رزونانس – به زبان ساده

۱۹۵۱۹ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۳۱ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۶ دقیقه
رزونانس – به زبان ساده

در طبیعت، رزونانس یا تشدید در موقعیت‌های مختلفی رخ می‌دهد. هر سیستم مکانیکی تمایل دارد در برخی از فرکانس‌ها، با بیشترین دامنه ممکن نوسان کند. به این وضعیت، رزونانس (تشدید) و به این فرکانس‌ها، فرکانس رزونانس (فرکانس تشدید) گفته می‌شود. در حالت کلی، فرکانس تشدید همان فرکانس طبیعی سیستم است. رفتار سیستم در فرکانس رزونانس (یا نزدیک آن) به طرز عجیبی با رفتار سیستم در فرکانس‌های دیگر متفاوت است. با وقوع پدیده رزونانس، ارتعاش ضعیف در یک جسم، می‌تواند منجر به ارتعاش قوی در جسم دیگری شود.

997696

پدیده رزونانس در زندگی روزمره

پدیده رزونانس، همیشه اتفاق بدی به حساب نمی‌آید. کودکی را در نظر بگیرید که سوار تاب است و کسی هم او را هل نمی‌دهد. کودک شروع به تاب دادن خودش به سمت عقب و جلو می‌کند. اگر این کار را با فرکانس درستی انجام دهد، پس از مدت کوتاهی، مطابق شکل زیر، تاب با دامنه زیاد در حال جلو و عقب رفتن خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که نیرویی که کودک در این فرآیند مصرف می‌کند، کوچک است. ولی نتیجه این عمل، دامنه‌های بزرگی را تشکیل می‌دهد.

تعریف رزونانس

به عنوان مثالی دیگر از این پدیده، پیچ تنظیم رادیو را در نظر بگیرید. با چرخاندن پیچ تنظیم، در واقع در حال تغییر فرکانس طبیعی مدار الکتریکی رادیو هستیم. هنگامی که این فرکانس طبیعی با فرکانس ایستگاه رادیویی مورد نظر یکسان شود، جذب انرژی به مقدار بیشینه می‌رسد و فقط صدای همان ایستگاه رادیویی را خواهیم شنید.

در سوی مقابل، رزونانس آثار مخرب بسیاری دارد. هنگامی که زلزله رخ می‌دهد، برخی ساختمان‌ها فرو می‌ریزند. در حالی که برخی دیگر از ساختمان‌ها پابرجا مانده‌اند. یکی از عوامل تعیین کننده در این فروپاشی، فرکانس رزونانس یا فرکانس طبیعی ساختمان است. اگر فرکانس ارتعاش زمین با فرکانس طبیعی ساختمان یکی شود، ساختمان بیشترین دامنه نوسان و شدیدترین خسارت را تجربه خواهد کرد. در سال 1940 میلادی پل «تاکوما ناروز» (Tacoma Narrows) در معرض بادی با سرعت 64 کیلومتر در ساعت قرار گرفت. یکی بودن فرکانس باد و فرکانس طبیعی پل موجب افزایش دامنه نوسان پل و در نهایت، تخریب آن شد.

مثال جرم و فنر زیر را در نظر بگیرید. معادله دیفرانسیل زیر را برای ارتعاش اجباری می‌توان نوشت. در این رابطه، kk ثابت فنر، cc ضریب میرایی و mm جرم وزنه‌ایست که نیروی خارجی FF به آن وارد شده است.

سیستم جرم و فنر

mx+cx+kx=F(t)\large mx^{\prime\prime} + cx^{\prime} + kx = F(t)

پس از یادگیری سری فوریه می‌توانیم برای تمام توابع نوسانی، عبارت F(t)=F0cos(ωt)\large F(t)= F_0\cos(\omega t) را در نظر بگیرید. همچنین می‌توان به جای کسینوس، از تابع سینوسی استفاده کرد. نتایج در هر دو حالت یکی است. ادامه تحلیل را در دو بخش زیر ادامه می‌دهیم.

محاسبه رزونانس در ارتعاش اجباری نامیرا

در این حالت برای سادگی، ارتعاش را نامیرا فرض می‌کنیم. با جایگذاری c=0c=0 معادله حرکت به صورت زیر ساده می‌شود.

mx+kx=F0cos(ωt)\large mx^{\prime\prime} + kx = F_0\cos(\omega t)

پاسخ عمومی معادله بالا به صورت زیر به دست می‌آید.

xc=C1cos(ωnt)+C2sin(ωnt)\large x_c=C_1\cos(\omega_nt)+C_2\sin(\omega_nt)

در این رابطه، ωn=km\large \omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}} فرکانس طبیعی سیستم است. فرکانس طبیعی، فرکانسی است که سیستم تمایل دارد در غیاب نیروی خارجی نوسان کند. فرض می‌کنیم ωnω\large \omega_n\neq\omega و با استفاده از xp=Acos(ωt)\large x_p=A\cos(\omega t) معادله را برای AA حل می‌کنیم. با استفاده از روش ضرایب نامعین، جواب خصوصی به صورت زیر حاصل می‌شود.

xp=F0m(ωn2ω2)cos(ωt)\large x_p=\frac{F_0}{m({\omega_n}^2-\omega^2)}\cos(\omega t)

در نتیجه، جواب کلی به شکل زیر است.

x=C1cos(ωnt)+C2sin(ωnt)+F0m(ωn2ω2)cos(ωt)\large x=C_1\cos(\omega_nt)+C_2\sin(\omega_nt)+\frac{F_0}{m({\omega_n}^2-\omega^2)}\cos(\omega t)

جواب کلی را می‌توان به صورت ساده شده زیر هم نوشت.

x=Ccos(ωnty)+F0m(ωn2ω2)cos(ωt)\large x=C\cos(\omega_nt-y)+\frac{F_0}{m({\omega_n}^2-\omega^2)}\cos(\omega t)

همان‌طور که می‌بینید، پاسخ به دست آمده، بر هم‌کنش دو موج کسینوسی با فرکانس‌های متفاوت است.

مثال

پیش از آنکه این بخش را به پایان برسانیم، به مثال زیر توجه کنید. معادلات حرکت به صورت زیر داده شده‌اند.

0.5x+8x=10cos(πt),x(0)=0,x(0)=0\large 0.5x^{\prime\prime}+8x=10\cos(\pi t), \:\:\:x(0)=0,\:\:\:x^{\prime}(0)=0

با مقایسه این معادلات با معادلات حرکت، برخی پارامترها به صورت زیر قابل استخراج هستند.

ω=π,ωn=80.5=4,  F0=10,m=0.5\large \omega=\pi,\:\:\omega_n=\sqrt{\frac{8}{0.5}}=4,\:\;F_0=10,\:\:m=0.5

در نتیجه، جواب کلی به شکل زیر است.

x=C1cos(4t)+C2sin(4t)+2016π2cos(πt)\large x=C_1\cos(4t)+C_2\sin(4t)+\frac{20}{16-\pi^2}\cos(\pi t)

با استفاده از شرایط اولیه، مقادیر C1C_1 و C2C_2 محاسبه شده و جواب به صورت زیر ساده می‌شود. نمودار جواب به دست آمده، در ادامه نشان داده شده است.

x=2016π2(cos(πt)cos(4t))\large x=\frac{20}{16-\pi^2}(\cos(\pi t)-\cos(4t))

نمودار ارتعاشات

از روابط بین سینوس و کسینوس، رابطه زیر را به یاد بیاورید.

cosBcosA=2sin(AB2)sin(A+B2)\large \cos B-\cos A=2\sin(\frac{A-B}{2})\sin(\frac{A+B}{2})

با استفاده از این رابطه، می‌توان جواب را به صورت زیر نوشت.

x=2016π2(2sin(4π2t)sin(4+π2t))\large x=\frac{20}{16-\pi^2}(2\sin(\frac{4-\pi}{2}t)\sin(\frac{4+\pi}{2}t))

رابطه به دست آمده نشان می‌دهد که xx موجی با فرکانس زیاد است که موج دیگری با فرکانس کوچک، روی آن سوار شده است.

ارتعاش با فرکانس طبیعی

حال فرض کنیم ωn=ω\large \omega_n=\omega باشد. در این حالت نمی‌توانیم جواب Acos(ωt)\large A\cos(\omega t) را امتحان کرده و پس از آن روش ضرایب نامعین را به کار ببریم. می‌دانیم که cos(ωt)\large \cos(\omega t) معادله همگن را حل می‌کند. بنابراین، از جواب خصوصی xp=Atcos(ωt)+Btsin(ωt)\large x_p=At\cos(\omega t)+Bt\sin(\omega t) استفاده می‌کنیم. معادله حرکت به صورت زیر است.

x+ω2x=F0mcos(ωt)\large x^{\prime\prime}+\omega^2x =\frac{F_0}{m}\cos(\omega t)

با جایگذاری xp\large x_p در معادله بالا، خواهیم داشت:

2Bωcos(ωt)2Aωsin(ωt)=F0mcos(ωt)\large 2B\omega\cos(\omega t)-2A\omega\sin(\omega t)=\frac{F_0}{m}\cos(\omega t)

با مقایسه دو طرف معادله بالا، A=0\large A=0 و B=F02mω\large B=\frac{F_0}{2m\omega} مشخص است. در نتیجه، جواب خصوصی و جواب کلی به صورت زیر خواهند بود.

xp=F02mωtsin(ωt)\large x_p=\frac{F_0}{2m\omega}t\sin(\omega t)

x=C1cos(ωt)+C2sin(ωt)+F02mωtsin(ωt)\large x=C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)+\frac{F_0}{2m\omega}t\sin(\omega t)

مهمترین بخش رابطه بالا، عبارت سمت راست است. یعنی همان جواب خصوصی که ابتدا به دست آوردیم. این عبارت بین دو مقدار F0t2mω\large \frac{F_0t}{2m\omega} و F0t2mω\large -\frac{F_0t}{2m\omega} نوسان خواهد کرد. همان گونه که می‌بینید، اگر t\large t\rightarrow\infty، کران بالا و پایین این حد بزرگ و بزرگتر شده و به سمت بی‌نهایت میل می‌کنند. دو عبارت اول در سمت راست معادله بالا، فقط بین دو مقدار ±C12+C22\large \pm\sqrt{{C_1}^2+{C_2}^2} نوسان خواهد کرد که وقتی t\large t\rightarrow\infty، نسبت به عبارت سمت راست، می‌توان از آنها صرف نظر کرد. در نتیجه، با بزرگ شدن t\large t، دامنه نوسان‌ها بسیار بزرگ خواهد شد. این رفتار، همان رزونانس است.

محاسبه رزونانس در ارتعاش اجباری میرا

در دنیای واقعی با پدیده‌هایی روبرو هستیم که از معادلات ساده شده بالا تبعیت نمی‌کنند. در نتیجه، میرایی هم به سیستم اضافه می‌شود. با در نظر گرفتن میرایی، معادله حرکت به صورت زیر نوشته می‌شود:

mx+cx+kx=F0cos(ωt)\large mx^{\prime\prime}+cx^{\prime}+kx=F_0\cos(\omega t)

رابطه‌های زیر را قبلاً در مقاله ارتعاشات اجباری به دست آورده‌ایم.

p=ζωn=c2m,  ωn=km\large p=\zeta\omega_n=\frac{c}{2m},\:\;\:\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}

با ادغام دو رابطه اخیر، به رابطه زیر می‌رسیم.

x+2px+ωn2x=F0mcos(ωt)\large x^{\prime\prime}+2px^\prime+{\omega_n}^2x=\frac{F_0}{m}\cos(\omega t)

ریشه‌های معادله مشخصه مربوط به معادله همگن، برابر با r1,r2=p±p2ωn2\large r_1, r_2=-p\pm\sqrt{p^2-{\omega_n}^2} است. شکل پاسخ عمومی مربوط به معادله همگن به علامت p2ωn2\large p^2-{\omega_n}^2 بستگی دارد. همان‌طور که می‌دانیم این علامت، با علامت c24km\large c^2-4km یکسان است. در نتیجه، پاسخ عمومی را می‌توان به صورت زیر نوشت.

xc={C1er1t+C2er2tifc2>4kmC1ept+C2eptifc2=4kmept(C1cos(ω1t)+C2sin(ω1t))ifc2<4km\large x_c=\begin{cases}C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t} & if\:\:c^2>4km\\C_1e^{pt}+C_2e^{-pt} & if\:\:c^2=4km\\e^{-pt}(C_1\cos(\omega_1t)+C_2\sin(\omega_1t)) & if\:\:c^2<4km\end{cases}

در رابطه بالا، ω1=ωn2p2\large \omega_1=\sqrt{{\omega_n}^2-p^2} است. همان‌طور که مشاهده می‌شود، در هر شرایطی اگر t\large t\rightarrow\infty آنگاه xc(t)0\large x_c(t)\rightarrow0 اتفاق می‌افتد. جواب خصوصی xp=Acos(ωt)+Bsin(ωt)\large x_p=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t) را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد.

((ωn2ω2)B2ωpA)sin(ωt)+((ωn2ω2)A+2ωpB)cos(ωt)=F0mcos(ωt)\large (({\omega_n}^2-\omega^2)B - 2\omega p A)\sin(\omega t) + (({\omega_n}^2-\omega^2)A+2\omega pB)\cos(\omega t)=\frac{F_0}{m}\cos(\omega t)

با مقایسه دو طرف رابطه، نتایج زیر به دست می‌آید.

A=(ωn2ω2)F0m(2ωp)2+m(ωn2ω2)2 B=2ωpF0m(2ωp)2+m(ωn2ω2)2\large A=\frac{({\omega_n}^2-\omega^2)F_0}{m(2\omega p)^2+m({\omega_n}^2-\omega^2)^2}\\~\\ \large B=\frac{2\omega pF_0}{m(2\omega p)^2+m({\omega_n}^2-\omega^2)^2}

اگر CC را به صورت C=A2+B2\large C=\sqrt{A^2+B^2} فرض کنیم، جواب خصوصی به شکل زیر به دست می‌آید.

C=F0m(2ωp)2+(ωn2ω2)2 xp=(ωn2ω2)F0m(2ωp)2+m(ωn2ω2)2cos(ωt)+2ωpF0m(2ωp)2+m(ωn2ω2)2sin(ωt)\large C=\frac{F_0}{m\sqrt{(2\omega p)^2+({\omega_n}^2-\omega^2)^2}}\\~\\ \large x_p=\frac{({\omega_n}^2-\omega^2)F_0}{m(2\omega p)^2+m({\omega_n^2}-\omega^2)^2}\cos(\omega t)+\frac{2\omega pF_0}{m(2\omega p)^2+m({\omega_n^2}-\omega^2)^2}\sin(\omega t)

می‌توانیم تغییر فاز γ\large \gamma را از رابطه زیر محاسبه کنیم (در حالتی که ωωn\large \omega\neq\omega_n).

tanγ=BA=2ωpωn2ω2\large \tan\gamma=\frac{B}{A}=\frac{2\omega p}{{\omega_n}^2-\omega^2}

در نتیجه، جواب خصوصی به صورت زیر ساده می‌شود.

xp=F0m(2ωp)2+(ωn2ω2)2cos(ωtγ)\large x_p=\frac{F_0}{m\sqrt{(2\omega p)^2+({\omega_n}^2-\omega^2)^2}}\cos(\omega t-\gamma)

حالت گذرا و حالت پایدار

حال اگر ω=ωn\large \omega=\omega_n باشد، حالت زیر رخ می‌دهد.

A=0,B=C=F02mωp,γ=π2\large A=0, \:\:\:B=C=\frac{F_0}{2m\omega p}, \:\:\: \gamma=\frac{\pi}{2}

نیازی نیست که رابطه به دست آمده را به خاطر بسپارید. زیرا با تغییر تابع F\large F جواب به دست آمده نیز تغییر خواهد کرد. ولی لازم است روند به دست آوردن جواب را به خوبی یاد بگیرید. جواب کلی این مسأله به شکل زیر است.

x=xc+xp=xtr+xsp\large x=x_c+x_p=x_{tr}+x_{sp}

همان‌طور که می‌دانیم هنگامی که t\large t \rightarrow \infty، آنگاه xc=xtr\large x_c=x_{tr} هم به صفر میل خواهد کرد. در نتیجه، برای مقادیر بزرگ tt، می‌توان از تأثیر xtr\large x_{tr} صرف نظر کرد و فقط xsp\large x_{sp} دیده خواهد شد. توجه کنید که بخش xsp\large x_{sp} دارای هیچ ثابت دلخواهی نیست و شرایط اولیه فقط روی xtr\large x_{tr} تأثیر می‌گذارند. در نتیجه، پس از گذشت یک دوره زمانی، تأثیر شرایط اولیه قابل چشم‌پوشی خواهد بود. بنابراین از پاسخ حالت گذرا صرف نظر می‌کنیم و روی پاسخ حالت پایدار متمرکز خواهیم شد. شکل زیر را در نظر بگیرید. در نمودارهای مختلفی که مشاهده می‌کنید، ضرایب k\large k، m\large m، F0\large F_0، c\large c و ω\large \omega یکی است و تفاوت فقط در شرایط اولیه است.

پاسخ حالت پایدار

به این نکته توجه کنید که سرعت میل کردن xtr\large x_{tr} به صفر، به p\large p بستگی دارد. هرچه p\large p بزرگتر باشد، xtr\large x_{tr} زودتر به صفر میل خواهد کرد. در نتیجه هرچه میرایی سیستم کوچکتر باشد، ناحیه گذرا طولانی‌تر خواهد بود. در بخش قبلی دیدیم که برای ارتعاش نامیرا، شرایط اولیه، رفتار سیستم را در تمام زمان‌ها تحت تأثیر قرار می‌دهند. یعنی طول مدت حالت گذرا، بی‌نهایت است.

محاسبه دامنه رزونانس

حال می‌خواهیم ببینیم در ارتعاش میرا، مقدار بیشینه دامنه در حالت پایدار چقدر است. دامنه در حالت پایدار xsp\large x_{sp} را با CC نشان می‌دهیم. اگر نمودار CC برحسب ω\omega را رسم کنیم، می‌توانیم محل وقوع این دامنه را بیابیم. فرکانسی که بیشیه دامنه در آن اتفاق می‌افتد را فرکانس رزونانس و دامنه آن را دامنه رزونانس می‌نامیم. در شکل زیر نمودار دامنه برحسب فرکانس برای سه ضریب میرایی مختلف رسم شده است. همان‌طور که مشاهده می‌کنید هرچه میرایی کمتر باشد، دامنه رزونانس بزرگتر می‌شود و هنگامی که میرایی بزرگ باشد، رزونانس به کلی از بین می‌رود.

دامنه رزونانس

برای پیدا کردن نقطه ماکسیمم، از تابع C(ω)C(\omega) مشتق می‌گیریم.

C(ω)=4ω(2p2+ω2ωn2)F0m((2ωp)2+(ωn2ω2))3/2\large C^\prime(\omega)=\frac{-4\omega(2p^2+\omega^2-{\omega_n}^2)F_0}{m((2\omega p)^2+({\omega_n}^2-\omega^2))^{3/2}}

رابطه بالا در دو حالت می‌تواند صفر باشد، یکی هنگامی که ω=0\large \omega=0 و یکی هم زمانی که عبارت 2p2+ω2ωn2\large 2p^2+\omega^2-{\omega_n}^2 برابر با صفر باشد. با حل این معادله، ω\large \omega به صورت زیر محاسبه می‌شود.

ω=ωn22p2\large \omega=\sqrt{{\omega_n}^2-2p^2}

می‌توان نشان داد، زمانی که عبارت ωn22p2\large {\omega_n}^2-2p^2 مثبت است، فرکانس رزونانس با ωn22p2\large \sqrt{{\omega_n}^2-2p^2} برابر است و نمودار C(ω)\large C(\omega) به مقدار بیشینه می‌رسد. اگر بیشینه نمودار در نقطه ω=0\large \omega = 0 رخ دهد، هیچ رزونانسی اتفاق نخواهد افتاد. در این حالت با کوچک شدن فرکانس نیرو، دامنه بزرگتر خواهد شد.

زمانی که رزونانس اتفاق می‌افتد، فرکانس آن از ωn\large \omega_n کوچکتر است. هرچه ضریب میرایی c\large c کوچکتر باشد، فرکانس رزونانس به سمت ωn\large \omega_n میل می‌کند. بنابراین، هنگامی که میرایی خیلی ناچیز باشد، فرکانس رزونانس تقریباً با فرکانس طبیعی برابر است.

اگر به مباحث مرتبط در زمینه کنترل، مکانیک و ارتعاشات علاقه‌مند هستید، آموزش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۵۴ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Mathematics LibreTexts LibraryPhysics Classroom
۴ دیدگاه برای «رزونانس – به زبان ساده»

درودآیا میتوان از اختلاف بین رزونانس ایجاد شد با فرکانس در انرژی جنبشی دورانی؛نیرو دورانی قابل کنترل تولید کرد

با سلام، لطفا در خصوص هارمونیک‌های رزونانسی یک سازه یا جسم، همچنین تئوری و مفاهیم superharmonic resonance و subharmonic resonance توضیح ارایه فرمایید ‌

با تشکر از تیم آموزشی فرادرس
پدیده رزونانس در مبحث برق هم وجود دارد . در واقع بخش ذاتی سیستم هست
ممنون می شوم مطالب مرتبط به رزونانس در برق را باز بان ساده بیان کنید.

سلام ميشه توضيح بديد نقش جعبه هاى رزونانس در آزمايش دياپازون چيه؟ ممنون

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *