دیمانسیون — هر آنچه باید بدانید

در مطلب مربوط به یکاها کمیت‌های اصلی و فرعی را توضیح دادیم و آن‌ها را معرفی کردیم. در این مطلب قصد داریم به دیمانسیون یا بُعد کمیت‌های فیزیکی بپردازیم. بررسی دیمانسیون یا تحلیل ابعادی معادلات فیزیک بهترین روش برای اطمینان از جواب نهایی مسائلی است که شما با آن‌ها سر و کار دارید. غالباً تحلیل ابعادی، مدل ریاضی که از موقعیت‌های واقعی ارائه می‌شود را بررسی می‌کند. برای مفید بودن یک مدل ریاضی از یک فرآیند حقیقی باید مدل از لحاظ ابعادی با فرآیند سازگار باشد. در این مطلب می‌توانید با تحلیل ابعادی و دیمانسیون آشنا شوید.

بعد یا دیمانسیون چیست؟

دیمانسیون یا بُعد هر کمیت فیزیکی وابستگی خود را به کمیت‌های پایه یا اصلی به عنوان حاصل ضرب یا محصولی از این پارامتر‌ها نشان می‌دهد. در جدول زیر کمیت‌ها و نمادهای مورد استفاده برای تحلیل ابعادی ذکر شده است. به عنوان مثال در اندازه‌گیری طول، دیمانسیون طول برابر با $$L$$ یا $$L^{1}$$ است، در اندازه‌گیری جرم دیمانسیون برابر با $$M$$ یا $$M^{1}$$ است و زمان دارای دیمانسیون $$T$$ یا $$T^{1}$$ است.

فیلم آموزش فیزیک – پایه یازدهم در فرادرس

کلیک کنید

مانند واحدها، ابعاد نیز از قوانین جبر پیروی می‌کنند. بنابراین مساحت از حاصل ضرب دو طول به دست می‌آید و دارای بعد $$L^{2}$$ یا مترمربع است. به طور مشابه، حجم محصول سه طول و دارای بُعد $$L^{3}$$ یا متر مکعب است. سرعت یک جسم در یک بازه زمانی طبق قوانین فیزیکی برابر با تغییرات طول بر زمان است و از لحاظ ابعادی نیز بُعد سرعت برابر با $$LT^{-1}$$ است. چگالی نیز دارای دیمانسیون $$\frac{M}{L^{3}}$$ یا $$ML^{-3}$$ است. بُعد هر کمیت فیزیکی را می‌توان بر حسب کمیت‌های اصلی زیر بیان کرد:

تعریف دیمانسیون

فیزیکدانان غالباً از براکت‌های مربعی در اطراف نماد برای یک مقدار فیزیکی استفاده می‌کنند تا ابعاد آن مقدار را نشان دهند. به عنوان مثال، اگر $$r$$ شعاع استوانه و $$h$$ ارتفاع آن باشد، چون شعاع و ارتفاع هر دو دارای بُعد طول هستند، دیمانسیون سطح استوانه برابر با $$[A]=[L][L]=L^{2}$$ و دیمانسیون حجم برابر با $$[V]=[L^{2}][L]=L^{3}$$ است.

اهمیت مفهوم دیمانسیون از این واقعیت ناشی می‌شود که هر معادله ریاضی مربوط به مقادیر فیزیکی باید از نظر ابعادی نیز با واقعیت سازگار باشد، به این معنی که معادله باید از قوانین زیر پیروی کند:

1. هر جمله در یک عبارت باید ابعاد یکسانی داشته باشد. یعنی نمی‌توانید مقادیر در ابعاد مختلف را با هم جمع کنید یا از هم کم کنید (به این موضوع فکر کنید که نمی‌توانید سیب و پرتقال را با هم جمع کنید، چون دو کمیت مستقل از هم هستند). به طور خاص، عبارات هر طرف تساوی در یک معادله باید دارای ابعاد یکسان باشند.
2. آرگومان‌های مربوط به هر یک از عملگرهای ریاضی استاندارد مانند توابع مثلثاتی، لگاریتم‌ها یا توابع نمایی که در معادله ظاهر می‌شوند باید بدون بعد باشند. این توابع به تعدادی عدد ثابت به عنوان ورودی نیاز دارند و به عنوان خروجی عدد خالص می‌دهند.
   اگر هر یک از این قوانین نقض شود معادله از نظر ابعادی با واقعیت سازگار نیست و نمی‌تواند بیان صحیحی از یک قانون فیزیکی باشد. از این روش می‌توان برای بررسی خطاهای جبری موجود در مسئله استفاده کرد.

روابط و فرمول دیمانسیون

به طور کلی می‌توان ابعاد هر مقدار فیزیکی را به صورت زیر نوشت:

$$\large L^{a}M^{b}T^{c}I^{d}\Theta^{e}N^{f}J^{g}$$

که $$a$$، $$b$$، $$c$$، $$d$$، $$e$$، $$f$$ و $$g$$ با توجه به بُعد کمیت فیزیکی می‌توانند مقدارهای مختلفی بگیرند. بدین ترتیب برای طول $$a = 1$$ است و شش توان باقیمانده همه برابر با صفر هستند.

هر عدد را به گونه‌ای می‌توان نوشت که هر هفت توان $$a$$، $$b$$، $$c$$، $$d$$، $$e$$، $$f$$ و $$g$$ برابر با صفر باشند (یعنی ابعاد آن برابر با $$L^{0}M^{0}T^{0}I^{0}\theta^{0}N^{0}J^{0}$$ باشد)، در این حالت با یک عدد ثابت رو‌به‌رو هستیم.

ثابت‌های دارای دیمانسیون

مقادیری در فیزیک که یک مقدار ثابت دارند و دارای بُعد نیز هستند را ثابت‌های فیزیکی می‌نامیم. به عنوان مثال، ثابت گرانشی ($$G$$)، ثابت پلانک ($$h$$)، ثابت جهانی گازها ($$R$$)، سرعت نور در خلاء ($$c$$) و... به عنوان ثابت‌های فیزیکی دارای دیمانسیون شناخته می‌شوند.

ثابت‌های بدون دیمانسیون

ثابت‌های بدون دیمانسیون، کمیت‌هایی دارای یک مقدار ثابت ولی بدون بُعد هستند.

مقادیر بدون بُعد و بدون واحد، اعداد خالص، $$\cos \theta$$، $$\sin \theta$$، $$\pi$$، عدد نپر و... هستند.

مقادیر بدون بُعد و با واحد، کمیت‌هایی مانند جابه‌جایی زاویه‌ای (رادیان)، ثابت ژول (ژول بر کالری) و... را شامل می‌شود.

متغیرهای دارای دیمانسیون

کمیت‌های فیزیکی که مقدار ثابتی ندارند ولی بُعد فیزیکی دارند؛ مانند سرعت، شتاب، نیرو، کار، توان و... جزو این دسته محسوب می‌شوند.

متغیرهای بدون دیمانسیون

متغیرهای بدون بُعد، آن دسته از مقادیر فیزیکی که بُعد ندارند و دارای یک مقدار ثابت نیستند. به عنوان مثال ضریب شکست، ضریب اصطکاک، نسبت پواسون و غیره.

قانون همگن بودن دیمانسیون

بر اساس این قانون هر معادله در فیزیک باید دو شرط زیر را داشته باشد:

1. در هر معادله که به درستی روابط بین کمیت‌های فیزیکی را بیان کرده است، دیمانسیون تمام عبارات باید در هر دو طرف معادله یکسان باشد و عبارات جدا شده توسط "+" یا "-" باید ابعاد یکسانی داشته باشند.
2. کمیت فیزیکی $$Q$$ به ترتیب دارای ابعاد $$a$$، $$b$$ و $$c$$ در طول ($$L$$)، جرم ($$M$$) و زمان ($$T$$) است. همچنین $$n_{1}$$ مقدار عددی این کمیت در سیستمی است که در آن واحدهای اساسی $$L_{1}$$، $$M_{1}$$ و $$T_{1}$$ و $${n}_{2}$$ مقدار عددی در سیستم دیگری است که در آن واحدهای اساسی به ترتیب $$L_{2}$$، $$M_{2}$$ و $$T_{2}$$ هستند. بدین ترتیب داریم:

$$\large {{n}_{2}}={{n}_{1}}{{\left[ \frac{{{L}_{1}}}{L{}_{2}} \right]}^{a}}{{\left[ \frac{{{M}_{1}}}{{{M}_{2}}} \right]}^{b}}{{\left[ \frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}} \right]}^{c}}$$

محدودیت‌های تحلیل ابعادی

صحت مقادیر بدون بعد را با روش تحلیل ابعادی نمی‌توان مشخص کرد، بررسی درستی این مقادیر تنها با آزمایش (یا) تئوری امکان‌پذیر است.

فیلم آموزش فیزیک ۱ دانشگاهی با رویکرد حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

همچنین این روش برای توابع مثلثاتی، لگاریتمی و نمایی کاربرد ندارد. از طرف دیگر در مورد مقادیر فیزیکی که وابسته به بیش از سه کمیت فیزیکی هستند، این روش دشوار است.

در بعضی موارد ثابت تناسب نیز دارای ابعاد است. در چنین مواردی، نمی‌توانیم از روش تحلیل ابعادی برای سیستم استفاده کنیم.

اگر یک طرف معادله شامل جمع یا تفریق مقادیر فیزیکی باشد نیز نمی‌توان از این روش استفاده کرد.

مقدار برخی از ثابت‌های مهم فیزیکی

مقدار برخی از کمیت‌های مهم فیزیکی و واحد آن‌ها در جدول زیر آورده شده است.

جدول ۱: مقدار و واحد ثابت‌های فیزیکی

دیمانسیون برخی از کمیت‌های فیزیکی

دیمانسیون برخی از متغیرهای مهم فیزیکی در ادامه در جدول زیر آورده شده است.

جدول ۲: جدول دیمانسیون پارامترهای فیزیکی

کمیت‌های فیزیکی با ابعاد یکسان

با توجه به جدول بالا می‌توان گفت کمیت‌های زیر ابعاد یکسان دارند:

• کار، انرژی و گشتاور.
• تکانه زاویه‌ای، ثابت پلانک، تغییرات تکانه زاویه‌ای.
• استرس، فشار، مدول الاستیسیته، چگالی انرژی.
• ثابت نیرو، تنش سطح، انرژی سطح.
• سرعت زاویه‌ای، فرکانس، گرادیان سرعت.
• پتانسیل گرانشی، گرمای نهان.
• ظرفیت حرارتی، آنتروپی، ثابت جهانی گازها و ثابت بولتزمن.
• توان، شار درخشندگی.

کاربرد تحلیل ابعادی

تجزیه و تحلیل ابعادی در هنگام مواجهه با مقادیر فیزیکی بسیار مهم است. تحلیل ابعادی برای موارد زیر به کار می‌رود:

1. بررسی صحت یک معادله فیزیکی
2. بررسی روابط بین کمیت‌های فیزیکی
3. تبدیل واحد یک مقدار فیزیکی از یک سیستم به سیستم دیگر.

بررسی ثابت بودن ابعاد یک کمیت

همانطور که گفتیم تنها روی مقادیر فیزیکی مشابه می‌توان اعمال جبری انجام داد، بنابراین دو مقدار با ابعاد مختلف قابل جمع یا تفریق نیستند. به عنوان مثال، نمی‌توانیم جرم و نیرو یا پتانسیل الکتریکی و مقاومت را با یکدیگر جمع کنیم.

بدین ترتیب برای هر معادله از اصل همگنی دیمانسیون استفاده کرده و ابعاد هر مؤلفه در هر دو طرف علامت تساوی بررسی می‌شود و اگر یکسان نباشند معادله اشتباه تلقی خواهد شد.

به عنوان مثال معادله زیر را در نظر بگیرید:

$$\large \frac{1}{2}mv^{2}=mgh$$

دیمانسیون هر دو طرف تساوی را بررسی می‌کنیم. در قسمت چپ تساوی جرم و مجذور سرعت را داریم، که دیمانسیون جرم برابر با $$M$$ و دیمانسیون سرعت $$LT^{-1}$$ است، در نتیجه دیمانسیون $$\frac{1}{2}mv^{2}$$ برابر است با:

$$\large [M][LT^{-1}]^{2}=[ML^{2}T^{-2}]$$

در قسمت راست تساوی جرم، شتاب گرانشی و طول را داریم که دیمانسیون هر یک از آن‌ها به ترتیب برابر با $$M$$، $$LT^{-2}$$ و  $$L$$ است و دیمانسیون $$mgh$$ برابر است با:

$$\large [M][LT^{-2}][L]=[ML^{2}T^{-2}]$$

همان‌طور که مشخص است دیمانسیون هر دو طرف رابطه یکی است، پس در حقیقت اصل پایستگی انرژی در فیزیک از لحاظ ابعادی صحیح است.

بررسی روابط میان کمیت‌های فیزیکی

از تحلیل ابعادی برای بررسی رابطه بین دو یا چند مقدار فیزیکی استفاده می‌شود. اگر نوع وابستگی یک مقدار فیزیکی به پارامترهای دیگر را بدانیم، می‌توانیم از اصل همگنی میان دو عبارت استفاده کنیم تا معادله بین دو عبارت را به دست آوریم. برای درک بیشتر این موضوع مثال زیر را حل می‌کنیم.

مثال: معادله نیروی گریز از مرکز $$F$$ را برای ذره‌ای که روی یک دایره با شعاع ثابت حرکت می‌کند به دست آورید.

پاسخ: همانطور که می‌دانیم، نیروی گریز از مرکز برای یک ذره در حال حرکت روی یک دایره با شعاع ثابت به جرم ذره، سرعت ذره و شعاع مسیر حرکت ذره بستگی دارد. از این رو داریم:

$$\large F=m^{a}v^{b}r^{c}$$

با نوشتن ابعاد هر یک از کمیت‌های بالا در سمت راست و چپ تساوی خواهیم داشت:

$$\large [MLT^{-2}]=M^{a}[LT^{-1}]^{b}L^{c}$$
$$\large \rightarrow [MLT^{-2}]=M^{a}L^{c+b}T^{-b}$$

با استفاده از اصل همگنی $$a=1$$، $$b=2$$ و $$c=1$$ به دست می‌آید و معادله نیروی گریز از مرکز برابر است با:

$$\large F=k\frac{mv^{2}}{r}$$

نمونه سوالات تحلیل ابعادی یا دیمانسیون

برای درک بهتر این مطلب را با حل چند مثال به پایان می‌رسانیم.

مثال ۱:  معادله دوره نوسان یک آونگ ساده را با فرض اینکه دوره آونگ ($$T$$) به کمیت‌های جرم آونگ ($$m$$)، طول نخ آونگ ($$L$$) و شتاب گرانشی ($$g$$) بستگی دارد، به دست آورید.

فیلم آموزش فیزیک ۱ دانشگاهی با رویکرد حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

پاسخ: معادله دوره نوسان آونگ ساده را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large t=km^{x}L^{y}g^{z}$$

اگر دیمانسیون هر یک از کمیت‌های بالا را در رابطه قرار دهیم، داریم:

$$\large [T]=k[M]^{x}[L]^{y}[LT^{-2}]^{z}$$
$$\large\rightarrow [T]=k[M]^{x}[L]^{y+z}[T]^{-2z}$$

با مقایسه هر دو طرف تساوی مقادیر زیر برای $$x$$، $$y$$ و $$z$$ به دست می‌آید:

$$\large \Rightarrow x=0,\ y+z=0,\ -2z=1$$

و بدین ترتیب رابطه دوره نوسان آونگ ساده برابر است با:

$$\large t=k(\frac{L}{g})^{\frac{1}{2}}$$

مثال ۲:  مقادیر فیزیکی $$s$$، $$v$$، $$a$$ و $$t$$ را به ترتیب با ابعاد $$[s]=[L]$$، $$[v]=LT^{-1}$$، $$[a]=LT^{-2}$$ و $$[t]=[T]$$ در نظر بگیرید و بررسی کنید کدام یک از معادلات زیر از لحاظ ابعادی صحیح است.

1. $$s=vt+0.5at^{2}$$
2. $$s=vt^{2}+0.5at$$
3. $$v=\sin(\frac{at^{2}}{s})$$

پاسخ:

۱) در این معادله هیچ عبارت مثلثاتی، لگاریتمی یا نمایی وجود ندارد. بنابراین لازم است تنها به ابعاد هر جمله موجود در معادله نگاه کنیم. سه عبارت یکی در سمت چپ معادله و دو عبارت در سمت راست معادله وجود دارند. بنابراین داریم:

$$[s] = L$$
$$[vt] = [v] \cdotp [t] = LT^{−1} \cdotp T = LT^{0} = L$$
$$[0.5at^{2} ] = [a] \cdotp [t]^{2} = LT^{−2} \cdotp T^{2} = LT^{0} = L \ldotp$$

پس این معادله از لحاظ ابعادی صحیح است.

۲) باز هم هیچ تابع مثلثاتی، نمایی یا لگاریتمی وجود ندارد. بنابراین تنها باید ابعاد هر یک از سه عبارت موجود در معادله را بررسی کنیم:

$$[s] = L$$
$$[vt^{2}] = [v] \cdotp [t]^{2} = LT^{−1} \cdotp T^{2} = LT$$
$$[at] = [a] \cdotp [t] = LT^{−2} \cdotp T = LT^{−1} \ldotp$$

هیچ یک از این سه عبارت از نظر ابعادی با جملات دیگر همخوانی ندارد، بنابراین این معادله از لحاظ ابعادی صحیح نیست.

۳) این معادله یک تابع مثلثاتی دارد، بنابراین ابتدا باید بررسی کنیم که آرگومان تابع مثلثاتی بدون بُعد باشد و داریم:

$$\left[\frac{at^{2}}{s}\right] = \frac{[a] \cdotp [t]^{2}}{[s]} = \frac{LT^{-2} \cdotp T^{2}}{L} = \frac{L}{L} = 1 \ldotp$$

بدین ترتیب می‌توان دید که آرگومان سینوس بی‌بُعد است. حال باید هر یک از دو عبارت (یعنی عبارت سمت چپ و راست معادله) را از نظر ابعادی بررسی کنیم:

$$[v] = LT^{-1}$$
$$\left[ sin \left(\dfrac{at^{2}}{s}\right) \right] = 1 \ldotp$$

این دو عبارت هم بُعد نیستند و معادله از نظر ابعادی سازگار و در نتیجه صحیح نیست.