برق , مهندسی 5113 بازدید

پیش‌تر در بلاگ فرادرس در مورد مفاهیم میدان مغناطیسی و قانون القای فارادی صحبت شد. در مطالب مذکور عنوان شد که اگر میدان مغناطیسی عبوری از یک حلقه رسانای بسته، با زمان تغییر کند، جریانی الکتریکی در آن حلقه القا خواهد شد. مفاهیم القا (Inductance) و انرژی مغناطیسی، بیان می‌کنند که چگونه یک جریان الکتریکی می‌تواند عامل ایجاد جریان در رسانای دومی شود.

فیلم آموزش القای الکترومغناطیسی (Electromagnetic Induction) — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

دانلود ویدیو

پیشنهاد می‌شود قبل از مطالعه این مطلب، قانون دست راست را نیز مطالعه فرمایید.

القای متقابل

مطابق با شکل زیر دو سلونوئید را در نظر بگیرید که کنار هم قرار گرفته‌اند.

Inductance

تعداد حلقه‌ها و جریان سلو‌نوئید اول به‌ترتیب برابر با N1 و I1 است که منجر به تولید میدان مغناطیسی $$\large {\overrightarrow{B}_{1}}$$ می‌شود. زمانی که دو سلونوئید به یکدیگر نزدیک شوند، تعدادی از خطوط میدان مغناطیسیِ سلونوئید اول از سلونوئید دوم نیز عبور خواهند کرد. فرض کنید Φ۲۱، نشان دهنده شار مغناطیسی عبوری از یک حلقه‌ی سلونوئید دوم، ناشی از جریان I1 باشد. حال با تغییر جریان I1 با زمان، نیروی محرکه القایی بوجود خواهد آمد که ناشی از تغییر شار مغناطیسی عبوری از سلونوئید دوم است. این نیروی محرکه برابر است با:

Inductance

در حقیقت تغییر شار مغناطیسی Φ۲۱ در سلونوئید شماره ۲، متناسب با تغییر زمانی جریان در سلونوئید شماره ۱ است. از این رو می‌توان گفت:

در رابطه بالا M21 ضریب القای متقابل است و می‌توان آن را در قالب رابطه زیر نشان داد:

induction

واحد SI خودالقایی، هانری (H) است. در حقیقت:

Induction

همان‌گونه که در رابطه بالا نیز دیده می‌شود، ضریب خودالقایی M21 به شکل هندسی دو سلونوئید و تعداد حلقه‌های آن‌ها وابسته است. به طریقی مشابه فرض کنید جریان I2 در سلونوئید دوم برقرار است و با زمان تغییر می‌کند. در نتیجه نیرو محرکه در سلونوئید شماره ۱ برابر می‌شود با:

Inductance

مطابق با شکل زیر نیروی محرکه بدست آمده در بالا منجر به ایجاد جریان در سولنوئید شماره ۱ نیز می‌شود.

Inductance

تغییر شار مغناطیسی عبوری از سلونوئید شماره ۱ متناسب با تغییرات زمانی جریانِ سلونوئید شماره ۲ است. بنابراین داریم:

Inductance

در رابطه بالا M۱۲ نیز ضریب القای متقابل است که می‌توان آن را به‌شکل زیر بدست آورد.

Inductance

با استفاده از قانون متقابل، که در نتیجه ترکیب قوانین آمپر و بیو-ساوار است، رابطه بین ضرایب خودالقایی برابر است با:

induction

رابطه بالا نشان می‌دهد که ضریب القای متقابل در هر دو سناریو برابر هستند. جهت درک بهتر مفاهیم بالا توجه شما را به مثالی که در ادامه آمده جلب می‌کنیم.

مثال ۱: القای متقابل دو حلقه هم‌مرکز

مطابق با شکل زیر دو حلقه بسته به شعاع‌های R1 و R2 را در نظر بگیرید.

Inductance

القای متقابل این دو حلقه چقدر است؟

در ابتدا بایستی میدان مغناطیسی در مرکز حلقه و ناشی از جریان I1 را بیابیم. در نتیجه اندازه میدان مذکور برابر است با:

Inductance

با توجه به این‌که R1>>R2 است، در نتیجه میدان مغناطیسی در تمامی فضای حلقه کوچک‌تر (حلقه شماره ۲) را می‌توان برابر با B1 فرض کرد. بنابراین شار عبوری از حلقه مذکور برابر است با:

Inductance

از این رو ضریب القای متقابل برابر است با:

Inductance

توجه داشته باشید که اگر با استفاده از شار عبوری از حلقه شماره ۱، ناشی از حلقه شماره ۲ نیز مسئله را حل می‌کردیم، به همین نتیجه می‌رسیدیم. دلیل استفاده از این روش، یکنواخت فرض شدن میدان مغناطیسی در حلقه شماره ۲ است که باعث می‌شود مسئله راحت‌تر حل شود.

رابطه بالا از این زاویه جالب است که ضریب القای متقابل تنها به پارامتر‌های هندسی، هم‌چون R1 و R2 وابسته است و به جریان‌های دو سیم‌پیچ (همان سولنوئید) وابسته نیست.

خودالقایی

مطابق شکل زیر سلونوئیدی با N حلقه را در نظر بگیرید که جریان I را در خود و در جهت پادساعتگرد دارد. اگر جریان بصورت پایا باشد، میدان مغناطیسی عبوری از حلقه ثابت خواهد ماند. در حالتی دیگر فرض کنید که جریان I با زمان تغییر کند. در این شرایط،‌ مطابق با قانون القای فارادی،‌ نیروی محرکه القایی، در خلاف جهت تغییرات جریان الکتریکی است. در حقیقت با فرض این‌که dI/dt > 0  باشد، جریان الکتریکی القایی، ساعتگرد و در حالت dI/dt < 0،‌ جریان القاییِ پادساعتگرد در حلقه بوجود خواهد آمد.

Inductance

به این خاصیت از حلقه جریان که در آن میدان مغناطیسی القایی، در خلاف جهت تغییرات جریان الکتریکی است، خودالقایی گفته می‌شود. هم‌چنین نیروی محرکه ناشی از تغییر مذکور،‌ نیروی محرکه خود القایی نامیده می‌شود و آن را با $$\epsilon_L \enspace$$ نشان می‌دهند. تمامی حلقه‌های حامل جریان این خاصیت را دارند. به‌طور ویژه، سلونوئید، جزئی از مدار الکتریکی است که دارای ضریب خودالقایی بزرگی است.

نیروی محرکه خود القایی را می‌توان با استفاده از قانون القای فارادی، به شکل زیر بیان کرد:

Inductance

نیروی محرکه بالا را می‌توان با استفاده از مفهوم ضریب ثابت خودالقایی، به شکل زیر بدست آورد:

Inductance

با ترکیب دو رابطه بالا داریم:

Inductance

از منظر فیزیکی، ضریب القایی L، میزان مقاومت القاگر در مقابل تغییرات جریان الکتریکی القاگر را نشان می‌دهد. L بزرگ‌تر نشان‌ دهنده تغییرات زمانی کوچک‌تر جریان الکتریکی است.

مثال ۲: خودالقایی سولنوئید

ضریب خودالقایی سولنوئید زیر با N حلقه، طول L، شعاع R و جریان I را بدست آورید.

Solenoid

با در نظر نگرفتن اثر لبه و استفاده از قانون آمپر، میدان مغناطیسی در وسط سولنوئید برابر است با:

در رابطه بالا n=N/l، نشان دهنده تعداد دور‌های حلقه در واحد طول است. در نتیجه شار مغناطیسی عبوری از هرکدام از این حلقه‌ها برابر است با:

Inductance

بنابراین ضریب خودالقایی سولنوئید برابر با مقدار زیر بدست می‌آید.

Inductance

رابطه بالا دوباره بر این موضوع تاکید می‌کند که ضریب خودالقایی تنها به پارامترهای هندسی القاگر وابسته است.

مثال ۳: خودالقایی تروئید (Toroid)

تروئید سیم‌پیچی حلقوی است که نقش القاگر را در مدار‌های الکتریکی ایفا می‌کند. مطابق با شکل زیر تروئیدی را شامل N حلقه در نظر بگیرید که مقطع آن به‌صورت مستطیلی است. فرض کنید ارتفاع، شعاع داخلی و خارجی این سولنوئید به ترتیب برابر با b ,a ,h است.

Inductance

مطابق با قانون آمپر که در بخش قبل در مورد آن بحث شد، میدان مغناطیسی در سلونوئید با استفاده از رابطه زیر بدست می‌آید.

Inductance

یا

Inductance

شار مغناطیسی عبوری از یک حلقه تروئید، با انتگرال‌گیری از میدان مغناطیسی روی دیفرانسیل سطح dA=hdr نشان داده شده در شکل زیر بدست می‌آید.

Inductance

با محاسبه انتگرال میدان مغناطیسی روی سطح دیفرانسیلی نشان داده شده در شکل بالا داریم:

Inductance

با فرض این‌که شار عبوری از N حلقه برابر با $$N \Phi_B$$ باشد، ضریب خودالقایی برابر می‌شود با:

Inductance

رابطه بالا نیز نشان می‌دهد که ضریب خودالقایی تنها به ویژگی‌های هندسی القاگر مرتبط است. حال تروئیدی را تصور کنید که در آن a>>b-a است. در حالتی حدی، عبارت لگاریتمیِ رابطه بالا به شکل زیر قابل بازنویسی می‌شود:

Inductance

در نتیجه ضریب خودالقایی برابر است با:

Inductance

در رابطه بالا (A = h (b-a، مقطع تیروئید و L=2πa محیط داخلی آن است. بنابراین ضریب خودالقایی تروئید در حالت حدی برابر با ضریب سولنوئید شده که نشان دهنده درست بودن حل است.

مثال ۴: سیمِ پیچیده شده دور سولنوئید

همانند تصویر زیر سولنوئیدی به طول l،‌ تعداد دور سیمِ N1 و سطح مقطع A را در نظر بگیرید. فرض کنید سیم عایقی با تعداد دورِ N2 اطراف آن پیچیده شده است.

Inductance

  1. با توجه به توصیفات بالا، القای متقابل M را با این فرض بیابید که تمامی شار تولید شده توسط سولنوئید از سیم‌ پیچ خارجی عبور می‌کند.
  2. رابطه بین M و ضرایب خودالقایی L1 و L2 سولنوئید و سیم‌پیچ را بیابید.

(a): شار مغناطیسی تولید شده توسط سولنوئید که از یک حلقه‌ی سیم‌پیچ عبور می‌کند، برابر است با:

Inductance

در رابطه بالا $$B \enspace =\mu_0 N_1I_1 /l$$، میدان مغناطیسی یکنواخت تولید شده توسط سولنوئید است. در نتیجه ضریب القایی متقابل برابر است با:

رابطه ۱

(‌b): با توجه به مثال ۲، ضریب خودالقایی سولنوئیدی با N1 حلقه، برابر است با:

Inductance
رابطه ۲

در رابطه بالا $$\Phi_{11}$$ شار مغناطیسی عبوری از یک حلقه‌ی سولنوئید است که توسط جریان I1 تولید شده. به همین روش ضریب خودالقایی برای سیم‌پیچ بیرونی برابر است با:

Inductance
رابطه ۳

با توجه به روابط ۱، ۲ و ۳ ارتباط بین ضریب القای متقابلِ M و ضرایب خودالقایی L1 و L2 برابر است با:

Inductance

البته رابطه بالا را می‌توان به شکلی عمومی‌تر و به‌صورت زیر بیان کرد:

Inductance

در رابطه بالا k را تحت عنوان «ضریب تزویج» (Coefficient of Coupling) می‌شناسند. این ضریب معیاری از میزان شار مغناطیسی تولید شده توسط سولنوئید است که از سیم‌پیچ عبور می‌کند.

انرژی ذخیره شده در میدان مغناطیسی

از آنجایی که در یک سولنوئید، میدان مغناطیسی تولید شده با جریان حامل در آن مخالفت می‌کند، بنابراین به‌منظور برقراری جریان، بایستی از کار خارجی استفاده شود. کار خارجی می‌تواند باتری یا هر منبع دیگری باشد.

جهت ایجاد جریانِ I در القاگر از توان خارجی $$\epsilon_{ext}$$ استفاده می‌شود. این توان جهت ایجاد جریان I در سولنوئید و مقابله با نیروی محرکه القا شده‌ی $$\epsilon_{L}$$ مورد استفاده قرار می‌گیرد. نیروی محرکه خارجی استفاده شده برابر است با:

القا

با توجه به این‌که در فرض بالا تنها نیروی محرکه القا شده و نیرو محرکه خارجی وجود دارند، بنابراین می‌توان رابطه $$\epsilon_{L}$$=$$-\epsilon_{ext}$$ را بیان کرد. در نتیجه تعادل انرژی به شکل زیر قابل بازنویسی است:

Inductance

اگر نرخ جریان در زمان افزایشی باشد (dl/dt > 0)، در این صورت p>0 است. این جمله به معنی آن است که نیروی خارجی به سیستم انرژی می‌دهد. بنابراین UB یا همان انرژی القاگر افزایش می‌یابد. از سویی دیگر اگر جریان الکتریکی با زمان کاهش یابد (dI/dt < 0)، در این صورت توان P نیز منفی است. بنابراین در این حالت منبع خارجی از سیستم انرژی می‌گیرد. در حالتی که منبعی با کار خارجی، جریانی را از صفر تا I افزایش دهد، کار خارجی انجام شده جهت این افزایش جریان، برابر است با:

Inductance

این کار معادل با انرژی ذخیره شده در القاگر است. بنابراین انرژی ذخیره شده در القاگری که جریان آن از صفر تا I افزایش یافته برابر است با:

Inductance

با دقت در رابطه بالا احتمالا متوجه شده‌اید که بسیار شبیه به رابطه میزان انرژی ذخیره شده در خازن است که در زیر بیان شده.

Inductance

توجه داشته باشید که از منظر انرژی، تفاوت عمده‌ای میان یک القاگر و یک مقاومت وجود دارد. زمانی که جریان I به یک مقاومت وارد می‌شود، انرژی به درون آن جریان یافته و در قالب حرارت خارج می‌شود. این فرآیند ربطی به پایا یا ناپایا بودن جریان ندارد. اما در یک القاگر، تنها زمانی انرژی به آن وارد می‌شود که جریان الکتریکی ناپایا بوده و با زمان افزایش یابد (dI/dt > 0). در این حالت، انرژی به القاگر وارد شده و دفع نمی‌شود. در حقیقت زمانی این انرژی دفع می‌شود که جریان ورودی به القاگر با زمان کاهش یابد (dI/dt < 0). اگر جریان ورودی به القاگر با زمان ثابت باشد، با توجه به رابطه P= LI dI/dt انرژی ذخیره شده در آن نیز تغییر نخواهد کرد.

مثال ۵: انرژی ذخیره شده در سولنوئید

سولنوئید طویلی به طول l و شعاع R را در نظر بگیرید که از N حلقه سیم تشکیل شده است. جریانی به اندازه I از آن عبور می‌کند. انرژی ذخیره شده در آن را بیابید.

در ابتدا با استفاده از رابطه انرژی ذخیره شده در سولنوئید، انرژی ذخیره شده در این سولنوئید نیز برابر می‌شود با:

Inductance

البته رابطه بالا را می‌توان در قالب اندازه میدان مغناطیسی $$B \enspace =\enspace \mu_0nI $$ نیز بیان کرد:

Inductance

با توجه به این‌که πR2l حجم درون سولنوئید است، در نتیجه با استفاده از چگالی انرژی مغناطیسی بیان شده در زیر، کل انرژی موجود در سولنوئید را می‌توان محاسبه کرد.

Inductance

رابطه بالا حتی در حالتی که میدان مغناطیسی یکنواخت نباشد، نیز صادق خواهد بود. مثال بالا انرژی موجود در یک میدان مغناطیسی را محاسبه می‌کند. اما با وجود برقراری جریان الکتریکی در القاگر، تغییر این انرژی با زمان صفر است. برای درک بهتر تصور کنید که جریان I از یک مقاومت الکتریکی عبور کند؛ در این حالت انرژی تلف شده توسط مقاومت،‌ در هر لحظه برابر RI2 است. مسئله زیر نیز مثال مناسبی جهت یادگیری مفهوم انرژی در القاگر است.

مثال ۶

مطابق با شکل زیر سیمی به طول بینهایت را در نظر بگیرید که حامل جریان I بوده و در سمت چپ حلقه‌ای مستطیلی به طول L و عرض w قرار گرفته است. ضریب القایی متقابل را برای این سیستم بیابید.

Inductance

جهت محاسبه ضریب القایی دو طرفه (M)، در ابتدا بایستی شار مغناطیسی عبور کرده از حلقه‌ مستطیلی را محاسبه کرد. همان‌گونه که در مطلب مقدمه میدان مغناطیسی نیز عنوان شد، میدان مغناطیسی ناشی از سیم حامل جریان در فاصله r از آن برابر با $$B \enspace =\enspace \mu_0I/2 \pi r $$ است که با استفاده از قانون آمپر بدست آمده. نهایتا کل شار عبوری از سطح مستطیلی شکل را می‌توان با استفاده از انتگرال‌گیری روی دیفرانسیل dA=ldr،‌ به شکل زیر بدست آورد.

القاگر

در نتیجه ضریب القایی متقابل برابر است با:

Inductance

در مطالب آینده در مورد کاربرد مفهوم ارائه شده در مدارات RC ،RL و RLC صحبت خواهیم کرد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی برق و فیزیک آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

مجید عوض زاده (+)

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

بر اساس رای 5 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *