قانون هوک — به زبان ساده

۱۹۳۷۶ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۵ مهر ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۶ دقیقه
قانون هوک — به زبان ساده

زمانی که وارد جایی می‌شوید و در بعد از باز شدن آرام بسته می‌شود، فنرها وارد عمل شده‌اند. بسیاری از وسیله‌های ورزشی نیز که برای قوی شدن عضلات خود استفاده می‌کنید از فنر استفاده می‌کنند. به صورت کلی باید گفت فنرها کاربرد زیادی در زندگی روزمره انسان دارند. اولین بار فیزیکدان انگلیسی «رابرت هوک» رفتار فنر را بررسی کرد، به همین دلیل نام این فیزیکدان با فنر عجین شده است و عموم فیزیکدانان قانون فنر را به عنوان قانون هوک می‌شناسند. در این آموزش قوانین حاکم بر فنرها را بررسی خواهیم کرد.

997696

نیروی فنر

اگر نیرویی سبب شود که فنری به اندازه xx از نقطه تعادل خود جابه‌جا شود، فنر در مخالفت با نیروی وارد شده نیرویی خلاف جهت جابه‌جایی خود وارد می‌کند تا دوباره به حالت تعادل بازگردد. بیان ریاضی قانون هوک به صورت زیر نوشته می‌شود:

F=kx\large F=-kx

علامت منفی نشان ‌دهنده مخالفت فنر با جابه‌جایی صورت گرفته در آن، xx جابه‌جایی فنر از حالت تعادل و kk ثابت فنر است. همان گونه که از رابطه بالا مشخص است، هر چه جابه‌جایی فنر بیشتر باشد نیروی فنر از نظر مقدار بزرگتر می‌شود و مخالفت بیشتری با نیروی خارجی وارد شده نشان خواهد داد. kk یا ثابت فنر در قانون هوک بستگی به شکل و جنس فنر دارد. این ثابت نشان دهنده میزان سخت بودن فنر بوده و واحد آن Nm\frac{N}{m} یا Ncm\frac{N}{cm} است.

قانون هوک
شکل ۱: در حالت (الف)، یک فنر در حالت سکون با طول xx نمایش داده شده است. در حالت (ب)، شخصی نیرویی برابر با FF را به فنر وارد می‌کند و باعث می‌شود فنر به اندازه Δx\Delta x جابه‌جا شود. مقدار این جابه‌جایی توسط خط‌کش یا متر قابل اندازه‌گیری است که در حالت (ج) نشان داده شده است.

ترکیب فنرها

واضح است که در ابزاری که با فنر کار می‌کنند، یک فنر به کار نرفته و ترکیب چندین فنر باعث به وجود آمدن یک عملکرد نهایی شده است. به همین دلیل مهم است بدانیم زمانی که دو یا چند فنر در سیستم قرار می‌گیرند ثابت فنر‌ها به صورت مجموع، چگونه محاسبه می‌شود.

ترکیب سری فنرها

اگر فنرها پشت سر یکدیگر قرار گیرند، یک ترکیب سری از فنرها را داریم. در این حالت ثابت فنر حاصل برابر است با:

1k=1k1+1k2+\large \frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+\cdot\cdot\cdot

مشخص است که در این حالت فنر حاصل از ترکیب فنرها، ثابتی کوچکتر از ثابت هر یک از فنرها دارد.

ترکیب سری
شکل ۲: ترکیب دو فنر به صورت سری

ترکیب موازی فنرها

اگر فنرها روبه‌روی یکدیگر قرار گیرند، یک ترکیب موازی از آنها داریم. در این حالت ثابت فنر حاصل برابر است با:

k=k1+k2+\large k=k_1+k_2+\cdot\cdot\cdot

مشخص است که در این حالت فنر حاصل از ترکیب فنرها، ثابتی بزرگتر از ثابت هر یک از فنرها دارد.

ترکیب موازی
شکل ۳: ترکیب دو فنر به صورت موازی

انرژی پتانسیل کشسانی

نیروی فنر یک نیروی پایستار است، به این معنی که بزرگی آن به مسیر حرکت بستگی ندارد. با استفاده از قضیه کار و انرژی، انرژی پتانسیل کشسانی فنر به صورت زیر به دست می‌آید:

U=Fdx=xixfkx dx=12k(xf2xi2)\large U=-\int F dx=\int_{x_{i}}^{x_{f}}kx\ dx=\frac{1}{2}k(x_f^2-x_i^2)

نوسان فنر

اگر یک فنر فشرده یا کشیده شود، حرکت نوسانی انجام می‌دهد (از نیروهایی مانند اصطکاک یا مقاومت هوا صرف‌نظر می‌کنیم). نوسان جسمی به جرم mm که از فنری آویزان شده است را می‌توان با کمک قانون دوم نیوتن بررسی کرد و به صورت زیر نوشت:

mx¨=ma=F=kx\large m\ddot{x}=ma=F=-kx

حرکت نوسانی فنر
شکل ۴: نیروی مقاوم فنر با نیروی گرانش مخالفت می‌کند.

در نتیجه، معادله حرکت جسمی به جرم mm که از فنری با ثابت kk آویزان شده، برابر است با:

x¨+kmx=0(1)\large\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0\quad\quad (1)

دقت کنید که از رابطه میان مکان و شتاب در روابط بالا کمک گرفته‌ایم. معمولاٌ در فیزیک نمادگذاری km=ω02\frac{k}{m}=\omega_0^2 را در نظر می‌گیریم و به ω02\omega_0^2 فرکانس طبیعی سیستم می‌گوییم. جواب معادله (۱) به صورت زیر به دست می‌آید:

x(t)=Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)(2)\large x(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t) \quad\quad (2)

که مقدار AA و BB با توجه به شرایط مرزی مسئله قابل محاسبه است. معادله (۲) را در فیزیک معادله نوسانگر هماهنگ ساده می‌نامیم. واضح است که به دلیل وجود نیروهای میرا، این نوسان تا ابد ادامه نمی‌یابد و بعد از مدت زمانی متوقف می‌شود. در حقیقت نوسان فنر، یک نوسان میرا است.

نقاط کمینه پتانسیل و اختلالات کوچک

اگر به یک سیستم فیزیکی با تعادل پایدار، اختلال کوچکی وارد شود، شروع به نوسان حول نقطه تعادل کرده که این نوسان به خوبی توسط قانون هوک توضیح داده می‌شود.

سیستم‌های دارای تعادل پایدار
شکل ۴: نمودار آبی رنگ، تغییرات انرژی برای یک سیستم فیزیکی است. نمودار قرمز رنگ، تغییرات پتانسیل آونگ ساده حول نقطه تعادل است.

نمودار شکل (۴)، تغییرات انرژی پتانسیل بر حسب مکان جسم را نشان می‌دهد. نقطه کمینه انرژی پتانسیل در این نمودار را «چاه ‌پتانسیل» (Potential Well) می‌نامیم (هر نقطه کمینه پتانسیل چاه نیست، نقاط کمینه‌ای از پتانسیل را چاه می‌نامیم که همانند چاه، حالت مقعر شکل داشته باشند و جسم بدون داشتن انرژی جنبشی کافی، نتواند چاه ‌پتانسیل را ترک کند. چاه پتانسیل را یک نقطه تعادل پایدار می‌گوییم). از نمودار آبی می‌توان دریافت کرد که جسم انرژی جنبشی کافی برای فرار از چاه پتانسیل را ندارد و در اطراف همین نقطه حرکت می‌کند. اگر نقطه x0x_{0} را مکان نقطه تعادل پایدار در شکل (۴) در نظر بگیریم و اختلال کوچکی به سیستم وارد کنیم، سیستم شروع به نوسان حول چاه ‌پتانسیل می‌کند. اگر پتانسیل را حول نقطه x0x_{0} بسط دهیم، داریم:

U(x)U(x0)+12(xx0)2d2Udx2x=x0(3)\large U(x) \approx U(x_0) + \left. \frac12 (x-x_0)^2 \frac{d^2 U}{dx^2} \right|_{x=x_0}\quad\quad (3)

عبارت دوم سمت راست معادله (۳)، نمایانگر تغییرات انرژی پتانسیل بر حسب مکان است. اگر کمی به این عبارت دقت کنید، شباهت زیادی بین این جمله و انرژی پتانسیل کشسانی فنر خواهید یافت. انرژی پتانسیل کشسانی فنر را برابر با 12kx2\frac{1}{2}kx^2 به دست آوردیم، در معادله (۳) نیز جمله دوم بسط تیلور برابر با 12(xx0)2d2Udx2\left. \frac12 (x-x_0)^2 \frac{d^2 U}{dx^2}\right. است. پس در حقیقت می‌توان گفت جسمی که در چاه پتانسیل دچار اختلال کوچکی شود، مانند حالتی که فنری در سیستم وجود دارد، حول نقطه تعادل شروع به نوسان می‌کند و این نوسان از قانون هوک پیروی خواهد کرد.

برای سیستم‌های چند‌ ذره‌ای، جرم سیستم را به صورت جرم کاهیده و به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

1μ=1m1+1m2+\large \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} + \cdots

بدین ترتیب، برای این نوسان، فرکانس طبیعی حرکت برابر است با:

ω=1μd2Udx2x=x0\large \omega = \sqrt{\frac{1}{\mu} \left. \frac{d^2 U}{dx^2} \right|_{x=x_0}}

برای فهم بیشتر مطالب گفته شده، این مطلب را با حل چند مثال به پایان می‌رسانیم.

مثال‌هایی از قانون هوک

مثال ۱: با استفاده از قانون هوک و یک فنر که از قانون هوک پیروی می‌کند، چگونه می‌توان جرم یک جسم را محاسبه کرد؟

حل: جسمی که می‌خواهیم جرم آن را محاسبه کنیم به صورت عمودی از فنری با طول اولیه xx آویزان می‌کنیم، بعد از آویزان کردن جسم به دلیل نیروی گرانش که به جسم وارد می‌شود طول فنر به اندازه Δx\Delta x افزایش می‌یابد. با استفاده از قانون دوم نیوتن داریم:

mg=k Δxm=kΔxg\large mg=-k\ \Delta x\rightarrow m=|\frac{-k\Delta x}{g}|

مثال ۲: جسمی به جرم mm به فنری با ثابت kk متصل شده که آن را به اندازه xx از حالت تعادل جابه‌جا کرده و باعث نوسان فنر می‌شود. بیشترین سرعتی که این جسم تجربه می‌کند، چه قدر است (از نیروی مقاومت هوا صرف نظر کنید)؟

حل: با استفاده از اصل پایستگی انرژی، انرژی جنبشی و انرژی کشسانی فنر داریم:

12mv2=12kx2\large \frac12 mv^2 = \frac12 kx^2

v=xkm\large \rightarrow v=x\sqrt{\frac{k}{m}}

مثال ۳: جسمی به جرم mm به دو فنر که ثابت هر یک از آن‌ها kk است مانند شکل زیر متصل شده است. اگر این جسم باعث بیشترین جابه‌جایی LL در سیستم شود، معادله حرکت جسم بر حسب زمان چگونه است؟

جسم متصل شده به فنر
شکل ۵: جسمی که از دو فنر که به صورت موازی به یکدیگر متصل شده‌اند، آویزان شده است.

حل: معادله حرکت نوسانی فنر به صورت زیر به دست آمد:

x(t)=Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)\large x(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t)

از طرفی چون فنرها به صورت موازی با یکدیگر ترکیب شده‌اند، ثابت کل فنر برابر است با:

k=k1+k22k\large k=k_1+k_2\rightarrow2k

و معادله حرکت به صورت زیر تغییر می‌کند:

x(t)=Acos(2kmt)+Bsin(2kmt)\large x(t)=A\cos(\sqrt{\frac{2k}{m}}t)+B\sin(\sqrt{\frac{2k}{m}}t)

برای حل این مسأله، مبدأ زمان را لحظه‌ای در نظر می‌گیریم که جسم در پایین‌ترین نقطه قرار دارد و به اندازه LL جابه‌جا شده است، در این صورت داریم:

x(0)=Lx˙(0)=0\large x(0)=L\quad\quad \dot{x}(0)=0

اگر معادله حرکت و مشتق معادله حرکت نسبت به زمان (یعنی سرعت) را برای لحظه صفر برای این سیستم بنویسیم، ثابت‌های AA و BB به راحتی به دست می‌آیند:

x(0)=A=Lx˙(0)=B2km=0B=0\large x(0)=A=L\quad\quad \dot{x}(0)=B\sqrt{\frac{2k}{m}}=0\rightarrow B=0

و معادله حرکت این سیستم به صورت زیر محاسبه می‌شود:

x(t)=Lcos(2kmt)\large x(t) = L\cos \left(\sqrt{\frac{2k}{m}}t \right)

مثال ۴: پتانسیل لنارد-جونز را به صورت زیر در نظر بگیرید:

U=ϵ[(rmr)122(rmr)6]\large U = \epsilon \left[ \left(\frac{r_m}{r} \right)^{12} - 2\left( \frac{r_m}{r} \right)^6 \right]

که ϵ\epsilon عمق چاه پتانسیل را مشخص می‌کند و rmr_{m} عمیق‌ترین نقطه در چاه پتانسیل است. فرکانس طبیعی نوسانات مربوط به حرکت دو جسم با جرم‌های mm حول نقطه تعادل چاه پتانسیل چه‌قدر است؟

حل: با توجه به اینکه سیستم از دو جسم با جرم های مساوی تشکیل شده است، جرم کاهیده برابر با μ=m2 \mu = \frac{m}{2} است. اگر معادله‌ پتانسیل را حول نقطه تعادل یعنی rmr_{m} تا مرتبه دوم بسط دهیم، داریم:

U(r)ϵ+36ϵrm2(rrm)2\large U(r) \approx -\epsilon + 36 \frac{\epsilon}{r_m^2} (r-r_m)^2

با در نظر گرفتن جمله دوم این بسط و رابطه ω0=1μd2Udx2\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{\mu} \left. \frac{d^2 U}{dx^2} \right.} فرکانس به صورت زیر به دست می‌آید:

ω0=2m72ϵrm2=12rmϵm\large \omega_0 = \sqrt{\frac{2}{m} 72 \frac{\epsilon}{r_m^2}} = \frac{12}{r_m} \sqrt{\frac{\epsilon}{m}}

بر اساس رای ۶۱ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
BRILLIANTOpen OreganSocratic Q&A
۲۲ دیدگاه برای «قانون هوک — به زبان ساده»

سلام و تقدیم احترام دارم خانم دکتر
همینطور که میدانیم وزن اجسام در اب نصف می شود
چطور می تونیم از خاصیت فنر برای کاهش وزن اجسام استفاده کنیم
ایا امکان پذیر هست؟

سلام/
فرض کنیم یه نیروی یک نیوتونی به فنر { به صورت ثابت وارد کنیم}
طبق قانون هوک نیروی عکس العملی که فنر میده نباید یک باشه و بستگی به اینکه در اون لحظه جابجایی چقدره نیرو وارد میشه
این به این معنیه که نیروی فنر با نیروی عکس العمل فرق داره و از یه جنس دیگست؟

با سلام،
با توجه به قانون هوک، نیروی لازم برای فشرده کردن یا فشردن فنر به اندازه x، متناسب با x است. به این نکته توجه داشته باشید که نیروی عکس‌العمل پس از رها کردن فنر ، بر آن وارد می‌شود.
با تشکر از همراهی شما با مجله فرادرس

چگونه از انتگرال kxdx به -1/2k*(Xf**2-Xi**2) رسیدسم؟

سللم ببخشید چرا توی این فرمولF=kx میتونیم جای x بنویسیم دلتاx ؟
مگه برای بدست آوردن تغییرات نباید از دو طرف انتگرال بگیریم

سلام و روز شما به خیر؛

اگر نقطه ابتدایی حرکت فنر را x=0x=0 در نظر بگیریم می‌توانیم در روابط به جای Δx\Delta x از xx استفاده کنیم.

از اینکه با فرادرس همراه هستید خرسندیم.

سلام
با افزایش شعاع حلقه فنر ثابت فنر بزرگتر می شود یا کوچکتر چرا؟؟؟

سلام و روز شما به خیر؛

ثابت فنر و مکعب شعاع آن به صورت معکوس با یکدیگر رابطه دارند (k1r3k\propto \frac{1}{r^3}) و بدین ترتیب با افزایش شعاع، ثابت فنر کاهش می‌یابد.

از اینکه با فرادرس همراه هستید خرسندیم.

درود بر شما. چرا توی فرمول نیوتن و قضیه تغییرات انرژی جنبشی هماهنگی وجود نداره؟ فرض میکنیم که وزنه ای از فنر اویزون بشه و با سرعت ثابت بیاد پایین داریم (F مال نیروی وزن وزنه هست):

F – kx =0

حالا بخواییم اینا رو تبدیل به انرژی کنیم باید هر نیرو رو ضربدر جابجایی کنیم که بشه:

F.x – kx.x = 0

اما طبق قضیه کار و انرژی برای نیروی وزن و فنر داریم:

F.x – 1/kx^2 = 0

که اینجا اون یک دوم کار رو خراب میکنه. مثلا وقتی میخواییم جابجایی رو پیدا کنیم از طریق قانون نیوتن یه چیزی میاد که نصف حالتیه که با قضیه کار و انرژی میریم جلو!!!

سلام و روز شما به خیر؛

ایراد کار شما در این است که بین به دست آوردن کار در نیروهای متفاوت تمایزی قائل نشده‌اید. به این معنی که بر اساس تعریف کار این مفهوم برای نیروی ثابتی مانند وزن برابر با نیرو در جابه‌جایی است، اما همین مفهوم برای نیروی متغیر که با فاصله تغییر می‌کند مانند نیروی فنر برابر با F.dx\int F.dx است و به همین ترتیب ضریب 12\frac{1}{2} در رابطه به وجود می‌آید و هماهنگی مورد نظر شما کسب می‌شود.

از اینکه با فرادرس همراه هستید خرسندیم.

معادله حرکت فنر یک m اضافه ندارد؟

سلام و روز شما به خیر؛

از دقت نظر شما سپاسگزاریم معادله مورد اشاره بررسی و اصلاح شد.

از اینکه با فرادرس همراه هستید خرسندیم.

سلام اگر فنر نسبت به مبدا یک درجه انحراف پیدا کند .چند درصد خطا در محاسبه ضریب سختی داریم ؟ میشه حل کنید.

سلام می خواستم رابطه دوره تناوب فنری که به صورت سری بسته شده است چگونه است

سلام اگه وزنه متصل به فنر را داخل مایعی فرو ببریم ثابت فنر تغییر میکنه چرا

سلام و روز شما به خیر؛

در حقیقت ثابت فنر تغییر نمی‌کند بلکه نیروهایی که در این حالت به جسم متصل به فنر وارد می‌شوند تغییر می‌کنند. زیرا در این حالت غیر از نیروی فنر و وزن جسم نیروی شناوری نیز بر سیستم اثر می‌کند. بر آشنایی بیشتر با نیروی شناوری مطلب نیروی شناوری (Buoyant Force) چیست؟ را مطالعه کنید.

از اینکه با فرادرس همراه هستید خرسندیم.

سلام، یه سوال داشتم، وقتی فنر رو از حالت تعادل خارج میکنیم و بعد رها میکنیم، از لحظه‌ای که رهاش کردیم جابجایی و نیروی فنر در یک جهت میشن، پس چرا قانون هوک میگه نیروی فنر همواره خلاف جهت جابجایی فنره؟ ممنون میشم پاسخ بدین.

سلام و روز شما به خیر؛

زمانی که فنر را به سمت پایین می‌کشیم نیروی فنر به سمت بالا بر فنر وارد می‌شود و هنگامی که فنر به سمت بالا می‌رود نیروی فنر به سمت پایین است. در حقیقت بسته به جهت حرکت فنر نیروی فنر مشخص می‌شود و به همین دلیل است که براساس قانون هوک F=kΔxF=-k\Delta x است. یعنی نیروی هوک و جهت آن بنابر جهت جابه‌جایی فنر مشخص می‌شوند.

از این که با مجله فرادرس همراه هستید خرسندیم.

فکر کنم نیروی فنر یک نیروی پایستار باشه خانم دکتر

به فنری که ثابت آن ۱۰۰ N/m است ، جرم ۲ کیلوگرم آویخته ایم ….
افزایش طول فنر در شرایط ذیل :
۱ . فنر به آرامی رها گردد .
۲. فنر یک مرتبه رها گردد .

سلام؛

بله این موضوع به اشتباه در مطلب بیان شده بود و اصلاح شد.

از اینکه با مجله فرادرس همراه هستید خرسندیم.

ممنون از مقاله کاملتون استفاده کردیم

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *