دیمانسیون — هر آنچه باید بدانید

۱۳۷۰۴ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۵ آبان ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۹ دقیقه
دیمانسیون — هر آنچه باید بدانید

در مطلب مربوط به یکاها کمیت‌های اصلی و فرعی را توضیح دادیم و آن‌ها را معرفی کردیم. در این مطلب قصد داریم به دیمانسیون یا بُعد کمیت‌های فیزیکی بپردازیم. بررسی دیمانسیون یا تحلیل ابعادی معادلات فیزیک بهترین روش برای اطمینان از جواب نهایی مسائلی است که شما با آن‌ها سر و کار دارید. غالباً تحلیل ابعادی، مدل ریاضی که از موقعیت‌های واقعی ارائه می‌شود را بررسی می‌کند. برای مفید بودن یک مدل ریاضی از یک فرآیند حقیقی باید مدل از لحاظ ابعادی با فرآیند سازگار باشد. در این مطلب می‌توانید با تحلیل ابعادی و دیمانسیون آشنا شوید.

997696

بعد یا دیمانسیون چیست؟

دیمانسیون یا بُعد هر کمیت فیزیکی وابستگی خود را به کمیت‌های پایه یا اصلی به عنوان حاصل ضرب یا محصولی از این پارامتر‌ها نشان می‌دهد. در جدول زیر کمیت‌ها و نمادهای مورد استفاده برای تحلیل ابعادی ذکر شده است. به عنوان مثال در اندازه‌گیری طول، دیمانسیون طول برابر با LL یا L1L^{1} است، در اندازه‌گیری جرم دیمانسیون برابر با MM یا M1M^{1} است و زمان دارای دیمانسیون TT یا T1T^{1} است.

مانند واحدها، ابعاد نیز از قوانین جبر پیروی می‌کنند. بنابراین مساحت از حاصل ضرب دو طول به دست می‌آید و دارای بعد L2L^{2} یا مترمربع است. به طور مشابه، حجم محصول سه طول و دارای بُعد L3L^{3} یا متر مکعب است. سرعت یک جسم در یک بازه زمانی طبق قوانین فیزیکی برابر با تغییرات طول بر زمان است و از لحاظ ابعادی نیز بُعد سرعت برابر با LT1LT^{-1} است. چگالی نیز دارای دیمانسیون ML3\frac{M}{L^{3}} یا ML3ML^{-3} است. بُعد هر کمیت فیزیکی را می‌توان بر حسب کمیت‌های اصلی زیر بیان کرد:

 کمیت‌های اصلینماد کمیت‌های اصلی
طولLL
زمانTT
جریانII
جرمMM
مقدار مادهNN
درخشندگیJJ
دمای ترمودینامیکθ\theta

تعریف دیمانسیون

فیزیکدانان غالباً از براکت‌های مربعی در اطراف نماد برای یک مقدار فیزیکی استفاده می‌کنند تا ابعاد آن مقدار را نشان دهند. به عنوان مثال، اگر rr شعاع استوانه و hh ارتفاع آن باشد، چون شعاع و ارتفاع هر دو دارای بُعد طول هستند، دیمانسیون سطح استوانه برابر با [A]=[L][L]=L2[A]=[L][L]=L^{2} و دیمانسیون حجم برابر با [V]=[L2][L]=L3[V]=[L^{2}][L]=L^{3} است.

اهمیت مفهوم دیمانسیون از این واقعیت ناشی می‌شود که هر معادله ریاضی مربوط به مقادیر فیزیکی باید از نظر ابعادی نیز با واقعیت سازگار باشد، به این معنی که معادله باید از قوانین زیر پیروی کند:

  1. هر جمله در یک عبارت باید ابعاد یکسانی داشته باشد. یعنی نمی‌توانید مقادیر در ابعاد مختلف را با هم جمع کنید یا از هم کم کنید (به این موضوع فکر کنید که نمی‌توانید سیب و پرتقال را با هم جمع کنید، چون دو کمیت مستقل از هم هستند). به طور خاص، عبارات هر طرف تساوی در یک معادله باید دارای ابعاد یکسان باشند.
  2. آرگومان‌های مربوط به هر یک از عملگرهای ریاضی استاندارد مانند توابع مثلثاتی، لگاریتم‌ها یا توابع نمایی که در معادله ظاهر می‌شوند باید بدون بعد باشند. این توابع به تعدادی عدد ثابت به عنوان ورودی نیاز دارند و به عنوان خروجی عدد خالص می‌دهند.
    اگر هر یک از این قوانین نقض شود معادله از نظر ابعادی با واقعیت سازگار نیست و نمی‌تواند بیان صحیحی از یک قانون فیزیکی باشد. از این روش می‌توان برای بررسی خطاهای جبری موجود در مسئله استفاده کرد.

روابط و فرمول دیمانسیون

به طور کلی می‌توان ابعاد هر مقدار فیزیکی را به صورت زیر نوشت:

LaMbTcIdΘeNfJg\large L^{a}M^{b}T^{c}I^{d}\Theta^{e}N^{f}J^{g}

که aa، bb، cc، dd، ee، ff و gg با توجه به بُعد کمیت فیزیکی می‌توانند مقدارهای مختلفی بگیرند. بدین ترتیب برای طول a=1a = 1 است و شش توان باقیمانده همه برابر با صفر هستند.

هر عدد را به گونه‌ای می‌توان نوشت که هر هفت توان aa، bb، cc، dd، ee، ff و gg برابر با صفر باشند (یعنی ابعاد آن برابر با L0M0T0I0θ0N0J0L^{0}M^{0}T^{0}I^{0}\theta^{0}N^{0}J^{0} باشد)، در این حالت با یک عدد ثابت رو‌به‌رو هستیم.

ثابت‌های دارای دیمانسیون

مقادیری در فیزیک که یک مقدار ثابت دارند و دارای بُعد نیز هستند را ثابت‌های فیزیکی می‌نامیم. به عنوان مثال، ثابت گرانشی (GG)، ثابت پلانک (hh)، ثابت جهانی گازها (RRسرعت نور در خلاء (cc) و... به عنوان ثابت‌های فیزیکی دارای دیمانسیون شناخته می‌شوند.

ثابت‌های بدون دیمانسیون

ثابت‌های بدون دیمانسیون، کمیت‌هایی دارای یک مقدار ثابت ولی بدون بُعد هستند.

مقادیر بدون بُعد و بدون واحد، اعداد خالص، cosθ\cos \theta، sinθ\sin \theta، π\pi، عدد نپر و... هستند.

مقادیر بدون بُعد و با واحد، کمیت‌هایی مانند جابه‌جایی زاویه‌ای (رادیان)، ثابت ژول (ژول بر کالری) و... را شامل می‌شود.

متغیرهای دارای دیمانسیون

کمیت‌های فیزیکی که مقدار ثابتی ندارند ولی بُعد فیزیکی دارند؛ مانند سرعت، شتاب، نیرو، کار، توان و... جزو این دسته محسوب می‌شوند.

متغیرهای بدون دیمانسیون

متغیرهای بدون بُعد، آن دسته از مقادیر فیزیکی که بُعد ندارند و دارای یک مقدار ثابت نیستند. به عنوان مثال ضریب شکست، ضریب اصطکاک، نسبت پواسون و غیره.

قانون همگن بودن دیمانسیون

بر اساس این قانون هر معادله در فیزیک باید دو شرط زیر را داشته باشد:

  1. در هر معادله که به درستی روابط بین کمیت‌های فیزیکی را بیان کرده است، دیمانسیون تمام عبارات باید در هر دو طرف معادله یکسان باشد و عبارات جدا شده توسط "+" یا "-" باید ابعاد یکسانی داشته باشند.
  2. کمیت فیزیکی QQ به ترتیب دارای ابعاد aa، bb و cc در طول (LL)، جرم (MM) و زمان (TT) است. همچنین n1n_{1} مقدار عددی این کمیت در سیستمی است که در آن واحدهای اساسی L1L_{1}، M1M_{1} و T1T_{1} و n2{n}_{2} مقدار عددی در سیستم دیگری است که در آن واحدهای اساسی به ترتیب L2L_{2}، M2M_{2} و T2T_{2} هستند. بدین ترتیب داریم:

n2=n1[L1L2]a[M1M2]b[T1T2]c\large {{n}_{2}}={{n}_{1}}{{\left[ \frac{{{L}_{1}}}{L{}_{2}} \right]}^{a}}{{\left[ \frac{{{M}_{1}}}{{{M}_{2}}} \right]}^{b}}{{\left[ \frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}} \right]}^{c}}

محدودیت‌های تحلیل ابعادی

صحت مقادیر بدون بعد را با روش تحلیل ابعادی نمی‌توان مشخص کرد، بررسی درستی این مقادیر تنها با آزمایش (یا) تئوری امکان‌پذیر است.

همچنین این روش برای توابع مثلثاتی، لگاریتمی و نمایی کاربرد ندارد. از طرف دیگر در مورد مقادیر فیزیکی که وابسته به بیش از سه کمیت فیزیکی هستند، این روش دشوار است.

در بعضی موارد ثابت تناسب نیز دارای ابعاد است. در چنین مواردی، نمی‌توانیم از روش تحلیل ابعادی برای سیستم استفاده کنیم.

اگر یک طرف معادله شامل جمع یا تفریق مقادیر فیزیکی باشد نیز نمی‌توان از این روش استفاده کرد.

مقدار برخی از ثابت‌های مهم فیزیکی

مقدار برخی از کمیت‌های مهم فیزیکی و واحد آن‌ها در جدول زیر آورده شده است.

جدول ۱: مقدار و واحد ثابت‌های فیزیکی

کمیت فیزیکیمقدار و واحد کمیت فیزیکی
سرعت نور در خلاء (c) 3×108 ms13 × 10^{8}\ ms^{-1}
سرعت صورت در هوا در شرایط استاندارد331 ms1331\ ms^{-1}
شتاب گرانش (g)9.81 ms29.81\ ms^{-2}
عدد آووگادرو (N)6.023×1023 mol6.023\times 10^{23}\ mol
چگالی آب در دمای 4c4^{\circ}c1000 kgm3 or 1 gcc1000\ kgm^{-3}\ or\ 1\ \frac{g}{cc}
صفر مطلق273.15c or 0 K-273.15^{\circ}c\ or\ 0\ K
واحد جرم اتمی1.66×1027 kg1.66\times 10^{-27}\ kg
بار کوانتومی (e)1.602×1019 C1.602\times 10^{-19}\ C
ثابت استفان5.67×108 Wm2K45.67\times 10^{-8}\ \frac{W}{\frac{m^{2}}{K^{4}}}
ثابت بولتزمن (K)1.381×1023 JK11.381\times 10^{-23}\ JK^{-1}
یک اتمسفر76 cm Hg=1.013×105 Pa76\ cm\ Hg=1.013\times 10^{5}\ Pa
معادل مکانیکی گرما(J): 4.186 Jcal4.186\ \frac{J}{cal}
ثابت پلانک (h)6.626×1034 Js6.626\times 10^{-34}\ Js
ثابت جهانی گازها  (R)8.314 JmolK8.314\ \frac{J}{mol-K}
تراوایی فضای آزاد4π×107 Hm14\pi\times 10^{-7}\ Hm^{-1}
گذردهی فضای آزاد8.854×1012 Fm18.854\times 10^{-12}\ Fm^{-1}
چگالی هوا در شرایط استاندارد1.293 kg m31.293\ kg\ m^{-3}
ثابت جهانی گرانش6.67×1011 Nm2kg26.67\times 10^{-11}\ Nm^{2}kg^{-2}

دیمانسیون برخی از کمیت‌های فیزیکی

دیمانسیون برخی از متغیرهای مهم فیزیکی در ادامه در جدول زیر آورده شده است.

جدول ۲: جدول دیمانسیون پارامترهای فیزیکی

کمیت فیزیکیدیمانسیون
دیمانسیون شتاب یا شتاب گرانشLT2LT^{-2}
دیمانسیون زاویه (آرک/رادیان)M0L0T0M^{0}L^{0}T^{0}
دیمانسیون جابه‌جایی زاویه‌ایM0L0T0M^{0}L^{0}T^{0}
دیمانسیون فرکانس زاویه‌ای (جابه‌جایی زاویه‌ای بر زمان)T1T^{-1}
دیمانسیون تکانه زاویه‌ایML2T1ML^{2}T^{-1}
دیمانسیون سرعت زاویه‌ایT1T^{-1}
دیمانسیون مساحتL2L^{2}
دیمانسیون ثابت بولتزمنML2T2θ1ML^{2}T^{-2}\theta^{-1}
دیمانسیون مدول تودهML1T2ML^{-1}T^{-2}
دیمانسیون ارزش گرماییL2T2L^{2}T^{-2}
دیمانسیون ضریب انبساط حجمی یا سطحی و یا خطیθ1\theta^{-1}
دیمانسیون ضریب تنش سطحیMT2MT^{-2}
دیمانسیون ضریب هدایت حرارتیMLT3θ1MLT^{-3}\theta^{-1}
دیمانسیون ضریب ویسکوزیته (F=ηAdvdxF=\eta A \frac{dv}{dx})ML1T1ML^{-1}T^{-1}
دیمانسیون تراکم پذیری (۱ بر مدول فله)M1LT2M^{-1}LT^{2}
دیمانسیون چگالیML3ML^{-3}
دیمانسیون جابه‌جایی، طول موج و فاصله کانونیLL
دیمانسیون خازن الکتریکی (بار بر ولتاژ)M1L2T4I2M^{-1}L^{-2}T^{4}I^{2}
دیمانسیون ضریب هدایت الکتریکی (1 بر روی مقاومت ویژه)M1L2T3I2M^{-1}L^{-2}T^{3}I^{2}
دیمانسیون رسانایی الکتریکی (1 بر روی مقاومت)M1L3T3I2M^{-1}L^{-3}T^{3}I^{2}
دیمانسیون بار الکتریکی (جریان در زمان)ITIT
دیمانسیون جریان الکتریکیII
دیمانسیون گشتاور دوقطبی الکتریکی (بار در فاصله)LTILTI
دیمانسیون قدرت میدان الکتریکی یا شدت میدان الکتریکی (نیرو بر بارالکتریکی)MLT3I1MLT^{-3}I^{-1}
دیمانسیون مقاومت الکتریکی (اختلاف پتانسیل بر جریان)ML2T3I2ML^{2}T^{-3}I^{-2}
دیمانسیون پتانسیل الکتریکی (کار بر بار)ML2T3I1ML^{2}T^{-3}I^{-1}
دیمانسیون انرژیML2T2ML^{2}T^{-2}
دیمانسیون چگالی انرژی (انرژی بر حجم)ML1T2ML^{-1}T^{-2}
دیمانسیون آنتروپیML2T2θ1ML^{2}T^{-2}\theta^{-1}
دیمانسیون نیروMLT2MLT^{-2}
دیمانسیون ثابت فنرMT2MT^{-2}
دیمانسیون فرکانسT1T^{-1}
دیمانسیون پتانسیل گرانشیL2T2L^{2}T^{-2}
دیمانسیون گرما (انرژی)ML2T2ML^{2}T^{-2}
دیمانسیون روشناییMT3MT^{-3}
دیمانسیون ضربه (نیرو در زمان)MLT1MLT^{-1}
دیمانسیون القای مغناطیسیML2T2I2ML^{2}T^{-2}I^{-2}
دیمانسیون شدت میدان گرانشیLT2LT^{-2}
دیمانسیون شدت مغناطشL1IL^{-1}I
دیمانسیون ثابت ژول یا معادل مکانیکی گرماM0L0T0M^{0}L^{0}T^{0}
دیمانسیون گرمای نهانM0L2T2M^{0}L^{2}T^{-2}
دیمانسیون چگالی خطیML1ML^{-1}
دیمانسیون شار تابشML2T3ML^{2}T^{-3}
دیمانسیون دوقطبی مغناطیسیL2IL^{2}I
دیمانسیون شار مغناطیسیML2T2I1ML^{2}T^{-2}I^{-1}
دیمانسیون القای مغناطیسیMT2I1MT^{-2}I^{-1}
دیمانسیون شدت قطب مغناطیسی (آمپر در متر)MT2I1MT^{-2}I^{-1}
دیمانسیون مدول الاستیسیته
(فشار بر کشش)
ML1T2ML^{-1}T^{-2}
دیمانسیون تکانهMLT1MLT^{-1}
دیمانسیون تراوایی فضای آزادMLT2I2MLT^{-2}I^{-2}
دیمانسیون گذردهی فضای آزادM1L3T4I2M^{-1}L^{-3}T^{4}I^{2}
دیمانسیون ثابت پلانکML2T1ML^{2}T^{-1}
دیمانسیون نسبت پواسونM0L0T0M^{0}L^{0}T^{0}
دیمانسیون توانML2T3ML^{2}T^{-3}
دیمانسیون فشارML1T2ML^{-1}T^{-2}
دیمانسیون ضریب فشار یا ضریب حجمML2T3ML^{2}T^{-3}
دیمانسیون رادیواکتیویتهM0L0T1M^{0}L^{0}T^{-1}
دیمانسیون نسبت گرمای ویژهM0L0T0M^{0}L^{0}T^{0}
دیمانسیون ضریب شکستM0L0T0M^{0}L^{0}T^{0}
دیمانسیون مقاومت یا مقاومت ویژهML3T3I2ML^{3}T^{-3}I^{-2}
دیمانسیون هدایت یا هدایت ویژه (یک بر مقاومت ویژه)M1L3T3I2M^{-1}L^{-3}T^{3}I^{2}
دیمانسیون آنتروپی ویژهM1L2T2θM^{-1}L^{-2}T^{2}\theta
دیمانسیون گرانش ویژه (چگالی جسم بر چگالی آب)M0L0T0M^{0}L^{0}T^{0}
دیمانسیون گرمای ویژهM0L2T2θ1M^{0}L^{2}T^{-2}\theta^{-1}
دیمانسیون حجم ویژه (یک بر چگالی)M1L3M^{-1}L^{3}
دیمانسیون سرعتLT1LT^{-1}
دیمانسیون ثابت استفانML0T3θ4ML^{0}T^{-3}\theta^{-4}
دیمانسیون کشش (تغییر در اندازه بر اندازه اصلی یا اولیه)M0L0T0M^{0}L^{0}T^{0}
دیمانسیون استرس (نیروی بازگردانده بر سطح)ML1T2ML^{-1}T^{-2}
دیمانسیون چگالی انرژی سطحی (انرژی بر سطح)MT2MT^{-2}
دیمانسیون دماM0L0T0θM^{0}L^{0}T^{0}\theta
دیمانسیون گرادیان دما (تغییرات دما بر فاصله)M0L1T0θM^{0}L^{-1}T^{0}\theta
دیمانسیون ظرفیت حرارتی (جرم در گرمای ویژه)ML2T2θ1ML^{2}T^{-2}\theta^{-1}
دیمانسیون دوره زمانیTT
دیمانسیون گشتاور یا نیروی دوقطبی (نیرو در فاصله)ML2T2ML^{2}T^{-2}
دیمانسیون ثابت گازها (کار بر دما)ML2T2θ1ML^{2}T^{-2}\theta^{-1}
دیمانسیون جهانی گرانشM1L3T2M^{-1}L^{3}T^{-2}
دیمانسیون سرعتLT1LT^{-1}
دیمانسیون گرادیان سرعتT1T^{-1}
دیمانسیون حجمL3L^{3}
دیمانسیون کارML2T2ML^{2}T^{-2}
دیمانسیون ولتاژML2ML^{2}

کمیت‌های فیزیکی با ابعاد یکسان

با توجه به جدول بالا می‌توان گفت کمیت‌های زیر ابعاد یکسان دارند:

کاربرد تحلیل ابعادی

تجزیه و تحلیل ابعادی در هنگام مواجهه با مقادیر فیزیکی بسیار مهم است. تحلیل ابعادی برای موارد زیر به کار می‌رود:

  1. بررسی صحت یک معادله فیزیکی
  2. بررسی روابط بین کمیت‌های فیزیکی
  3. تبدیل واحد یک مقدار فیزیکی از یک سیستم به سیستم دیگر.

بررسی ثابت بودن ابعاد یک کمیت

همانطور که گفتیم تنها روی مقادیر فیزیکی مشابه می‌توان اعمال جبری انجام داد، بنابراین دو مقدار با ابعاد مختلف قابل جمع یا تفریق نیستند. به عنوان مثال، نمی‌توانیم جرم و نیرو یا پتانسیل الکتریکی و مقاومت را با یکدیگر جمع کنیم.

بدین ترتیب برای هر معادله از اصل همگنی دیمانسیون استفاده کرده و ابعاد هر مؤلفه در هر دو طرف علامت تساوی بررسی می‌شود و اگر یکسان نباشند معادله اشتباه تلقی خواهد شد.

به عنوان مثال معادله زیر را در نظر بگیرید:

12mv2=mgh\large \frac{1}{2}mv^{2}=mgh

دیمانسیون هر دو طرف تساوی را بررسی می‌کنیم. در قسمت چپ تساوی جرم و مجذور سرعت را داریم، که دیمانسیون جرم برابر با MM و دیمانسیون سرعت LT1LT^{-1} است، در نتیجه دیمانسیون 12mv2\frac{1}{2}mv^{2} برابر است با:

[M][LT1]2=[ML2T2]\large [M][LT^{-1}]^{2}=[ML^{2}T^{-2}]

در قسمت راست تساوی جرم، شتاب گرانشی و طول را داریم که دیمانسیون هر یک از آن‌ها به ترتیب برابر با MM، LT2LT^{-2} و  LL است و دیمانسیون mghmgh برابر است با:

[M][LT2][L]=[ML2T2]\large [M][LT^{-2}][L]=[ML^{2}T^{-2}]

همان‌طور که مشخص است دیمانسیون هر دو طرف رابطه یکی است، پس در حقیقت اصل پایستگی انرژی در فیزیک از لحاظ ابعادی صحیح است.

بررسی روابط میان کمیت‌های فیزیکی

از تحلیل ابعادی برای بررسی رابطه بین دو یا چند مقدار فیزیکی استفاده می‌شود. اگر نوع وابستگی یک مقدار فیزیکی به پارامترهای دیگر را بدانیم، می‌توانیم از اصل همگنی میان دو عبارت استفاده کنیم تا معادله بین دو عبارت را به دست آوریم. برای درک بیشتر این موضوع مثال زیر را حل می‌کنیم.

مثال: معادله نیروی گریز از مرکز FF را برای ذره‌ای که روی یک دایره با شعاع ثابت حرکت می‌کند به دست آورید.

پاسخ: همانطور که می‌دانیم، نیروی گریز از مرکز برای یک ذره در حال حرکت روی یک دایره با شعاع ثابت به جرم ذره، سرعت ذره و شعاع مسیر حرکت ذره بستگی دارد. از این رو داریم:

F=mavbrc\large F=m^{a}v^{b}r^{c}

با نوشتن ابعاد هر یک از کمیت‌های بالا در سمت راست و چپ تساوی خواهیم داشت:

[MLT2]=Ma[LT1]bLc\large [MLT^{-2}]=M^{a}[LT^{-1}]^{b}L^{c}
[MLT2]=MaLc+bTb\large \rightarrow [MLT^{-2}]=M^{a}L^{c+b}T^{-b}

با استفاده از اصل همگنی a=1a=1، b=2b=2 و c=1c=1 به دست می‌آید و معادله نیروی گریز از مرکز برابر است با:

F=kmv2r\large F=k\frac{mv^{2}}{r}

نمونه سوالات تحلیل ابعادی یا دیمانسیون

برای درک بهتر این مطلب را با حل چند مثال به پایان می‌رسانیم.

مثال ۱:  معادله دوره نوسان یک آونگ ساده را با فرض اینکه دوره آونگ (TT) به کمیت‌های جرم آونگ (mm)، طول نخ آونگ (LL) و شتاب گرانشی (gg) بستگی دارد، به دست آورید.

پاسخ: معادله دوره نوسان آونگ ساده را به صورت زیر می‌نویسیم:

t=kmxLygz\large t=km^{x}L^{y}g^{z}

اگر دیمانسیون هر یک از کمیت‌های بالا را در رابطه قرار دهیم، داریم:

[T]=k[M]x[L]y[LT2]z\large [T]=k[M]^{x}[L]^{y}[LT^{-2}]^{z}
[T]=k[M]x[L]y+z[T]2z\large\rightarrow [T]=k[M]^{x}[L]^{y+z}[T]^{-2z}

با مقایسه هر دو طرف تساوی مقادیر زیر برای xx، yy و zz به دست می‌آید:

x=0, y+z=0, 2z=1\large \Rightarrow x=0,\ y+z=0,\ -2z=1

و بدین ترتیب رابطه دوره نوسان آونگ ساده برابر است با:

t=k(Lg)12\large t=k(\frac{L}{g})^{\frac{1}{2}}

مثال ۲:  مقادیر فیزیکی ss، vv، aa و tt را به ترتیب با ابعاد [s]=[L][s]=[L]، [v]=LT1[v]=LT^{-1}، [a]=LT2[a]=LT^{-2} و [t]=[T][t]=[T] در نظر بگیرید و بررسی کنید کدام یک از معادلات زیر از لحاظ ابعادی صحیح است.

  1. s=vt+0.5at2s=vt+0.5at^{2}
  2. s=vt2+0.5ats=vt^{2}+0.5at
  3. v=sin(at2s)v=\sin(\frac{at^{2}}{s})

پاسخ:

۱) در این معادله هیچ عبارت مثلثاتی، لگاریتمی یا نمایی وجود ندارد. بنابراین لازم است تنها به ابعاد هر جمله موجود در معادله نگاه کنیم. سه عبارت یکی در سمت چپ معادله و دو عبارت در سمت راست معادله وجود دارند. بنابراین داریم:

[s]=L[s] = L
[vt]=[v][t]=LT1T=LT0=L[vt] = [v] \cdotp [t] = LT^{−1} \cdotp T = LT^{0} = L
[0.5at2]=[a][t]2=LT2T2=LT0=L.[0.5at^{2} ] = [a] \cdotp [t]^{2} = LT^{−2} \cdotp T^{2} = LT^{0} = L \ldotp

پس این معادله از لحاظ ابعادی صحیح است.

۲) باز هم هیچ تابع مثلثاتی، نمایی یا لگاریتمی وجود ندارد. بنابراین تنها باید ابعاد هر یک از سه عبارت موجود در معادله را بررسی کنیم:

[s]=L[s] = L
[vt2]=[v][t]2=LT1T2=LT[vt^{2}] = [v] \cdotp [t]^{2} = LT^{−1} \cdotp T^{2} = LT
[at]=[a][t]=LT2T=LT1.[at] = [a] \cdotp [t] = LT^{−2} \cdotp T = LT^{−1} \ldotp

هیچ یک از این سه عبارت از نظر ابعادی با جملات دیگر همخوانی ندارد، بنابراین این معادله از لحاظ ابعادی صحیح نیست.

۳) این معادله یک تابع مثلثاتی دارد، بنابراین ابتدا باید بررسی کنیم که آرگومان تابع مثلثاتی بدون بُعد باشد و داریم:

[at2s]=[a][t]2[s]=LT2T2L=LL=1.\left[\frac{at^{2}}{s}\right] = \frac{[a] \cdotp [t]^{2}}{[s]} = \frac{LT^{-2} \cdotp T^{2}}{L} = \frac{L}{L} = 1 \ldotp

بدین ترتیب می‌توان دید که آرگومان سینوس بی‌بُعد است. حال باید هر یک از دو عبارت (یعنی عبارت سمت چپ و راست معادله) را از نظر ابعادی بررسی کنیم:

[v]=LT1[v] = LT^{-1}
[sin(at2s)]=1.\left[ sin \left(\dfrac{at^{2}}{s}\right) \right] = 1 \ldotp

این دو عبارت هم بُعد نیستند و معادله از نظر ابعادی سازگار و در نتیجه صحیح نیست.

بر اساس رای ۴۲ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
BYJUSLibreTextsSchoolPhysics
۱۱ دیدگاه برای «دیمانسیون — هر آنچه باید بدانید»

سلام دیمانسیون چقر مگی و سختی چجوری حساب میشه؟

دیمانسیون تابع تقسیم چیست؟

درود بر فرادرس
برخی مطالب اموزشی ویدیو اموزشی نداره خیلی خوبه که براشون ویدیو هم بزارید .مثلا مطلبی که در مورد [تسلا]بود رو من ترجیح میدم خودم بخونم وتازه کتابی بهتره اما آموزش همرا ویدیو خیلی خوبه.
چون ویدیو اموزشی خیلی خوبه .
باسپاس همیشگی از فرادرس

سلام ممنون از مطالبتون.
درباره دیمانسیون تابع موج و کمیتهایی که در کوانتوم استفاده می شود هم ممنون می شوم توضیح دهید و دیمانسیون آنها را بگویید.

سلام و روز شما به خیر؛

برای مطالعه در مورد تابع موج و کمیت‌های کوانتومی مطالعه مطالب کوانتوم – به زبان ساده و ذره آزاد در مکانیک کوانتومی — به زبان ساده در مجله فرادرس به شما پیشنهاد می‌شود.

از همراهی شما خرسندیم.

سلام
ممنونم از مطالب شما.
یه سوال ذهن مرا به شدت مشغول کرده است و آن این است که:
کمیت های فیزیکی با بعد یکسان چه ارتباطی با هم می توانند داشته باشند ؟
می دانیم هر کمیت فیزیکی یک محتوا و مفهوم فیزیکی دارد و یک سنجه برای اندازه گیری(یکا و بُعد). می خواهم بدانم داشتن بُعد یکسان نشان دهنده چه چیزی می تواند باشد ؟
مثل کنش و ثابت پلانک و تکانه زاویه ای:
آیا این پاسخ درست است که هم می تواند رابطه ای بین شان وجود داشته باشد و هم می تواند رابطه ای بین آنها وجود نداشته باشد. باید پیدا کرد که چه ارتباطی با هم دارند؟!
تشکر
روحی راد

دیمانسیون نیرو را اشتباه نوشتید

با سلام،
متن بازبینی و اصلاح شد،
با تشکر از همراهی شما با مجله فرادرس

سلام ایا دیمانسیون کمیتی میتواند صفر شود؟!

با سلام من اینها رو فهمیدم ولی یک فرمول هست نمیتونم حل کنم
θ=at²+bt+c
مقادیر ابعادی aو b c اگر θ زوایه و t مکان باشد

سلام و روز شما به خیر؛

یکسان بودن بُعد همواره به معنای نمایش یک محتوای فیزیکی یکسان نیست ولی گاهی نیز ممکن است به یک مفهوم فیزیکی یکسان اشاره شود. برای مثال فشار و ضربه دارای بعد یکسان هستند و به یک مفهوم فیزیکی یکسان اشاره دارند. اما تمام کمیت‌های ثابت فیزیکی که بدون بعد هستند به یک مفهوم فیزیکی یکسان اشاره نمی‌کنند و به یک معنی نیستند. در نتیجه همان طور که خودتان نیز بیان کردید هر یک از این مفاهیم را باید به صورت جداگانه مورد بررسی قرار داد و نمی‌توان برای آن‌ها یک قانون کلی ارائه کرد.

از اینکه با فرادرس همراه هستید خرسندیم.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *