علوم پایه , فیزیک 197 بازدید

احتمالا فیلم‌های علمی را مشاهده کرده‌اید. شاید این سوال برایتان پیش آمده باشد که در یک سفینه‌ فضایی، نیروی گرانشی به چه شکل ایجاد می‌شود؟ هم‌چنین فرض کنید که در ماشینی قرار گرفته‌اید که با سرعتی بالا یک پیچ را دور می‌زند. بدیهی است که نیرویی در هنگام دور زدن احساس می‌کنید. آیا می‌دانید منشا این نیرو چیست؟ در این مطلب قصد داریم تا در قالب مفهوم حرکت دایره ای به این سوالات پاسخ دهیم. البته پیشنهاد می‌شود قبل از مطالعه این مطلب، مطالب شتاب، سرعت و بردار را مطالعه فرمایید.

تعریف حرکت دایره‌ ای

حرکت دایره‌ای یکنواخت به حرکتی گفته می‌شود که در آن یک جسم روی مسیری دایره‌ای با سرعتی ثابت در حرکت باشد. برای نمونه پره موتور جتی را در نظر بگیرید که با سرعتی ثابت در حال گردش است؛ یا حرکت چرخ و فلکی را تصور کنید که تعدادی از افراد نیز سوار بر آن هستند. در تمامی این مثال‌ها با حرکت دایره‌ای سروکار داریم.

حرکت دایره ای

همان‌طور که پیش‌تر نیز در وبلاگ فرادرس توضیح داده شد، شتاب زمانی وجود دارد که اندازه سرعت جسمی با گذشت زمان تغییر کند. بنابراین در این جا این سوال مطرح است که آیا در حرکت روی مسیر دایره‌ای، شتابی وجود دارد؟

پاسخ سوال فوق مثبت است. دلیل وجود داشتن شتاب، تغییر جهت سرعت با گذشت زمان است. به منظور درک بهتر، در ابتدا شکل زیر را در نظر بگیرید.

شکل 1

همان‌طور که در شکل فوق نیز می‌بینید، جهت بردار سرعت با گذشت زمان تغییر می‌کند. همین امر کافی است تا جسم، شتابی را روی خودش حس کند. به منظور بدست آوردن شتاب در حرکت دایره‌ای، در ابتدا رابطه مربوط به محاسبه شتاب را به صورت زیر یادآوری می‌کنیم.

$$ \large \overrightarrow { a } =\lim _{ { \Delta t } \to 0 } { \frac { \Delta \overrightarrow { v } } { \Delta t } } = { \frac { d \overrightarrow { v } } { d t } } $$
رابطه 1

در رابطه فوق، المان‌ها به صورت برداری هستند. در بخش بعد از این فرمول استفاده کرده و شتاب را برای حرکت دایره‌ای بدست می‌آوریم.

شتاب مرکزگرا

در سینماتیک یک‌بعدی، اجسامی با سرعت ثابت، شتابی ندارند. اما در حرکت دایره‌ای به دلیل تغییر جهت سرعت با زمان، شتاب نیز وجود دارد. در ابتدا مطابق با شکل 1 ذره‌ای را در نظر بگیرید که روی مسیری دایره‌ای در حال حرکت است. همان‌طور که می‌بینید سرعت در لحظه t برابر با $$ \overrightarrow { v } ( t ) $$ و در لحظه $$ t + \Delta t $$ معادلِ $$ \overrightarrow { V } ( t + \Delta t ) $$ در نظر گرفته شده.

فرض کنید اندازه سرعت با V و اندازه شعاع با r نمایش داده شود. در این صورت می‌توان تناسب زیر را بین سرعت و شعاع نوشت.

$$ \large \frac { \Delta \overrightarrow {v} } { V } = \frac { \Delta \overrightarrow {r} } { r } $$

با استفاده از تناسب فوق، شتاب مرکزگرا به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \large a = \lim _ { \Delta t \rightarrow 0 } \left ( \dfrac { \Delta \overrightarrow v } { \Delta t } \right ) = \frac { V } { r } \left ( \lim _ { \Delta t \rightarrow 0 } \dfrac { \Delta \overrightarrow r } {\Delta t } \right ) = \frac {V ^ 2 } { r } $$

جهت بردار شتاب نیز در جهت $$ { \Delta \overrightarrow { r } } $$ است. از طرفی این بردار به خود V عمود است. بنابراین بردار شتاب به سمت مرکز دایره است. به همین دلیل به این شتاب مرکزگرا و نیروی ناشی از این شتاب، نیروی مرکزگرا گفته می‌شود. نهایتا شتاب مرکزگرا برابر است با:

$$ \large a _ { C } = \frac { v ^ { 2 } } { r } $$

اگر جرم جسم یا ذره در حال حرکت برابر با m باشد، در این صورت نیروی ناشی از شتاب مرکزگرا برابر است با:

$$ \large a _ { C } = m \frac { v ^ { 2 } } { r } $$
رابطه 2

توجه داشته باشید که نیروی گریز از مرکز متفاوت با نیروی مرکزگرا است (البته مقدار آن‌ها در حرکت دایره‌ای یکنواخت برابر است). برای نمونه در هنگام چرخش زمین به دور خورشید نیرویی از جانب خورشید به آن وارد می‌شود که منجر به ثابت ماندن مدار زمین به دور خورشید خواهد شد. یا در حرکت ماه به دور زمین نیز نیرویی مشابه به ماه وارد می‌شود.

Circular-Motion

حال برمی‌گردیم به سوالی که در مقدمه این مطلب، طرح شد. سوال این بود که در سفینه‌های فضایی به چه شکل نیروی گرانشی ایجاد می‌شود؟ پاسخ در چرخش سفینه است. اگر سفینه با سرعت ثابتی حول محور مشخصی دوران کند، نیرویی به اجزاء درون آن وارد می‌شود که می‌تواند افراد و اجزا درون آن را به سطح سفینه بچسباند.

Circular-Motion

در انیمیشن زیر نیز مکانیزم تولید گرانش مصنوعی در سفینه فوق نشان داده شده است. همان‌طور که می‌بینید نقطه قرمز رنگ نیرویی را روی خودش احساس می‌کند که باعث می‌شود در صورت جدا شدن از سطح، دوباره به سمت آن بازگردد.

Artificial-Gravity
مکانیزم تولید گرانش مصنوعی در سفینه یا ایستگاه فضایی

مثال 1

هواپیمای جتی را در نظر بگیرید که با سرعت $$ 1 3 4 . 1 \ m / s $$ در حال حرکت است. به منظور ایجاد شتاب g یا همان $$ 9 . 8 \ m / s ^ 2 $$ این جت دایره‌ای با کدام شعاع را باید طی کند؟

با برابر قرار دادن شتاب g با رابطه 2 داریم:

$$ \large a _ C = g = 9 . 8 = \frac { V ^ 2 } { r } \Rightarrow \ \ r = \frac { V ^ 2 } { g } $$

با جایگذاری مقادیر در عبارت بدست آمده در بالا داریم:

$$ \large r = \frac { (1 3 4 . 1 \ m / s)^2 } { 9 . 8 \ m / s ^ 2 } = 1835 \ m = 1 . 8 3 5 k m $$

بدیهی است که به منظور افزایش شتاب، یا شعاع منحنی باید کاهش یافته و یا سرعت جت باید افزایش یابد.

معادله حرکت دایره‌ای یکنواخت

حرکت دایره‌ای یک ذره را می‌توان با استفاده از تابعی برداری تعیین کرد. به منظور توضیح تابع توصیف کننده حرکت ذره، در ابتدا فرض کنید که ذره روی مسیری به شکل زیر در حرکت است.

Circular-Motion

با توجه به شکل فوق، تابع توصیف کننده موقعیت ذره را به صورت زیر نشان می‌دهند.

$$ \large \overrightarrow { r } ( t ) = A \cos \omega t \widehat { i } + A \sin \omega t \widehat { j } $$

$$ \omega $$ برابر با سرعت زاویه‌ای یا همان فرکانس زاویه‌ای است. واحد این کمیت نیز ثانیه/رادیان ($$ \frac { r a d } { s } $$) در نظر گرفته می‌شود. زاویه‌ای که ذره در هر لحظه با محور xها دارد، θ است که معادل با $$ \theta = \omega t $$ محاسبه می‌شود.

با توجه به رابطه $$ \theta = \omega t $$، می‌توان زمانِ یک دور زدنِ ذره را به صورت زیر محاسبه کرد.

$$ \large \theta = \omega t \Rightarrow 2 \pi = \omega t \Rightarrow T = \frac { 2 \pi } { \omega } $$

زمان T یا زمانی که طول می‌کشد تا ذره یک دور کامل بزند را دوره می‌گویند. البته می‌توان با استفاده از مشتق‌گیری از تابع $$ \overrightarrow { r } ( t ) $$ نیز سرعت و شتاب ذره را بدست آورد. برای نمونه رابطه برداری سرعت برابر است با:

$$ \large \overrightarrow { v } ( t ) = \frac { d \overrightarrow { r } ( t ) } { d t } = – A \omega \sin \omega t \hat { i } + A \omega \cos \omega t \hat { j } $$

هم‌چنین با مشتق‌گیری از رابطه بالا، مقدار شتاب در هر لحظه نیز به صورت زیر محاسبه می‌شود.

$$ \large \overrightarrow { a } ( t ) = \frac { d \overrightarrow { v } ( t ) } { d t } = – A \omega ^ { 2 } \cos \omega t \hat { i } – A \omega ^ { 2 } \sin \omega t \hat { j } $$

با توجه به سرعت و شتاب بدست آمده در بالا،‌ می‌توان دید که سرعت به مسیر دایره‌ایی مماس و شتاب نیز به مسیر عمود است.

مثال 2

یک پروتون با سرعت $$ 5 × 1 0 ^ { 6 } \ m / s $$ مسیری دایره‌ای به شعاع $$ r = 0 . 1 7 5 \ m $$ را طی می‌کند. در زمان t=0 موقعیت بردار پروتون برابر با $$ r = 0 . 1 7 5 \ m \ \widehat { i } $$ است. با این فرض موقعیت پروتون را در لحظه $$ t = 2 . 0 × 1 0 ^ { – 7 } s = 2 0 0 \ n s $$ بدست آورید. همچنین موقعیت ذره را در لحظه مذکور ترسیم کنید.

با توجه به اطلاعات بیان شده، دوره تناوب و فرکانس زاویه‌ای حرکت ذره برابرند با:

$$ \large T = \frac { 2 \pi r } { v } = \frac { 2 \pi ( 0 . 1 7 5 \; m ) } { 5 . 0 \times 1 0 ^ { 6 } \; m / s } = 2 . 2 0 \times 1 0 ^ { – 7 } \; s $$

$$ \large \omega = \frac { 2 \pi } { T } = 2.857 × 10 ^ {7} $$

در نتیجه موقعیت ذره در زمان $$ t = 2 . 0 × 1 0 ^ { – 7 } s = 2 0 0 \ n s $$ برابر است با:

$$ \large \begin {align*} \overrightarrow { r } ( 2 . 0 \times 1 0 ^ { – 7 } \; s) & = A \cos \omega ( 2 . 0 \times 1 0 ^ { – 7 } \; s ) \widehat { i } + A \sin \omega ( 2 . 0 \times 1 0 ^ { – 7 } \; s) \hat { j } \; m \\ & = 0 . 1 7 5 \cos ( 5 . 7 1 2 \; rad ) \hat { i } + 0 . 1 7 5 \sin ( 5 . 1 7 2 \; rad ) \widehat { j } \; m \\ & = 0 . 1 4 7 \widehat { i } – 0 . 0 9 5 \widehat{ j } \; m \ldotp \end{align*} $$

هم‌چنین با توجه به بردار بدست آمده در بالا،‌ موقعیت ذره در این لحظه به صورت زیر است.

Circular-Motion

حرکت دایره‌ای غیر یکنواخت

الزامی وجود ندارد که حرکت دایره‌ای با سرعت ثابت انجام شود. در حالتی که حرکت ذره روی مسیر به صورت شتابدار باشد، ذره دارای دو شتاب خطی و مرکزگرا است. شکل زیر را در نظر بگیرید که در آن ذره‌ای با سرعت متغیر روی مسیری دایره‌ای در حال حرکت است.

Circular-Motion

در حالت فوق، شتاب مماسی یا aT را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد.

$$ \large a _ { T } = \frac { d | \overrightarrow { v } | } { d t } $$

بنابراین تغییرات زمانی اندازه سرعت معادل با شتاب مماسی در نظر گرفته می‌شود. نهایتا شتاب مرکزگرای بیان شده در بخش قبل با شتاب بالا به صورتی که در ادامه آمده جمع می‌شوند:

$$ \large \overrightarrow { a } = \overrightarrow { a } _ { C } + \overrightarrow { a } _ { T } $$

توجه داشته باشید که دو شتاب بیان شده در بالا همواره نسبت به هم عمود هستند.

مثال 3

ذره‌ای روی مسیری دایره‌ای به شعاع r=2 در بازه زمانی t = 1.5 s تا t = 4.0 s در حال حرکت است. فرض کنید در بازه مذکور، سرعت خطی این ذره مطابق با رابطه زیر تغییر کند.

$$ \large v ( t ) = c _ { 1 } – \frac { c _ { 2 } } { t ^ { 2 } } , c _ { 1 } = 4 . 0 \; m / s , c _ { 2 } = 6 . 0 \; \ \ m \cdotp s $$

شتاب کلی ذره را در لحظه t=2s بیابید.

به منظور یافتن پاسخ در ابتدا باید سرعت را در لحظه t=2s بیابیم. سرعت در این لحظه برابر است با:

$$ \large v( 2 . 0 \; s ) = \left (4 . 0 – \dfrac { 6 . 0 } { ( 2 . 0 ) ^ { 2 } } \right ) m / s = 2 . 5 \; m / s $$

با بدست آمدن سرعت خطی، شتاب مرکزگرا نیز به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \large a _ { C } = \frac { v ^ { 2 } } { r } = \frac { ( 2 . 5 \; m / s ) ^ { 2 } } { 2 . 0 \; m } = 3 . 1 \; m / s ^ { 2 } $$

از طرفی شتاب مماسی برابر است با:

$$ \large a _ { T } = \Big | \frac { d \overrightarrow{ v } } { d t } \Big | = \frac { 2 c _ { 2 } } { t ^ { 3 } } = \frac { 1 2 . 0 } { ( 2 . 0 ) ^ { 3 } } m / s ^ { 2 } = 1 . 5 \; m / s ^ { 2 } $$

حال کافی است تا دو شتاب را همان‌طور که در ادامه محاسبه شده، به صورت برداری با یکدیگر جمع کنیم.

$$ \large | \overrightarrow { a } | = \sqrt { 3 . 1 ^ { 2 } + 1 . 5 ^ { 2 } } m / s ^ { 2 } = 3 . 4 4 \; m / s ^ { 2 } $$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه فیزیک، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای 2 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *