ریاضی 12957 بازدید

انگیزهٔ ساخت لگاریتم، داشتن وارون تابع توان است. برای نمونه، توان سوم ۲، ۸ است چون ۸ = ۲ × ۲ × ۲ = ۲۳ پس لگاریتم ۸ در پایهٔ ۲، ۳ می‌شود. مفهوم امروزی لگاریتم در نتیجه کارهای اویلر در قرن ۱۸ میلادی توسعه یافته است. اویلر نخستین کسی بود که مفهوم لگاریتم را به مفهوم تابع نمایی پیوند داد. در ساده‌ترین حالت، یک لگاریتم پاسخ سوال زیر را می دهد:

چه تعداد از یک عدد را باید در خودش ضرب کنیم تا عدد دیگری را به دست آوریم؟

مثال: چه تعداد از عدد ۲ را باید در هم ضرب کنیم تا عدد ۸ به دست بیاید؟

پاسخ۸ = ۲ × ۲ × ۲، پس باید ۳ بار ۲ را در خود ضرب کنیم تا عدد ۸ بدست آید. پس لگاریتم برابر ۳ است.

کلمه لگاریتم

«لگاریتم» عبارتی است که ریاضی‌دان اسکاتلندی، جان نپر (۱۶۱۷ – ۱۵۵۰) آن را ساخته است. در زبان یونانی کلمه لوگوس به معنی «نسبت، میزان یا واژه» و آریتموس به معنی «عدد» است، ترکیب این دو واژه با هم به معنی «نسبت – عدد» می‌شود.

چگونه لگاریتم را بنویسیم

دانستیم که بدین جهت لگاریتم ۸ برابر با ۳ است که تعداد دفعاتی که باید ۲ را در خودش ضرب کنیم تا عدد ۸ به دست آید، ۳ است. این مفهوم را به شکل زیر می‌نویسیم:

log2(8) = 3

پس این دو عمل باهم برابرند:

عددی که ضرب می‌کنیم، همان «پایه» است. پس می‌شود گفت:

  • لگاریتم ۸ با پایه ۲ برابر است با ۳
  • یا لگاریتم پایه دو ۸ برابر است با ۳
  • یا پایه ۲ لگاریتم ۸ برابر است با ۳

دقت کنید که در موضوع لگاریتم با سه نوع عدد سر و کار داریم:

  • پایه یعنی عددی که ما ضرب می‌کنیم (در این مثال ۲ بود)
  • تعداد دفعاتی که عدد پایه را در خود ضرب می‌کنیم (۳ بار، که همان لگاریتم است)
  • عددی که می‌خواهیم در انتها بگیریم (عدد ۸)

مثال های بیشتر

مثال: لگاریتم زیر را حساب کنید.

log5(625)

سوال می‌پرسد: چه تعداد ۵ باید در هم ضرب شوند تا عدد ۶۲۵ به دست آید؟ پاسخ چنین است:

۶۲۵ = ۵ × ۵ × ۵ × ۵

پس ما به ۴ تا پنج نیاز داریم. بنابراین:

log5(625) = 4

مثال: لگاریتم زیر را حساب کنید:

log2(64)

سوال می‌پرسد: چه تعداد ۲ باید در هم ضرب شوند تا عدد ۶۴ به دست آید؟ برای محاسبه داریم:

۶۴ = ۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲

پس ما به ۶ تا دو نیاز داریم:

log2(64) = 6

توان‌ها

توان‌ها و لگاریتم‌ها مرتبط هستند، در ادامه نحوه ارتباط این دو را بررسی می‌کنیم.

صورت سوال یک لگاریتم به این شکل است:

لگاریتم مفاهیم پایه

و پاسخ آن نیز به صورت زیر است:

لگاریتم مفاهیم پایه

لگاریتم برایمان مشخص می‌کند که توان چه عددی است. در مثال ذکر شده پایه برابر ۲ و توان برابر ۳ است:

پس لگاریتم دپاسخ سوال زیر را نیز می‌دهد که به چه توانی برای یک عدد احتیاج داریم تا آن به عدد مشخص دیگری تغییر یابد. به طور کلی رابطه توان و لگاریتم به شکل زیر است:

لگاریتم مفاهیم پایه

مثال: لگاریتم زیر را بیابید:

log10(100)

پاسخ:

۱۰۲ = ۱۰۰

پس توانی به مقدار ۲ نیاز است که عدد ۱۰ را به ۱۰۰ تغییر دهیم:

log10(100) = 2

مثال: لگاریتم زیر را پیدا کنید:

log3(81)

پاسخ:

۳۴ = ۸۱

پس توانی به اندازه ۴ نیاز است که عدد ۳ به ۸۱ تغییر یابد:

log3(81) = 4

لگاریتم‌های معمولی: پایه ۱۰

گاهی اوقات یک لگاریتم را بدون پایه می‌نویسند، مانند:

log(100)

این معمولاً به این معنی است که پایه برابر ۱۰ است.

به این لگاریتم، یک «لگاریتم معمولی» گفته می‌شود، مهندسان به این لگاریتم علاقه خاصی دارند. این لگاریتم در ماشین‌حساب‌ها با عبارت log مشخص می‌شود.

این لگاریتم نشان می‌دهد که چند بار باید عدد ۱۰ را در خود ضرب کنیم، تا عدد مورد نظرمان به دست آید.

مثال: 

log(1000) = log10(1000) = 3

لگاریتم‌های طبیعی: لگاریتم در پایه e

پایه دیگری که معمولاً مورد استفاده قرار می‌گیرد، عدد اویلر (e) است، که مقدار آن حدوداً برابر با ۲.۷۱۸۲۸ است. به این لگاریتم «لگاریتم طبیعی» گفته می‌شود. ریاضی‌دانان از این لگاریتم استفاده فراوانی می‌کنند. این لگاریتم بر روی یک ماشین حساب، با کلمه ln مشخص می‌شود.

این لگاریتم یعنی چند بار باید عدد e در خودش ضرب شود تا عدد مورد نظرمان به دست آید.

مثال:

ln(7.389) = loge(7.389) ≈ ۲

چون که

۲.۷۱۸۲۸۲ ≈ ۷.۳۸۹

موارد سردرگم کننده

ریاضی دانان از «log» (به جای «ln») به عنوان لگاریتم طبیعی استفاده می‌کنند. این مسئله ممکن است ما را گمراه کند:

پس، مراقب باشید که اگر با log برخورد داشتید، بدانید پایه مورد استفاده چیست.

لگاریتم‌های اعشاری

ما تا اینجا در تمامی مثال‌های خود از لگاریتم های اعداد صحیح استفاده کردیم (مانند ۲ یا ۳)؛ اما لگاریتم‌ها می‌توانند مقدار اعشاری نیز داشته باشند: مانند ۲.۵، یا ۶.۰۸۱، و …

مثال:مقدار لگاریتم زیر را پیدا کنید:

log10(26)

از ماشین حساب استفاده کنید، عدد ۲۶ را وارد کرده، دکمه log را فشار دهید.

پاسخ برابر است با: …۱.۴۱۴۹۷

لگاریتم به ما می گوید که ۲۶ = ۱۰۱.۴۱۴۹۷ (۱۰ با توان ۱.۴۱۴۹۷ برابر ۲۶ است)

این لگاریتم روی نمودار به شکل زیر است، دقت کنید که چگونه خط به شکل منحنی و ناشکسته است.

لگاریتم‌های منفی

شاید از خود بپرسید لگاریتم منفی به چه معنی است. چون تا آنجا که آموختیم لگاریتم ها به ضرب مربوط هستند. پاسخ این است که باید توجه کنید در مقابل ضرب چه داریم؟ مفهوم معکوس ضرب، تقسیم است. در مورد لگاریتم نیز می‌توانیم یک تقسیم داشته باشیم. یک لگاریتم منفی به این معنی است که یک عدد را چند بار باید بر خود تقسیم کنیم تا عدد مورد نظر به دست آید.

مثال: لگاریتم زیر را بیابید:

log8(0.125)

می‌دانیم که:

۱ ÷ ۸ = ۰.۱۲۵

پس:

log8(0.125) = −۱

یا می توانیم چندین تقسیم داشته باشیم:

مثال: لگاریتم زیر را پیدا کنید:

log5(0.008)

پاسخ:

۱ ÷ ۵ ÷ ۵ ÷ ۵ = ۵−۳

پس:

log5(0.008) = −۳

همه این‌ها منطقی هستند

ضرب‌ها و تقسیم‌ها همگی قسمت‌هایی از یک الگوی ساده است. بیایید به چند لگاریتم پایه ۱۰ بعنوان مثال نگاه کنیم:

با نگاه به جدول، ببینید که لگاریتم های مثبت، صفر و یا منفی همگی از روی یک الگوی ساده محاسبه می‌شوند.

اگر این نوشته مورد توجه شما واقع شده است، احتمالاً موارد زیر نیز برای شما جالب توجه خواهند بود:

==

بر اساس رای 210 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظرات

ali ۳۱ تیر ۱۳۹۷

سلام عالی هستین...... اجرکم من الله...

مهدی ۳۰ تیر ۱۳۹۷

سلام ممنون خیلی خوب اموزش دادید خیلی خوب میشه آموزش های بیشتری تو مباحث ریاضی ، کامپیوتر و الگوریتم منتشر کنید

اصی ۲۵ تیر ۱۳۹۷

LOL

امیر ۲۹ خرداد ۱۳۹۷

خدایی دمتون گرم بعد 12 سال بالاخره پایه لگاریتمو متوجه شدم ینی حالا میفهمم این سیستم آموزشی به ما تو دبیرستان هیچی یاد نداده! همه میگن دانش آموزا درس نمیخونن اما کیه كه ندونه اشتیاق و انگیزه و محرکی ندارن! اگه به ما هم اینجوری درس میدادن لازم نبود سه سال واسه ریاضی معطل مدرک دیپلم باشیم آخرشم با درس جایگزین تو شبانه پاس کنیم!

hamid ۹ خرداد ۱۳۹۷

خیلی عالی بود . ممنون

آوا ۸ خرداد ۱۳۹۷

واقعا عالی بود

عاطفه ۷ خرداد ۱۳۹۷

واقعاااا ممنوووون عالی بود.کاش به ما هم ریاضی رو اینجوری یاد داده بودن

شیوا ۴ خرداد ۱۳۹۷

من صبح امتحان ریاضی داشتم و هرچی جزوه میخوندم و کتابو میخوندم حالیم نمیشد:)) الان با یه نگاه ساده به اینجا یجورایی فهمیدم و برگم رو سفید نمیدم^_^ ممنونم

نازی ۲۹ اردیبهشت ۱۳۹۷

سلام لگاریتم 80001 چجوری به دست می آید

محمدرضا ۱۴ اردیبهشت ۱۳۹۷

خدا اجرتون بده من نمیدونم ما نمیفهمیدیم یا معلما حالیشون نبود خلاصه بعد چند سال بلاخره یزره از لوگاریتم فهمیدم

محمد ۳ اردیبهشت ۱۳۹۷

این همه سال کتاب و جزوه خوندیم اندازه این چند صفحه تفهیممون نکرد. حیف این همه سال، حیف این همه وقت! ممنون

Mahdi ۲۴ فروردین ۱۳۹۷

خیلی مفید و اموزنده بود با تشکر از زحمات شما

ali mh ۹ فروردین ۱۳۹۷

ممنون از آموزش بسیار پایه ای شما .

حمید ۲۴ آبان ۱۳۹۶

با تشکر از شما من در مدرسه ریاضی میخوندم ولی هیچ وقت نفهمیدم میتونه مطالب ریاضی به این سادگی باشه بعد از بیست سال فاصله از درس به دلایلی تحقیقی مجبورم رو فیزیک و ریاضی مطالعه داشته باشم که این مقدمات بسیار به من کمک کردند. باز هم ممنون