لگاریتم – مفاهیم پایه

۱۱ مرداد ۱۳۹۴ در دسته‌بندی اخبار و تازه ها نوشته مسعود عبدالرحیمی‎

logarithms-introduction

در ساده ترین حالت، یک لگاریتم پاسخ سوال زیر را می دهد:

 

چه تعداد از یک عدد را در خودش ضرب می کنیم تا عدد دیگری را بدست آوریم؟

مثال: چه تعداد از عدد ۲ را باید در هم ضرب کنیم تا عدد ۸ بدست بیاید؟

پاسخ: ۸ = ۲ × ۲ × ۲، پس باید ۳ بار ۲ را در خود ضرب کنیم تا عدد ۸ بدست آید.

پس لگاریتم برابر ۳ است.

چگونه لگاریتم را بنویسیم

عبارت “تعداد دفعاتی که ۲ را در خودش ضرب می کنیم تا عدد ۸ بدست آید، ۳ است” را به شکل زیر می نویسیم:

log2(8) = 3

پس این دو عمل باهم برابرند:

لگاریتم مفاهیم پایه

عددی که ضرب می کنیم، همان “پایه” است. پس می شود گفت:

  • “لگاریتم ۸ با پایه ۲ برابر است با ۳”
  • یا “لگاریتم پایه دو ۸ برابر است با ۳”
  • یا “پایه ۲ لگاریتم ۸ برابر است با ۳”

 

دقت کنید که با سه نوع عدد سر و کار داریم

  • پایه: عددی که ما ضرب می کنیم (در این مثال “۲” بود)
  • تعداد دفعاتی که عدد پایه را در خود ضرب می کنیم (۳ بار، که همان لگاریتم است)
  • عددی که می خواهیم در انتها بگیریم (عدد ” ۸ “)

 

مثال های بیشتر

مثال: لگاریتم زیر را حساب کنید.

log5(625)

سوال می پرسد: “چه تعداد ۵ باید در هم ضرب شوند تا عدد ۶۲۵ بدست آید؟”

۶۲۵ = ۵ × ۵ × ۵ × ۵، پس ما به ۴ تا پنج نیاز داریم.

پاسخ:

log5(625) = 4

مثال: لگاریتم زیر را حساب کنید.

log2(64)

سوال می پرسد: “چه تعداد ۲ باید در هم ضرب شوند تا عدد ۶۴ بدست آید؟”

۶۴ = ۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲، پس ما به ۶ تا دو نیاز داریم.

پاسخ:

log2(64) = 6

توان ها

توان ها و لگاریتم ها مرتبط هستند، بیایید ببینیم چطور …

لگاریتم مفاهیم پایه

توان می گوید یک عدد را چند بار در خود ضرب خواهیم کرد.

در این مثال: ۸ = ۲ × ۲ × ۲ = ۲۳

(عدد ۲، ۳ بار در خود ضرب شده تا عدد ۸ را حاصل دهد.)

پس یک لگاریتم پاسخ سوالی به این شکل را می دهد:

لگاریتم مفاهیم پایه

به این شکل:

لگاریتم مفاهیم پایه

لگاریتم برایمان مشخص می کند که توان چه عددی است!

در مثال ذکر شده “پایه” برابر ۲ و “توان” برابر ۳ است:

لگاریتم مفاهیم پایه

پس لگاریتم پاسخ سوال زیر را نیز می دهد:

به چه توانی احتیاج داریم؟

(برای یک عدد که به عدد مشخص دیگری تغییر یابد)

به طور کلی رابطه توان و لگاریتم به شکل زیر است:

لگاریتم مفاهیم پایه

مثال: لگاریتم زیر را بیابید:

log10(100)

پاسخ:

۱۰۲ = ۱۰۰

پس توانی به مقدار ۲ نیاز است که عدد ۱۰ را به ۱۰۰ تغییر دهیم، و:

log10(100) = 2

مثال: لگاریتم زیر را پیدا کنید:

log3(81)

پاسخ:

۳۴ = ۸۱

پس توانی به اندازه ۴ نیاز است که عدد ۳ به ۸۱ تغییر یابد، و:

log3(81) = 4

لگاریتم های معمولی: پایه ۱۰

گاها یک لگاریتم را بدون پایه می نویسند، مانند:

log(100)

این معمولا به این معنیست که پایه برابر ۱۰ است.

به این لگاریتم، یک “لگاریتم معمولی” گفته می شود، مهندسان به این لگاریتم علاقه خاصی دارند!

لگاریتم مفاهیم پایه   روی یک ماشین حساب، با کلمه log مشخص شده است.

این لگاریتم یعنی چند بار باید عدد ۱۰ را در خود ضرب کنیم تا عدد مورد نظرمان بدست آید.

مثال: 

log(1000) = log10(1000) = 3

لگاریتم های طبیعی: پایه ” e “

پایه دیگری که معمولا مورد استفاده قرار می گیرد، عدد اویلر ( e ) است، که مقدار آن حدودا برابر ۲٫۷۱۸۲۸ می باشد.

به این لگاریتم “لگاریتم طبیعی” گفته می شود. ریاضی دانان از این یکی استفاده فراوانی می کنند.

لگاریتم مفاهیم پایه   روی یک ماشین حساب، با کلمه ln مشخص شده است.

این لگاریتم یعنی چند بار باید عدد e در خودش ضرب شود تا عدد مورد نظرمان بدست آید.

مثال:

ln(7.389) = loge(7.389) ≈ ۲

چون که

۲٫۷۱۸۲۸۲ ≈ ۷٫۳۸۹

اما گاها اتفاقات گیج کننده ای می افتد … !

ریاضی دانان از “log” (به جای “ln”) به عنوان لگاریتم طبیعی استفاده می کنند. ممکن است ما را گمراه کند:

لگاریتم مفاهیم پایه

پس، مراقب باشید که اگر با “log” برخوردید، بدانید پایه مورد استفاده چیست!

لگاریتم ها می توانند اعشار داشته باشند

تمامی مثال های ما از لگاریتم های اعداد صحیح استفاده کرده (مانند ۲ یا ۳)، اما لگاریتم ها می توانند مقدار اعشاری نیز داشته باشند مانند ۲٫۵، یا ۶٫۰۸۱، و …

مثال:مقدار لگاریتم زیر را پیدا کنید:

log10(26)

از ماشین حساب استفاده کنید، عدد ۲۶ را وارد کرده، دکمه log را فشار دهید.

پاسخ برابر است با: …۱٫۴۱۴۹۷

لگاریتم به ما می گوید که ۲۶ = ۱۰۱٫۴۱۴۹۷ (۱۰ با توان ۱٫۴۱۴۹۷ برابر ۲۶ است)

این لگاریتم روی نمودار به شکل زیر است، دقت کنید که چگونه خط به شکل منحنی و ناشکسته است.

لگاریتم مفاهیم پایه

لگاریتم های منفی

منفی؟ اما لگاریتم ها با ضرب کار می کنند.

در مقابل ضرب چه چیزی داریم؟.. بله! تقسیم!

یک لگاریتم منفی به این معنی است که یک عدد را چند بار باید بر خود تقسیم کنیم تا عدد مورد نظر بدست آید.

می توانیم یک تقسیم داشته باشیم:

مثال: لگاریتم زیر را بیابید:

log8(0.125)

خب،

۱ ÷ ۸ = ۰٫۱۲۵

پس:

log8(0.125) = −۱

یا می توانیم چندین تقسیم داشته باشیم:

مثال: لگاریتم زیر را پیدا کنید:

log5(0.008)

پاسخ:

۱ ÷ ۵ ÷ ۵ ÷ ۵ = ۵−۳

پس:

log5(0.008) = −۳

همه این ها منطقی هستند

ضرب ها و تقسیم ها همگی قسمت هایی از یک الگوی ساده است:

بیایید به چند لگاریتم پایه ۱۰ بعنوان مثال نگاه کنیم:

لگاریتم مفاهیم پایهلگاریتم مفاهیم پایه

با نگاه به جدول، ببینید که لگاریتم های مثبت، صفر و یا منفی همگی از روی یک الگوی ساده هستند.

کلمه لگاریتم
“لگاریتم” کلمه ای بوجود آمده توسط ریاضی دان اسکاتلندی، جان نپر (۱۶۱۷ – ۱۵۵۰) است، در زبان یونانی کلمه لوگوس به معنی “نسبت، میزان یا واژه” و آریتموس به معنی “عدد” است،… که با هم به معنی “نسبت – عدد” می شود!

 

حال که مفهوم لگاریتم را درک کردید، ممکن است مطالب آموزشهای زیر از فرادرس برای شما مفید باشد:

منبع

نظرات