پیش از این در بلاگ فرادرس در مورد اصول ترمودینامیک صحبت کردیم. اکنون قصد داریم تا در مورد نحوه محاسبه آنتروپی و هم‌چنین مسائلی بحث کنیم، که احتمالا در آزمون‌های مربوط به دروس ترمودینامیک و فیزیک، با آن‌ها مواجه خواهید شد. بدین منظور در ابتدا توضیح مختصری درباره قوانین ترمودینامیک خواهیم داد سپس در مورد خاصیت آنتروپی صحبت خواهیم کرد.

قانون اول ترمودینامیک

سیستمی را فرض کنید که مبادله حرارت با محیط اطراف انجام داده و کاری نیز روی آن صورت گرفته است. قانون اول ترمودینامیک بیان می‌کند که برای چنین سیستمی، افزایش انرژی، معادل با حاصل جمع حرارت اضافه شده به آن و کار صورت گرفته روی سیستم مفروض است. بر مبنای آزمایشات صورت گرفته، دو خاصیت جدید را می‌توان برای یک سیستم ترمودینامیک، تحت عنوان انرژی درونی و دما تعریف کرد. رابطه میان این دو پارامتر، خاصیت جدیدی تحت عنوان آنتروپی را بوجود می‌آورد. در ادامه به‌طور مفصل در مورد این خاصیت صحبت خواهیم کرد.

first-law

قانون دوم ترمودینامیک

تصور کنید فنجانی قهوه ۸۰ درجه را در اتاقی با دمای 2۵ درجه قرار داده‌اید. بدیهی است که هیچ‌گاه این فنجان قهوه گرم‌تر نخواهد شد و با گذشت زمان قطعا دمای آن افت خواهد کرد. حال فرآیندی عکس آن را در نظر بگیرید. تصور کنید با گذاشتن این فنجان در اتاق، دمای آن با گذشت زمان افزایش می‌یابد. این فرآیند قانون اول ترمودینامیک را نقض نمی‌کند،‌ اما واضح است که هیچ‌گاه اتفاق نخواهد افتاد. به‌راستی چرا هیچ‌گاه فنجان گرم‌تر نمی‌شود؟ چرا با گذشت زمان جوان‌تر نمی‌شویم؟ چرا مواد در بیرون از یخچال پس از مدتی فاسد می‌شوند.

برای اتفاق افتادن یک فرآیند، تنها صادق بودن قانون اول کافی نیست. قانون دوم ترمودینامیک بیان می‌کند که هر فرآیند تنها در یک جهت پیش می‌رود. به‌شکلی کمی‌تر، ‌قانون دوم ترمودینامیک بیان می‌کند که هر فرآیند در جهتی پیش می‌رود که خاصیتی تحت عنوان آنتروپی در سیستم افزایش یابد.

همچنین این قانون می‌گوید که برای هر سیستمی که در تعادل ترمودینامیکی خود است، این خاصیت را می‌توان برایش تعریف کرد. اگر این سیستم، فرآیندی برگشت‌پذیر را تجربه کند، تغییرات آنتروپی در آن برابر با مقدار زیر است.

entropy-1

در این معادله T دمای مطلق سیستم و dQ مقدار حرارت جزئی منتقل شده است. آنتروپی سیستمی که عایق حرارتی شده، تحت هیچ شرایطی کاهش نخواهد یافت و تنها در حالتی ثابت می‌ماند که سیستم فرآیندی برگشت‌پذیر را تجربه کند.

second-law
قانون دوم بیان می‌کند که هر فرآیند همواره در یک جهت به‌پیش می‌رود.

ترکیب قوانین اول و دوم ترمودینامیک

قانون اول را می‌توان به شکل زیر بیان کرد:

entropy-2
رابطه 1

توجه داشته باشید که در این معادله، dU ،dQ و dW به ترتیب برابر با حرارت وارد شده به سیستم، تغییرات انرژی درونی و کار انجام شده توسط سیستم هستند. برای این فرآیند برگشت‌پذیر روابط زیر قابل بیان هستند.

entropy-3

entropy-4

با جایگذاری این مقادیر در رابطه شماره 1 داریم:

entropy
رابطه 2

این معادله همواره برقرار است،‌ چراکه ارتباط میان خواص یک سیستم را بیان می‌کند؛ بنابراین این رابطه مستقل از مسیر فرآیند خواهد بود.

با تعریف خاصیت جدیدی تحت عنوان «آنتالپی» (Enthalpy)، این رابطه را می‌توان به شکل زیر نشان داد.

first-law

آنتالپی نیز همانند آنتروپی خاصیت ترمودینامیکی سیستم محسوب می‌شود.

محاسبه تغییرات آنتروپی

به‌منظور درک بهتر مفهوم آنتروپی، قصد داریم تا تغییرات این خاصیت را در چندین فرآیند مورد بررسی قرار دهیم.

محاسبه تغییرات آنتروپی در گازهای ایده‌آل

در بسیاری از کاربردها همچون هوافضا، دینامیک گاز و … با فرآیندهایی روبرو هستیم که در آن‌ها از گاز ایده‌آل به عنوان سیال کاری استفاده شده است.

صورت مسئله: فرض کنید گازی ایده‌آل، فرآیندی را تجربه می‌کند که دمای آن از T1 به T2 و حجم آن از V1 به V2 تغییر کرده. تغییر آنتروپی گاز مدنظر چقدر است؟

برای یک گاز ایده‌آل، تغییرات انرژی درونی برابر است با:

entropy

با جایگذاری این تغییر در معادله شماره 2، داریم:

entropy
رابطه 3

همان‌طور که از ترمودینامیک به یاد دارید برای یک گاز ایده‌آل، رابطه‌ای تحت عنوان «معادله حالت» (Equation of State) را می‌توان به شکل زیر نوشت:

PV=RT

با جایگذاری معادله حالت، در رابطه 3 خواهیم داشت:

entropy

با انتگرال‌گیریِ معادله از 1 تا 2، تغییر آنتروپی به صورت زیر بدست می‌آید.

entropy

با محاسبه انتگرال خواهیم داشت:

entropy

توجه داشته باشید که این معادله تغییر آنتروپی سیستمی را نشان می‌دهد که فرآیندی آدیاباتیک را تجربه کرده. با تعریف γ=cp/cv و استفاده از معادله حالت، افزایش آنتروپی را می‌توان بر حسب تغییرات فشار و حجم، به‌شکل زیر حساب کرد.

entropy

طبق این معادله، هرگاه در فرآیندی این تغییرات را معادل با صفر قرار دهیم، به عبارت زیر خواهیم رسید.

entropy

این رابطه نشان‌دهنده فرآیندی پلی‌تروپیک است که در مطلب سیکل‌های ترمودینامیکی در مورد آن بحث کردیم.

ideal gas
معادله حالت، رابطه‌ای پرکاربرد در توصیف گازهای ایده‌آل است.

محاسبه تغییرات آنتروپی

در این قسمت قصد داریم تا تغییرات آنتروپی در فرآیندهای خاصی را مورد بررسی قرار دهیم.

1. مبادله حرارت با یک منبع حرارتی

منبع حرارتی، بخشی از یک سیستم ترمودینامیکی محسوب می‌شود که تولید کننده یا مصرف کننده انرژی است. شکل زیر یک منبع حرارتی و انرژی‌های مبادله شده با محیط را نشان می‌دهد. توجه داشته باشید که دمای منبع مذکور، ثابت در نظر گرفته می‌شود. با فرض انتقال حرارتی برگشت‌پذیر با منبع، تغییرات آنتروپی را می‌توان به‌شکل زیر بیان کرد.

entropy

reservior
یک منبع حرارتی در حال مبادله انرژی با محیط

2. انتقال حرارت میان دو منبع حرارتی

به منظور محاسبه تغییرات آنتروپی دو منبع حرارتی که در حال مبادله انرژی با یکدیگر هستند، مجموع تغییرات آنتروپی هر دوی آن‌ها بایستی محاسبه شود. مطابق با شکل زیر، دو منبع حرارتی را با دمای TH و TL در نظر بگیرید. فرض کنید دمای TH از TL بیشتر باشد. بدیهی است که این اختلاف دما منجر به انتقال حرارتی از منبع بالا به پایین خواهد شد.

heat-reservior

می‌توان تغییر آنتروپی کلی را برای چنین سیستمی به‌ شکل زیر محاسبه کرد.

entropy

قانون دوم بیان می‌کند که برای یک سیستم این حاصل جمع بایستی بیشتر و یا مساوی صفر باشد. این معادله همان یک‌طرفه بودن فرآیندها را نشان می‌دهد.

3. آیا می‌توان تنها با مبادله حرارت با یک منبع حرارتی کار تولید کرد؟

مطابق با شکل زیر تک‌ منبعی را فرض کنید که در حال مبادله حرارت با محیط است. فرض کنید کلِ حرارت مبادله شده با محیط اطراف، برابر با Q باشد.

single-reservior

همان‌گونه که در بالا نیز بیان شد، تغییرات کل آنتروپی، برابر با حاصل جمع تغییرات آنتروپی تمامی سیستم‌ها است؛ بنابراین می‌توان این تغییر کلی را به شکل زیر محاسبه کرد.

entropy

entropy

مقدار بدست آمده کمتر از صفر است؛ در نتیجه هیچ‌گاه چنین فرآیندی رخ نخواهد داد، چراکه قانون دوم ترمودینامیک را نقض کرده. این همان مفهومی است که تحت عنوان بیان کلوین-پلانک شناخته می‌شود.

4. محاسبه تغییر آنتروپی دو جسم که به تعادل حرارتی می‌رسند

مطابق شکل زیر، دو جسم را تصور کنید که در دمای اولیه TH و TL قرار دارند. اگر این دو جسم در تماس با یکدیگر قرار گیرند، بدیهی است که پس از گذشت مدت زمانی به تعادل حرارتی می‌رسند؛ در این شرایط دمای آن‌ها با یکدیگر برابر خواهد شد.

entropy

دمای تعادلِ دو جسم را برابر با TM در نظر بگیرید. توجه داشته باشید که این فرآیند، بازگشت‌پذیر نیست؛ در حقیقت انتقال حرارت صورت گرفته از بینهایت فرآیند بازگشت‌پذیر، به نحوی تشکیل شده که در هر مرحله، دمای هر دو جسم به اندازه dT تغییر کرده. انرژی مبادله شده در هر‌یک از این مراحل را می‌توان برابر با dQ=CdT در نظر گرفت. در نتیجه تغییر آنتروپی جسم داغ، برابر است با:

entropy

به همین شکل این تغییر برای جسم سرد را می‌توان به شکل زیر محاسبه کرد.

entropy

نهایتا تغییر آنتروپی کل سیستم، به صورت حاصل جمع این دو مقدار و با استفاده از رابطه زیر حساب می‌شود.

entropy

همان‌طور که معادله بالا نشان می‌دهد، تغییر آنتروپی این فرآیند، همواره بیشتر از صفر است؛ بنابراین فرآیند مذکور، برگشت‌پذیر خواهد بود.

3. تغییر آنتروپی در انبساط آزاد گاز ایده‌آل

فرض کنید مطابق با شکل زیر، گازی در یک محفظه عایق قرار گرفته که توسط شیری از یک محیط خلا جدا شده است.

free-expansion

ناگهان شیر بازه شده و گاز در کل محفظه منبسط می‌شود. بدلیل عایق بودن سیستم، انتقال حرارتی رخ نمی‌دهد، در نتیجه دما و انرژی درونی سیستم ثابت می‌ماند (U و T = ثابت). حال می‌خواهیم تغییر آنتروپی این فرآیند را محاسبه کنیم. با استفاده از معادله شماره 3، این تغییر به شکل زیر محاسبه خواهد شد.

entropy

با عایق بودن سیستم، دما ثابت بوده، بنابراین انرژی درونی نیز تغییر نمی‌کند (ΔU=0). در نتیجه معادله بالا را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد.

entropy

از طرفی به دلیل این‌که در سمت دیگر محفظه، گازی وجود ندارد، کاری نیز صورت نمی‌گیرد و تغییر آنتروپی اطراف برابر با صفر است (اطرافΔS). حال می‌توان با جمع زدن این مقادیر، تغییرات کلی آنتروپی را به شکل زیر محاسبه کرد.

entropy

همان‌طور که محاسبه شد، آنتروپی کلی افزایش یافته؛ بنابراین فرآیند مفروض برگشت‌ناپذیر است.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده، احتمالا آموزش‌های زیر نیز می‌توانند برایتان کاربردی باشند:

^^

بر اساس رای 4 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *