حرکت هماهنگ ساده — از صفر تا صد

هنگامی که سیم یک گیتار را می‌کشیم، صدای حاصل از آن را در مدت زمان معینی به صورت مداوم می‌شنویم. در واقع، در این حالت سیم حول یک نقطه تعادل نوسان می‌کند. وقتی سیم از مکان اولیه شروع به حرکت می‌کند و به مکان دیگری می‌رود و دوباره به مکان اولیه‌اش بر می‌گردد، یک نوسان کامل صورت می‌گیرد. این حرکت که در فواصل زمانی منظم تکرار می‌شود را حرکت متناوب می‌نامند. در این آموزش، با حرکت هماهنگ ساده آشنا می‌شویم که نوعی حرکت تناوبی است.

دوره تناوب و فرکانس

هنگامی که اصطکاک نداریم، زمان انجام یک نوسان کامل ثابت باقی می‌ماند، این زمان را دوره تناوب ($$T$$) می‌نامیم. دوره تناوب معمولاً بر حسب ثانیه است، اما می‌تواند هر واحد زمانی مناسب دیگری هم داشته باشد.

فیلم آموزش فیزیک – پایه دوازدهم در فرادرس

کلیک کنید

مفهوم دیگری که با دوره تناوب ارتباط نزدیکی دارد، فرکانس یک رویداد است. فرکانس ($$f$$) برابر با تعداد رویدادها در واحد زمان است که برای حرکت تناوبی معادل تعداد نوسان‌ها در واحد زمان خواهد بود. رابطه بین فرکانس و دوره تناوب به این صورت است:

$$\large f = \frac {1 } { T }$$

واحد فرکانس در SI هرتز ($$\mathrm{Hz}$$) و برابر با یک دور در ثانیه است.

$$\large 1 \, \, \mathrm { H z } = \frac { 1 } { s } = 1\,\, s^{ - 1 }$$

ویژگی‌های حرکت هماهنگ ساده

حرکت هماهنگ ساده (Simple Harmonic Motion) یک نوع حرکت تناوبی است. همچنین، سیستمی که با حرکت هماهنگ ساده نوسان می‌کند، نوسان‌گر هماهنگ ساده می‌نامند.

فیلم آموزش فیزیک ۳ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و تجربی – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

جسمی به جرم $$m$$ را در نظر بگیرید که مطابق شکل ۱ به یک فنر متصل شده است و روی یک سطح بدون اصطکاک قرار دارد. این جسم حول نقطه تعادل نوسان می‌کند و نیروی خالص روی جسم، برابر با نیروی ایجاد شده توسط فنر است. این نیرو از قانون هوک تبعیت می‌کند و برابر با $$F_s = -k x$$ است.

اگر نیروی خالص توسط قانون هوک تعریف شود و میرایی (کندی به علت اصطکاک یا سایر نیروهای ناپایستار) نداشته باشیم، آن‌گاه نوسان‌گر هماهنگ ساده، همان‌گونه که در شکل زیر نشان داده شده است، با جابه‌جایی یکسان در هر دو طرف نقطه تعادل نوسان می‌کند. بیشینه جابه‌جایی از نقطه تعادل را دامنه ($$A$$) می‌نامند. واحد دامنه مانند واحد جابه‌جایی است و به نوع نوسان بستگی دارد. برای یک جسم متصل به فنر، واحد دامنه و جابه‌جایی متر است.

در شکل بالا:

• (الف) جسم تا نقطه $$x = A$$ جابه‌جا و از حالت سکون رها می‌شود.
• (ب) جسم در جهت منفی $$x$$ شتاب می‌گیرد و در $$x = 0$$ به سرعت بیشینه منفی می‌رسد.
• (پ) جسم در جهت منفی $$x$$ به حرکت خود ادامه می‌دهد تا زمانی که در $$x = - A$$ متوقف شود.
• (ت)‌ اکنون جسم در جهت مثبت $$x$$ شروع به شتاب گرفتن می‌کند و در $$x=0$$ به سرعت بیشینه مثبت می‌رسد.
• (ث) جسم در جهت مثبت $$x$$ به حرکت خود ادامه می‌دهد تا زمانی که در $$x = A$$ متوقف شود.

در حرکت هماهنگ ساده، دوره تناوب و فرکانس یک نوسان‌گر مستقل از دامنه است. برای مثال، هنگامی که سیم یک گیتار را چه به آرامی و چه به سرعت می‌کشیم، با فرکانس یکسان نوسان می‌کند.

دوره تناوب نوسان‌گر هماهنگ ساده به دو عامل جرم و سفتی سیستم بستگی دارد: 1) سیستمی که سنگین‌تر است، دوره تناوب طولانی‌تری دارد. برای مثال، روی تخته شیرجه، فردی که وزن بیشتری دارد نسبت به فردی که وزن کمتری دارد، کندتر بالا و پایین می‌پرد. 2) یک جسم خیلی سفت ثابت نیروی ($$k$$) بزرگتری دارد و باعث می‌شود سیستم دوره تناوب کوتاه‌تری داشته باشد. برای مثال، تخته شیرجه‌ای را در نظر بگیرید که می‌توان سفتی آن را تنظیم کرد. اگر تخته سفت‌تر باشد، سریع‌تر نوسان می‌کند و دوره تناوب آن کوتاه‌تر خواهد بود. در حقیقت، جرم $$m$$ و ثابت نیروی $$k$$ تنها عواملی هستند که روی دوره تناوب و فرکانس حرکت هماهنگ ساده تأثیر می‌گذارند. برای به دست آوردن یک رابطه برای دوره تناوب و فرکانس، ابتدا باید معادلات حرکت را تعیین و تحلیل کنیم. توجه داشته باشید که منظور از ثابت نیرو همان ثابت فنر است.

معادلات حرکت هماهنگ ساده

یک جسم متصل به فنر را روی یک میز بدون اصطکاک در نظر بگیرید. موقعیت تعادل (حالتی که فنر نه کشیده می‌شود و نه فشرده) را به صورت $$x = 0$$ نشان می‌دهیم. در حالت تعادل، نیروی خالص صفر است.

برای کشیدن جسم تا نقطه $$x = + A$$ باید روی جسم کار انجام شود. پس از اینکه جسم در نقطه $$x = + A$$ قرار گرفت، از حالت سکون رها می‌شود. در این حالت، جسم بین $$x = + A$$ و $$x = - A$$ شروع به نوسان می‌کند. شکل زیر حرکت این جسم را در مدت زمان $$t = 1 \frac { 1 } { 2 } T$$ نشان می‌دهد.

نمودار مکان-زمان این جسم یک تابع کسینوسی با دامنه $$A$$ و دوره تناوب $$T$$ را نشان می‌دهد. تابع کسینوس در هر مضربی از $$2 \pi$$ تکرار می‌شود، در حالی که حرکت جسم در هر دوره تناوب $$T$$ تکراری است. اما تابع $$\cos \left(\dfrac{2 \pi}{T} t \right)$$ در هر مضرب صحیحی از دوره تناوب تکرار می‌شود. بیشینه تابع کسینوس برابر با یک است. بنابراین، لازم است دامنه $$A$$ را در تابع کسینوسی ضرب کنیم:

$$\large x ( t ) = A \cos \left ( \dfrac { 2 \pi } { T } t \right ) = A \cos ( \omega t ) \ldotp$$

فرکانس زاویه‌ای، برابر با $$\omega = \frac{d \theta}{dt}$$ است؛ اما در این‌جا چون دوره تناوب ثابت است، فرکانس زاویه‌ای به صورت $$\omega = \frac{2 \pi}{T}$$ تعریف می‌شود.

معادله مکان به صورت تابعی از زمان و برابر با $$x(t) = A\cos( \omega t)$$ است. جسم در زمان اولیه $$t = 0 \, \mathrm {s}$$ در مکان $$x = A$$ قرار دارد و سرعت اولیه نیز صفر است. هنگام به دست آوردن داده‌های تجربی، مکان جسم در زمان اولیه $$t = 0 \, \mathrm {s}$$ s اغلب برابر با دامنه نیست و سرعت اولیه نیز صفر نیست. شکل زیر نمودار داده‌هایی را نشان می‌دهد که توسط یک دانشجو در مدت $$10$$ ثانیه جمع‌آوری شده است.

داده‌های این شکل را نیز می‌توان با یک تابع متناوب مشابه یک تابع کسینوسی مدل‌سازی کرد، اما این تابع نسبت به تابع کسینوس اندکی به سمت راست جابه‌جا شده است. این جابه‌جایی به عنوان تغییر فاز شناخته شده و معمولاً با نماد $$\phi$$ نشان داده می‌شود. بنابراین، معادله مکان جسم متصل به فنر به صورت تابعی از زمان به صورت زیر خواهد بود:

$$\large x(t) = A \cos (\omega t + \phi) \ldotp$$

این معادله تعمیم یافته برای حرکت هماهنگ ساده است که در آن، $$t$$ زمان اندازه‌گیری شده بر حسب ثانیه، $$\omega$$ فرکانس زاویه‌ای بر حسب معکوس ثانیه، $$A$$ دامنه اندازه‌گیری شده بر حسب متر یا سانتی‌متر و $$\phi$$ اختلاف فاز اندازه‌گیری شده بر حسب رادیان است.

سرعت جسم متصل به فنر در حال نوسان در حرکت هماهنگ ساده را می‌توان با مشتق گرفتن از تابع مکان به دست آورد:

$$\large \begin {align*} v ( t ) & = \frac { d x } { d t } = \frac { d } { d t } ( A \cos ( \omega t + \phi ) )\\ & = - A \omega \sin ( \omega t + \varphi ) = - v _ { max } \sin ( \omega t + \phi ) \ldotp \end {align*}$$

از آن‌جایی که تابع سینوسی بین $$- 1$$ و $$+1$$ نوسان می کند، سرعت بیشینه برابر با دامنه در فرکانس زاویه‌ای ($$v _ {max} = A \omega$$) است. هنگامی که جسم در حال حرکت به سمت $$x = + A$$ است، سرعت بیشینه ($$v _ {max}$$) در نقطه تعادل ($$x = 0$$) اتفاق می‌افتد و وقتی که جسم در حال حرکت به سمت $$x = - A$$ است، در نقطه تعادل $$x = 0$$ سرعت بیشینه در جهت منفی ($$-v _{max}$$) به دست می‌آید.

شتاب جسم متصل به فنر را می‌توان با مشتق گرفتن از سرعت نسبت به زمان به دست آورد:

$$\large \begin {align*} a ( t ) & = \frac { d v } { d t } = \frac { d } { d t } ( - A \omega \sin ( \omega t + \phi ) ) \\ & = - A \omega ^ { 2 } \cos ( \omega t + \varphi ) = - a _ {max} \cos ( \omega t + \phi ) \ldotp \end {align*}$$

شتاب بیشینه در مکان $$x = + A$$ برابر با $$a _ {max} = A \omega ^ 2$$ و در مکان $$x = - A$$ برابر با $$- a _ {max}$$ است. بنابراین، معادلات حرکت هماهنگ ساده برای یک جسم متصل به فنر در حال نوسان به صورت زیر خواهد بود:

$$\large \begin {align*} x ( t ) & = A \cos ( \omega t + \phi ) \\ v ( t ) & = - v _ {max} \sin ( \omega t + \phi ) \\ a ( t ) & = - a _ {max} \cos ( \omega t + \phi ) \end {align*}$$

که در آن:

$$\large \begin {align*} x _ {max} & = A \\[5pt] v _ {max} & = A \omega \\[5pt] a _ {max} & = A \omega ^ { 2 } \ldotp \end {align*}$$

مثال

جسمی به جرم $$2 \, \mathrm {kg}$$ روی سطح بدون اصطکاکی قرار گرفته است. یک طرف فنری با ثابت نیروی $$k = 32 \, \mathrm {N/m}$$ را که می‌تواند فشرده یا کشیده شود، به جسم و انتهای دیگر آن را به دیوار وصل می‌کنیم. مکان تعادل در نقطه $$x = 0$$ قرار دارد. با کشیدن جسم تا نقطه $$x = + 0.02 \, \mathrm {m}$$، روی این جسم کار انجام می‌شود. اگر این جسم را از حالت سکون رها کنیم، بین $$x = + 0.02 \, \mathrm {m}$$ و $$x = - 0.02 \, \mathrm {m}$$ نوسان می‌کند. دوره تناوب این حرکت $$1.57 \, \mathrm {s}$$ است. معادلات حرکت این جسم را تعیین کنید.

حل: ابتدا فرکانس زاویه‌ای را محاسبه می‌کنیم:

$$\large \omega  = \frac { 2 \pi } { 1 . 5 7 \; s } = 4 . 0 0 \; s ^ { - 1 }$$

اکنون می‌توانیم سرعت و شتاب بیشینه را به دست آوریم:

$$\large \begin {split} v _ {max} & = A \omega = ( 0 . 0 2 \; m) ( 4 . 0 0 \; s ^ { - 1 } ) = 0 . 0 8 \; m / s; \\ a _ {max} & = A \omega ^ { 2 } = ( 0 . 0 2 \; m ) ( 4 . 0 0 \; s ^ { - 1 } ) ^ { 2 } = 0 . 3 2 \; m / s ^ { 2 } \ldotp \end {split}$$

از آن‌جایی که جسم در نقطه $$x = A = + 0 . 0 2 \; \mathrm {m}$$ از حالت سکون رها می‌شود، اختلاف فاز صفر است. بنابراین، داریم:

$$\large \begin {split} x ( t ) & = a \cos ( \omega t + \phi ) = ( 0 . 0 2 \; m ) \cos ( 4 . 0 0 \; s ^ { - 1 } t ) ; \\ v ( t ) & = - v _ {max} \sin ( \omega t + \phi ) = ( - 0 . 8 \; m / s ) \sin ( 4 . 0 0 \; s ^ { - 1 } t ) ; \\ a ( t ) & = - a _ {max} \cos ( \omega t + \phi ) = ( - 0 . 3 2 \; m / s ^ { 2 } ) \cos ( 4 . 0 0 \; s ^ { - 1 } t ) \ldotp \end {split}$$

دوره تناوب و فرکانس دستگاه جرم-فنر

ویژگی جالب حرکت هماهنگ ساده یک جسم متصل به فنر این است که فرکانس زاویه‌ای و در نتیجه، دوره تناوب و فرکانس حرکت فقط به جرم و ثابت نیرو بستگی دارد. برای یافتن روابط فرکانس زاویه‌ای، فرکانس و دوره تناوب، از معادلات حرکت و قانون دوم نیوتن ($$\overrightarrow{F}_{net} = m \overrightarrow{a}$$) استفاده می‌کنیم.

فیلم آموزش فیزیک پایه ۱ – گرانش و نوسان در فرادرس

کلیک کنید

جسمی را در نظر بگیرید که به فنر متصل شده است و روی یک سطح بدون اصطکاک قرار دارد. سه نیرو بر این جسم وارد می‌شود: نیروی وزن، نیروی عمودی تکیه‌گاه و نیروی ناشی از فنر. همچنین، فقط دو نیروی عمود بر سطح داریم: نیروی وزن و نیروی عمودی تکیه‌گاه که بزرگی یکسان و جهت‌های مخالف دارند و از این رو، جمع آن‌ها برابر با صفر است. تنها نیرویی که موازی با سطح است، نیروی ناشی از فنر است. بنابراین، نیروی خالص باید برابر با نیروی فنر باشد:

$$\large \begin {split} F _ { x } & = - k x ; \\ m a & = - k x ; \\ m \frac { d ^ { 2 } x } { d t ^ { 2 } } & = - k x ; \\ \frac { d ^ { 2 } x } { d t ^ { 2 } } & = - \frac { k } { m } x \ldotp \end {split}$$

با جایگذاری معادلات حرکت $$x$$ و $$a$$ داریم:

$$\large - A \omega ^ { 2 } \cos ( \omega t + \phi ) = - \frac { k } { m } A \cos ( \omega t +\phi ) \ldotp$$

با حذف جملات مشابه در طرفین معادله، خواهیم داشت:

همانگونه که می‌بینیم، فرکانس زاویه‌ای فقط به جرم و ثابت نیرو وابسته است. از آن‌جایی که $$\omega = \frac{2 \pi}{T}$$ است، می‌توان دوره تناوب را نیز بر حسب $$m$$ و $$k$$ نوشت:

این رابطه نشان می‌دهد که هرچه جرم بزرگتر باشد، دوره تناوب طولانی‌تر و هرچه فنر سفت‌تر باشد، دوره تناوب کوتاه‌تر است. فرکانس دستگاه جرم-فنر نیز برابر است با:

حرکت قائم و فنر افقی

هنگامی که فنر به صورت عمودی آویخته می‌شود و جسمی را به آن وصل می‌کنیم، جرم شروع به حرکت کرده و جسم به صورت حرکت هماهنگ ساده نوسان می‌کند.

فیلم آموزش امواج و ارتعاشات (رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

در این حالت، نیروی عمودی تکیه‌گاه وجود ندارد و نیروی گرانش روی تغییر نقطه تعادل تأثیر می‌گذارد شکل زیر را در نظر بگیرید که در آن، دو نیرو به جسم وارد می‌شود: نیروی وزن و نیروی فنر. نیروی وزن ثابت است، ولی نیروی فنر به دلیل تغییر طول فنر تغییر می‌کند.

در شکل بالا:

• (الف) فنر از سقف آویخته می‌شود. در این‌جا، نقطه تعادل را با $$y_0$$ نشان می‌دهیم.
• (ب) جسمی را به فنر وصل می‌کنیم. هنگامی که نیروی ایجادشده توسط فنر برابر با وزن جسم است، نقطه تعادل جدیدی به دست می‌آید ($$y _1 = y _0 - \Delta y$$).
• (پ) طبق نمودار جسم آزاد، دو نیرو به جسم وارد می‌شود: نیروی وزن و نیروی فنر.

همان‌گونه که در شکل دیده می‌شود، هنگامی که جسم به وضع تعادل می‌رسد، نیروی فنر برابر با وزن جسم است ($$F _ {net}= F_s-mg = 0$$) که در این‌جا:

$$\large - k ( - \Delta y ) = m g \ldotp$$

طبق شکل تغییر طول فنر برابر با $$\Delta y = y _0 - y_1$$ است و از آن‌جایی که $$k \Delta y = mg$$ است، داریم:

$$\large k ( y _ { 0 } - y _ { 1 } ) - m g = 0 \ldotp$$

اگر جسم را جابه‌جا و سپس رها کنیم، حول نقطه تعادل جدیدی نوسان خواهد کرد. همانه‌گونه که در شکل زیر نشان داده شده است، اگر مکان جسم به صورت تابعی از زمان نوشته شود، تابع حاصل یک تابع متناوب خواهد بود.

در صورتی که جسم را تا نقطه $$y$$ جابه‌جا کنیم (فنر فشرده شود)، نیروی خالص برابر است با $$F_ { n e t } = - k ( y - y _ 0 ) - m g$$. اما در نقطه تعادل، $$m g = k \Delta y = k y _ 0 - k y _ 1$$ است؛ بنابراین، نیروی خالص را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\large F _ { n e t } = k y - k y _ { 0 } - ( k y _ { 0 } - k y _ { 1 } ) = - k ( y - y _ { 1 } ) \ldotp$$

که $$y_1$$ نقطه تعادل است و می‌توان آن را برابر با $$y = 0$$ قرار داد. بنابراین، نیروی خالص برابر است با:

$$\large \begin {split} F _ {net} & = - k y ; \\ m \frac { d ^ { 2 } y } { d t ^ { 2 } } & = - k y \ldotp \end {split}$$

این درست همان چیزی است که برای جسم متصل به فنر در حالت افقی به دست آوردیم. در این‌جا نیروی گرانش صرفاً برای تغییر مکان تعادل جسم به کار رفت. بنابراین، جواب این معادله و در نتیجه معادلات مربوط به سرعت و شتاب باید با جواب حالت افقی یکسان باشند:

$$\large \begin {align*} x ( t ) & = A \cos ( \omega t + \phi ) \\ v ( t ) & = – v _ {max} \sin ( \omega t + \phi ) \\ a ( t ) & = – a _ {max} \cos ( \omega t + \phi ) \end {align*}$$

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• آموزش مکانیک تحلیلی 1
• قانون جهانی گرانش نیوتن — به زبان ساده
• تانسور چیست؟ — مفاهیم اصلی

^^