

Electromagnetic-wave-4

با برابر قرار دادن دو معادله معرفی شده در رابطه ۱۱، به عبارت E0k=ωB0 می‌رسیم؛ در نتیجه رابطه بین دامنه دو میدان به‌شکل زیر بدست می‌آید.

Electromagnetic-wave-5

معادلات بالا ویژگی‌ موج‌های تخت عرضی را توصیف می‌کنند. ویژگی اصلی این نوع از موج‌ها به‌طور خلاصه به شرح زیر هستند:

  1. این نوع موج به صورت عرضی است. دلیل عرضی بودن آن‌ها این است که میدان‌های مغناطیسی و الکتریکی در هر لحظه به یکدیگر عمود بوده و جهت انتشار آن‌ها نیز به جهت حرکت موج عمود است. در حقیقت جهت انتشار موج در جهت بردار یکه $$\widehat{E}×\widehat{B}$$ است.
  2. حاصلضرب داخلی دو بردار $$\overrightarrow{E}$$ و $$\overrightarrow{B}$$ در هر لحظه برابر با صفر است.
  3. نسبت اندازه دامنه میدان‌ها برابر است با:
    Electromagnetic-wave
  4. سرعت انتشار این موج در خلاء برابر با سرعت نور یا همان $$\Large {1} \over \Large {\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$$ است.
  5. امواج الکترومغناطیسی از قانون جمع آثار پیروی می‌کنند.

امواج الکترومغناطیسی ایستا

دو موج الکترومغناطیسی را تصور کنید که یکی از آن‌ها مطابق با رابطه زیر در جهت x+ حرکت می‌کند.

standing-waves

موج دوم نیز در جهت x- مطابق با رابطه زیر در حال حرکت است.

standing-wave-2

جهت سادگی، طول موج و دامنه این دو موج برابر در نظر گرفته شده. در حقیقت برای این دو موج داریم:

Standing-wave

و

Standing-wave-3

با استفاده از قانون جمع آثار میدان الکتریکی و مغناطیسی جدیدی را مطابق با دو رابطه زیر بدست می‌آوریم. در حقیقت در هرکدام از این روابط میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی موج‌های رفت و برگشتی با هم جمع زده شده‌اند.

standing-wave-5

با استفاده از رابطه زیر در مثلثات:

angle-sum-rule

میدان الکتریکی و مغناطیسی جمع زده شده، به‌صورت زیر بازنویسی می‌شوند.

رابطه ۱۲
رابطه ۱۳

می‌توان نشان داد که دو میدان‌ بدست آمده در بالا نیز از رابطه کلی مربوط به امواج که در زیر آمده پیروی می‌کنند.

Wave-general-form

امواج مبتنی بر روابط ۱۲ و ۱۳ را موج‌های ایستا می‌نامند؛ دلیل این نامگذاری این است که امواج مذکور فقط با زمان نوسان می‌کنند و در راستای مشخصی منتشر نمی‌شوند. در حقیقت این امواج فقط با تغییرات زمان و مکان نوسان می‌کنند.

در ابتدا اجازه دهید تا میدان الکتریکی ارائه شده در رابطه ۱۲ را مورد بررسی قرار دهیم. با توجه به رابطه مذکور، بدیهی است که اگر sin kx=0 باشد، میدان الکتریکی در هر لحظه‌ای نیز صفر خواهد بود. در حقیقت در مکان‌های زیر، میدان الکتریکی در هر زمانی صفر است.

electric-nodal-point

به نقاط بیان شده در بالا، نقاط گرهی گفته می‌شود. هم‌چنین به صفحاتی که در آن، گره‌ها قرار دارند، «صفحات گره» (Nodal planes) گفته می‌شود. در انیمیشنی که در زیر ارائه شده می‌توانید دو موج رفت و برگشتی که با یکدیگر جمع شده‌اند و موج ساکنِ اصلی را مشاهده کنید.

standing-wave

در انیمیشن بالا نقاط ساکن (گره‌ها) نیز، به صورت برجسته مشخص شده‌اند. در حالتی که sin kx=±1 باشد، یا به عبارتی دیگر در مکان‌های زیر:

standing-Wave

اندازه میدان الکتریکی به مقدار ماکزیممش (2E0) رسیده. این نقاط در انیمیشن بالا قله‌های نوسان را نشان می‌دهند. برای میدان مغناطیسی نیز همین داستان برقرار است. نقاط گره برای میدان مغناطیسی، نقاطی‌اند که در آن‌ها Cos kx=۰ باشد. در نتیجه:

magnetic-field-nodal-point

هم‌چنین نقاط مربوط به cos kx=±1 (نقاط قله) برابر هستند با:

بنابراین نقاط گرهی میدان الکتریکی، نقاط قله میدان مغناطیسی و نقاط گره میدان مغناطیسی معادل با نقاط قله میدان الکتریکی است. با توجه به رابطه ۱۲ اگر sin ωt=0 باشد، میدان الکتریکی نیز صفر است. در حقیقت در زمان‌های زیر، میدان الکتریکی صفر خواهد بود.

time-zero-electric-field

در رابطه بالا T=1/f=2π/ω را دوره (Period) می‌نامند. برعکس موج تخت در موج ایستا، میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی نسبت به یکدیگر اختلاف فازی برابر با ۹۰ درجه دارند. شکل زیر موجی ایستا را نشان می‌دهد.

Standing-waves

بردار پوئینتینگ (Poynting Vector)

در مطالب میدان الکتریکی و مغناطیسی دیدیم که یک میدان حامل انرژی است. از این رو با توجه به این‌که موج الکترومغناطیسی از دو میدان عمود به هم تشکیل شده، بنابراین این موج نیز حامل انرژی است. جهت بدست آوردن انرژی یک موج الکترومغناطیسی، مطابق با شکل زیر، دیفرانسیلی از موج به ضخامت dx و مساحت A را در نظر بگیرید.

Poynting-Vector

انرژی موجود در این دیفرانسیل برابر است با:

electromagnetic-wave-energy

uE و uB به ترتیب نشان دهنده چگالی انرژی میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی هستند، که با استفاده از رابطه زیر بدست می‌آیند.

electromagnetic-wave-energy

از آنجایی که امواج الکترومغناطیسی با سرعت نور منتشر می‌شوند، زمان مورد نیاز جهت جابجایی موج درون دیفرانسیل حجمی در نظر گرفته شده برابر با dt=dx/c است. نرخ انتقال انرژی در واحد سطح را با S نشان می‌دهند و مقدار آن با استفاده از رابطه زیر بدست می‌آید:

energy-per-unit-area

با توجه به رابطه بالا، واحد SI کمیتِ S برابر با W/m2 است. با استفاده از روابط E=cB و $$c={\Large {1} \over \Large {\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}}$$ انرژی در واحد سطح را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد.

Electromagnetic-wave-energy

در حالتی عمومی، نرخ انرژی در واحد سطح را می‌توان با استفاده از کمیتی برداری تحت عنوان $$\overrightarrow {S}$$، به‌صورت زیر نشان داد.

Electromagnetic-wave-energy

توجه داشته باشید که در رابطه بالا $$\overrightarrow{S}$$،‌ جهت انتشار را نشان می‌دهد. برای نمونه حالتی را فرض کنید که در آن $$\overrightarrow{E}=E_0cos(kx-\omega t) \widehat{j}$$ است. از این رو میدان مغناطیسی مرتبط با میدان الکتریکی بیان شده، بایستی برابر با $$\overrightarrow{B}=B_0cos(kx-\omega t) \widehat{k}$$ باشد. با فرض این‌که موج مفروض در راستای x+ انتشار می‌یابد، بردار پوئینتینگ برابر است با:

poynting-vector

مطابق با شکل زیر بدیهی است که بردار $$\overrightarrow {S}$$ در راستای x+ است.

poyiting-vector

به انرژی در واحد سطح یک موج، «شدت موج» (Wave Intensity) گفته می‌شود. شدت موج کمیتی مقداری است که آن را با I نمایش می‌دهند. شدت موج در این مثال را می‌توان به‌صورت زیر محاسبه کرد.

رابطه ۱۴

توجه داشته باشید که علامت <> در رابطه بالا نشان دهنده مقدار میانگین است. برای نمونه در رابطه بالا از مقدار میانگین ارائه شده در زیر استفاده شده است.

time-averaging

قبل از بیان ارتباط میان چگالی و شدت موج لازم است رابطه بین چگالی میدان الکتریکی و چگالی میدان مغناطیسی را به شکل زیر مشخص کنیم. این رابطه به‌صورت زیر است.

electric-magnet-density

در نتیجه میانگین چگالی انرژیِ هر دو میدان برابر است با:

average-energy-density

با توجه به رابطه ۱۴ و رابطه بالا ارتباط میان شدت و چگالی انرژی یک موج به‌صورت زیر بدست می‌آید.

plane-intensity

جهت درک بهتر، به مثال زیر توجه کنید.

مثال ۱: ثابت خورشیدی

در بالای سطح اتمسفر زمین، مقدار میانگینِ زمانی بردار پوئینتینگ، برابر با $$< S >=1.35×10^3 \enspace W/m^2 $$ است. این مقدار تحت عنوان ثابت خوررشیدی شناخته می‌شود. با استفاده از ثابت خورشیدی، موارد زیر را بدست آورید.

  1. با فرض این‌که موج الکترومغناطیسی ساطع شده از خورشید به صورت تخت باشد، اندازه دامنه میدان الکتریکی و مغناطیسی آن را بدست آورید.
  2. اگر فاصله بین زمین و خورشید برابر با $$R=1.5×10^{11} \enspace m$$ باشد، انرژی میانگین زمانی ساطع شده از سطح خورشید چقدر است؟

(i): دامنه میدان الکتریکی منتشر شده برابر است با:

Electric-Field

دامنه میدان مغناطیسی نیز برابر با مقدار زیر بدست می‌آید.

magnetic-field-amplitue

میدان مغناطیسی بدست آمده، تقریبا ۱۰ درصد میدان مغناطیسی زمین است.

(ii): میانگین انرژی زمانی ساطع شده از سطح خورشید، در فاصله R، برابر است با:

Electromagnetic-wave-energy

مثال بالا نمونه‌ای از موجی کروی است. منبع این‌گونه از امواج، یک نقطه است که نقش منتشر کننده میدان‌ها را دارند. در شکل زیر هر دو نوع موج کروی و تخت نشان داده شده است.

spherical-plane-wave

برای موجی کروی و در فاصله r از مرکز آن، شدت موج برابر با مقدار زیر است.

electromagnetic-wave-Intensity

با توجه به ثابت بودن سطح یک موج تخت، بدیهی است که شدت انرژی برای آن، در هر فاصله‌ای ثابت است.

مثال ۲: شدت یک موج ایستا

موجی الکترومغناطیسی را مطابق با رابطه زیر در نظر بگیرید.

stand-wave-intensity

شدت این موج چقدر است؟

جهت بدست آوردن انرژی یک موج در ابتدا بایستی بردار پوئینتینگ را بدست آورد. بردار پوئینتینگ برای این مثال برابر است با:

poynting-electromagnetic-wave.JPG

در نتیجه میانگین S برابر است با:

wave-intensity

بنابراین انرژی خالصی توسط این موج منتقل نمی‌شود. در حقیقت رابطه بالا مربوط به موجی ساکن است. یا می‌توان گفت از آنجایی که موج ایستا در نتیجه برهم‌نهی دو موج با جهت حرکت مخالف است، بنابراین جابجایی انرژی خالصی توسط موج صورت نمی‌گیرد.

انتقال انرژی

با توجه به این‌که بردار پوئینتینگ $$\overrightarrow {S}$$ نشان دهنده نرخ انتقال انرژی در واحد مساحت است، در نتیجه نرخ تغییرات انرژی در واحد زمان را می‌توان مطابق با رابطه زیر بدست آورد.

Energy-rate-electromagnetic

در رابطه بالا بردار مساحت برابر با $$d\overrightarrow {A}=dA \widehat{n}$$ و $$\widehat{n}$$ نشان دهنده بردار واحد به سمت بیرون از صفحه است. رابطه مذکور این اجازه را به ما می‌دهد تا بردار $$\overrightarrow {S}$$ را بر حسب شار چگالی انرژی بیان کنیم. اگر انرژی به سمت بیرون از سیستم جریان داشته باشد، $$\overrightarrow{S}=+S \widehat{n}$$ و dU/dt<0 است. این عبارت به معنی کاهش انرژی سیستم است.

جهت توضیح فیزیکی انرژی موج الکترومغناطیسی، مطابق با شکل زیر سلونوئیدی را در نظر بگیرید.

solenoid

فرض کنید طول، شعاع و نسبت دور به طول برای این سلونوئید به‌ترتیب برابر با $$n, r, l$$ باشد. با فرض این‌که جریان الکتریکی با نرخ dI/dt>0 تغییر کند، قانون آمپر را می‌توان به شکل زیر نوشت:

solenoid-magnetic-field

با توجه به تعریف n، رابطه بالا به شکل زیر قابل بازنویسی است.

solenoid-electromagnetic-wave

با مشتق‌گیری از آن، نرخ تغییرات میدان مغناطیسی نسبت به زمان برابر با مقدار زیر بدست می‌آید.

magnetic-change-in-time

از طرفی با استفاده از قانون القای فارادی، داریم:

electric-farady

بدیهی است که تغییرات شار مغناطیسی، منجر به ایجاد میدان الکتریکی خواهد شد. با محاسبه انتگرال بالا داریم:

farady-wave-electromagnetic

با استفاده از قانون لنز، جهت میدان الکتریکیِ $$\overrightarrow{E}$$ مطابق با شکل زیر، به‌صورت ساعتگرد بدست می‌آید.

Current-electromagnetic

با بکارگیری میدان مغناطیسی و میدان الکتریکی بدست آمده، بردار پوئینتینگ به‌شکل زیر بدست می‌آید.

electromagnetic-energy

بردار بدست آمده به‌صورت شعاعی و رو به داخل است. در این مثال انرژی ذخیره شده در سلونوئید مفروض برابر است با:

energy-solenoid

با مشتق‌گیری از رابطه بالا داریم:

energy-electromagnetic

در رابطه بالا ε را با استفاده از القای فارادی و به شکل زیر بدست می‌آوریم.

farady-law-induction

از طرفی با استفاده از مفهوم شدت موج، مقدار انرژی تولید شده در سلونوئید برابر است با:

Intensity

با توجه انرژی بدست آمده ناشی از ε و S، می‌توان رابطه زیر را نتیجه‌گیری کرد.

energy-intensity-electromagnetic

بنابراین همان‌طور که انتظار می‌رفت با افزایش جریان الکتریکی در زمان،‌ انرژی ذخیره شده در سلونوئید نیز افزایش می‌یابد.

ایجاد امواج الکترومغناطیسی

امواج الکترومغناطیسی زمانی ایجاد می‌شوند که بار‌های الکتریکی شتاب بگیرند. در حقیقت این بار‌های شتاب گرفته شده هستند که می‌توانند انرژی، تابش کنند. انرژی تابشی را نمی‌توان با استفاده از بار‌های ساکن یا جریان پایا بدست آورد. شکل زیر خطوط میدان الکتریکی را در نتیجه نوسان بار‌های الکتریکی، در یک لحظه خاص نشان می‌دهد.

electromagnetic-wave

یکی از راه‌های شناخته شده تولید امواج الکترومغناطیسی (امواج رادیویی)، اعمال ولتاژی سینوسی به یک آنتن است. با انجام این کار، بار‌های الکتریکی به‌صورتی نوسانی در دو سمت آنتن جمع می‌شوند. در حقیقت یک دوقطبی الکتریکی نوسانی در هر لحظه ایجاد می‌شود که قدرت آن در هر لحظه تغییر می‌کند. در شکل زیر شماتیک تولید میدان الکتریکی سینوسی نشان داده شده.

antenna

مطابق با شکل بالا در لحظه t=0 دو سمت آنتن بیشترین بار‌های الکتریکی مثبت و منفی را در خود دارند. در حقیقت بار بخش بالای آنتن، مثبت و بخش پایین منفی است. در این حالت میدان الکتریکی در نزدیکی آنتن به سمت پایین است. پس از گذشت مدت زمان ۱/۴ دوره، (t=T/4)، بارها به طور کامل جابجا شده و همدیگر را خنثی می‌کنند. در این حالت میدان الکتریکی در نزدیکی آنتن برابر با صفر است.

پس از گذشت زمان نصف دوره (t=T/2)، بار‌ها در حالتی برعکسِ لحظه t=0 قرار می‌گیرند. در حقیقت در این لحظه، اندازه میدان الکتریکی، ماکزیمم ولی جهت آن به سمت بالا می‌شود. بنابراین با گذشت زمان، نوسانات بار‌های الکتریکی منجر به تولید میدانی متغیر با زمان می‌شود. حرکت بار‌های الکتریکی هم‌چنین منجر به ایجاد جریان الکتریکی شده که نهایتا باعث تولید میدان مغناطیسی می‌شود. توجه داشته باشید که رفتار میدان‌ها در نزدیکی آنتن و در فاصله‌ای دور از آن با یکدیگر متفاوت است. انیمیشن زیر نحوه تولید میدان الکتریکی و مغناطیسی متغیر با زمان توسط آنتن را نشان می‌دهد.

 

Anntenna

 

مثال‌ها

مفاهیم مربوط به امواج الکترومغناطیسی پیش‌نیازی بسیار مهم برای دانشجویان مهندسی برق و خصوصا فیزیک است، چراکه در آینده در مباحث مهم‌تری همچون کوانتوم مکانیک، از آن‌ها استفاده خواهد شد. از این رو جهت تسلط کامل‌تر به موضوع، مطالعه مثال‌های زیر توصیه می‌شود. هم‌چنین جهت یادگیری کامل مفاهیم، آموزش ویدئویی ارائه شده در این قسمت به شما پیشنهاد می‌شود.

مثال ۳: موج الکترومغناطیسی تخت

فرض کنید میدان الکتریکی در یک موج الکترومغناطیسی مطابق با رابطه زیر تغییر می‌کند.

Electromagnetic-wave

با این فرض،‌ مطلوب است:

  1. جهت انتشار موج
  2. میدان مغناطیسی مرتبط با میدان الکتریکی معرفی شده

(i): با نوشتن تابع درون کسینوس به صورت $$kz-\omega t=k(z-ct)$$، $$\omega$$ برابر با ck بدست می‌آید و جهت انتشار موج در جهت z+ تعیین می‌شود.

(ii): همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، جهت انتشار موج الکترومغناطیسی برابر با جهت بردار پوئینتینگِ $$\overrightarrow{S}=(\overrightarrow{E}×\overrightarrow{B})/ \mu_0$$ است. علاوه بر این، با توجه به این‌که میدان $$\overrightarrow{B}$$ به میدان $$\overrightarrow{E}$$ و بردار $$\overrightarrow{S}$$ عمود است، بنابراین بردار میدان مغناطیسی $$\overrightarrow{B}$$ بایستی در جهت y، به صورت زیر باشد:

Magnetic-electromagnetic-field

به‌منظور یافتن اندازه بردار $$\overrightarrow{B}$$ می‌توان از قانون القای فارادی به شکل زیر بهره برد.

farady

با ساده‌سازی رابطه بالا داریم:

electric-magnetic

با جایگذاری Ex در رابطه بالا، اندازه میدان مغناطیسی، به شکل زیر بدست می‌آید:

electromagnet

با بدست آمدن اندازه میدان مغناطیسی، شکل نهایی میدان بصورت زیر است.

magnetic-field-electromagnetic

مثال ۴: معادله موج یک بعدی

ثابت کنید که به ازای ω=kc، میدان‌های زیر، امواجی یک‌ بعدی هستند.

electric-magnetic-field

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد زمانی تابع (y(x,t، بیان کننده موج است که در معادله دیفرانسیل زیر صدق کند.

wave-general-form

$$\nu$$ عددی ثابت است که در هر موجی مفهوم فیزیکی مشخصی را می‌رساند. در نتیجه جهت آزمودن میدان (E(x,t، آن را در رابطه بالا قرار می‌دهیم. با انجام این کار مشتقات اول و دوم مکانی میدان برابرند با:

electric-field

هم‌چنین مشتق اول و دوم زمانی میدان برابر هستند با:

time-derivation-electric-field

با جایگذاری مقادیر بدست آمده در معادله کلی موج داریم:

electric-1-d-wave

جهت برقرار بودن رابطه بالا بایستی ω=kc باشد. به طریقی مشابه می‌توان ثابت کرد که میدان مغناطیسی ارائه شده در این مثال نیز نوعی موج یک بعدی است.

مثال ۵: بردار پوئیتینگ

مطابق با شکل زیر خازنی را در نظر بگیرید که از دو صفحه به شعاع R ساخته شده که در فاصله h از یکدیگر قرار گرفته‌اند. این خازن با متصل شدن به جریان I با گذشت زمان شارژ می‌شود.

capacitor-electromagnetic-wave

با توجه به فرضیات مسئله

  • بردار پوئیتینگ $$(\overrightarrow{S})$$ را برای این خازن بیابید.
  • با انتگرال‌گیری از S نشان دهید که نرخ انتقال انرژی به خازن برابر با نرخ ذخیره انرژی الکترواستاتیکی در خازن است.

(a): محور عبوری از دو صفحه خازن را در جهت z در نظر می‌گیریم. با فرض این‌که در یک لحظه خاص، بار روی صفحات برابر با Q باشد، میدان الکتریکی برابر خواهد شد با:

Wave-Spectrum-2

با توجه به رابطه آمپر-ماکسول، میدان مغناطیسی القا شده که ناشی از تغییر شار الکتریکی است را می‌توان با استفاده از رابطه زیر بدست آورد.

Amper-Maxwell-4

به‌دلیل تقارن استوانه‌ای سیستم، میدان مغناطیسی نیز به صورت شعاعی خواهد بود. در حقیقت میدان مغناطیسی را می‌توان به صورت $$\overrightarrow{B}=B \widehat{\phi}$$ نشان داد. در شکل زیر میدان الکتریکی و مغناطیسی شکل گرفته در سیستم، نشان داده شده است.

Electric-magnetic-field-4

حلقه‌ای دایره‌ای شکل به شعاع r<R را میان دو صفحه خازن تصور کنید. با استفاده از رابطه آمپر-ماکسول ارائه شده، می‌توان نوشت:

amper-maxwell-capacitor

یا

magnetic-capacitor

در نتیجه بردار پوئینتینگ $$\overrightarrow {S}$$ برابر است با:

poyiting-vector

رابطه بالا جهت و اندازه بردار پوئینتینگ را نشان می‌دهند. این رابطه نشان می‌دهد که با افزایش Q در زمان، جهت این بردار به سمت داخل خازن (r-) است.

(b): در بخش میدان الکتریکی، به این نکته اشاره کردیم که چگالی انرژی الکتریکی ذخیره شده در میدان الکتریکی برابر با $$u_E=\epsilon_0E^2/2$$ است. در نتیجه کل انرژی ذخیره شده در میدان الکتریکی برابر خواهد بود با:

Total-energy-capacitor

جهت بدست آوردن نرخ افزایش انرژی خازن، بایستی از رابطه بالا نسبت به زمان مشتق‌گیری کرد. در نتیجه داریم:

Energy-stored-capacitor

رابطه بالا مقدار انرژی ذخیره شده در خازن را با استفاده از مفهوم میدان الکتریکی به ما می‌دهد. با انتگرال‌گیری از این بردار روی سطح، نرخ انرژی وارد شده به خازن را می‌توان مطابق با رابطه زیر بدست آورد.

Magnetic-field

همان‌طور که می‌بینید نرخ انرژی وارد شده به سیستم برابر با نرخ انرژی ذخیره شده در میدان الکتریکی است.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه فیزیک و مهندسی برق، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

به عنوان حامی، استارتاپ، محصول و خدمات خود را در انتهای مطالب مرتبط مجله فرادرس معرفی کنید.

telegram
twitter

مجید عوض زاده

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

بر اساس رای 2 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

3 نظر در “امواج الکترومغناطیسی — از صفر تا صد

  1. دمتووووووون گرم. خیلی دوس داشتم بدونم موج الکترومغناطیسی چطوری ایجاد میشه تا این که اینجا رو پیدا کردم اگر مطالب مکانیک تحیلیی و آماری هم بذاریدممنون میشم

  2. بسیار عالی و مفید بود برای رشته من که مکانیک است تا کنون به این شیوایی این مبانی مهم را مرور نکرده بودم متشکرم

  3. بسم الله الرحمن الرحیم
    سلام
    خیلی ممنون از مطالب و زحماتی که کشیدین.
    من رشته تحصیلیم ارتباطی با دانش فیزیک ندارد ولی خودم علاقمند به این حوزه هستم. و نکات جالبی یادگرفتم.
    خداوند بهتون توفیق بیشتر بده
    متشکرم
    خدانگهدار

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *