ریاضی ۲۲۷۶۸۷ بازدید

انگیزهٔ ساخت لگاریتم، داشتن وارون تابع توان است. برای نمونه، توان سوم ۲، ۸ است چون ۸ = ۲ × ۲ × ۲ = ۲۳ پس لگاریتم ۸ در پایهٔ ۲، ۳ می‌شود. مفهوم امروزی لگاریتم در نتیجه کارهای اویلر در قرن ۱۸ میلادی توسعه یافته است. اویلر نخستین کسی بود که مفهوم لگاریتم را به مفهوم تابع نمایی پیوند داد. در ساده‌ترین حالت، یک لگاریتم پاسخ سوال زیر را می دهد:

فیلم آموزشی لگاریتم

دانلود ویدیو

چه تعداد از یک عدد را باید در خودش ضرب کنیم تا عدد دیگری را به دست آوریم؟

مثال: چه تعداد از عدد 2 را باید در هم ضرب کنیم تا عدد 8 به دست بیاید؟

پاسخ8 = 2 × 2 × 2، پس باید 3 بار 2 را در خود ضرب کنیم تا عدد 8 بدست آید. پس لگاریتم برابر 3 است.

کلمه لگاریتم

«لگاریتم» عبارتی است که ریاضی‌دان اسکاتلندی، جان نپر (1617 – 1550) آن را ساخته است. در زبان یونانی کلمه لوگوس به معنی «نسبت، میزان یا واژه» و آریتموس به معنی «عدد» است، ترکیب این دو واژه با هم به معنی «نسبت – عدد» می‌شود.

چگونه لگاریتم را بنویسیم

دانستیم که بدین جهت لگاریتم 8 برابر با 3 است که تعداد دفعاتی که باید 2 را در خودش ضرب کنیم تا عدد 8 به دست آید، 3 است. این مفهوم را به شکل زیر می‌نویسیم:

log2(8) = 3

پس این دو عمل باهم برابرند:

عددی که ضرب می‌کنیم، همان «پایه» است. پس می‌شود گفت:

  • لگاریتم 8 با پایه 2 برابر است با 3
  • یا لگاریتم پایه دو 8 برابر است با 3
  • یا پایه 2 لگاریتم 8 برابر است با 3

دقت کنید که در موضوع لگاریتم با سه نوع عدد سر و کار داریم:

  • پایه یعنی عددی که ما ضرب می‌کنیم (در این مثال 2 بود)
  • تعداد دفعاتی که عدد پایه را در خود ضرب می‌کنیم (3 بار، که همان لگاریتم است)
  • عددی که می‌خواهیم در انتها بگیریم (عدد 8)

مثال های بیشتر

مثال: لگاریتم زیر را حساب کنید.

log5(625)

سوال می‌پرسد: چه تعداد 5 باید در هم ضرب شوند تا عدد 625 به دست آید؟ پاسخ چنین است:

625 = 5 × 5 × 5 × 5

پس ما به 4 تا پنج نیاز داریم. بنابراین:

log5(625) = 4

مثال: لگاریتم زیر را حساب کنید:

log2(64)

سوال می‌پرسد: چه تعداد 2 باید در هم ضرب شوند تا عدد 64 به دست آید؟ برای محاسبه داریم:

64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

پس ما به 6 تا دو نیاز داریم:

log2(64) = 6

توان‌ها

توان‌ها و لگاریتم‌ها مرتبط هستند، در ادامه نحوه ارتباط این دو را بررسی می‌کنیم.

صورت سوال یک لگاریتم به این شکل است:

لگاریتم مفاهیم پایه

و پاسخ آن نیز به صورت زیر است:

فیلم‌های آموزشی مرتبط

لگاریتم مفاهیم پایه

لگاریتم برایمان مشخص می‌کند که توان چه عددی است. در مثال ذکر شده پایه برابر 2 و توان برابر 3 است:

پس لگاریتم دپاسخ سوال زیر را نیز می‌دهد که به چه توانی برای یک عدد احتیاج داریم تا آن به عدد مشخص دیگری تغییر یابد. به طور کلی رابطه توان و لگاریتم به شکل زیر است:

لگاریتم مفاهیم پایه

مثال: لگاریتم زیر را بیابید:

log10(100)

پاسخ:

102 = 100

پس توانی به مقدار 2 نیاز است که عدد 10 را به 100 تغییر دهیم:

log10(100) = 2

مثال: لگاریتم زیر را پیدا کنید:

log3(81)

پاسخ:

34 = 81

پس توانی به اندازه 4 نیاز است که عدد 3 به 81 تغییر یابد:

log3(81) = 4

لگاریتم‌های معمولی: پایه 10

گاهی اوقات یک لگاریتم را بدون پایه می‌نویسند، مانند:

log(100)

این معمولاً به این معنی است که پایه برابر 10 است.

به این لگاریتم، یک «لگاریتم معمولی» گفته می‌شود، مهندسان به این لگاریتم علاقه خاصی دارند. این لگاریتم در ماشین‌حساب‌ها با عبارت log مشخص می‌شود.

این لگاریتم نشان می‌دهد که چند بار باید عدد 10 را در خود ضرب کنیم، تا عدد مورد نظرمان به دست آید.

مثال: 

log(1000) = log10(1000) = 3

لگاریتم‌های طبیعی: لگاریتم در پایه e

پایه دیگری که معمولاً مورد استفاده قرار می‌گیرد، عدد اویلر (e) است، که مقدار آن حدوداً برابر با 2.71828 است. به این لگاریتم «لگاریتم طبیعی» گفته می‌شود. ریاضی‌دانان از این لگاریتم استفاده فراوانی می‌کنند. این لگاریتم بر روی یک ماشین حساب، با کلمه ln مشخص می‌شود.

این لگاریتم یعنی چند بار باید عدد e در خودش ضرب شود تا عدد مورد نظرمان به دست آید.

مثال:

ln(7.389) = loge(7.389) ≈ 2

چون که

2.718282 ≈ 7.389

موارد سردرگم کننده

ریاضی دانان از «log» (به جای «ln») به عنوان لگاریتم طبیعی استفاده می‌کنند. این مسئله ممکن است ما را گمراه کند:

پس، مراقب باشید که اگر با log برخورد داشتید، بدانید پایه مورد استفاده چیست.

لگاریتم‌های اعشاری

ما تا اینجا در تمامی مثال‌های خود از لگاریتم های اعداد صحیح استفاده کردیم (مانند 2 یا 3)؛ اما لگاریتم‌ها می‌توانند مقدار اعشاری نیز داشته باشند: مانند 2.5، یا 6.081، و …

مثال:مقدار لگاریتم زیر را پیدا کنید:

log10(26)

از ماشین حساب استفاده کنید، عدد 26 را وارد کرده، دکمه log را فشار دهید.

پاسخ برابر است با: …1.41497

لگاریتم به ما می گوید که 26 = 101.41497 (10 با توان 1.41497 برابر 26 است)

این لگاریتم روی نمودار به شکل زیر است، دقت کنید که چگونه خط به شکل منحنی و ناشکسته است.

لگاریتم‌های منفی

شاید از خود بپرسید لگاریتم منفی به چه معنی است. چون تا آنجا که آموختیم لگاریتم ها به ضرب مربوط هستند. پاسخ این است که باید توجه کنید در مقابل ضرب چه داریم؟ مفهوم معکوس ضرب، تقسیم است. در مورد لگاریتم نیز می‌توانیم یک تقسیم داشته باشیم. یک لگاریتم منفی به این معنی است که یک عدد را چند بار باید بر خود تقسیم کنیم تا عدد مورد نظر به دست آید.

مثال: لگاریتم زیر را بیابید:

فیلم‌های آموزشی مرتبط

log8(0.125)

می‌دانیم که:

1 ÷ 8 = 0.125

پس:

log8(0.125) = −1

یا می توانیم چندین تقسیم داشته باشیم:

مثال: لگاریتم زیر را پیدا کنید:

log5(0.008)

پاسخ:

1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 5−3

پس:

log5(0.008) = −3

همه این‌ها منطقی هستند

ضرب‌ها و تقسیم‌ها همگی قسمت‌هایی از یک الگوی ساده است. بیایید به چند لگاریتم پایه 10 بعنوان مثال نگاه کنیم:

با نگاه به جدول، ببینید که لگاریتم های مثبت، صفر و یا منفی همگی از روی یک الگوی ساده محاسبه می‌شوند.

اگر این نوشته مورد توجه شما واقع شده است، احتمالاً موارد زیر نیز برای شما جالب توجه خواهند بود:

==

بر اساس رای ۵۲۶ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

59 نظر در “لگاریتم و ویژگی های آن – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

  • سلام من مبحث رو در سال کنکور یادمه که استاد فراهانی به ما تدریس میکردن به روش داستانی ،هنوز ک هنوزه مگ این مبحث رو به خاطر دارم ،واقعا قدر دان تدریس ایشون و اموزشگاه فرزانه ۲چ هستم

  • سلام و سپاس
    – در قسمت “لگاریتم‌های طبیعی”، در آخرین خط، توان 2 جا افتاده.
    – در قسمت “لگاریتم‌های اعشاری”، فکر میکنم نمودار لگاریتم ایراد داره.نباید محور yها رو قطع کنه.

  • سلام
    تا حالا ب این زیبای ریاضی یاد نگرفته بودم
    این مولفین کتاب های ریاضی فکر میکنن چون خودشون بلد هستن بقیم راحت بلد میشن

  • درود بی پایان
    بسیار ممنونم و تشکر میکنم از وبسایت عالیتون که مطالب ره به زبانی ساده و روان توضیح میدهید.
    موفق باشید

  • درود برشما-بارها یا همان روش قدیمی که بما در 60 سال قبل لگاریتم دوپویی(مدارس فرانسه ان زمان) را اموخته بودند سعی کردم برای سئوالات نوه ام توضیح دهم ولی احساس می کردم موضوع برایش ابهاماتی دارد.برحسب تصادف این سایت مفید را دیدم .چقدر سلیس وروان (برخلاف ان لغات ناما”نوس دوره ما) وزیبا گفته اید.ونوه ام فقط با یکبار خواندن متن شما- بجای 4 بار توضیحات من متوجه شد.خواستم تشکر نمایم.موفق وپیروز باشید.

    1. با سلام و تشکر از توجه شما به مجله فرادرس،
      برای آشنایی با نحوه محاسبه لگاریتم برای کسرها و عبارت‌های توان‌دار نوشتار لگاریتم و خصوصیات آن — به زبان ساده را مطالعه فرمایید.

      از اینکه همراه مجله فرادرس هستید بسیار سپاسگزاریم.
      سربلند و پاینده باشید.

  • واقعا یه همچین مواقعی معلوم میشه که در سیستم آموزش و پرورش چقدر داره وقت و عمر و سرمایه و استعداد و انگیزه و … بچه های این مملکت به آسانی به باد میره.
    من فوق لیسانسم و در طول 18 سال درس خوندن، تعداد کمی معلم بدرد بخور داشتم. اگر اکثر معلمها اینجوری مطالب رو برامون ساده و به زبان آدمیزاد توضیح میدادن، الان دوباره کشورمون به راحتی به همون درخشندگی علمی اش در تاریخ دست پیدا میکرد.
    واقعا درست میگن اگر میخواهید کشوری رو بسازید، معلمهاش رو بسازید.
    استاد مسعود عبدالرحیمی‎، دست شما درد نکنه با این روش عالیتون. خداوند متعال عمر طولانی و با عزت به شما معلمان با دانش عطا فرماید

    1. سلام
      حق باشماست اما توجه کنید
      که مطالب فوق که به بهترین و جذاب ترین وآسان ترین شکل لگاریتم را آموزش داده ترجمه یک سایت خارجی است.که منبعش هم ذکر شده
      با این وجود ترجمه سلیس و روان جای تقدیر وتشکر دارد.
      در مورد سیستم آموزشی:
      متاسفانه در سال های اخیر به جای توضیح مسائل درسی از روش فعالی وحل مسأله استفاده شده است که یعنی نمی توان فقط به کتاب درسی بسنده کرد،اگر به کتاب های درسی دهه ۶۰ و۷۰ نگاه کنید مبینید که بیشتر مفهومی هستند

  • سلام. واقعا ممنون. خیلی عالی و مفهومی توضیح دادید. (برعکس ویکی‌پدیا). تصاویری هم که طراحی کردید،‌ خیلی کمک کرد. همیشه موفق و پیروز باشید. :)))

    1. سلام خیلی ممنون از آموزش خوب صریح و شیوا ،خیلی مشکلم تو قسمت ریاضی درس هام با شما حل شد ممنونم از شما و سایت خوبتون

  • تمامی اموزش های شما که در اینترنت قرار داده شد وفقط با یک سرچ کردن راحت بصورت رایگان از سایت فرادرس بالا می یاد واقعا زیبا و اسان هستند واقعا فن بیان بالایی را بکار می برید و خیلی زیبا توضیح ممنون خداخیرتون بده من که زبان برنامه نویسی را از این سایت خریداری کردم همش یک جا هایی برای اینکه ریاضی ها ومفاهیم از یادم رفته این آموزش ها کمک شایانی بهم کرده ممنون

  • خدا خیرتون بده . اینهمه ریاضی خوانده ایم در دبیرستان و دانشگاه هیچ کدوم اینقدر قشنگ توضیح نداده اند.
    نذری آموزشی تون هم قبول باشه اساتید محترم. خیلی استفاده کردم.

  • همیشه توی ریاضی ضعیف بودم، ضعیف که چه عرض کنم اصلا نمیفهمیدمش. به این میگند توضیح به این میگند روش درس دادن. کارتون حرف نداره.
    راستی اگه یه افزونه تست مثل سایت بریلیانت که انگلیسی هست رو این مجله و آموزش ها بزارید دیگه فوق العاده میشه

  • ینی 25 ساله از لگاریتم هیچی نمیفهمیدم تازه فهمیدم چیه!!! چقدرم ساده محاسبه میشه…
    فقط لگاریتم منفی رو کاش مثل عادیش تفهیم میکردین

    مدرسه اگر از اول اگر مفهوم اشو درس میدادن میگرفتیم

    هیچموقع معنی اعمال ریاضی رو نمیگن و دوست دارن مثل کتب دینی فقط ربات وار یک چیزایی رو محاسبه کنیم…

  • سلام مطالب خیلی خوبی بود
    من چندتا تمرین حل کرد یه حایی دیدم به جایی تساوی زیر را دیدم که نفهمیدم جطوری شده اکه توضیح بدید ممنون میشم
    log5=1-log2

  • با درود و وقت بخیر ! بسیار سپاسگزارم ! ریاضیات را فراموش کرده بودم و مطلب آموزشی شما درباره لگاریتم برایم یادآوری کرد و دوباره آموزی نمودم.

  • سلام ممنون خیلی خوب اموزش دادید خیلی خوب میشه آموزش های بیشتری تو مباحث ریاضی ، کامپیوتر و الگوریتم منتشر کنید

  • خدایی دمتون گرم بعد 12 سال بالاخره پایه لگاریتمو متوجه شدم ینی حالا میفهمم این سیستم آموزشی به ما تو دبیرستان هیچی یاد نداده! همه میگن دانش آموزا درس نمیخونن اما کیه که ندونه اشتیاق و انگیزه و محرکی ندارن! اگه به ما هم اینجوری درس میدادن لازم نبود سه سال واسه ریاضی معطل مدرک دیپلم باشیم آخرشم با درس جایگزین تو شبانه پاس کنیم!

  • من صبح امتحان ریاضی داشتم و هرچی جزوه میخوندم و کتابو میخوندم حالیم نمیشد:)) الان با یه نگاه ساده به اینجا یجورایی فهمیدم و برگم رو سفید نمیدم^_^ ممنونم

  • با تشکر از شما
    من در مدرسه ریاضی میخوندم ولی هیچ وقت نفهمیدم میتونه مطالب ریاضی به این سادگی باشه
    بعد از بیست سال فاصله از درس به دلایلی تحقیقی مجبورم رو فیزیک و ریاضی مطالعه داشته باشم که این مقدمات بسیار به من کمک کردند.
    باز هم ممنون

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.