برق , فیزیک , مهندسی 332 بازدید

همان‌طور که در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس گفتیم، طبق قانون اهم وقتی یک منبع ولتاژ بین دو نقطه از مدار اعمال می‌شود، با توجه به وجود اختلاف پتانسیل، جریان الکتریکی به وجود می‌آید. مقدار این جریان الکتریکی با توجه به مقدار مقاومت تعیین می‌شود. به عبارت دیگر، ولتاژ سبب عبور جریان (حرکت بار) می‌شود، اما مقاومت با عبور جریان مخالفت می‌کند. در این آموزش با مفهوم مقاومت ویژه و رسانایی ویژه آشنا می‌شویم.

مقاومت الکتریکی را همواره برحسب اهم اندازه‌گیری می‌کنیم و آن را با حرف یونانی اُمگا ($$\Omega$$) نشان می‌دهیم. رساناها (مانند سیم‌ و کابل) عموماً مقاومت بسیار کمی (کمتر از $$0.1 \, \Omega $$) دارند و به همین دلیل می‌توان، در تحلیل مدار، مقاومت آن‌ها را صفر فرض کرد. در طرف مقابل، عایق‌ها (مانند پلاستیک یا هوا) مقاومت بسیار زیادی (بزرگتر از $$50\, \text{M}\Omega$$) دارند و به همین دلیل در تحلیل مدار از آن‌ها چشم‌پوشی می‌شود.

اما مقاومت الکتریکی بین دو نقطه به عوامل مختلفی از جمله طول هادی، اندازه سطح مقطع آن، دما و جنس ماده تشکیل دهنده آن بستگی دارد. برای مثال، فرض کنید مطابق شکل زیر قطعه‌ای سیم (رسانا) به طول $$L$$، سطح مقطع $$A$$ و مقاومت $$R$$ داریم.

مقاومت رسانا

مقاومت الکتریکی $$R$$ این هادی ساده تابعی از طول $$L$$ و سطح مقطع $$A$$ است. طبق قانون اهم برای مقاومت $$R$$، جریان گذرنده از هادی متناسب با ولتاژ اعمالی به آن است ($$ I = V / R $$). اکنون فرض کنید دو هادی مشابه را مطابق شکل زیر به صورت سری با یکدیگر قرار می‌دهیم.

مقاومت سری

با اتصال دو رسانا به صورت سری به یکدیگر، طول معادل دو برابر ($$2L$$) خواهد شد، در حالی که سطح مقطع $$A$$ دقیقاً مانند قبل باقی می‌ماند. اما با دو برابر شدن طول، مقاومت نیز دو برابر می‌شود ($$ 1 R + 1 R = 2 R $$).

بنابراین، مشاهده می‌کنیم که مقاومت هادی متناسب با طول آن است ($$ R \propto L $$). به عبارت دیگر، انتظار خواهیم داشت مقاومت الکتریکی یک هادی (یا سیم) متناسب با بزرگتر شدن طولش افزایش یابد.

البته با دو برابر شدن طول هادی و در نتیجه مقاومت آن، جریان گذرنده از هادی تغییری نمی‌کند، زیرا ولتاژ دو سر آن‌ها نیز با هم جمع می‌شود ($$ I = (2V) / ( 2 R)$$). اکنون فرض می‌کنیم دو هادی مشابه را به صورت موازی مطابق شکل زیر به یکدیگر متصل کنیم.

مقاومت موازی

همان‌طور که می‌بینیم، با اتصال موازی دو هادی به یکدیگر، سطح مقطع دو برابر ($$ 2 A $$) می‌شود، در حالی که طول $$L$$ ثابت مانده است. همچنین، در این حالت مقاومت معادل نصف ($$ R/2$$) شده، زیرا نصف جریان کل از هر یک از دو مقاومت می‌گذرد و ولتاژ دو سر آن‌ها نیز ثابت مانده است.

بنابراین، مقاومت هادی رابطه معکوس با سطح مقطع آن دارد ($$ R \propto 1/A $$). به عبارت دیگر، انتظار داریم مقاومت الکتریکی یک هادی (یا سیم) متناسب با افزایش سطح مقطع آن کاهش یابد.

همچنین با دو برابر شدن سطح مقطع و در نتیجه نصف شدن مقاومت کل هر شاخه ($$R / 2$$)، به ازای گذر جریان $$i$$ از مجموعه مقاومت‌ها، جریان هر یک از آن‌ها نصف ($$i/2$$) می‌شود.

بنابراین، مشاهده می‌کنیم که مقاومت یک هادی رابطه مستقیم با طول آن و رابطه معکوس با سطح مقطع دارد:

$$ \large R \propto \frac { L } { A } $$

همان‌طور که طول و سطح مقطع یک هادی بر مقاومت الکتریکی آن اثر دارند، جنس ماده تشکیل دهنده هادی نیز بر مقاومت الکتریکی تأثیر خواهد داشت. زیرا هادی‌هایی مانند مس، نقره، آلومینیوم و… ویژگی‌های الکتریکی و فیزیکی متفاوتی دارند. بنابراین، می‌توانیم علامت تناسب ($$ \propto$$) بالا را حذف کرده و معادله مربوط به مقاومت را با اضافه کردن یک ضریب تناسب به صورت زیر بنویسیم:

$$ \large R = \rho \left ( \frac { L } { A } \right ) $$

که در آن، $$R$$ مقاومت برحسب اهم ($$\Omega$$)، $$L$$ طول برحسب متر ($$\text{m}$$) و $$A$$ اندازه سطح مقطع برحسب متر مربع ($$\text{m}^2$$) است. همچنین ثابت تناسب $$ \rho$$ به عنوان «مقاومت ویژه» (Resistivity)‌ شناخته می‌شود.

مقاومت ویژه الکتریکی

مقاومت ویژه الکتریکی یک ماده رسانای خاص، یک ویژگی از ماده است که بیان می‌کند آن ماده چه اندازه در برابر جریان الکتریکی مخالفت می‌کند. با این عامل می‌توان در یک دمای مشخص چند ماده رسانا را بدون توجه به طول و سطح مقطع با یکدیگر مقایسه کرد. هرچه مقاومت ویژه بالاتر باشد، مقاومت رسانا نیز بیشتر است.

برای مثال، مقاومت ویژه یک هادی خوب مانند مس برابر با $$ 1.72 \times 10 ^ { – 8} $$ اهم-متر است، در حالی که مقاومت ویژه یک هادی ضعیف (عایق) مانند هوا حدود $$1.5 \times 10 ^ { 14 } $$ اهم-متر است.

ماده‌هایی مانند مس و آلومینیوم، به دلیل مقاومت ویژه کمی که دارند، به عنوان رساناهای خوبی شناخته می‌شوند و جریان را به آسانی از خود عبور می‌دهند و به همین دلیل، در کابل‌ها و سیم‌ها به کار می‌روند. نقره و طلا مقاومت ویژه بسیار کمتری دارند، اما به دلیل آنکه بسیار گران هستند، از آن‌ها در سیم‌ها و کابل‌های الکتریکی استفاده نمی‌شود.

به طور خلاصه، عواملی که بر مقاومت ($$R$$) یک هادی تأثیر می‌گذارند، به صورت زیر هستند:

  • مقاومت ویژه ($$\rho$$) ماده‌ای که هادی از آن ساخته شده است؛
  • طول کل هادی ($$L$$)؛
  • مساحت سطح مقطع هادی ($$A$$)؛
  • دمای هادی.

مثال ۱

مقاومت DC کل یک سیم مسی $$100$$ متری را با سطح مقطع $$2.5\, \text{mm}^2$$ به دست آورید. فرض کنید دما $$20 ^ \circ \text{C}$$ و مقاومت ویژه $$1.72 \times 10 ^ { -8 } $$ اهم-متر است.

حل: مقاومت به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*}
R & = \rho \frac { L } { R} \\
R & = \frac {\left (1.72 \times 10 ^ {-8} \right ) \times 100} {2.5 \times 10 ^ { -6}} = 688 \, \text{m} \Omega
\end {align*} $$

مقاومت ویژه، مقاومت الکتریکی برحسب واحد طول و واحد سطح مقطع است. بنابراین، برای ماده خاص در یک دمای مشخص، مقاومت ویژه الکتریکی برابر است با:

$$ \large \rho = \frac {R \times A } { L } = \frac { \text{Ohms} \times \text{meters} ^ 2 } { \text{meters} } = \Omega \cdot \text {m} $$

رسانایی ویژه الکتریکی

همان‌طور که دیدیم، مقاومت الکتریکی $$R$$ و مقاومت ویژه $$\rho$$ توابعی از ماهیت فیزیکی ماده‌ مورد استفاده هستند و شکل و اندازه فیزیکی که با طول $$L$$ و سطح مقطع $$A$$ مشخص می‌شود. اما مفهوم دیگری به نام رسانایی ویژه (Conductivity) نیز وجود دارد که میزان سهولت عبور جریان الکتریکی از یک ماده را بیان می‌کند.

رسانایی ($$G$$) معکوس مقاومت است ($$ 1 / R $$) و با واحد زیمنس (Siemens) یا $$S$$ نشان داده می‌شود. نماد این واحد یک امگای وارون ($$\mho$$) است. بنابراین، وقتی رسانایی ویژه یک هادی یک زیمنس است، مقاومت آن یک اهم خواهد بود. در نتیجه، اگر مقاومت دو برابر شود، رسانایی نصف می‌شود و بالعکس.

برخلاف مقاومت که میزان مخالفت یک ماده را در برابر عبور جریان نشان می‌دهد، رسانایی میزان سهولت گذر جریان از ماده را بیان می‌کند. بنابراین، فلزهایی مانند مس، آلومینیوم یا نقره مقدار رسانایی بسیار بالایی دارند و به همین دلیل رساناهای بسیار خوبی هستند.

رسانایی ویژه (Conductivity) با حرف یونانی سیگما ($$\sigma$$) نشان داده می‌شود و واحد آن زیمنس بر متر ($$\text{S}/\text{m}$$) است. از آن‌جایی که $$\sigma = 1 / \rho $$ است، توصیف قبلی مقاومت الکتریکی را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$ \large \begin {align*}
R & = \rho \frac { L } { A}, \,\,\,\,\,\, \sigma = \frac { 1 } {\rho} \\
R & = \frac { L } { \sigma A }
\end{align*} $$

در نتیجه، می‌توان گفت که رسانایی ویژه بازده یک هادی است که جریان یا سیگنال الکتریکی بدون تلفات مقاومتی از آن عبور می‌کند. بنابراین، یک ماده یا هادی که رسانایی ویژه بالایی دارد، مقاومت ویژه کمی خواهد داشت و بالعکس. بر این اساس، مس هادی خوبی برای جریان الکتریکی است، زیرا رسانایی ویژه آن $$ 58.14 \times 10 ^ 6 $$ زیمنس بر متر است.

مثال ۲

یک کابل $$20$$ متری با سطح مقطع $$1\, \text{mm}^2$$ و مقاومت $$5$$ اهم را در نظر بگیرید. رسانایی ویژه کابل را محاسبه کنید.

حل: مقدار رسانایی ویژه به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \begin {align*}
R & = \frac { L } {\sigma A}, \,\,\,\,\,\, \sigma = \frac { L } { R A } \\
\sigma & = \frac { L } { R A } = \frac { 20 } { 5 \times 1 \times 10 ^ {-6} } = 4 \text {MS/m}
\end{align*} $$

تأثیر دما بر مقاومت ویژه

مقاومت ویژه همه مواد به دما وابسته است. بعضی از این مواد می‌توانند در دماهای بسیار پایین ابررسانا شوند. در مقابل، مقاومت ویژه رساناها با افزایش دما زیاد می‌شود. از آن‌جایی که اتم‌ها در دماهای بالاتر، سریع‌تر و در فواصل طولانی‌تر ارتعاش می‌کنند، الکترون‌ها در فلز حرکت بیشتری داشته و در نتیجه مقاومت ویژه افزایش خواهد یافت. در تغییرات دمایی نسبتاً کوچک ($$100^\circ \text{C}$$ و کمتر) مقاومت ویژه $$\rho$$ را می‌توان برحسب تغییر دمای $$ \Delta T $$ و به صورت زیر نوشت:

$$ \large \rho = \rho _ 0 ( 1 + \alpha \Delta T ) $$

که در آن، $$\rho _ 0 $$ مقاومت ویژه در دمای مرجع و $$ \alpha$$ ضریب دمایی مقاومت ویژه است. برای تغییرات دمایی بزرگتر، ممکن است $$\alpha$$ تغییر کند یا به یک معادله غیرخطی برای یافتن آن $$\rho$$ نیاز باشد. در فلزها $$\alpha$$ مثبت است، یعنی مقاومت ویژه آن‌ها با افزایش دما زیاد می‌شود. برخی آلیاژها به طور خاص برای وابستگی دمایی کم ساخته شده‌اند. برای مثال، ضریب دمایی مقاومت ویژه منگنین (آلیاژی از مس، منگنز و نیکل) نزدیک صفر است و به همین دلیل مقاومت ویژه آن در پاسخ به تغییرات دمایی تغییر ناچیزی خواهد داشت.

مقدار ضریب دمایی مقاومت ویژه برای نیمه‌هادی‌ها منفی است؛ بدین معنی که مقاومت ویژه آن‌ها با افزایش دما کم می‌شود و در دماهای بالا خاصیت رسانایی بهتری دارند، زیرا با افزایش بی‌نظمی حرارتی تعداد بارهای آزاد برای برقراری جریان افزایش می‌یابد. این ویژگی کاهش $$\rho$$ نسبت به افزایش دما به مقدار ناخالصی نیمه‌هادی نیز مربوط می‌شود.

بنابراین، مقاومت یک جسم به دما بستگی دارد، زیرا مقاومت رابطه مستقیم با مقاومت ویژه دارد. همان‌طور که گفتیم مقدار مقاومت یک جسم با فرمول $$ R = \rho L / A$$ بیان می‌شود و اگر $$L$$ و $$A$$ تغییر نکنند، مقاومت $$R$$ با تغییرات دمایی دچار تغییر خواهد شد. بنابراین، می‌توان مقاومت را، مشابه مقاومت ویژه، به صورت زیر بیان کرد:

$$ \large R = R _ 0 ( 1 + \alpha \Delta T ) $$

که در آن، $$ R _ 0$$ مقاومت در دمای مرجع و $$R$$ مقاومت بعد از تغییر دمای $$\Delta T $$ است.

مثال ۳

مقاومت تنگستن را برای میزان تغییر دمای $$2830^\circ \text{C}$$ محاسبه کنید. برای تنگستن، $$ \alpha = 4.5\times 10 ^ {-3} \mathrm{1/^\circ C}$$ و مقاومت مرجع $$R_0 = 0.350 \Omega$$ است.

حل: همان‌طور که گفتیم، باید از فرمول‌های $$  \rho = \rho _ 0 ( 1 + \alpha \Delta T ) $$ و $$  R = R _ 0 ( 1 + \alpha \Delta T ) $$ برای محاسبه مقاومت استفاده کنیم. در نتیجه، داریم:

$$ \large \begin {align*}
R & = R _ 0 ( 1 + \alpha \Delta T ) \\
& = 0.350 \times [ 1 + ( 4.5 \times 10 ^ { – 3 } ) \times (2830) ] \\
& = 4.8 \, \Omega
\end {align*} $$

جمع‌بندی

در این آموزش دیدیم که مقاومت ویژه مشخصه‌ای از یک ماده یا هادی است که تعیین می‌کند آن ماده یا هادی چه اندازه برای هدایت جریان الکتریکی مناسب است. همچنین دیدیم که مقاومت الکتریکی یک هادی، علاوه بر ماده تشکیل دهنده آن، به ابعاد فیزیکی‌اش نیز وابسته است.

مقاومت یک هادی رابطه مستقیم با طول  آن دارد؛ به طوری که مثلاً‌ اگر طول دو برابر شود، مقاومت نیز دو برابر خواهد شد. علاوه بر این، مقاومت هادی با سطح مقطع آن رابطه عکس دارد. به گونه‌ای که اگر سطح مقطع دو برابر شود، مقاومت نصف خواهد شد. همچنین مقاومت ویژه همه مواد به دما وابسته است.

در عین حال یاد گرفتیم که مقاومت ویژه ماده یا هادی به مشخصات ذاتی ماده بر می‌گردد و برای ماده‌های مختلف متفاوت است.

بسته به مقدار مقاومت ویژه یک ماده خاص، می‌توان آن را در یکی از سه دسته عایق، نیمه‌رسانا یا رسانا دسته‌بندی کرد. نیمه‌رساناها موادی هستند که رسانایی ویژه آن‌ها به مقدار ناخالصی‌های افزوده شده به آن‌ها بستگی دارد.

مقاومت ویژه در سیستم‌های توزیع توان الکتریکی نیز بسیار مهم است، زیرا اثربخشی سیستم زمین برای یک سیستم توزیع وابستگی زیادی به مقاومت ویژه ماده تشکیل دهنده زمین و خاک در محل سیستم زمین دارد.

رسانایی ویژه عکس مقاومت ویژه و واحد آن زیمنس بر متر است. مقدار رسانایی می‌تواند بین صفر (برای یک عایق کامل) تا بی‌نهایت (برای یک هادی کامل) باشد. بنابراین، رسانایی یک ابررسانا بی‌نهایت است.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

به عنوان حامی، استارتاپ، محصول و خدمات خود را در انتهای مطالب مرتبط مجله فرادرس معرفی کنید.

telegram
twitter

سید سراج حمیدی

«سید سراج حمیدی» دانش‌آموخته مهندسی برق است. فعالیت‌های کاری و پژوهشی او در زمینه سیستم‌های فتوولتائیک و کاربردهای کنترل در قدرت بوده و، در حال حاضر، آموزش‌های مهندسی برق و ریاضیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 2 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *