ریاضی 21278 بازدید

انگیزهٔ ساخت لگاریتم، داشتن وارون تابع توان است. برای نمونه، توان سوم 2، ۸ است چون ۸ = 2 × 2 × 2 = 23 پس لگاریتم ۸ در پایهٔ 2، 3 می‌شود. مفهوم امروزی لگاریتم در نتیجه کارهای اویلر در قرن 1۸ میلادی توسعه یافته است. اویلر نخستین کسی بود که مفهوم لگاریتم را به مفهوم تابع نمایی پیوند داد. در ساده‌ترین حالت، یک لگاریتم پاسخ سوال زیر را می دهد:

چه تعداد از یک عدد را باید در خودش ضرب کنیم تا عدد دیگری را به دست آوریم؟

مثال: چه تعداد از عدد 2 را باید در هم ضرب کنیم تا عدد 8 به دست بیاید؟

پاسخ8 = 2 × 2 × 2، پس باید 3 بار 2 را در خود ضرب کنیم تا عدد 8 بدست آید. پس لگاریتم برابر 3 است.

کلمه لگاریتم

«لگاریتم» عبارتی است که ریاضی‌دان اسکاتلندی، جان نپر (1617 – 1550) آن را ساخته است. در زبان یونانی کلمه لوگوس به معنی «نسبت، میزان یا واژه» و آریتموس به معنی «عدد» است، ترکیب این دو واژه با هم به معنی «نسبت – عدد» می‌شود.

چگونه لگاریتم را بنویسیم

دانستیم که بدین جهت لگاریتم 8 برابر با 3 است که تعداد دفعاتی که باید 2 را در خودش ضرب کنیم تا عدد 8 به دست آید، 3 است. این مفهوم را به شکل زیر می‌نویسیم:

log2(8) = 3

پس این دو عمل باهم برابرند:

عددی که ضرب می‌کنیم، همان «پایه» است. پس می‌شود گفت:

  • لگاریتم 8 با پایه 2 برابر است با 3
  • یا لگاریتم پایه دو 8 برابر است با 3
  • یا پایه 2 لگاریتم 8 برابر است با 3

دقت کنید که در موضوع لگاریتم با سه نوع عدد سر و کار داریم:

  • پایه یعنی عددی که ما ضرب می‌کنیم (در این مثال 2 بود)
  • تعداد دفعاتی که عدد پایه را در خود ضرب می‌کنیم (3 بار، که همان لگاریتم است)
  • عددی که می‌خواهیم در انتها بگیریم (عدد 8)

مثال های بیشتر

مثال: لگاریتم زیر را حساب کنید.

log5(625)

سوال می‌پرسد: چه تعداد 5 باید در هم ضرب شوند تا عدد 625 به دست آید؟ پاسخ چنین است:

625 = 5 × 5 × 5 × 5

پس ما به 4 تا پنج نیاز داریم. بنابراین:

log5(625) = 4

مثال: لگاریتم زیر را حساب کنید:

log2(64)

سوال می‌پرسد: چه تعداد 2 باید در هم ضرب شوند تا عدد 64 به دست آید؟ برای محاسبه داریم:

64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

پس ما به 6 تا دو نیاز داریم:

log2(64) = 6

توان‌ها

توان‌ها و لگاریتم‌ها مرتبط هستند، در ادامه نحوه ارتباط این دو را بررسی می‌کنیم.

صورت سوال یک لگاریتم به این شکل است:

لگاریتم مفاهیم پایه

و پاسخ آن نیز به صورت زیر است:

لگاریتم مفاهیم پایه

لگاریتم برایمان مشخص می‌کند که توان چه عددی است. در مثال ذکر شده پایه برابر 2 و توان برابر 3 است:

پس لگاریتم دپاسخ سوال زیر را نیز می‌دهد که به چه توانی برای یک عدد احتیاج داریم تا آن به عدد مشخص دیگری تغییر یابد. به طور کلی رابطه توان و لگاریتم به شکل زیر است:

لگاریتم مفاهیم پایه

مثال: لگاریتم زیر را بیابید:

log10(100)

پاسخ:

102 = 100

پس توانی به مقدار 2 نیاز است که عدد 10 را به 100 تغییر دهیم:

log10(100) = 2

مثال: لگاریتم زیر را پیدا کنید:

log3(81)

پاسخ:

34 = 81

پس توانی به اندازه 4 نیاز است که عدد 3 به 81 تغییر یابد:

log3(81) = 4

لگاریتم‌های معمولی: پایه 10

گاهی اوقات یک لگاریتم را بدون پایه می‌نویسند، مانند:

log(100)

این معمولاً به این معنی است که پایه برابر 10 است.

به این لگاریتم، یک «لگاریتم معمولی» گفته می‌شود، مهندسان به این لگاریتم علاقه خاصی دارند. این لگاریتم در ماشین‌حساب‌ها با عبارت log مشخص می‌شود.

این لگاریتم نشان می‌دهد که چند بار باید عدد 10 را در خود ضرب کنیم، تا عدد مورد نظرمان به دست آید.

مثال: 

log(1000) = log10(1000) = 3

لگاریتم‌های طبیعی: لگاریتم در پایه e

پایه دیگری که معمولاً مورد استفاده قرار می‌گیرد، عدد اویلر (e) است، که مقدار آن حدوداً برابر با 2.71828 است. به این لگاریتم «لگاریتم طبیعی» گفته می‌شود. ریاضی‌دانان از این لگاریتم استفاده فراوانی می‌کنند. این لگاریتم بر روی یک ماشین حساب، با کلمه ln مشخص می‌شود.

این لگاریتم یعنی چند بار باید عدد e در خودش ضرب شود تا عدد مورد نظرمان به دست آید.

مثال:

ln(7.389) = loge(7.389) ≈ 2

چون که

2.718282 ≈ 7.389

موارد سردرگم کننده

ریاضی دانان از «log» (به جای «ln») به عنوان لگاریتم طبیعی استفاده می‌کنند. این مسئله ممکن است ما را گمراه کند:

پس، مراقب باشید که اگر با log برخورد داشتید، بدانید پایه مورد استفاده چیست.

لگاریتم‌های اعشاری

ما تا اینجا در تمامی مثال‌های خود از لگاریتم های اعداد صحیح استفاده کردیم (مانند 2 یا 3)؛ اما لگاریتم‌ها می‌توانند مقدار اعشاری نیز داشته باشند: مانند 2.5، یا 6.081، و …

مثال:مقدار لگاریتم زیر را پیدا کنید:

log10(26)

از ماشین حساب استفاده کنید، عدد 26 را وارد کرده، دکمه log را فشار دهید.

پاسخ برابر است با: …1.41497

لگاریتم به ما می گوید که 26 = 101.41497 (10 با توان 1.41497 برابر 26 است)

این لگاریتم روی نمودار به شکل زیر است، دقت کنید که چگونه خط به شکل منحنی و ناشکسته است.

لگاریتم‌های منفی

شاید از خود بپرسید لگاریتم منفی به چه معنی است. چون تا آنجا که آموختیم لگاریتم ها به ضرب مربوط هستند. پاسخ این است که باید توجه کنید در مقابل ضرب چه داریم؟ مفهوم معکوس ضرب، تقسیم است. در مورد لگاریتم نیز می‌توانیم یک تقسیم داشته باشیم. یک لگاریتم منفی به این معنی است که یک عدد را چند بار باید بر خود تقسیم کنیم تا عدد مورد نظر به دست آید.

مثال: لگاریتم زیر را بیابید:

log8(0.125)

می‌دانیم که:

1 ÷ 8 = 0.125

پس:

log8(0.125) = −1

یا می توانیم چندین تقسیم داشته باشیم:

مثال: لگاریتم زیر را پیدا کنید:

log5(0.008)

پاسخ:

1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 5−3

پس:

log5(0.008) = −3

همه این‌ها منطقی هستند

ضرب‌ها و تقسیم‌ها همگی قسمت‌هایی از یک الگوی ساده است. بیایید به چند لگاریتم پایه 10 بعنوان مثال نگاه کنیم:

با نگاه به جدول، ببینید که لگاریتم های مثبت، صفر و یا منفی همگی از روی یک الگوی ساده محاسبه می‌شوند.

اگر این نوشته مورد توجه شما واقع شده است، احتمالاً موارد زیر نیز برای شما جالب توجه خواهند بود:

==

بر اساس رای 211 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

17 نظر در “لگاریتم و هر آن‌چه باید درباره‌ش بدانید – معرفی مفاهیم پایه به زبان ساده

  1. با تشکر از شما
    من در مدرسه ریاضی میخوندم ولی هیچ وقت نفهمیدم میتونه مطالب ریاضی به این سادگی باشه
    بعد از بیست سال فاصله از درس به دلایلی تحقیقی مجبورم رو فیزیک و ریاضی مطالعه داشته باشم که این مقدمات بسیار به من کمک کردند.
    باز هم ممنون

  2. خدا اجرتون بده من نمیدونم ما نمیفهمیدیم یا معلما حالیشون نبود خلاصه بعد چند سال بلاخره یزره از لوگاریتم فهمیدم

  3. من صبح امتحان ریاضی داشتم و هرچی جزوه میخوندم و کتابو میخوندم حالیم نمیشد:)) الان با یه نگاه ساده به اینجا یجورایی فهمیدم و برگم رو سفید نمیدم^_^ ممنونم

  4. خدایی دمتون گرم بعد 12 سال بالاخره پایه لگاریتمو متوجه شدم ینی حالا میفهمم این سیستم آموزشی به ما تو دبیرستان هیچی یاد نداده! همه میگن دانش آموزا درس نمیخونن اما کیه که ندونه اشتیاق و انگیزه و محرکی ندارن! اگه به ما هم اینجوری درس میدادن لازم نبود سه سال واسه ریاضی معطل مدرک دیپلم باشیم آخرشم با درس جایگزین تو شبانه پاس کنیم!

  5. سلام ممنون خیلی خوب اموزش دادید خیلی خوب میشه آموزش های بیشتری تو مباحث ریاضی ، کامپیوتر و الگوریتم منتشر کنید

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *